【文档说明】2021-2022学年高中数学人教版必修2教案：3.3.4两条平行直线间的距离 3 含解析【高考】.doc，共(5)页，142.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-两条平行直线间的距离【教学目标】1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神

，学会合作.【重点难点】教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.【课时安排】1课时【教学过程】导入新课我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+

C=0，求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B≠0).图1推进新课新知探究-2-提出问题①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么?

各种做法的优缺点是什么?②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离)活动：①请学生观察上面三种特殊情形中

的结论:(ⅰ)x0=0,y0=0时，d=22||BAC+；(ⅱ)x0≠0,y0=0时，d=220||BACAx++；(ⅲ)x0=0,y0≠0时，d=220||BACBy++.观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意

的点P(x0,y0)，d=?学生应能得到猜想：d=2200||BACByAx+++.启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两

平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(AC1−,0).∴P′N=221221|||)(|BACCBACACA+−=++−•.(*)∵P在直线l1:Ax+By+C

1=0上,∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0.代入(*)得|P′N|=2200||BAByAxC+++即d=2200||BACByAx+++,.②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.-3-③引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1

=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=2221||BACC+−.证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=2200||BACByAx+++.又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+

By0=-C2，∴d=2221||BACC+−.讨论结果：①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离公式为d=2200||BACByAx+++.②当A=0或B=0时，上述公式也成立.③两条平行线Ax+By+C1

=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=2221||BACC+−.应用示例例1求点P0(-1，2)到下列直线的距离：(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解:(1)根据点到直线的距离公式得d=5251012|102)1(2|22==+−+−.(2)因为直线3x=2平行

于y轴，所以d=|32-(-1)|=35.点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.变式训练点A(a，6)到直线3x－4y=2的

距离等于4，求a的值.解:2243|2643|+−−a=4|3a-6|=20a=20或a=346.例2已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积.解:设AB边上的高为h，则S△ABC=21|AB|·h.|AB|=22)31()13(22=−+−，AB边上的

高h就是点C到AB的距离.-4-AB边所在的直线方程为131313−−=−−xy,即x+y-4=0.点C到x+y-4=0的距离为h=2511|401|22=+−+−，因此，S△ABC=21×2522=5.点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点

到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.变式训练求过点A(-1,2),且与原点的距离等于22的直线方程.解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x＋y－1=0或7x＋y＋5=0.例3求平行

线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此,d=5353145314)

7(2|80732|22==−++−.点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离.变式训练求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离.答案：1332.拓展提升问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l上找一点P

，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值.解:点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-54,52)，则直线MO′的方程为y-3=413x.直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P(511,158−−)即为所求，-5-

相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=5185.课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新

.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.作业课本习题3.3A组9、10；B组2、4.