【文档说明】江苏省南通市2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(23)页，5.764 MB，由小赞的店铺上传

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2021~2022学年（下）高一期末质量监测数学本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题

时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题

目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小

题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i12iz=−，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数除法法则计算得到2iz=−−，从而确定复数z对应的点所在象限.【

详解】()()()12ii12i2iiiiz−−−===−−−，所以复数z对应的点坐标为()2,1−−，位于第三象限.故选：C2.某种彩票中奖的概率为110000，这是指A.买10000张彩票一定能中奖B.买10000张彩票只能中奖1次C.若买9999张彩

票未中奖，则第10000张必中奖D.买一张彩票中奖的可能性是110000【答案】D【解析】【分析】彩票中奖的概率为110000，只是指中奖的可能性为110000【详解】彩票中奖的概率为110000，只是指中奖的可能性为110000，不是买10000张彩票一定

能中奖，概率是指试验次数越来越大时，频率越接近概率．所以选D.【点睛】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，是否中奖是随机事件．3.已知π3cos45+=，则sin2=（）A.725B.1825C.725−D.1825−【

答案】A【解析】【分析】根据两角和的余弦公式及平方关系，结合正弦的二倍角公式即可求解.【详解】由π3cos45+=，得ππ3coscossinsin445−=，即32cossin5−=，两边平方，得72sincos25=，即7sin225=.故选：A.4.已知两个单

位向量a，b的夹角为60°，若20abc−+=，则c=（）A.3B.7C.3D.1【答案】C【解析】【分析】利用数量积的定义直接求得.【详解】因为20abc−+=，所以2cba=−.因为a，b为夹角为60°的两个单位

向量，所以()22cba=−2244baba=−+1141142=−+3=故选：C5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为514+，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥侧面积之比

为（）A.1B.12C.13D.14【答案】D【解析】【分析】如图，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，斜高为'h，E为CD的中点，则由题意得，514ha+=，分别用a表示出以该四棱锥的高为边长的正方形面积和该四棱锥侧面积，即可得出答案.【详解】如图，设正四棱锥的底面边长为

a，高为h，斜高为'h，E为CD的中点，则由题意得：515144hhaa++==，则设以该四棱锥的高为边长的正方形面积为1S，222222151154448aaShhaa++==−=−=，设该四棱锥侧面积为221515142

242Sahaaa++===，所以21118142SS==.故选：D6.已知，是两个不重合的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A若m⊥，n⊥，mn⊥，则⊥B.若//m，//n，mn∥，则∥C.若//m，n，∥，则mn∥D.若//

m，n//，⊥，则mn⊥【答案】A【解析】【分析】根据线面、面面及线线关系逐项判断即可.【详解】对于A，若m⊥，n⊥，mn⊥，可将,mn平移至相交直线，由公理3推论2，确定一个平面，由线面垂直的性质可得,的交线l垂直于平面，进而得到l垂直于和,的交线，且和,的交线与

,mn或其平行线能围成矩形，由面面垂直的定义，可得⊥，则A正确；对于B，若//m，n//，//mn，当,mn都平行于,的交线，则条件满足，则,相交成立，则B错；对于C，若//m，n，//，则,mn可能平行、可能异

面、可能相交，所以C错；对于D，若//m，n//，⊥，则,mn可能平行、可能异面、可能相交，所以D错.故选：A.7.已知ABC为锐角三角形，2AC=，π6A=，则BC的取值范围为（）A.()1,+B.()1,2

C.231,3D.23,23【答案】C.【解析】【分析】根据锐角三角形得出角B的范围，再利用正弦定理及三角函数的性质即可求解.【详解】因为ABC为锐角三角形，所以π6π25ππ0620BBA=

−,解得ππ32B,所以3sin12B.在ABC中，由正弦定理，得sinsinACBCBA=，即2sinsin1sinπsinin6sACABCBBB===,由3sin12B，得1231sin3B，即2313BC.所以BC的取值范围为231,3

.故选：C.8.一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件B为“两次记录的数字和大于4”，事件C为“第一次记录的数字为奇数”，事件D为“第二次记录的

数字为偶数”，则（）A.A与D互斥B.C与D对立C.A与B相互独立D.A与C相互独立【答案】D【解析】【分析】列举出基本事件，对四个选项一一判断：对于A：由事件A与D有相同的基本事件，否定结论；对于B：由事件C与D有相同的基本事件，否定结论；对于C、D：利用公式法进行判断.【详

解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：()1,1,()1,2,()1,3,()1,4,()2,1,()2,2,()2,3,()2,4,()3,1,()3,2,()3,3,()3,4,()4,1,()4,

2,()4,3,()4,4.其中事件A包括：()1,2,()1,4,()2,1,()2,3,()3,2,()3,4,()4,1,()4,3.事件B包括：()1,4,()2,3,()2,4,()3,2,()3,3,()3,4,()4,1,(

)4,2,()4,3,()4,4.事件C包括：()1,1,()1,2,()1,3,()1,4,()3,1,()3,2,()3,3,()3,4.事件D包括：()1,2,()1,4,()2,2,()2,4,()3,2,

()3,4,()4,2,()4,4.对于A：因为事件A与D有相同的基本事件，()1,2,()1,4,()2,3,()3,2,故A与D互斥不成立.故A错误；对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，()1,2,()1,4,()3,2,()

3,4,故C与D对立不成立.故B错误；对于C：因为()81162PA==,()105168PB==,而()63168PAB==.因为()()()PABPAPB，所以A与B不相互独立.故C错误；对于D：因为()81162PA==,()81162PC==,而()41164PAC==.因为

两个事件的发生与否互不影响，且()()()PACPAPC=，所以A与C相互独立.故D正确.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于一组数

据2，3，3，4，6，6，8，8，则（）A.极差为8B.平均数为5C.方差为194D.40百分位数是4【答案】BCD【解析】【分析】根据极差、平均数、方差及百分位数的计算方法分别判断即可得出答案.【详解】对于A，因为这组数据的最大值为8，最小值为2，所以这组数据的极

差为826−=，故A不正确；对于B，因为2334668858+++++++=，所以这组数据的平均数为5，故B正确；对于C，因为()()()()()()()()2222222225353545656585858−+−+−+−+−+−+−+−944111991984+++++++==，故C

正确；是对于D，由于40%83.2=，所以第40百分位数为第4个数即4，故D正确.故选：BCD.10.已知正六边形ABCDEF的中心为O，则（）A.0OAOBOCODOEOF+++++=B.2ACAFDE

−=C.存在R，()ACAEABAF+=+D.ADBEADFC=【答案】ACD【解析】【分析】根据平面向量的的平行四边形法则和三角形法则可判断A、B，以A为原点建立坐标系，可判断C，结合平面向量的数量积的

定义可判断D.【详解】对A，因为六边形ABCDEF，所以0,0,0,OAODOBOEOCOF+=+=+=所以0OAOBOCODOEOF+++++=，故A正确；对B，2ACAFFCED−==，故B不正确；对C，以A为原点，建立坐标系，则设正六边形ABCDEF的边长为

a，则()()()()33130,0,,0,,,,3,0,3,,2222ABaCaaDaaEaFaa−，13,22ABAFaa+=，333,22ACAEaa+=

，所以存在3=，使得()3ACAEABAF+=+，所以C正确.对D，设正六边形ABCDEF的边长为a，22244cos602ADBEODOEODOEODOEa====，22244cos602ADFCODOCODOCODOCa====，故D正确.故选：ACD.1

1.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三条中线相交于点G.已知2bc==，3a=，ABC的平分线与AC相交于点D，则（）A.边AC上的中线长为22B.ABC内切圆的面积为928C.BCD

△与BAD面积之比为3:2D.G到AC的距离为716【答案】BC【解析】【分析】如图，取ABACBC、、边上的中点NFE、、，则边AC上的中线为()12BFBABC=+，两边同时平方结合向量数量积即可判断A；设ABC内切圆的为r，由()11sin22ABCSacBabc

r==++，求出r即可判断B；由角平分线定理，BCDBADSCDBCSADAB==，可判断C；G到AC的距离为sinGFBFA，求出,sinGFBFA代入可判断D.【详解】如下图，取ABACBC、、边上的中点NFE、、，则边AC上的中线为()12BFBA

BC=+，则22242cosBFBABCBABCB=++，2449223cosBFB=++，又因为49493cos223124B+−===，则23449223224BF=++=，则222BF=.故A不正确；因为397cos,sin14164BB==−=，设ABC内切圆的为r

，()11sin22ABCSacBabcr==++，则()7322234r=++，则3714r=，ABC内切圆的面积为：23791428=，故B正确.对于C，由角平分线定理知：32BCDBADSCDBCaSADABc====，所以C正确；对于D，因为2bc==，在三角形B

FA和三角形BFC中，coscosAFBBFC=−，则22141+922BFBFBFBF+−−=−，解得：222BF=，所以12222326GF==，所以21114145222cos24422BFBFABF+−+−===，所以3154sin44BF

A=，所以G到AC的距离为：3154227sin4464GFBFA==，故D不正确.故选：BC.12.已知函数()()sincossincosfxxxxx=−+，则（）A.()fx的最小正周期为2B.函数4fx−在0,2上单调递减C.当()()122fx

fx+=时，122kxx+=，kZD.当函数()()gxfxa=+在0,2上有4个零点时，01a【答案】AC【解析】【分析】把函数()fx化成分段函数，作出函数图像，再逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】依题意，37cos2,2244()

(Z)3cos2,2244xkxkfxkxkxk++=−−++，函数()fx部分图像如图，函数()fx是周期函数，周期为2，故A正确；若函数4fx−在0,2

上单调递减，则()fx在,44−上单调递减，从图中可知，B不正确.因()11fx且()21fx，则当()()122fxfx+=时，1|cos2|1x=且2|cos2|1x=，则112kx=且222kx=，12,Zkk，因此，1212()22kkkxx++

==，12Zkkk+=，C正确；函数()()gxfxa=+在0,2上有4个零点时，即()fxa=−，则()yfx=与ya=−的图像在0,2上有四个交点，所以01a−或10a−−，所以10a−或01a，故D不正确.故

选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.求值：1tan151tan15+=−__________．【答案】3【解析】【分析】直接利用两角和正切公式计算可得；【详解】解：()1tan15tan45tan15tan4515tan6031tan1

51tan45tan15++==+==−−故答案为：314.已知向量()0,5a=r，()1,2b=，则a在b上的投影向量的坐标为__________.【答案】()2,4【解析】【分析】利用投影向量公式进行计算

.【详解】由题意得：a在b上的投影向量的坐标为()()()()0,51,21,22,4145abbbb==+的故答案为：()2,415.写出一个同时具有下列性质①②的复数z=____________

__.①z的实部小于0；②410z+=.【答案】22i22−+【解析】【分析】设izab=+，根据题目求出满足条件的,ab，即可得出答案.【详解】设izab=+，因为z的实部小于0，即0a，22i22z=−+，则4224222222iii1222222z=−

+=−+−+=−所以满足题意.故答案为：22i22−+，答案不唯一.16.已知菱形ABCD的边长为2，60DAB=.将ABD△沿BD折起，使得点A至点P的位置，得到四面体PBCD−.当二面角PBDC−−的大小为120°时，四面体PBCD−

的体积为___________；当四面体PBCD−的体积为1时，以P为球心，PB的长为半径的球面被平面BCD所截得的曲线在BCD△内部的长为_______________.【答案】①.32##132②.π【解析】【分析】画出图形，求出四面体PBCD−的高，从而求出四面体PBCD−的

体积；通过分析得到3PF=，22330OFOPPF=−=−=，即O，F两点重合，画出图形，得到落在BCD△内部的长为半径为1的圆周长的一半，从而求出答案.【详解】如图1，过点P作PF⊥CO交CO的延长线于点F，则∠POF=60°，因为菱形ABCD的边长为2，6

0DAB=，所以3PO=，3sin602PFPO==，故四面体PBCD−的体积为111332333222DBCSPF==；当四面体PBCD−的体积为1时，此时111231332DBCSPFPF==，解得：3PF=，22330OFOPPF

=−=−=，即O，F两点重合，即PO⊥底面BCD，如图2，以P为球心，2PB=的长为半径的球面被平面BCD所截得的曲线为以O为圆心，半径为221PBPO−=的圆，落在BCD△内部的长为圆周长的一半，所以长度为12π1π2=.故答案为：32，π四、解答题：本题共

6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()3sin5+=−，0,2，,2.（1）若12cos13b=-，求sin；（2）若()2sin3

−=−，求tantan.【答案】（1）5665；（2）19−.【解析】【分析】（1）已知+和三角函数值，求解三角函数值，只需配凑角=+（）-，然后利用两角差的正弦公式展开即可.（2）将()sin+和()sin−展开，联立方程可求得sincos和co

ssin的值，两式比值即为所求.【小问1详解】因为12cos13b=-，,2，所以25sin1cos13=−=.所以sinsin[()]=+−sin()coscos()sin

=+−+31245()()513513=-?--?=5665.【小问2详解】因为()3sinsincoscossin5+=+=−，()2sinsincoscossin3−=−=

−，两式相加可得，19sincos30=−，1cossin30=，所以，tansincos=19tansincos=−.18.立德中学高一年级800名学生参加某项测试，测试成绩均在65分到145分之间，现随机抽取50名学生的测试成绩，分8组：第1组)65,75

，第2组)75,85，L，第8组135,145，统计得到频率分布直方图，如图所示.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计学生测试成绩的平均数；（3）估计学生测试成绩的中位数.【答案】（1）0.034a=；（2）100.8；（3

）100.29.【解析】【分析】()1利用频率之和为1，求出a的值；()2根据频率分布图平均数的运算规则计算即可；()3根据中位数的定义计算即可.【小问1详解】解：由题意可得，()0.0040.0120.0160.0200.0060.0040.004101a+++++++=，解得0.03

4a=【小问2详解】学生测试成绩的平均数为：0.00410700.01210800.01610900.034101000.02010110+++++0.006101200.004101300.004101401

00.8++=【小问3详解】设中位数为x，则：()0.004100.012100.01610950.0340.5x+++−=，解得100.29x的19.已知向量()2cos,sin2sinaxx=+，

()2sin,cos2cosbxx=−+.（1）若ab∥，求()cosx+；（2）若4=，函数()()0,fxabx=，求()fx的值域.【答案】（1）22；（2）80,3.【解析】【分析】()1根据向量共线定理的坐标形式建

立方程即可求得结果；()2利用换元法转化成一元二次函数，即可求得结果.【小问1详解】解：向量()2cos,sin2sinaxx=+，()2sin,cos2cosbxx=−+，ab∥，()()2coscos2cos2sinsin2sinxxxx−+=+即()()2222coscossi

nsin2sincosxxxx−=+，()2cos1x+=，()2cos2x+=.【小问2详解】4=，()2cos,sin1axx=+，()2sin,cos1bxx=−+()()()4sincossin1cos1fxabxxxx==++−+

()3sincossincos1xxxx=+−+()()235sincossincos22xxxx=−−+−+，设sincostxx=−，则2sin4tx=−，0,x，1,2t−，设()23522gttt=−++，1,2t

−，由二次函数性质可得：()max1833gtg==，()()min10gtg=−=.故()fx的值域为80,3.20.甲、乙两人分别对A，B两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影响.已知甲击中A，B的概率均为12，乙击中A，B的概率分

别为13，25.（1）求A被击毁的概率；（2）求恰有1个目标被击毁的概率.【答案】（1）16（2）310【解析】【分析】（1）求出甲、乙两人均要击中目标的概率，即为A被击毁的概率；（2）求出A被击毁，B不被击毁的概率，再求出B被击毁，A不被击毁的概率，相加后得到恰

有1个目标被击毁的概率.【小问1详解】A被击毁则甲、乙两人均要击中目标，故概率为111236=，小问2详解】B被击毁的概率为121255=，则A被击毁，B不被击毁的概率为11216515−=

，B被击毁，A不被击毁的概率为1111566−=，则恰有1个目标被击毁的概率为21315610+=【21.在四边形ABCD中，ABCDAB=.（1）若π3ABC=，2AB=，1CD=，求四边形ABCD面积的最小值

；（2）若四边形ABCD的外接圆半径为1，π0,3ABC，求pABBCCDDA=的最大值.【答案】（1）334；（2）94.【解析】【分析】()1延长AD，BC相较于点E，结合题意可知EAB是边长为2的正三角形，进而利用余弦定理即三角

形面积，基本不等式即可求得结果；()2由四边形ABCD存在外接圆，进而得出四边形ABCD为等腰梯形，连接AC，设ABC=，BACx=，利用正弦定理，表示AB，BC，CD，进而利用基本不等式得出结果.【小问1详解】解：延长AD，BC相较于点E，如图所示：π

3ABCDAB==，2AB=，EAB是边长为2的正三角形，EAB的面积为23234=.在ECD中，π3CED=，1CD=，由余弦定理得，2222cosCDCEDECEDECED=+−，即2

212CEDECEDECEDECEDECEDE=+−−=，则1CEDE，（当且仅当1CEDE==时，等号成立）ECD的面积13sin24SCEDECED=,ECD的面积的最大值为34，四边形ABCD面

积的最小值为333344−=.【小问2详解】四边形ABCD存在外接圆，πDABDCB+=，ABCDAB=，πABCDCB+=.//ABCD，四边形ABCD为等腰梯形.连接AC，设ABC=，BACx=，0x

，如图所示：ABC的外接圆半径为1，在ABC中，由正弦定理得，()2sinπsinABBCxx==−−，()2sinABx=+，2sinBCx=.同理可得，在ACD△中，由正弦定理可得，()2sinCDx=−，()2sinCDx=−，()()216sinsinsinpA

BBCCDDAxxx==+−()()216sinsincoscossinsincoscossinxxxxx=+−()2222216sinsincoscossinxxx=−()2222216sinsin1sincossinxxx=−−

()22216sinsinsinxx=−设2sinxt=，得()216sinptt=−，π03x，20sint，()()2224sin16sin164sin2ttptt+−=−=，（当且仅当21sin2t=时

，等号成立）π0,3，23sin4，（当且仅当π3=时，等号成立）当π3=，6sin4x=时，p取得最大值439424=.22.如图，在直四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为平行四边形，2ADBD==，12ABAA==.（1）

证明：BD⊥平面11ADDA；（2）若点P在棱CD上，直线1BD与平面1PAA所成角的大小为.①画出平面1PAA与平面11BBDD的交线，并写出画图步骤；②求sin的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）①作图见解析；②33【解析】【分析】（1）证明BDAD⊥，1BDDD⊥

即可；（2）①：根据面面平行的性质，过P作11PQCD⊥于Q，连接1AQ，AP分别交11,BDBD于,MN，连接MN分析即可；②：过1B作11BHAQ⊥于H，连接OH可得直线1BD与平面1PAA所成角为1BOH，再根据正弦值的大小关系

分析可得当P与D重合时，取得最大值11BDD求解即可【小问1详解】因为2ADBD==，12ABAA==，故222ADBDAB+=，所以BDAD⊥.又直四棱柱1111ABCDABCD−，故1DD⊥平面ABCD，又BD平面ABCD，故1DDBD⊥，又1=DDADD，1,DDAD平面11A

DDA，故BD⊥平面11ADDA【小问2详解】①过P作11PQCD⊥于Q，连接1AQ，AP分别交11,BDBD于,MN，连接MN，则直线MN为平面1PAA与平面11BBDD的交线.②由①，因为11ABD

P∥，故11,,ABDP,四点共面，设11APBDO=I，则直线ON为平面1PAA与平面1BBD的交线，故,,MON三点共线.过1B作11BHAQ⊥于H，连接OH，又11BHDD⊥，且根据线面平行的性质可得1MNDD∥，故MN⊥平面1111DCBA，所以1BHMN⊥，又1AQMNM=I

，1BH⊥平面1APQA.故直线1BD与平面1PAA所成角为1BOH.当,MH不重合，即P与D不重合时，易得1111111sinsinsinBHBMBOMBDDBOBO===，又11,BDD均为锐角，故11BDD.当,M

H重合时，有P与D重合，此时由（1）BD⊥平面11ADDA，故11BD⊥平面11ADDA，故11BDD为1BD与平面11ADDA所成角.故当P与D重合时，取得最大值11BDD，此时112123sin322BDBD===

+，故sin的最大值为33获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com