【文档说明】北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(13)页，601.938 KB，由小赞的店铺上传

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牛栏山一中2023—2024学年度第一学期期中考试数学试卷（120分钟）2023.11第一部分（填空题共65分）一、填空题共15小题，其中1-10题，每小题4分，11-15题，每小题5分，共65分，把答案填在答题卡相应位置上．1已知全集1,2,3,4U=，集合1,4A=，则UA=ð___

___．【答案】2,3【解析】【分析】利用补集的定义直接求解.【详解】全集1,2,3,4U=，集合1,4A=，则2,3UA=ð.故答案为：2,3.2.已知集合1Axx=，Bxxa=，且AB=R，则a的取值范围为______．【答案】(

)1,+【解析】【分析】根据并集的运算性质，即可求解.【详解】因为AB=R，所以1a.故答案为：()1,+.3.“,||0xRx”的否定是____________.【答案】,0xRx【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题解答即可.【详解】由题意命题“,|

|0xRx”是全称命题，故它的否定是：,0xRx.故答案为：,0xRx..【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定，属于基础题.4.函数()11fxxx=++的定义域为_________

_____.【答案】)()1,00,−+【解析】【分析】由被开方数非负和分母不等式0得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得100xx+，解得1x−且0x，故()11fxxx=++的定义域为)()1,00,−+.故

答案为：)()1,00,−+5.已知函数()2,0,0xxfxxx=−，则()()1ff−=______．【答案】1【解析】【分析】根据函数()fx的解析式由内而外逐层计算可得出()()1ff−的值.【详解】因为()2,0,0xxf

xxx=−，则()11f−=，故()()()21111fff−===.故答案为：1.6.若11223xx−−=，则1xx−+=______．【答案】11【解析】【分析】根据指数的运算性质计算即可.【详解】由

11223xx−−=，两边同时平方可得129xx−+−=，所以111xx−+=.故答案为：117.关于x的方程422xx−=的解为______．【答案】1x=【解析】【分析】由422xx−=可得出()()21220xx+−=，结合20x可求得x的值.【详解】由42

2xx−=可得()22220xx−−=，即()()21220xx+−=，因为20x，可得22x=，故1x=.所以，方程关于x的方程422xx−=的解为1x=.故答案为：1x=.8.若不等式20xaxb++的解集为|2xx或3x

，则ab+=______．【答案】1【解析】【分析】由题意可知：2，3是方程20xaxb++=的两根，利用韦达定理运算求解.【详解】由题意可知：2，3是方程20xaxb++=的两根，则2323ab−=+=，可得56ab=−=，所以1a

b+=.故答案为：1.9.写出21a成立的一个充分不必要条件______．【答案】1a（答案不唯一）【解析】【分析】解不等式21a，结合集合的包含关系可得出结果.【详解】解不等式21a可得1a−或1a，因为1aa1aa−或1a，故21a成立的一个充分不必要条

件为1a.故答案为：1a（答案不唯一）.10.不等式()2660xxx−+的解集为______．【答案】()(),033,33−−+U【解析】【分析】根据题意分析可得20660xxx−+或20660xxx−+

，结合一元二次不等式分析求解.【详解】由题意可知：20660xxx−+或20660xxx−+，解得3333x−+或0x，所以不等式的解集为()(),033,33−−+U.故答案为：()(),033,33−−+U.11.不等式21xx−+的解集

为______．【答案】(,0)−【解析】【分析】根据一次函数及指数函数的性质求解.【详解】当0x时，0x−，则0221x−=，而11x+，满足21xx−+；当0x=时，则0221x−==，而11x+=，则21x

x−=+；当0x时，0x−，则0221x−=，而11x+，则21xx−+，综上，不等式21xx−+的解集为(,0)−.故答案为：(,0)−.12.已知二次函数()2fxaxbx=+，且()()()1212fxfxxx=，则()12fxx+

=______．【答案】0【解析】【分析】当120xx+=时，()()1200+==fxxf，当120xx+时，()()()121112220−+=+−=xxfxxxxfxfx，可知()120fxx+=.【详解】已知二次函数()2fxaxbx=+，且()()(

)1212fxfxxx=，当120xx+=时，()()1200+==fxxf，当120xx+时，由()()()1212fxfxxx=，()()()()()222211221212120+−+=−−==−+axafbxxbxaxxfxxxb

x()()()212121212121212−−+++=+++xxxxaxxbxxfxxxxxx，120xx−，故()120fxx+=.故答案为：013.已知a，b为正实数，且满足2ab=，则14ab+的最

小值为______，此时ab+=______．【答案】①.22②.522##522【解析】【分析】利用基本不等式求解即可．【详解】1414422222abab+==，当且仅当14ab=且2ab=，即2,222ab==时取

等号，则14ab+的最小值为22，此时2522222ab==++.故答案为：22，522.14.若函数()max,6Mxxx=+，则()Mx的最小值为______，此时x=______．【答案】①.3②.3−【解析】【分析】作出函数()Mx的图

象，可得出函数()Mx的最小值及其对应的x的值.【详解】由6xx+可得221236xxx++，解得3x−，由6xx+可得221236xxx++，解得3x−，故(),3max,66,3xxMxx

xxx−=+=+−，作出函数()Mx的图象如下图中的实线部分所示：由图可知，当3x=−时，函数()Mx取最小值3.故答案为：3；3−.15.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、

65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付____

______元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．【答案】①.130.②.15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可

得x的最大值.【详解】(1)10x=,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+−=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,120y元时,李明得到的金额为80%y,符合要求.120y元时,有()

80%70%yxy−恒成立,即()87,8yyxyx−,即min158yx=元.所以x的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生

活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.第二部分（简答题共85分）二、解答题共6道题，共85分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．16.已知函数()()22,12,1xxfxxx−=−

.（1）在直角坐标系xOy下，画出函数()fx的草图（用铅笔作图）；（2）写出函数()fx的单调区间；（3）若关于x方程()fxk=有3个解，求k取值范围（直接写出答案即可）．【答案】（1）作图见解析（2）减区间为(),1−、()1,2，增区间为()2,+

.（3）1,12【解析】的【分析】（1）根据函数解析式直接作出函数()fx的图象；（2）根据函数()fx的图象可得出函数()fx的增区间和减区间；（3）分析可知，直线yk=与函数()fx的图象有三个公共点，数形结合可得出实数k的取值范围.【小问1详解】解：作出

函数()()22,12,1xxfxxx−=−的图象如下图所示：【小问2详解】解：由图可知，函数()fx的减区间为(),1−、()1,2，增区间为()2,+.【小问3详解】解：如下图所示：当112k时，直线yk=与函

数()fx的图象由三个公共点，此时，方程关于x方程()fxk=有3个解，故实数k的取值范围是1,12.17.已知函数()4fxxx=+．（1）利用函数的单调性定义证明函数()fx在()2,+上单调递增；（2）比较4faa+，()141faaa+

的大小．【答案】（1）证明见解析（2）414++fafaaa【解析】【分析】（1）由定义法证明函数的单调性；（2）通过单调性比较函数值的大小.【小问1详解】函数()4fxxx

=+，任取122xx，()()()()121212121212121244444−−=+−+=−+−=−xxfxfxxxxxxxxxxxxx，由122xx，124xx，

120xx−，()()120fxfx−，即()()12fxfx，所以函数()fx在()2,+上单调递增.小问2详解】1a，则4424aaaa+=，当且仅当4aa=，即2a=时等号成立，()23114

343−+−+=−=aaaaaaaa，由1a，有210a−，则1440+−+aaaa，1444++aaaa，函数()fx在()2,+上单调递增，所以414++fafaaa.18.已知函数()(

)21fxxxaa=+−+R．【（1）当0a=时，求()fx的最小值；（2）若函数()fx是偶函数，求a值；（3）证明函数()fx不是奇函数．【答案】（1）1（2）0（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用二次函数的性质求解；（2）利用偶函数的定义求解；（3）利用奇函数的定义判断.【小问1

详解】当0a=时，()222411132fxxxxxx=++=++=++，∵0x，∴当0x=，即0x=时，min()1fx=.【小问2详解】若函数()fx是偶函数，则()()fxfx−=，∴()22

11xxaxxa−+−−+=+−+，∴xaxa+=−，即()()22xaxa+=−，得40ax=，则0a=.【小问3详解】函数()()21fxxxaa=+−+R的定义域为R，∵()21faa=+，2()21faaa−=++，∴()2213()2222022faafaaa

−+=++=++，即()()afaf−−，∴函数()fx不是奇函数.19.已知函数()22xxfx−=−．（1）判断函数的单调性与奇偶性，直接写出答案；（2）若120xx+=，求()()1

2fxfx+；（3）若120xx+，判断()()12fxfx+的符号并证明．【答案】（1）函数()22xxfx−=−在R上为增函数，且为奇函数（2）()()120fxfx+=（3）()()120fxfx+，证明见

解析【解析】【分析】（1）根据指数型函数的单调性与函数奇偶性的定义直接判断可得出结论，然后结合单调性和奇偶性的定义证明即可；（2）利用奇函数的性质可得出()()12fxfx+的值；（3）判断出()()120fxfx+，由120xx+可得出

12xx−，利用函数()fx的单调性及奇函数的性质可证得结论成立.【小问1详解】解：函数()22xxfx−=−在R上为增函数，且为奇函数，理由如下：任取1x、2xR，且12xx，则2122xx，所以，12220xx−，121102

xx++，则()()()1212122112111122222222xxxxxxxxfxfx−=−−−=−+−()()121212121222122221022xxx

xxxxxxx++−=−+=−+，所以，函数()22xxfx−=−在R上为增函数，对任意的xR，()()22xxfxfx−−=−=−，故()fx为奇函数.【小问2详解】解：因为120xx+=，则21xx=−，又因为函数()fx为R上的奇函数，故()()(

)()()()1211110fxfxfxfxfxfx+=+−=−=.【小问3详解】解：()()120fxfx+，证明如下：因为120xx+，则12xx−，又因为函数()22xxfx−=−在R上为增函数，且为奇函数，则()()()122fxfxfx−=−，所以，()()12

0fxfx+.20.已知参数k为非零实数，记11xxyy==与22xxyy==为关于x，y的方程组()222,1142ykxyx=++=的两组不同实数解；记33xxyy==与44xxyy==为关于x

，y的方程组()223,1142ykxyx=−++=的两组不同实数解．（1）求证：122881kxxk+=−+，122281xxk=−+；（2）求3412123432xxxxxxxx+++的值；（3）求322314414123xyxy

xyxyyyyy−−+−−的值．【答案】（1）证明见解析；（2）0；（3）0.【解析】【分析】（1）由给定方程组消去y，再利用韦达定理列式即得.（2）由（1）结论，求出3434,xxxx+，再代入计算即得.（3）由1234,,,xxxx表示给定式子，再结合（1）（2）的信息计算即得.【小问

1详解】由()2221142ykxyx=++=消去y并整理得：22(81)820kxkx++−=，显然12,xx是此一元二次方程的两个根，所以：122881kxxk+=−+，122281xxk=−+.【小问2详解】由()2231142ykxyx=−++=

消去y并整理得：22(181)1220kxkx+−−=，显然34,xx是此一元二次方程的两个根，的于是34212181kxxk+=+，3422181xxk=−+，由（1）知122881kxxk+=−+，122281xxk=−+，所以2234121234222223321181

18108122281181xxxxkkkkxxxxkkkk−−+++=+=−=++−++.【小问3详解】由（1）（2）知12122282,8181kxxxxkk+=−=−++，422343122,181181kxxxxkk+==−++，所以322332231

44114414123412323323223xyxykxxkxxxyxykxxkxxyyyykxkxkxkx−+−−−+=+−−−−+23142323141414231423523)25()5235323(2)()3(23xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx++=++=++++21234

22221423124334110()15()0(2122810)15()()8()11811818123)(23(23)(23)kkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxx−+−−+=+++++++++==+.21.已知()1,2,,3nSnn=，()12,,,2kAaaa

k=L是nS的子集，定义集合*,ijijijAaaaaAaa=−且，若*nAnS=，则称集合A是nS的恰当子集．用X表示有限集合X的元素个数．（1）若5n=，1,2,3,5A=，求*A并判断集合A是否为5S的恰当子集；（2）已知()1,,,7Aabab=

是7S的恰当子集，求a，b的值并说明理由；（3）若存在A是nS的恰当子集，并且5A=，求n的最大值．【答案】（1）*1,2,3,4A=，集合A是5S的恰当子集；（2）2a=，5b=或3a=，6b=.（3

）10【解析】【分析】（1）由定义求*A并判断集合A是否为5S的恰当子集；（2）已知()1,,,7Aabab=是7S的恰当子集，则有*1,2,3,4,5,6A=，列方程求a，b的值并检验；（

3）证明10n=时，存在A是10S的恰当子集；当11n=时，不存在A是11S的恰当子集，【小问1详解】若5n=，有51,2,3,4,5S=，由1,2,3,5A=，则*1,2,3,4A=，满足5

*5AS=，集合A是5S的恰当子集；【小问2详解】()1,,,7Aabab=是7S恰当子集，则*1,2,3,4,5,6A=，*716A−=，由*5A则75a−=或15b−=，75a−=时，2a=，此时5b=，1,2,5,7A=，满足题意；15b

−=时，6b=，此时3a=，1,3,6,7A=，满足题意；2a=，5b=或3a=，6b=.【小问3详解】若存在A是nS的恰当子集，并且5A=，当10n=时，1,2,3,7,10A=，有*1,2,3,4,5,6,7,8,9A

=，满足0*110AS=，所以1,2,3,7,10A=是10S的恰当子集，当11n=时，若存在A是11S的恰当子集，并且5A=，则需满足*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A=，由*10A，则有1A且11A；由*9A，则有2A或10A，2A

时，设()1,2,,,11310Aabab=，经检验没有这样的,ab满足*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A=；当10A时，设()1,,,10,1129Aabab=，经检验没有这样的,ab满足*1,2,

3,4,5,6,7,8,9,10A=；，因此不存在A是11S的恰当子集，并且5A=，所以存在A是nS的恰当子集，并且5A=，n的最大值为10.的