【文档说明】山东省滨州市惠民县2022-2023学年高三上学期期末数学试题 含解析.docx，共(25)页，4.956 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-7a6d874e7e2f9f6eaaf43db7a172ec24.html

以下为本文档部分文字说明：

高三数学试题2023.1本试卷共4页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1,4,Ax=，21,Bx=，且ABB=，则x的所有取值组成的集合为（）A.2,

0−B.0,2C.2,2−D.{}2,0,2-【答案】D【解析】【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解.【详解】因为ABB=，所以BA，所以2xA，若24x=，则2x=或2x=−，经检验均满足题意，若2xx=，则0x=或1x

=，经检验0x=满足题意，1x=与互异性矛盾，综上x的所有取值为：2−，0,2，故选:D.2.已知()1i3iz+=−，其中i为虚数单位，则z=（）A.5B.5C.2D.2【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算，化简求复数z的代数形式，再利用复数模的计算公式，即可求

解．【详解】由复数z满足()1i3iz+=−，则3i(3i)(1i)24i12i1i(1i)(1i)2z−−−−====−++−，则()22125z=+−=，故选：B．3.若“12x”是“不等式2()1xa−成立”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A.)1,2B.(1,2

C.1,2D.()1,2【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：由2()1xa−得11axa−+，12xQ是不等式2()1xa−成立的充分不必要条件，满足1112aa−+，且等号不能同时取得，即21aa

，解得12a，故选：C．4.在四边形ABCD中,ABCD∥,4ABCD=,点E在线段CB上,且3CEEB=,设ABa=,ADb=,则AE=（）A.5182ab+B.5142ab+C.131164ab+D.13184ab+【答案】C【解析】【分析】画出

图象,根据向量加减法则及向量共线定理即可得出结果.【详解】解:由题知,ABCD∥,4ABCD=，画出示意图如下:因为3CEEB=,ABa=,ADb=,所以AEABBE=+14ABBC=+()14ABBAADDC=+++311444ABAD

DC=++3114416ABADAB=++131164ABAD=+131164ab=+.故选:C5.设a，b为正数，若圆224210xyxy++−+=关于直线10axby−+=对称，则2abab+的最小值为（）A

.9B.8C.6D.10【答案】A【解析】【分析】求出圆的圆心坐标，得到,ab的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．【详解】解：圆224210xyxy++−+=，即()()22214xy++−=，所以圆心为(2,

1)−，所以210ab−−+=，即21ab+=，因为0a、0b，则22222(2)(2)22522259ababababababababababab++++++===…，当且仅当13ba==时，取等号．故选：A．6.甲、乙为完全相同的两个不透明袋子，袋内均装有除颜色外完全相同的球．甲袋中

装有5个白球，7个红球，乙袋中装有4个白球，2个红球．从两个袋中随机抽取一袋，然后从所抽取的袋中随机摸出1球，则摸出的球是红球的概率为（）A.12B.1124C.712D.13【答案】B【解析】【分析】判断摸出的球是红球的事件为全概率事件，则只需讨论摸出的红球是甲袋还是

乙袋两种情况，再分别求出其概率，即可得出结论.【详解】设事件A为“取出甲袋”,事件B为“取出红球”,分两种情况进行讨论.若取出的是甲袋,则1()()PPAPBA=,依题意可得17(),()212PAPBA==,所以1177()()21224PPAPBA===，若取出的

是乙袋,则2()()PPAPBA=,依题意可得1()2PA=,1()3PBA=，所以2111()()236PPAPBA===，综上所述,摸出球是红球的概率为121124PPP=+=.故选：B.7.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A

.∥，m∥，则m∥B.m，n，m∥，n∥，则∥C.l=，m，ml⊥，则m⊥D.m⊥，mn∥，∥，则n⊥【答案】D【解析】【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，性质定理、线面垂

直的性质定理判断即可.【详解】对于A，∥，m∥，则m∥或m，A错误；对于B，若m，n，m∥，n∥，则∥或,相交，只有加上条件,mn相交，结论才成立，B错误；对于C，l=，m，ml⊥无法得到m⊥，只有加上条件

⊥才能得出结论，C错误；对于D，m⊥，mn∥，则n⊥，又因为∥，所以n⊥，D正确.故选:D.8.某钟表的秒针端点A到表盘中心O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间0=t时，点A与表盘的上标“12”处的点B重合．在秒针正常旋转过程中，A，B两点的距离d（单位：

cm）关于时间t（单位：s）的函数解析式为（）A.π10sin(0)60dtt=B.π10cos(0)60dtt=C.()π10sin,12060120,N60π10sin,601201201,N60tktkkdtktkk+=−++D.π10cos,1203

0120,N60π10cos,3012090120,N60tktkkdtktkk+=−++【答案】C【解析】【分析】由条件分析函数性质，由此判断正确选项.【详解】由已知函数()dt的定义域为)0,+，周期为60s，且()

30st=时，()10cmd=，对于选项A，函数π10sin(0)60dtt=周期为()2π120sπ60=，A错误；对于选项B，函数π10cos(0)60dtt=周期为()2π120sπ60=，B错误；对于选项D，当

30t=时，0d=，D错误；对于选项C，()2ππ25sin10sin26060dttt==｜｜｜｜，所以函数()π10sin,12060120,N60π10sin,601201201,N60tktk

kdtktkk+=−++，故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为X，Y）均

服从正态分布，()211,:XN，的()222,:YN，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（）参考数据：若()2,ZN，则()0.6827PZ−+≤≤，()220.9545PZ−+≤≤．A.()111120.8186

PX−+B.对于任意的正数t，有()()PXtPYt≤≤C.()()12PYPYD.()()12PXPX【答案】ABD【解析】【分析】抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可．【详解】解：

对于A：()11112PX−+()()111111111222PXPX=−++−+1(0.68270.9545)0.81862+=，故A正确；对于B：对于任意的正数t，由图象知()PXt表示的面积始终大于

()PYt表示的面积，所以()()PXtPYt，故B正确，对于C：由正态分布密度曲线，可知12，所以21()()PYPY<≥≥，故C错误；对于D：由正态分布密度曲线，可知12，所以21()()PXPX>≤≤，故D正确；故选

：ABD．参考数据：若()2,ZN，则()0.6827PZ−+剟，()220.9545PZ−+剟．10.已知函数()()sin(0,0,0)fxAxA=+的部分图象如图所示，则下列关于函数()()2gxfx=的结论中，正确的是（）A.

()gx的最小正周期为2B.()gx的单调递增区间为()511,,242242kkk++ZC.当,06x−时，()gx的最大值为1D.()gx在区间0,2上有且仅有7个零点【答案】BC【解析】【分析】根据图

像求出函数()fx的解析式，从而可得三角函数()gx的解析式，根据三角函数的性质对各个选项逐一验证即可.【详解】由题可知1A=，22,,22362TTT=−====，()sin(2)=+fxx，sin0

63f=+=，即222,33kkk+=+=+Z，0，23=，故2()sin(2)3fxx=+，()()2gxfx=，()2sin(4)3gxx+=，()gx的最小正周期为242T==，故A错误；()2724

2232242242kkkxkxk−+++−+−+Z，即()511242242kkxk++Z，故B正确；22,040,633xx−+，当2432x+=时，max()1gx=，故C

正确；22,040,633xx−+，当2432x+=时，max()1gx=，故C正确；令()24,364kxkxk+==−+Z，0,2x，零点可取值为：当1k=时，12x=；当2k=时，3x=；当3k=时，712x=；当4k

=时，56x=；当5k=时，1312x=；当6k=时，43x=；当7k=时，1912x=；当8k=时，116x=，符合题意；当9k=时，25212x=，不符合题意；故()gx在区间0,2上有且仅有

8个零点，故D错误；故选：BC.11.已知数列na的前n项和为nS，若23a=，12nnSSn+=+，则下列结论正确的是（）A.1nnaS+B.1na+是等比数列C.2nnS是单调递增数列D.2

nnSa【答案】AC【解析】【分析】由已知得出1nnaSn+=+，可判断A选项的正误；利用等比数列的定义可判断B选项的正误；利用数列的单调性可判断C选项的正误；利用作差法可判断D选项的正误.【详解】对

于A选项，由12nnSSn+=+得1nnaSn+=+，故1nnaS+，A正确；对于B选项，将12nnSSn+=+，()1212nnSSnn−=+−两式相减得121nnaa+=+，即()1121nnaa++=+()2n，又令1n=，得21111213212SSaa

a=++=+=，()21121aa++，所以1na+从第二项开始成等比数列，公比为2，故2n时，()221212nnnaa−+=+=，即21nna=−，所以，2,121,2nnnan==−

，故B选项错误；对于C选项，因为2,121,2nnnan==−.当1n=时，12S=，当2n时，()()()()2312122222112112nnnnSnnn+−=++++−−=−−=−−

−.所以，12,121,2nnnSnn+==−−，令1,1122,22nnnnnScnn===+−，则2n时，1111211222022222nnnnnnnnnnnncc++++++++−=−−−=−=，即1

nncc+，而2154cc=，所以数列nc单调递增，C选项正确；对于D选项，当2n时，()112212211nnnnSann++−=−−−−=−−，112Sa显然成立，故2nnSa恒成立，D选项错误.故选：AC.12.设点A，1F，2F的坐标分别为()1,1−，(

)1,0−，()1,0，动点P满足124PFPF+=，则下列说法正确的是（）A.点P的轨迹方程为22143xy+=B.25PAPF+C.11PAPF+D.有且仅有3个点P，使得2PAF△的面积为32【答案】ACD【解析】【分析】A选项，由题易得点P的轨迹方程为22143xy+=；B

选项，211445PAPFPAPFAF+=+−+=，可取等号；C选项，12244451PAPFPAPFAF+=+−−=−；D选项，利用三角形的面积公式转化为直线与椭圆的公共点个数问题，联立方程即可判断.【详解】由题知，点P的

轨迹是2a=，1c=，焦点在x轴上的椭圆，则3b=，椭圆方程为22143xy+=，故A选项正确；对于B选项，211445PAPFPAPFAF+=+−+=，当点P为F1A的延长线与椭圆的交点时，等号成立，故B选项错误；

对于C选项，124PAPFPAPF+=+−，因为22|||||AF|PAPF−，所以222||||||AFPAPFAF−−，所以12244451PAPFPAPFAF+=+−−=−当点P为AF2的延长线与椭圆的交点时，等号成立，1PAPF+取最小值45−，故C选项正确；对于D选

项，设使得2PAF△的面积为32的P点坐标为00(,)xy，由2,AF坐标知，25=AF，直线2AF的方程为210xy+−=，则0021135225xy+−=，解得00240xy+−=或00220xy++=，联立

002200240143xyxy+−=+=，化简得20041290yy−+=，则Δ0=，因此存在一个交点；同理可得直线00220xy++=与椭圆有两个交点；综上，有且仅有3个点P，使得2PAF△的面积为32，故D选项正确

；故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知双曲线2222xyab−＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为________.【答案】2219

16xy−=【解析】【分析】圆的半径就是c，再由点(3,4)在渐近线上可得34ba=，这样可求得,ab，得双曲线方程．【详解】由题意知，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y＝bax上，因此有222543abba+==，解得34ab==所

以此双曲线的方程为221916xy−=．故答案为：221916xy−=．【点睛】本题考查求双曲线的标准方程，寻找两个等式是必由之路．本题中两个已知条件：圆的半径等于双曲线的半焦距，点(3,4)在渐近线上．联立后可解得,ab得双曲线方程．14.

“中国天眼”（如图1）是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是R，球冠的高度是h

，则球冠的面积2πSRh=）．已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为_________米．（参考数值410.52π−）【答案】130【解析】【分析】由()222250RhR−+=，结

合2πSRh=求解.【详解】由题意得：()222250RhR−+=，则222250Rhh=+，则222ππ250π250000Rhh=+=，所以222250000250π42501πh−==−，所以425012500.52130πh=−=，故答案为：130.15.10名同学进行队

列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有______种【答案】420【解析】【分析】先从7个人中选2人调整到前排，再把2人在5个位置选2个进行排列，按照乘法计

数原理计算即可.【详解】先从7个人中选2人调整到前排有27C种选法，调整后前排有5个人，把2人在5个位置选2个进行排列由25A种站法，其他3人的相对顺序不变站到剩余3个位置，按照乘法计数原理得总共有2275CA420=种方法.故答案为：42016.已知函数()()

e,02e1,0xxkkxxfxxx−−+=+（e为自然对数的底数），若关于x的方程()()fxfx−=−有且仅有四个不同的解，则实数k的取值范围是_________．【答案】()2e,+【解析】【分析】设()()()Fxfxfx=+−，由题可得当0x时，()Fx

有两个零点，进而可得2e2xxkxk=−有两个正数解，令()()2e0xgxxx=，考查直线2ykxk=−与曲线()()2e0xgxxx=相切时k的值，数形结合可得出实数k的取值范围.【详解】令()()()Fxfxfx=+−，可得()()()()

FxfxfxFx−=−+=，所以函数()Fx为偶函数，因为()010f=，则()()0200Ff=，所以，当0x时，函数()Fx有两个零点，且当0x时，0x−，可得()()1eee22xxxkkFxxkxxkx=+−−+=−+

，令()0Fx=，可得22exkxkx−=，令()2exgxx=，其中0x，则()()21e0xgxx=+，故函数()gx在()0,+上为增函数，下面考查直线2ykxk=−与函数()gx图象相切的情形：设直线2ykxk=−与函数()gx

的图象相切于点()(),tgt，其中0t，函数()gx的图象在xt=处的切线斜率为()21ett+，故曲线()ygx=在点()(),tgt的切线的方程为()()2e21ettyttxt−=+−，的即()221e2ettytxt=+−，由题意可得()2221e2e0ttktk

tt=+−=−，解得1t=，2ek=，结合图形可知，当2ek时，直线2ykxk=−与曲线()ygx=在()0,+上图象有两个交点，即此时函数()Fx在()0,+上有两个零点，因此，实数k的取值范围是()2e,+.故答

案为：()2e,+.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具

作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0fx=分离变量得出()agx=，将问题等价转化为直线ya

=与函数()ygx=的图象的交点问题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sin3cosbaCcA−=．（1）求C；（2）若3c=，ACB的平分

线CD交AB于点D，且2CD=．求ABC的面积．【答案】（1）π3C=（2）332的【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得；（2）依题意得π6ACDBCD==，由A

BCACDBCDSSS=+△△△，可得()32abab=+，再由余弦定理得到29()3abab=+−，即可求出ab，最后根据面积公式计算可得.【小问1详解】解：因为3sin3cosbaCcA−=，由正弦定理得3sinsinsin3sinc

osBACCA−=，即()3sinsinsin3sincosACACCA+−=，即3sincos3cossinsinsin3sincosACACACCA+−=整理得3sincossinsinACAC=，因为sin0A，所以tan3C=，又()0,πC，所以π3C=．【小问2详解】解：由

题意，得π6ACDBCD==，又ABCACDBCDSSS=+△△△，所以1π1π1πsin2sin2sin232626abba=+，即()32abab=+，由余弦定理得22π92cos3abab=+−，即29()3abab=+−，于是23932a

bab=−，解得6ab=或2ab=−（舍），所以133sin22ABCSabC==．18.设公差不为0的等差数列na的前n项和为nS，若39S=，且2a，5a，14a成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）求满足条件()*231

111013111,22023nnnSSS−−−N的正整数n的最大值．【答案】（1）()*21nann=−N（2）674【解析】【分析】（1）设等差数列na的首项为1a，公差为()0dd，然后根据题意列方程组

可求出1,ad，从而可求出通项公式；（2）由（1）得2nSn=，则()()21111nnnSn−+−=，从而可求出23111111nSSS−−−，再解不等式可得结果.【小问1详解】设等差数列na的首

项为1a，公差为()0dd，因为39S=，且2a，5a，14a成等比数列，所以125214339adaaa+==，12222111138161413adaaddaadd+=++=++，即11320adda+=−=，解得11,2.ad

==所以数列na的通项公式为()*21nann=−N．【小问2详解】由（1）知21nan=−，易得()21212nnnSn+−==，则()()22221111111nnnnSnnn−+−−=−==，所以2222222311121311

11123nnSSSn−−−−−−=．()()2221113241232nnnnn−++==，因为()*231111013111,22023nnnSSS−−−

N，所以1101322023nn+，解得20233n，所以正整数n的最大值为674．19.如图1，在平面六边形ADCFBE中，四边形ABCD是边长为2正方形，ABE和BCF△均为正三角形，分别以AC，BC，AB为折痕把ADC△，BCF△，ABE折起，使点D，F，E重

合于点P，得到如图2所示的三棱锥−PABC．（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）若点M是棱PA上的一点，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角MBCA−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）31111【解析】【分析】（1）设AC的中点为O，连接OB，OP，利用线线垂直证明

OP⊥平面ABC，再根据面面垂直的判定定理即可证明平面PAC⊥平面ABC；（2）由（1）可得BMO为直线BM与平面PAC所成的角，且1tanBOBMOOMOM==，所以当OM最短时，即M为PA的中点时BMO最大，利用空

间向量法求二面角MBCA−−的余弦值即可.【小问1详解】设AC的中点为O，连接OB，OP，由题意得2PAPBPC===，1OP=，1OAOBOC===，因为在PAC△中，PAPC=，O为AC中点，所以OPAC

⊥，在POB中，1OP=，1OB=，2PB=，所以222OPOBPB+=，则OPOB⊥，因为AC平面ABC，OB平面ABC，ACOBO=，所以OP⊥平面ABC，又OP平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC．【小问2详解】由（1）知，

OBOP⊥，OBAC⊥，ACOPO=所以OB⊥平面PAC，即BMO为直线BM与平面PAC所成的角，且1tanBOBMOOMOM==，所以当OMPA⊥，即M为PA的中点时，OM最短，BMO最大，因为,,OCOBOP两两垂直，以O为原点，OC，OB，OP所在直线分别为x轴

，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O，()1,0,0C，()0,1,0B，()1,0,0A−，()0,0,1P，11,0,22M−，()1,1,0BC=−，31,0,22MC=−

,设(),,mxyz=是平面MBC的法向量，所以031022BCmxyMCmxz=−==−=，解得()1,1,3m=，因为OP⊥平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为()0,0,1n=，设二面角MBCA−−的平面角为，则311cos

cos,11mnmnmn===，所以二面角MBCA−−的余弦值为31111．20.某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖的400家企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：支持不支持合计中型企业602080小型企业180140

320合计240160400（1）依据小概率值0.005=的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关；（2）从上述支持技术改造的中小型企业中，按分层随机抽样的方法抽出12家企业，然后从这12家企业中随机选出9家进行奖

励，中型企业每家奖励60万元，小型企业每家奖励20万元．设X为所发奖励的总金额（单位：万元），求X的分布列和均值．附：()()()()22()nadbcabcdacbd−=++++，nabcd=+++．

0.010.0050.001x6.6357.87910.828【答案】（1）推断犯错误的概率不大于0.005．（2）分布列见解析，270【解析】【分析】(1)提出零假设，计算2，比较其与临界值的大小，确定是否接受假设；(2)求随机变量X的所有可能取值，确定其取各值的概率，再由期望公式求期望

即可.【小问1详解】零假设为0H：“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”无关根据列联表中的数据，计算得到22400(6014018020)9.35780320240160−==，27.8790.005P=．根据小概率值0.005=的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为“

支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．【小问2详解】由（1）可知支持节能降耗技术改造的企业中，中型企业与小型企业的数量比为1:3．所以按分层随机抽样的方法抽出的12家企业中有3家中型企业，9家小型

企业．选出的9家企业的样本点是()0,9，()1,8，()2,7，()3,6（前者为中型企业家数，后者为小型企业家数）．故X的所有可能取值为180，220，260，300．()0939912CC1180C220PX===，()1839912CC27220C220P

X===，()2739912CC10827260C22055PX====，()3639912CC8421300C22055PX====，故X的分布列为X180220260300P12202722027552155X的均值为()12727211802

202603002702202205555EX=+++=．21.已知抛物线2:4Cxy=，点M为直线1y=−上的动点（点M的横坐标不为0），过点M作C的两条切线，切点分别为,AB．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以点()0,4N为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点

，求四边形AMBN的面积．【答案】（1）证明见解析（2）66．【解析】【分析】（1）根据题意结合导数分别求点,AB处的切线，分析可得直线AB的方程为220txy−+=，即可得结果；（2）根据题意结合韦达定理求得四边形AMBN的面积()2

22164424Sttt=++++，再根据由NEAB⊥求得22t=，代入即可.【小问1详解】设()(),10Mtt−，()11,Axy，()22,Bxy，因为24xy=，则2xy=，所以11|2xxx

y==，则切线MA斜率为12x，故11112yxxt+=−，整理得11220txy−+=，同理可得22220txy−+=，故直线AB的方程为220txy−+=，所以直线AB过定点()0,1.【小问2详解】由（1）知直线AB的方程为12tyx=+，211,4xAx

，222,4xBx，由2124tyxxy=+=整理得2240xtx−−=，于是122xxt+=，124xx=−，2Δ4160t=+，则()21212222tyyxxt+=++=+，故222124

1Δ422ttABxxt+=+−==+．的设1d，2d分别为点M，N到直线AB的距离，则221222414tdtt+==++，222416414dtt−+==++，四边形AMBN的面积()()221

2211644224SABddttt=+=++++，()*设E为线段AB的中点，则22,2tEt+．由NEAB⊥，得22612ttt−=−，解得22t=，将22t=代入()*式解得66S=，故四

边形AMBN的面积为66S=．【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)面积问题常采用12S

=×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．22.已知函数()esin1xfxaxx=−+−．（1）若函数()fx在()0,+上为增函

数，求实数a的取值范围；（2）当12a时，证明：函数()()()2gxxfx=−有且仅有3个零点．【答案】（1）2a；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由()cosxfxeax=−+，根据条件即cosxaex+在()0

,x+上恒成立，设()cosxhxex=+，求出其导数，得出单调性，求出最小值，可得答案.（2）由()()2=00=0gg，，所以2x=，0x=是()()()2gxxfx=−的两个零点．因为12a，由（1）知，函数()fx在()0,+上为增函数，()()00fx

f=，无零点．所以即证函数()fx在(),0−上有且仅有1个零点，分(,πx−−和()π,0x−分别讨论即可证明.【详解】（1）因为()cosxfxeax=−+，由函数()fx在()0,+上为增函数，则cosxaex+在()0,x+上恒成立.令()co

sxhxex=+，()0,x+，()sinxhxex=−当0x时，e1x，所以()sin0xhxex=−恒成立.所以()hx在()0,+为增函数．所以()()02hxh=所以2a．（2）由()()()()()2sin12xeaxgxfxxx

x−+=−−−=，则()()2=00=0gg，所以2x=，0x=是()()()2gxxfx=−的两个零点．因为12a，由（1）知，函数()fx在()0,+上为增函数，()()00fxf=，无零点．所以下面证函数()fx在(),0−上有且仅有1个零点．①当(,πx−−时，∵12a

，∴πax−，∴()πsin10xfxex++−．无零点．②当()π,0x−时，∵sin0x，设()()()','sin0xuxfxuxex==−，∴()fx在()π,0−上递增，又∵()020fa

=−，()ππ10fea−−=−−，∴存在唯一零点()0π,0x−，使得()00fx=．当()0π,xx−时，()0fx，()fx在()0π,x−上递减；当()0,0xx时，()0fx¢>，()fx在()0,0x上递增．所以，函数()fx在()π,0−上

有且仅有1个零点．故函数()fx在(),0−上有且仅有1个零点．综上：当12a时，函数()()()2gxxfx=−有且仅有3个零点．【点睛】关键点睛：本题考查由函数单调性求参数范围和利用导数讨论函数零点个

数问题，解答本题的关键是将问题转化为cosxaex+在()0,x+上恒成立，以及由()()2=00=0gg，，所以2x=，0x=是()()()2gxxfx=−的两个零点．因为12a，由（1）知，函数()fx在()0,+上为增函数，()()00fx

f=，无零点．所以即证函数()fx在(),0−上有且仅有1个零点，属于难题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com