【文档说明】贵州省遵义市2023-2024学年高三上学期第一次质量监测 数学答案.docx，共(21)页，961.495 KB，由小赞的店铺上传

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遵义市2024届高三第一次质量监测统考试卷数学（满分：150分，时间：120分钟）注意事项：1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码.2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色

签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合()()2,,,2AxyyxB

xyyx==−==−−∣∣，则AB=（）A.()()1,1,2,4−−−B.()()2,4,1,1−−−C.2,4−D.2,1−【答案】A【解析】【分析】结合交集的运算可得.【详解】由22yxyx=−=−−，解得：11xy=−=−或24xy==−，故

AB=()()1,1,2,4−−−.故选：A2.若复数z满足()1i23iz−=+，则复数z的虚部是（）A.12−B.1i2−C.52D.52i【答案】C【解析】【分析】利用复数除法法则计算出15i2z−+=，从而求出虚部.【详解】()()()()223i1i

23i22i3i3i15i1i1i1i22z++++++−+====−−+，故复数z的虚部是52.故选：C3.已知,,abx均为实数，下列不等式恒成立的是（）A.若ab，则20242024abB.若ab，则20242024abC.若20242024axbx，则abD.

若ab，则20242024axbx【答案】C【解析】【分析】结合特殊值与不等式的性质可求.【详解】A，当2,1ab=−=时，20242024(12)−，A错误；B，当0a=时，2024a没意义，B错误；C，由20242024axbx，知x20240，所以ab

，C正确；D，当0x=时，20242024axbx不成立，D错误.故选：C4.若π1cos43+=，则πsin4−=（）A223B.223−C.13D.13−【答案】C【解析】【分析】以π4+为整体，结合诱导公式运算求解.

【详解】由题意可得：ππππ1sinsincos42443−=−+=+=.故选：C.5.若函数()2exaxfx−=在区间()1,3上单调递增，则a的可能取值为

（）A.2B.3C.4D.5.【答案】A【解析】【分析】由()2(e2)xaxxafx−−=，结合题意32ax在[1,3]上恒成立求范围，即可判断所能取的值.【详解】由题设()2exaxfx−=在区间()1,3上单

调递增，所以()2()e20xaxfaxx−−=恒成立，所以()1,3上20xa−恒成立，即2ax恒成立，而2yx=在()1,3上递增，故2a.所以A符合要求.故选：A6.今年8月24日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造

成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上;有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度()Bq/Lc与时间t（年）近似满足关系式(,tckaka=为大于0的常数且1)a.若16c=时,10t=;若112c=时,20t=.则据此估计,

这种有机体体液内该放射性元素浓度c为1120时,大约需要（）（参考数据:22log31.58,log52.32）A.43年B.53年C.73年D.120年【答案】B【解析】【分析】根据已知条件得102016112kaka==,解方程组

求出,ak的值,当1120c=时,在等式两边取对数即可求解.【详解】由题意得:102016112kaka==,解得1101213ak==,所以101132tc=,当1120c=时,得1011112

032t=,即1011240t=,两边取对数得12221loglog403log532.325.321040t===++=,所以5.321053.2t==,即这种有机体体液内该放射性元素浓度c为112

0时,大约需要53年.故选:B.7.将函数()5sinπ12fxx=+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，再将所得的函数图象向右平移π24个单位长度，得到函数()gx的图象；则π8g

=（）A.624−B.624+C.264−D.264−−【答案】B【解析】【分析】由图象的变换法则得出()gx，再由和角公式求解.【详解】由题意可知，()π5πsin2sin224123gxxx=−+=+，πππππππ212362sins

incoscossin843434322224g+=+=+=+=.故选：B8.若tan1.1,1ln1.1,1.1abc==+=，则,,abc的大小关系为（）A.bacB.acbC.cbaD.abc【答

案】D【解析】【分析】构建函数()ln1=−+fxxx，结合导数可得bc；构建()ln1gxxx=−−，()tanhxxx=−，结合导数可得πtan1ln,1,2+xxx，进而可得ab.【详解】令()ln1=−+fxxx，则()112022−=−

=xfxxxx当()1,2x时恒成立，则()fx在()1,2内单调递增，可得()()1.11ff，即ln1.11.110−+，可得1ln1.11.1+，故bc；令()ln1gxxx=−−，则()1110xgxxx−=−=当π1,2x时恒成立，则()

gx在π1,2内单调递增，可得()()10gxg=，所以π1ln,1,2+xxx，令()tanhxxx=−，则()2tan0hxx=当π0,2x时恒成立，则()hx在π0,2内单调递增，可得()()00

hxh=，所以πtan,0,2xxx，可得πtan1ln,1,2+xxx，所以tan1.11ln1.1+，故ab；综上所述：abc.故选：D.【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，

（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分

，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若sinsin=，则与是终边相同的角B.若角的终边过点()()3,40Pkkk，则4sin5=C.若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度D.若sincos0，则角的终边在第一象限或第

三象限【答案】CD【解析】【分析】举反例+=判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由sin与cos同号判断D.【详解】对于A：当+=时，sinsin=，但终边不同，故A错误；对于B：2

2(3)(4)5||rkkk=+=，当0k时，4sin5=−，故B错误；对于C：由23,1rlr+==，得1,1llr===，故C正确；对于D：sincos0，即sin与cos同号，则角

的终边在第一象限或第三象限，故D正确；故选：CD10.对于任意实数x，函数()fx满足：当1122nxn−+时，()()Zfxnn=.下列关于函数()fx的叙述正确的是（）A.()20232023f=B.()fx是奇函数C.

()()R,22xfxfx−=−D.,Rxy，使得()()()fxyfxfy++【答案】ACD【解析】【分析】结合题中定义和特殊值即可.【详解】A，根据定义，1120232023202322−+，所以()2

0232023f=，A正确；B，取0.5x=−，1100.5022−−+，(0.5)0f−=，取0.5x=，1110.5122−+，(0.5)1f=，不满足奇函数的定义，B错误；C，11R,,()22xnxnfxn−+=，则()()1122222nxn

−−−−+()(),222fxnfx−=−=−，C正确；D，当0,1xy==时，()()()0101fff++，D正确.故选：ACD11.已知0,0ab，且321ab+=，则下列选项正确的是（）A.124ab

B.11526ab++.C.ab+的最大值为66D.306ab+【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式可判定A、B选项，利用排除法可判定C选项，利用柯西不等式可判定D选项.【详解】由题意可得13212612424abababab+=

，当且仅当1322ab==时取得等号，即A正确；()111123325526baabababab+=++=+++，当且仅当3232ab==−时取得等号，即B正确；先证柯西不等式()()()22222mxnymnxy+++，设()(),,,,,pmnqxypq

===，则22222222,,pqmxnyppmnqqxy=+==+==+，所以()()()()22222222222cospqpqpqmxnymnxy=+++，由柯西不等式可知：()()()22222323232abab+

++()553032666abab=+=+，当且仅当322332ba=，即6495ba==时取得等号，即D正确；若0.02a=，则0.47b=，此时2.

9460.4966ab+==，故C错误.故选：ABD12.数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的n倍角公式，即()coscosnnxTx=，称为第一类切比雪夫多项式.第一类切比雪夫多项式的前几项为：()()()()()()2342530123451,,21,43,88

1,16205,TxTxxTxxTxxxTxxxTxxxx===−=−=−+=−+，探究上述多项式，下列选项正确的是（）A.3cos34cos3cosxxx=−B.()64263248181Txxxx=−+−C.52sin184−=D.51cos364+=【答案】ABD【解析】【

分析】利用三角恒等变换即可判断A，据题意总结出3n时，()()()122nnnTxxTxTx−−=−，即可判断B，利用二倍角公式、三角恒等变换即可判断选项CD.【详解】对于A，()cos3cos2cos2cossin2sinxxxx

xxx=+=−()22cos1cos2sincossinxxxxx=−−()()2322cos1cosc2s4os3s1cocoscoxxxxxx=−−−−=.A正确；对于B，归纳可得3n时，()()()122nnnTxxTxTx−−=−，所以()642632481

81Txxxx=−+−，B正确；因为sin36cos54=，所以32sin18cos184cos183cos18=−，即22sin184cos183=−，即24sin182sin1810+−=，解得51s

in184−=，C错；有上述知51sin184−=，则251cos3612sin184+=−=，D正确.故选：ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题2000:R,30pxxmxm

−++,则命题p的否定为__________.【答案】2R,30xxmxm−++【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可写出答案.【详解】因为命题2000:R,30pxxmxm−++,所以命题p的否定为:2R,30xxmxm−++.故答案为:2R,3

0xxmxm−++.14.若函数()121log,12,1xxxfxx−=，则不等式()2fx的解集为__________.【答案】()10,2,4+【解析】【分析】分1x和1x两种情况，结合指、对数函数的单调性运算求解.【详解】因()2fx

，则有：当1x时，可得11221log2log4x=，解得104x；当1x时，可得122x−，则11x−，解得2x；综上所述：不等式()2fx的解集为()10,2,4+

.故答案为：()10,2,4+.15.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左焦点为()1,0Fc−，坐标原点为O，若在双曲线右支上存在一点P满足13PFc=，且POc=，则双曲线C的离心率为__________.【答案

】31+【解析】【分析】构建焦点三角形，判断出其为直角三角形，进而可求.【详解】如图，因为12||||POcFOFO===，所以1122,PFOOPFPFOOPF==，为所以1212π2OPFOPFFPF+==，则22222

21212||||||,3(32)4PFPFFFccac+=+−=，2224340caca−+=，22320ee−+=，解得31e=+.故答案为：31+16.已知函数()21,0e,0xxxfxxxx+=−，若关于x不等式()()20fxafx+恰有一个整数解，则实数a的

取值范围为__________.【答案】)(232,1e2e,−−【解析】【分析】由导数得出函数()fx的图像，讨论a与0的关系，结合图像得出实数a的取值范围.【详解】当0x时，()()()'2e1e10eeexxxxxx

xxfx−++−===，即函数()fx在(,0−上单调递增()()()()()()3232e2e10,01,1,0,,22ffffff−=−−=−−====函数()fx的图像如下图所示：的由

()()20fxafx+得出()()()0fxfxa+，当0a=时，显然不成立.但0a时，解得()0afx−，使得不等式只有唯一整数解，此时322eea−−−.即23e2ea时，唯一整数解是2x=−，当a<0时，0()fxa−，使得不等式只有唯一整数解，此时12a−，

即21a−−时，唯一整数解是0x=.综上，)(232,1ee,2a−−.故答案为：)(232,1e2e,−−四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数()()sin0,0,2πfxAxA=

+的部分图象如图所示.（1）求函数()fx的解析式；（2）若函数()2yfxm=−在区间π0,3上恰有两个零点12,xx，求12xx+的值.【答案】（1）()π2sin23fxx=−（2）125π12xx+=【解析】【分析】（1）结合五点

法作图，由周期得，结合最值点可得，代入点()0,3−的坐标得A，即可得函数解析式；（2）由题意知()()π0,2,3=gxfxx和ym=的图象有两个不同交点，作出函数()ygx=在π0,3

上的图象，结合函数的对称性可得12xx+的值．【小问1详解】设()fx的最小正周期为T，则2πππ2362T=−=，可得2ππT==,且0，解得2=，由图象可知：当2ππ5π36212+==x时，()fx取到最大值，且0A，则5

π5πsin126=+=fAA，可得5ππ2π,62+=+kkZ，解得π2π,3=−kkZ，又因为ππ22−，可得π0,3k==−，则()()πsin203=−fxAxA，且()fx的图象过点()0,3−，则()π3sin3

302=−=−=−fAA，解得2A=，所以()π2sin23fxx=−.【小问2详解】令()()π22sin43==−gxfxx，由()20=−=yfxm，可得()2fxm=，可知()2yfxm=−的零点等价于()ygx=与ym=的图象交点横坐标

，且()π5πππ02sin3,2sin2,2sinπ032423=−=−====ggg，作出()ygx=在π0,3内的图象，不妨设12xx，如图所示：由

图象可知：02m，且()()()()1122,,,xgxxgx关于直线5π24x=对称，所以125π5π22412+==xx.18.已知数列na的前n项和为1,1nSa=，且当2n时，()212nnSna=+−.（1）求数列

na的通项公式；（2）若数列nb满足：()21nnbna=+，求nb的前n项和nT.【答案】（1）1,12,2nnann==（2）3121=−+nTn【解析】【分析】（1）根据na与nS之间的关系，分2n=和3n两种情况运算求解；（2）由（1）可得

1,111,21nnbnnn==−+，利用裂项相消法运算求解.【小问1详解】因为当2n时，()212nnSna=+−，且11a=，若2n=，则()22222132=+=−Saa，解得24a=，若3n，则1122−−=−nnSna，两式相减可得：()121

nnnanana−=+−，整理得11nnaann−=−，即12212−====−nnaaann，可得2nan=；可知1n=不符合上式，2n=符合上式，所以1,12,2nnann==.【小问2详解】由（1）可得：()()1,12111,2111nnnbnnannnn==

==−+++，当1n=时，则11==nTb；当2n时，则1231111113112334121=++++=+−+−++−=−++nnTbbbbnnn；可知1n=符合上式，所以3121=−+nT

n.19.函数()()330fxaxxa=−，其一条切线的方程为916yx=+.（1）求a的值；（2）令()()2361(0)gxfxkxxk=−++，若()gx有两个不同的极值点12,xx，且()()122gxgx+，求实数k的取值范围.【答案】（1）1（2）62k【解

析】【分析】（1）求导，设切点为()3,3mamm−，从而得到方程组，求出2m=−，1a=；（2）求导，得到12,xx为2210xkx−+=的两根，由2440k=−得到1k，得到两根之和，两根之积，计

算出()()312462gxgxkk+=−++，由()()122gxgx+计算出不等式解集，得到实数k的取值范围.【小问1详解】()233fxax=−，设函数在切点()3,3mamm−处的切线的方程为916yx=+，则2339am−=，39163

mamm+=−，解得2m=−，241am==；【小问2详解】由（1）可知，()32331(0)gxxkxxk=−++，()()22363321gxxkxxkx=−+=−+，即12,xx为2210xkx−+=的两根，故2440k=−，解得1k或1k−

（舍去），且12122,1xxkxx+==，()()()()332212121212332gxgxxxkxxxx+=+−++++()()()()3212121212121233232xxxxxxkxxxxxx=+−+−+−

+++()3238634262462kkkkkkk=−−−++=−++，由()()122gxgx+可得34622kk−++，即3460kk−+，因为1k，所以246k−−，解得62k或62k−（舍去），综上：62k20.某学校现有1000名学

生，为调查该校学生一周使用手机上网时间的情况，收集了n名学生某周使用手机上网时间的样本数据（单位：小时）.将数据分为6组：[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12]，并整理得到如下的频率分

布直方图：附：()()()()22()nadbcKabcdacbd−=++++.()20PKk0.10.050.0100.0050.0010k2.7063.8416.6357.87910.828（1）估计该校学生一周平

均使用手机上网时间（每组数据以该组中点值为代表）；（2）将一周使用手机上网时间在(4,12内定义为“长时间使用手机上网”；一周使用手机上网时间在(0,4内定义为“不长时间使用手机上网”，在样本数据中，有0.25n名学生不近视.请

补充完成该周使用手机上网时间与近视程度的列联表，若有99.9%以上的把握认为“该校学生一周使用手机上网时间与近视程度有关”.那么本次调查的人数至少有多少？近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机0.15n合计0.25n【答案】（1）5.8小时（2）列联表见解析，有99.9%

的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关【解析】【分析】（1）利用平均数公式求解；（2）根据列联表已有的数据和频率分布直方图求解；【小问1详解】解：根据频率分布直方图得：10.025230.100250.150270.125290.0752110.0252=5.8x=+

++++；估计该校学生每周平均使用手机上网时间为5.8小时；【小问2详解】根据题意填写22列联表如下，近视不近视合计长时间使用手机0.65n0.10n0.75n不长时间使用手机0.10n0.15n0.25n合计0.75n0.

25nn由表中数据，计算()()()()222()100(65151010)21.7810.82875257525nadbcKabcdacbd−−==++++，所以有99.9%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．2

1.已知()()12,0,,0FcFc−为椭圆E的两个焦点，A为椭圆E上异于左､右顶点的任意一点，12AFF△的周长为6，面积的最大值为3：（1）求椭圆E的方程；（2）直线1AF与椭圆E的另一交点为B，与y轴的交点为M.若11MAAF=，1

2MBBF=.试问：12+是否为定值？并说明理由.【答案】（1）22143xy+=（2）83−，理由见解析【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义及椭圆的性质即可求解；（2）根据已知条件作出图形并设出直线方程，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量的坐标运算即可求解.【小问1

详解】设椭圆E的方程为()222210xyabab+=，则由椭圆的定义及12AFF△的周长为6，知226ac+=①，由于A为椭圆E上异于左､右顶点的任意一点，得A到x轴距离最大为b，因为12AFF△的面积的最大值为3，所以1

21232AFFScb==②，又222abc=+③，联立①②③，得2,1,3acb===，所以椭圆E的方程为22143xy+=.小问2详解】12+为定值83−，理由如下：根据已知条件作出图形如图所示,【设()()()1122,,10,,:ABAxyBxylxmym=−，则1

0,Mm，因为1F在椭圆内部，则直线AB与椭圆一定有两交点，联立221431xyxmy+==−消去y得：()2234690mymy+−−=，12122269,3434−+==++myyyymm，又()111111,1,,MAxyA

Fxym=−=−−−，且11MAAF=，所以1111my=−，同理2211my=−所以21212121122611118342229334myymmyymyymm+++=+−=−=−=−−+.所以12+为定值8

3−.22.已知函数()sinexxfx=.（1）求函数()fx在()0,3上的单调区间；（2）若0x时，()()ln1fxax+，求实数a取值范围.【答案】（1）单调递增区间为π0,4，单调递减区间为π,34（2）

)1,+的【解析】【分析】（1）求导后，根据()fx正负即可确定()fx的单调区间；（2）构造函数()()()ln1gxfxax=−+，将问题转化为()0gx在)0,+上恒成立；通过反例可说明0a显然不合题

意；当01a时，结合零点存在定理可说明存在()0gx的区间，不合题意；当1a时，采用放缩法，结合0x时，sinxx的结论可得()()ln1exxgxx−+，构造函数()()()ln10exxmxxx=−+，利用导数可求得()mx单调性

，从而得到()0mx≤，进而得到()0gx恒成立.【小问1详解】由题意知：()cossinexxxfx−=，e0x恒成立，当π0,4x时，cossinxx；当π,34x时，cossinxx；当π0,4

x时，()0fx¢>；当π,34x时，()0fx；()fx\在()0,3上的单调递增区间为π0,4，单调递减区间为π,34.【小问2详解】令()()()()sinln1ln1ex

xgxfxaxax=−+=−+，则()0gx在)0,+上恒成立；①当0a时，()ln10ax−+，则()π2π1lnπ102ega=−+，不满足()0gx在)0,+上恒成立，不合题意；②当01a时，()cos

sine1xxxagxx−=−+，()010ga=−，π0π414ag=−+，又()gx在π0,4上连续，0π0,4x，使得当()00,xx时，()0gx，()gx在()00,x上单调递增，此时()()00g

xg=，不合题意；③当1a时，1a−−，则()()ln1ln1axx−+−+，()()sinln1exxgxx−+；令()()sin0xhxxx=−，则()1cos0hxx=−，()hx在)0,+上单调递增，()()00hxh=，即sinxx，又10ex，()()s

inln1ln1eexxxxxx−+−+，令()()()ln10exxmxxx=−+，则()()2111ee11exxxxxmxxx−−−=−=++，令()()21e0xnxxx=−−，则()

2e0xnxx=−−，()nx在)0,+上单调递减，()()00nxn=，即()0mx，()mx在)0,+上单调递减，()()00mxm=，即()ln10exxx−+，()()()sinln1ln10eexxxxgxxx−+−+，满足题意；综上所述

：实数a的取值范围为)1,+.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的单调区间、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够对变量a的取值范围进行合理的分类，分类时可依据()00g=，得到()010ga=−必然成立来确定a的大致范围，进而再细化分类进

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