【文档说明】福建省南平市2022-2023学年高二上学期期末质量检测数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.753 MB，由小赞的店铺上传

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南平市2022-2023学年第一学期高二期末质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”.2．回答选择题时

，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试题卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为()2stt=，那么该质点在3t=秒时的瞬时速度为：（）（单位：米/秒）A.23B.23−C.29D.29−【答

案】D【解析】【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可.【详解】()()()223323333stssttttt−+−+===−+，所以()0022limlim339ttstt→→=−=−+.故选：D.2.直线34

40xy−−=与直线6830xy−−=之间的距离为（）A.15B.25C.12D.1【答案】C【解析】【分析】由两线距离公式求值即可.【详解】()2?3446880xyxy−−=−−=，显然与另一条直线平行，则所求距离为()22831268---=+.故选：C.3.函数()()1cos21xfxx

x+=+−，则()fx=（）A.()()222sin21xxx−−B.()()22sin21xx−−−C.()()22sin21xx+−D.()()222sin21xx−−−【答案】D【解析】【分析】利用导数的除法法则和复合函数的导数法则进行求解.【详解】因()()1cos21x

fxxx+=+−；所以()2(1)(1)2sin2(1)xxfxxx−−+=−−；故()222sin2(1)fxxx=−−−.故选：D.4.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，M为11AC与11BD的交点．记ABa=，ADb=，1AAc=则下列正确的是（）A.1122AMabc

=−++B.1122AMabc=+−C.1122AMabc=++D.1122AMabc=++为【答案】C【解析】【分析】利用平行六面体的性质以及空间向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可知：在平行六面体1111ABCDABCD−中，M为11AC与11BD的交点，所以M为11AC的中点

，则1121122AMACAC==，所以1111111122AMAAAMAAACAAAC=+=+=+111112222AAABACabc=++=++，故选：C.5.若函数()323fxxxax=−+在R上是增函数，则实数a的取值范围为（）A.3aB.3

aC.3aD.3a【答案】B【解析】【分析】原命题等价为()2360fxxxa=−+在R上恒成立，结合二次函数的性质列不等式求解即可.【详解】∵函数()fx在R上是增函数，()2360fxxxa=−+在R上恒成立，∴361203aa=−.故选：B.

6.过抛物线C：26yx=焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，若E为线段AB的中点，M为抛物线C上任意一点，则MFME+的最小值为（）A.3B.32C.6D.62【答案】A【解析】【分析】利用中点关系求出E轨迹方程，结合椭圆定义由数形结合可得最小值.【详解】设()

()()1122,,,,,AxyBxyExy，E为线段AB的中点，则1212,22xxyyxy++==，又21122266yxyx==，两式相减得()()()1212121212626yyyyyyxxyxx−−+=−=−，的由3,02F

，∴21212333322EABFkyyykyxxxyx骣-琪===?=-琪-桫-，∴E的轨迹为顶点在3,02的抛物线.如图所示，MN、EP垂直C的准线32x=−于N、P，则MFMEMNMEEP+=+，则当E与F重合时，EP最小，为3.故MFME+的最小值为3.故

选：A.7.若数列na的前n项和为nS，nnSbn=，则称数列nb是数列na的“均值数列”．已知数列nb是数列na的“均值数列”且nbn=，设数列11nnaa++的前n

项和为nT，若()21332nmmT−+−对*nN恒成立，则实数m的取值范围为（）A.1,2−B.()1,2-C.()(),12,−−+D.(),12,−−+【答案】B【解析】【分析】由新

定义求得nS，然后由1nnnaSS−=−求得na，从而可求得nT（裂项相消法）后得nT的最小值，解相应不等式可得结论．【详解】由题意nSnn=,即2nSn=,∴2n时，221(1)21nnnaSSnnn−=−=−−=−，又111

aS==，∴*nN时，21nan=−，111212122121nnnnaann++−−==+−++，315321212112222nnnnT−−+−−+−=+++=，易知211{}2n+−是递增数列，∴211{}2n+−的

最小值是312−（1n=时取得），由题意2131(33)22mm−−+−，解得12m−．故选：B．8.已知函数()()1xfxxae−=−的最小值为－1，过点(),0Pb的直线中有且只有两条与函数()fx的图象相切，则实

数b的取值范围为（）A.()1,2B.()2,1−C.()(),22,−−+D.()(),12,−+【答案】C【解析】【分析】先利用导数求出函数的最小值，结合题意可得2a=，设过点(),0Pb的直线与函数()fx的图象相切的切点为()00,xy，

利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过点(),0Pb建立方程，再结合过点(),0Pb的直线有两条与函数()fx的图象相切可得()()22420bb=+−+，解之即可求解.【详解】因为()()1exfxxa−=−，则()()1

1exfxxa−=−+，令()()11e0xfxxa−=−+=可得1xa=−．当()1,xa−+时，()0fx¢>，()fx是增函数．当(),1xa−−时，()0fx，()fx是减函数．所以当1xa=−时，

()fx有最小值2e1a−−=−，所以2a=，设过点(),0Pb的直线与函数()fx的图象相切的切点为()00,xy，则切线方程为()()()001100021xxyxxxx−−−−=−−ee，又切线过点(),0Pb，所以()()()00110002e1exxxxbx−−−−=

−−，即()()()00021xxbx−−=−−，即()200(2)20xbxb−+++=．过点(),0Pb的直线有两条与函数()fx的图象相切，则()()22420bb=+−+，即240b−，解得：2b−或2b．故选：C.二、选择题：本题共4小题

，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若函数()e23=−+xfxx，则（）A.函数()fx只有极大值没有极小值B.函数()fx只有最大值没

有最小值C.函数()fx只有极小值没有极大值D.函数()fx只有最小值没有最大值【答案】CD【解析】【分析】由导数法研究函数的极值、最值.【详解】()e2xfx=−，单调递增，由()0ln2fxx==，则()()()

()()(),ln2,0,;ln2,,0,xfxfxxfxfxⅱ????∴函数()fx有唯一极小值，即最小值，没有极大值、最大值.故选：CD.10.函数()2lnfxxx=+，以下说法正确的是（）A.函数()fx有零点B.当1ln2a+时，函数()yfxa=−有两个零点C.函数

()()gxfxx=−有且只有一个零点D.函数()()gxfxx=−有且只有两个零点【答案】BC【解析】【分析】利用导函数研究函数的单调性，进而得到函数的最值，根据零点存在定理求解即可.【详解】()2lnfxxx=+，定义域()0,

x+，所以()22212xfxxxx−=−+=，令()0fx¢>解得2x，令()0fx解得02x，.所以()fx在()0,2上单调递减，在()2,+上单调递增，()()min21ln20fxf==

+，则()fx的图象如图所示：故A错误；又当x→+时，()fx→+，所以从图像可得，当1ln2a+时，函数()yfxa=−有两个零点，B正确；()22222172122410xxxgxxxxx−+−+−=−+−==−恒成立，所以()gx在()0,+上单调递减，又()

110g=，()2ln210g=−，所以函数()()gxfxx=−有且只有一个零点，C正确，D错误；故选：BC11.已知数列na是公差不为0的等差数列，前n项和为nS.若对任意的*Nn，都有3nSS，则65aa

的值可能为（）A.2B.53C.32D.43【答案】ABC【解析】【分析】由等差数数列前n项和公式推导出132dad−−≤≤，由此能求出65aa的值不可能为43.【详解】数列na是公差不为0的等差数

列，前n项和()112nnnSnad−=+.若对任意的*Nn，都有3nSS，2343SSSS，11113223243324322adadadad++++，解得132da

d−−≤≤，当6151524aadaad+==+时，13ad=−．成立；当61515543aadaad+==+时，152ad=−．成立；当61515342aadaad+==+时，12ad=−．成立；当61515443aadaad+==+时，1ad=−．不成立．

65aa的值不可能为43．故选：ABC．12.双曲线E的一个焦点为()2,0F，一条渐近线l的方程为30xy−=，M，N是双曲线E上不同两点，则（）A.渐近线l与圆22430xyx+−+=相切B.M，N的中点与原点连线斜率可能为33C.当直线MN过双曲线E的

右焦点时，满足23MN=的直线MN只有3条D.满足33MF=的点M有且仅有2个【答案】AC【解析】【分析】求出圆心到直线的距离即可判断A；根据题意求出双曲线的方程，假设存在点()11,Mxy，()22,Nxy符合题意，利用点差法求出MNk，即可判断B；求出通径及实轴长即可判断

C；分别比较MF与,acac−+的大小即可判断D.【详解】圆()2221xy−+=的圆心为()2,0，半径为1，圆心()2,0到曲线E的渐近线:30lxy−=的距离为()222113d==+−，所以渐近线l与圆22430xyx+−+=相切，故A正确；因()2,0F，所以2c=，即224ab+=，

又一条渐近线l的方程为30xy−=，所以33ba=，可解得：3a=，1b=，所以曲线E的方程为2213xy−=，假设存在点()11,Mxy，()22,Nxy符合题意，则MN的中点1212,22xxyyP++，121212123232OPyyyyk

xxxx++===++，由121231yx−=，222231yx−=，相减得()()()()121212123xxxxyyyy+−=+−，所以()12121212333MNOPkyyxxxxyyk=−+===−+，所以,,,MNOP共线，故直线MN与渐近线30xy−=重合，矛盾，故B不正确；

双曲线E焦距为223a=，则直线MN过左右顶点时，23MN=，符合题意，令2x=，则有2413y−=，解得33y=，所以双曲线的通径为233，即直线MN过双曲线E右焦点时，min23233MN=，所以当直线MN不

过左右顶点时，满足23MN=的线段有2条，的的综上，满足23MN=的线段包含实轴共有3条，故C正确；33MFca=−，所以右支上有两点满足题意，33MFac=+，所以左支上有两点满足题意，满足33MF=的点M有且仅有4个，D不正确．故选：AC.【点睛】结论点睛：①已知椭

圆()222210xyabab+=的弦AB的中点()00,Mxy，则2020ABbxkay=−；②已知双曲线()222210,0xyabab−=的弦AB的中点()00,Mxy，则2020ABbxkay=；

③已知抛物线()220ypxp=的弦AB的中点()00,Mxy，则0ABpky=.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等差数列na的前n项和为nS，若2610aa+=，则7S=______．【答案】35【解析】【分析】

根据等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质求解即可.【详解】解：等差数列na的前n项和为nS，2610aa+=，()()172677771035222aaaaS++====，故答案为：35.14.已知

抛物线24xy=的焦点为F，点P在抛物线上，且5PF=，请写出满足题意的直线PF的一个方程_____________．【答案】3440xy−+=（或3440xy+−=，写其中一个即可）【解析】【分析】求出焦点坐标，由焦半径公式求得点P坐标后可得直线方程．【详解

】由题意焦点为为(0,1)F，设00(,)Pxy，则015PFy=+=，04y=，2044x=，04x=，若(4,4)P，则413404PFk−==−，直线方程为314yx=+，即3440xy−+=，若(4,4)F−，则413404PFk−==−−−，直线方程为314yx=−+，即

3440xy+−=，故答案为：3440xy−+=或3440xy+−=（写一个即可）．15.某牧场2022年年初牛的存栏数为1000，计划以后每年存栏数的增长率为40%，且每年年底卖出100头牛，按照该计划预计经过_____

________年后存栏数首次超过7750．（结果保留成整数）参考数据：lg20.3010，lg70.8451【答案】7【解析】【分析】根据题意列出数列的递推公式，求出通项公式，解不等式得出答案.【详解】设2022年年初牛的存栏数

为1a，经过1年（即2023年）,年初牛的存栏数为2a，经过n1−年年初牛的存栏数为na，则11.4100nnaa+=−，即()12501.4250nnaa+−=−，所以数列250na−是首项为750，公比为1.4的等比数列.因此17501.4250nna−=+

，由7750na得11.410n−，即1.41111log106.8446lg1.4lg2lg710.1461n−===+−.所以按照该计划预计经过7年后存栏数首次超过7750．故答案为：7.

16.已知椭圆C：()2221010xyaa+=的左、右焦点分别为()1,0Fc−、()2,0Fc，P是椭圆C上一点，12FPF△的面积为1033，()1123sinPFacFFP=−，则椭圆C的长轴长为___

__________．【答案】7【解析】【分析】先根据椭圆的定义结合余弦定理和三角形面积公式可得12π3FPF=，再利用正弦定理列式即可求解.【详解】因为P是椭圆C上一点，所以122PFPFa+=，210b=，2

22abc=+，由余弦定理()2222212121212121212122cos22PFPFPFPFFFPFPFFFFPFPFPFPFPF+−−+−==222121212442212acPFPFbPFPFPFPF−−==−，可得2121221cosb

PFPFFPF=+，所以122212121212sin11033sin21cos33FPFbFPFbSPFPFFPFFPF====+，即121212121231π3sin3cos23sincos23sin3226FPFFPFFPFFPFFPF

−=−=−=,所以12π1sin62FPF−=，又因为)120,πFPF，所以12π3FPF=，由()1123sinPFacFFP=−及正弦定理得()121121223πsinsinsin3FFPFcacF

PFFFP===−，所以()433cac−=，即37ac=，又10b=，所以长轴长27a=，故答案为：7四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆M过点(

)4,0A，()2,0B−，()0,22C．（1）求圆M的方程；（2）求过点()1,2N的直线被圆M截得的弦长的最小值．【答案】（1）()2219xy−+=（2）25【解析】【分析】（1）根据圆的性质设出圆心坐标

，利用相等关系求出圆心和半径，进而可得方程；（2）根据点在圆内，确定弦长最短的状态，结合勾股定理可得答案.【小问1详解】由题意圆心M在AB中垂线上1x=，设圆心()1,Mb，则由rMCMA==得()()()

()222221022140rbb=−+−=−+−，解得0b=，3r=，所以圆M的方程()2219xy−+=．【小问2详解】因为()221129−+，点()1,2在圆内，当弦所在的直线和MN连线垂直时，截得弦长DE最短，此时2dMN==，22225DErd=

−=，即弦长的最小值为25．18.已知四面体ABCD的顶点坐标分别为()0,0,2A，()2,2,0B，()1,2,1C，()2,2,2D．（1）若M是BD的中点，求直线CM与平面ACD所成的角的正弦

值；（2）若P，A，C，D四点共面，且BP⊥平面ACD，求点P的坐标．【答案】（1）33（2）482,,333【解析】【分析】（1）由题意分别求出向量()1,0,0CM=和平面ACD的一个法向量()1,1,1n=−−，再用直线

与平面所成的角的正弦值公式代入计算即可；（2）由题意，(),,BPn==−−，于是点P的坐标为()2,2,+−−，由P，A，C，D四点共面，可设APxADyAC=+，将,APADAC,坐标分别代入即

可解得23=−，从而求得点P的坐标.【小问1详解】由题意，()1,2,1AC=−，()2,2,0AD=，()2,2,1M，()1,0,0CM=，可设平面ACD的法向量(),,nxyz=，则00nACnAD==，即20220xyzxy+−=+=，化简得zxyx=−=−

．令1x=，则1y=−，1z=−，可得平面ACD的一个法向量()1,1,1n=−−，设直线CM与平面ACD所成的角为，则13sin313CMnCMn===，即直线CM与平面ACD所成的角的正弦值为33；

【小问2详解】由题意，(),,BPn==−−，于是点P的坐标为()2,2,+−−，又P，A，C，D四点共面，可设APxADyAC=+，即()()()2,2,22,2,01,2,1xy+−−−=+−，即222222xyxyy+=+−=+−−=−，解得23

=−，所以所求点P的坐标为482,,333．19.已知数列na的前n项和为nS，且满足22nnSa=−，等差数列nb中，319b=，513b=.（1）求数列na，nb的通项公

式；（2）定义,*,aababbab=，记*nnncab=，求数列nc的前20项和20T.【答案】（1）2nna=，328nbn=−+（2）122−【解析】【分析】（1）根据11,1,2nnnSnaSSn−==−，作

差即可得到na是以2为首项，2为公比的等比数列，从而求出na的通项公式，再设数列nb的公差为d，即可得到方程组，解得1b、d，从而求出nb的通项公式；（2）根据通项公式判断数列的单调性，即可得到nc的通项公式，再用分组求和法计算可

得.【小问1详解】解：因为22nnSa=−，当1n=时1122Sa=−，解得12a=，当2n时1122nnSa−−=−，所以()112222nnnnSSaa−−−=−−−，即122nnnaaa−=−，所以12nnaa−=，即na是以2为首项，2为公比的等比数列，所以

2nna=；设数列nb的公差为d，由319b=，513b=，可得11219413bdbd+=+=，解得1325db=−=，所以()()2513328nbnn=+−−=−+.【小问2详

解】解：因为2nna=，即数列na为递增数列，328nbn=−+即数列nb单调递减，125b=，222b=，319b=，416b=，513b=，L，12a=，24a=，38a=，416a=，532a=，L，所以当5n时nnab，当

4n时nnab，所以,4*,5nnnnnancabbn==，所以2012345620Taaaabbb=+++++++()()24816131032=+++++++−()133216301222−=+=−.20.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的

右焦点为F，过F的直线l与双曲线交于M，N两点，当lx⊥轴时，6MNa=．（1）求双曲线C的离心率e；（2）当l倾斜角为4时，线段MN垂直平分线交x轴于P，求MNPF的值．【答案】（1）2e=（2）1MNPF=【解析】

【分析】（1）根据题意可得：226baa=，也即223ba=，进而求出双曲线的离心率；（2）结合（1）的结论可得双曲线C的方程为22233xya−=，设直线MN的方程为2yxa=−，联立方程组，利用韦达定理和中

点坐标公式可得MN的垂直平分线的方程为()3yaxa+=−+，进而得到P的坐标为()4,0a−，计算可得6PFa=，6MNa=，进而求解.【小问1详解】根据题意226baa=．所以223ba=，所以双曲线C的离心率2212cbeaa==+=．【小问2详解】由（1）知()2,0Fa

，双曲线C的方程为22233xya−=．直线MN的方程为2yxa=−，联立方程组222332xyaxya−==+，得2221290yaya++=，设()11,Mxy，()22,Nxy，00(,)Pxy，则126yya+=−，21

292ayy=．因为()121242xxyyaa+=++=−，所以MN的中点坐标为(),3aa−−．MN的垂直平分线的方程为()3yaxa+=−+，所以P的坐标为()4,0a−，所以426PFaaa=−−=．又2

21221144721262aaMNyyak−=+−==，所以1MNPF=．21.在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，M是AB的中点，且22EM=，5EDEC==，EFBD∥．（

1）证明：平面EDC⊥平面ABCD；（2）若()0EFDB=，当平面ABF与平面CEF所夹的角的余弦值为53时，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）32=【解析】【分析】（1）利用面面垂直的判定定理进行证明；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，

利用向量夹角的余弦值为53求出的值.【小问1详解】因为5EDEC==，取CD中点O，连接OE，则EO⊥DC，且EO＝2，因为O，M是AB的中点，所以OM＝2，所以222EOOMEM+=，即EO⊥OM，又因为EO⊥

DC，且OMCDO=，OM平面ABCD，CD平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，又EO平面ABCD，所以平面EDC⊥平面ABCD；【小问2详解】由（1）以O为原点，OM，OC，OE为x，y，z轴，建立如图所

示空间直角坐标系，则()2,1,0A−，()2,1,0B，()0,1,0D−，()0,1,0C，()0,0,2E，()2,2,0DB=，()2,2,0EF=，()0,1,2EC=−，设平面CEF的一个法

向量为(),,mxyz=，则20220mECyzmEFxy=−==+=，取()2,2,1m=−，()22,21,2BF=−−，()0,2,0AB=，设平面ABF的一个法向量为(),,nabc=，则()()20222120nABbnB

Fabc===−+−+=，取()1,0,1n=−，所以()()22115cos,3311311mn++===+−+−，解得32=，即当平面ABF与平面CEF所夹的角的余弦值为53时，32=．22.定义椭圆C：()2222

10xyabab+=上的点()00,Bxy的“圆化点”为()00,Dbxay．已知椭圆C的离心率为32，“圆化点”D在圆224xy+=上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左顶点为A，不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，点M，N

的“圆化点”分别为点P，Q．记直线l，AP，AQ的斜率分别为k，1k，2k，若()122kkk+=，则直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点的坐标；若直线l不过定点，说明理由．【答案】（1）2214xy+=（2）直线l过定点()3,0−【解析】【分析】（1）结合离心率及点,BD的位置

求得1b=，2a=，得到椭圆C的方程；（2）设直线l的方程为ykxm=+，与椭圆C的方程联立得到关于x的一元二次方程，由韦达定理得到用参数,km表示1111,xxxx+，代入()122kkk+=化简整理可得3mk=，从而得到直线l的定点坐标.【小问1详解】由题意22312ba−=，所以2

ab=，由2200221xyab+=得22222200bxayab+=，又点()00,Dbxay在圆224xy+=上，2222004bxay+=，所以224ab=，444b=即1b=，2a=，所以椭圆C的方程为2214xy+=.【小问2详

解】设直线l的方程为ykxm=+，()11,Mxy，()22,Nxy，其中2mk，联立2214ykxmxy=++=，消y得122814kmxxk−+=+，21224414mxxk−=+，由()2

,0A−，()11,2Pxy，()22,2Qxy，得12121212122222222yykxmkxmkkxxxx+++=+=+++++()()()()()()221221228416242222224416416mkkmkmkxxkkxxmkmk

−−++−++=+=+++−−++()221422222kmkkmkmk−++=+=−−，因为()122kkk+=，则222kmk=−，即3mk=，所以直线l方程为()3ykx=+，即

直线l过定点()3,0−．【点睛】求解圆锥曲线中定点问题的两种求法：（1）特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.（2）直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程（包含直

线方程）中的常数k变成变量，将变量,xy当成常数，将原方程转化为(,)(,)0kfxygxy==的形式；②根据曲线（包含直线）过定点时与参数没有关系（即方程对参数的任意值都成立），得到方程组(,)0(,)0fxy

gxy==；③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com