【文档说明】《数学人教A版必修4教学教案》1.6 三角函数模型的简单应用 （6）含答案【高考】.doc，共(8)页，204.000 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用明目标、知重点1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅

、周期、相位、初相．知识点1．简谐运动简谐运动y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A叫做振幅，周期T＝2πω，频率f＝ω2π，相位是ωx＋φ，初相是φ.2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质定义域R值域[－A，A]周期性

T＝2πω奇偶性φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；φ＝π2＋kπ(k∈Z)时是偶函数；当φ≠kπ2(k∈Z)时是非奇非偶函数．单调性单调增区间可由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)得到，单调减区间可由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋

3π2(k∈Z)得到.要点[情境导学]做简谐运动的单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，这种函数我们称为正弦型函数，那么怎样作正弦型函数的图象呢？正弦型函数的性质又是怎样的呢？探究点一“五

点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象思考1物理中，简谐运动的图象就是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)的图象，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率

、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗？答A是振幅，它是指物体离开平衡位置的最大距离；T＝2πω是周期，它是指物体往复运动一次所需要的时间；f＝1T＝ω2π是频率，它是指物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；φ称为初相，

即x＝0时的相位．-2-思考2利用“五点法”作出函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的填空.ωx＋φ0π2π32π2πx－φω－φω＋π2ω－φω＋πω－φω＋3π2ω－φω＋2πωy0A0－A0例1画出函数y

＝2sin13x－π6的简图．解先把正弦曲线y＝sinx上所有点向右平行移动π6个单位长度，得到y＝sinx－π6的图象；再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝sin

13x－π6的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y＝2sin13x－π6的图象，如图所示．下面利用“五点法”画函数y＝2sin13x－π6在一个周期T＝2π13＝6π内

的图象．令X＝13x－π6，则x＝3X＋π6.列表：X0π2π3π22πxπ22π7π25π13π2y020－20描点画图(如图所示)：反思与感悟“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0、π2、π、3π2、2π，解出x，从而确定这五点．跟踪训练1如图是某简谐运动的图象，

试根据图象回答下列问题：-3-(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？(3)写出这个简谐运动的函数表达式．解(1)从图象上可以看到，这个简谐运动的振幅为2cm；周期为0.

8s；频率为54.(2)如果从O点算起，到曲线上的D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，则到曲线上的E点，表示完成了一次往复运动．(3)设这个简谐运动的函数表达式为y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)那么，A＝2；由2πω＝0.8，得ω＝5π2；由图象知初相φ＝0.于是所求函数表达

式是y＝2sin5π2x，x∈[0，＋∞)．探究点二由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求三角函数的解析式例2如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段，求其解析式．解方法一以N为第一个零点，则A＝－3，T＝25π6－π3＝π，∴ω＝2，此时解析式为y＝

－3sin(2x＋φ)．∵点N－π6，0，∴－π6×2＋φ＝0，∴φ＝π3，所求解析式为y＝－3sin2x＋π3＝3sin2x－2π3.方法二由图象知A＝3，以Mπ3，0为第一个零点，P

5π6，0为第二个零点．-4-列方程组ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解得ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y＝3sin2x－2π3.反思与感悟(1)在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是关键，一般地可将所给一段图象左、右扩展找离原点最近且

穿过x轴上升的即为“第一零点”(x1,0)．从左到右依次为第二、三、四、五点，分别有ωx2＋φ＝π2，ωx3＋φ＝π，ωx4＋φ＝32π，ωx5＋φ＝2π.(2)由图象确定系数ω，φ通常采用两种方法：

①如果图象明确指出了周期的大小和初始值x1(第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出ω和φ，或由方程(组)求出．②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图象确定ω和φ

.(3)A的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解A的方程求出．跟踪训练2如图，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象，根据图中条件，写出该函数解析式．解由图象知A＝5.由T2＝5π2－π＝3π2，得T＝3π，∴ω＝2πT＝23.∴y＝5sin

(23x＋φ)．下面用两种方法求φ：方法一(单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上，∴2π3＋φ∈[π2＋2kπ，32π＋2kπ](k∈Z)．由sin(2π3＋φ)＝0，得2π3＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π3(k∈Z)．∵|φ|<π，∴φ＝π3.-5-方法二(最

值点法)将最高点坐标(π4，5)代入y＝5sin(23x＋φ)，得5sin(π6＋φ)＝5，∴π6＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π3(k∈Z)．∵|φ|<π，∴φ＝π3.所以该函数式为y＝5sin(23x＋π3)．探究点三函数f(x)＝Asin(ωx＋φ

)或f(x)＝Acos(ωx＋φ)的奇偶性思考探求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)或f(x)＝Acos(ωx＋φ)的奇偶性．答①函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)是奇函数⇔f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于原点对称⇔f

(0)＝0⇔φ＝kπ(k∈Z)．②函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)是偶函数⇔f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于y轴对称⇔f(0)＝A或f(0)＝－A⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)．③函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇔f(x)＝Acos(

ωx＋φ)的图象关于原点对称⇔f(0)＝0⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)．④函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)是偶函数⇔f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象关于y轴对称⇔f(0)＝A或f(0)＝－A⇔φ＝kπ(k∈Z)．探究点

四函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)或f(x)＝Acos(ωx＋φ)图象的对称性思考探求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性．答①函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(x0,0)中心对称当且仅当

f(x0)＝0.②函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝x0轴对称当且仅当f(x0)＝A或f(x0)＝－A.上述结论若换成函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)同样成立．③对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两个

对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称中心是kπ－φω，0，k∈Z，对称轴方程是x＝kπ＋π2－φω，k∈Z.例

3已知函数f(x)＝a2sin2x＋(a－2)cos2x的图象关于点π2，0中心对称，求a的值．解根据函数f(x)＝a2sin2x＋(a－2)cos2x的图象关于π2，0中心对称，∴fπ2＝2－a＝0，∴a-6-＝2.反思与感悟对于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)而

言，函数图象与x轴的交点就是图象的对称中心，注意以下充要条件的应用：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)关于点(x0,0)中心对称⇔f(x0)＝0，换为函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)结论仍成立．跟踪训练3已知函数f(x)＝a2sin2x＋(a－2)cos2

x的图象关于直线x＝－π8对称，求a的值．解根据函数图象关于直线x＝－π8对称，∴f－π8＋x＝f－π8－x对一切x∈R恒成立．取x＝π8得f(0)＝f－π4.代入得a－2＝－a2，解得a＝1或a＝－2.课堂检测1．要得到函数y＝sin－12

x的图象，只需将函数y＝sin－12x＋π6的图象()A．向左平移π3个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向右平移π6个单位答案A解析提取x的系数－12得y＝sin－12

x－π3，于是可知向左平移π3个单位．2．已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象()A．关于点π3，0对称B．关于直线x＝π4对称C．关于点π4，0对称

D．关于直线x＝π3对称答案A3．函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则()A．ω＝π2，φ＝π4B．ω＝π3，φ＝π6-7-C．ω＝π4，φ＝π4D．ω＝π4，φ＝5π4答案C解析由所给图象可知，T

4＝2，∴T＝8.又∵T＝2πω，∴ω＝π4.∵图象在x＝1处取得最高点，∴π4＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π4(k∈Z)，∵0≤φ<2π，∴φ＝π4.4．作出y＝3sin12x－π4一个周期上的图象．解(1)列表：xπ232π52π72π92π12x－π40π2π

32π2π3sin12x－π4030－30描点、连线，如图所示：[呈重点、现规律]1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T＝2πω，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过

已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.(3)从寻找“五点法”中的第一个零点－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间

上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx-8-＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．