【文档说明】北京市理工大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）.docx，共(17)页，879.333 KB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年度第一学期高二数学期中练习出题人高二数学备课组，申题人关健，审核人金永涛，考试时间90分钟一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线310xy−+=的倾斜角的大小为（

）A.30B.60C.120D.150【答案】B【解析】【详解】由直线方程310xy−+=,可知直线斜率3k=，设直线的倾斜角为，则tan3=，又[0,180)，所以60=，故选B．2.已知i为虚数单

位，则1i1i+=−（）A.1B.1−C.iD.i−【答案】C【解析】【分析】利用复数乘法和除法运算法则计算即可.【详解】()()()21i1i2ii1i1i1i2++===−−+.故选：C.3.在四面体OABC−中，点P为棱BC的中

点.设OAa=,OBb=，OCc=，那么向量AP用基底,,abc可表示为（）的A.111222abc−++B.1122abc−++C.1122abc++D.111222abc++【答案】B【解析】【分析】先根据点P为棱BC的中点，则()12OPOBOC=+，然后利用空间向

量的基本定理，用,,abc表示向量AP即可.【详解】点P为棱BC的中点，()12OPOBOC=+，()12APOPOAOBOCOA=−=+−，又,,OAaOBbOCc===，()111222APOBOCOAabc=+−=−++，故选B.【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，以及向量的中点公

式，要求熟练掌握，同时考查了转化与划归的思想的应用，属于基础题.4.在平面直角坐标系xOy中，半径为2且过原点的圆的方程可以是（）A.22(1)(1)2xy−+−=B.22(1)(2)2xy+++=C.22(1)(1)4xy−++=D.22(2)4xy−+=【答案】D【

解析】【分析】利用圆的标准方程，采用排除法得出结论．【详解】在平面直角坐标系xOy中，由于圆的半径为2，故排除A、B；再把原点()0,0代入，只有D满足，C不满足本题正确选项：D【点睛】本题主要考查圆的标准方程，属于基础题．5.已知直线l的方程为20xmy−+=，则直线l（）A.

恒过点(2,0)且不垂直x轴B.恒过点(2,0)且不垂直y轴C.恒过点(2,0)−且不垂直x轴D.恒过点(2,0)−且不垂直y轴【答案】D【解析】【分析】令0y=求出x，即可求出直线过定点坐标，再分0m=和0m两种情况讨论，判断直线与坐标轴的关系，即可得解

.【详解】解：直线l的方程为20xmy−+=，令0y=，可得2x=−，所以直线恒过点()2,0−，当0m=时直线方程为2x=−，此时直线垂直x轴，当0m时直线方程为12yxmm=+，10m，显然直线不与y轴垂直.故选：D6.已知点P是正方体111

1ABCDABCD−的棱11AD上的一个动点，设异面直线AB与CP所成的角为，则cos的最小值是（）A.33B.23C.255D.55【答案】A【解析】【分析】由正方体的性质可知所求为cosDCP的最小值，又因为CD⊥DP

，可知当点P在1A处时，cos有最小值，计算可得结果.【详解】解：由正方体的性质可知：//ABCD，则异面直线AB与CP所成的角为直线CD与直线CP所成的角，即DCP或其补角.又因为CD⊥平面11ADDA，所以CD⊥DP，

即求cosDCP的最小值.22211cosCDCDCPCDDDDP==++，当点P在1A处时，()min3cos33aa==.故选：A.7.已知直线10xay+−=和直线420axy++=互相平行，则a的值是（）A.0B.2C.2

−D.2【答案】B【解析】【分析】由两直线平行直接列方程求解即可.详解】由题意可知0a，因为直线10xay+−=和直线420axy++=互相平行，所以1142aa−=，解得2a=，故选：B8.已知三棱锥−PABC中，,,PAP

BPC两两垂直，且1PAPBPC===，则点P到平面ABC的距离为（）A.3B.233C.33D.13【答案】C【解析】【分析】可根据等体积求解，即APBCPABCVV−−=，根据三棱锥−PABC中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，即可求得【详解】设点P到平面ABC的距离为h，

∵,,PAPBPC两两垂直，且1PAPBPC===，∴2ABBCAC===，111122PBCS==，∴1π322sin232ABCS==，【∵APBCPABCVV−−=，即1133PBCABCSAPSh=∴111313232h=，∴33h=，即点P到平面ABC的距离为33

，故选：C9.已知直线:lykx=与圆22:420Cxyx+−+=交于两点M，N，当CMN面积最大时，斜率k值为（）A.3B.2C.1D.33【答案】D【解析】【分析】由题意1sinsin12CMNSCMCNCMNCMN=

=，当2CMN=，面积最大，分析可得此时圆心C到直线l的距离212dCN==，利用点到直线距离公式即得解.【详解】由题意，圆2222:420(2)2Cxyxxy+−+=−+=，故圆心(2,0)C，半径2r=，1sinsin12C

MNSCMCNCMNCMN==，故当2CMN=时，CMN的面积取得最大值，此时圆心C到直线l的距离212dCN==，即2|2|11kdk==+，即231k=，解得33k=.故选：D10.在棱长为2的正方体1111ABC

DABCD−中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足11BPDE⊥，则线段1BP的长度的最大值为()A.2B.3C.22D.655【答案】B【解析】【分析】以D为原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建

立空间直角坐标系，设(),,0Pab，根据110BPDE=求出a、b之间的关系，利用两点间距离公式结合二次函数性质可求1BP长度的最大值．【详解】以D为原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(

)10,0,2D，()1,2,0E，()12,2,2B，设(),,0Pab，02a剟，02b剟，则()12,2,2BPab=−−−，()11,2,2DE=−，11BPDE⊥，()1122240BPDEab=−+

−+=，220ab+−=，则易求01b剟，2222221(2)(2)4(2)(2)4548BPabbbbb=−+−+=−+−+=−+，由二次函数的性质可知，当1b=时，2548bb−+可取到最大值9，线段1BP的长度的最大值为3．故选：B．二、填空题共

5小题，每小题4分，共20分.11.已知空间向量(2,1,3)a=−，(4,1,)bx=−，若ab⊥，则x=__________．【答案】3【解析】【详解】8130x−−+=，得3x=．12.已知2iz=−，则复数(i)zz+在复平面

内对应的点在第____________象限．【答案】一【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数(i)zz+，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】解：因为2iz=−，所以2iz=+，所以()()2

(i)2i2ii42i4i2i62izz+=−++=−+−=+，所以复数(i)zz+在复平面内对应的点的坐标为()6,2，位于第一象限.故答案为：一13.已知22:4240Cxyxy+−+−=，过点(5,5)P

作直线l与C相切于点M，则||PM=____________．【答案】6【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出PC，最后根据22||PMPCr=−计算可得.【详解】解：22:4240Cxyxy+−+−=，即()()22219xy−++=，所

以圆心为()2,1C−，半径3r=，又(5,5)P，所以()()22525135PC=−++=，所以22||6PMPCr=−=.故答案为：614.若⊙221:5Oxy+=与⊙222:()20()Oxmym

R−+=相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_________．【答案】4【解析】【详解】依题意得OO1＝520+＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝12·2AB·OO1＝12·OA·AO1，因此AB＝1122

5255OAAOOO＝＝4.15.设直线:lyxa=+，圆22:(2)1Cxy−+=，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得90PMQ=，则a的取值范围是____________．【答案】[4,0]−.【解析】【分析】由

切线对称性和圆的知识将问题转化为点(2,0)C到直线l的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解.【详解】圆22:(2)1Cxy−+=的圆心(2,0)C，半径为1，因为直线:lyxa=+上任意一

点0M，点P，Q是圆C上两点，当00,PMQM分别与圆C相切时，0PMQ最大，当0M运动到与圆心之间的距离最小时，即0CMl⊥时，0PMQ最大，圆心(2,0)C到直线:lyxa=+的距离为22ad+=，因为在圆C上存在两点P，Q，在

直线l上存在一点M，使得90PMQ=，所以当090PMQ≥时，满足条件，此时222ad+=，解得40a−，所以a的取值范围是[4,0]−，故答案为：[4,0]−.三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤

或证明过程.16.已知在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2正方形，PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，O是AD的中点．的的（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．【

答案】（1）详见解析；（2）64【解析】【分析】（1）显然POAD⊥，由CD⊥平面PAD得POCD⊥，根据线面垂直判定得PO⊥平面ABCD；（2）建立空间坐标系，求出平面PAB法向量n，代入线面角计算公式sincos,PCnPCnPCn==求解.【小问1详解】因为PA

D是正三角形，O是AD的中点所以POAD⊥又CD⊥平面PAD，PO平面PAD，所以POCD⊥又因为CDADD＝，AD平面ABCD，CD平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD；【小问2详解】取BC的中点M，则,,

OMADOMPO⊥⊥以O为坐标原点，分别以OAOMOP，，正方向为,,xyz轴建立空间直角坐标系Oxyz−，则(1,0,0),(1,2,0),(1,2,0),(0,0,3)ABCP−(1,2,3),(1,0,3),(0,2,0)PCPAAB=−−

=−=设平面PAB的法向量(,,)nxyz=由00ABnPAn==得2030yxz=−=，取(3,0,1)n=，设直线PC与平面PAB所成角，则6sincos,4PCnPCnPCn===，故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为64.17.在平面直角坐标

系xOy中，从下面的条件①、条件②中选择一个作为已知．（1）求E的标准方程；（2）若直线l过点(2,3)P−，与E相交于M，N两点，且||23MN=，求直线l的方程．①(3,0),(1,0)AB−是E一条直径的两个

端点；②圆心(1,0)E−，且E与直线350xy−+=相切．【答案】（1）22(1)4xy++=（2）2x=−或4310xy+−=【解析】分析】（1）选①，根据(3,0),(1,0)AB−，求得圆心和半

径即可；选②根据E与直线350xy−+=相切求得半径即可；（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为2x=−，根据弦长判断；当直线的斜率存在时，设直线方程为【()32ykx−=+，利用弦长公式求解；【小问1详解】解：选①，因为(3,0),(1,0)

AB−，所线段AB的中点为(1,0),4AB−=，则2R=，所以以AB为直径的圆的方程为22(1)4xy++=；是E一条直径的两个端点；选②因为圆心(1,0)E−，且E与直线350xy−+=相切，所以圆的半径为()215213r−+==+，所以圆的方程为22(1)4xy+

+=．【小问2详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为2x=−，圆心到直线的距离为1d=，则22223MNRd=−=，成立；当直线的斜率存在时，直线方程为()32ykx−=+，即230kxyk−++=，则圆心到直线的距离为2311kdk+==+，

解得43k=−，所以直线方程为4310xy+−=；综上：直线的方程为：2x=−或4310xy+−=.18.已知直三棱柱111ABCABC-中，侧面11AABB为正方形，2ABBC==，E，F分别为1,ACCC

的中点，D为棱11AB上的点，11BFAB⊥．（1）求证：ABBC⊥；（2）若D为棱11AB的中点，求点1A到平面DFE的距离；（3）当1BD为何值时，平面11BBCC与平面DFE所成二面角（锐角）最小？【答案】（1）证明见解析；（2）31414；（3）12.【解析】【分析

】（1）根据直棱柱的性质得到111ABBB⊥，再结合11BFAB⊥得到11AB⊥平面11BCCB，利用线面垂直的性质得到11ABBC⊥，再结合11AB∥AB即可证明ABBC⊥；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求点到面的距离；（3）设1BDa=，用空间向量的方法求二面角得

到22cos229aa=−+，然后得到当12a=时，锐二面角最小.【小问1详解】∵111ABCABC-为直棱柱，∴11AB∥AB，1BB⊥平面111ABC，∵11AB平面111ABC，∴111ABBB⊥，∵1BFBBB=，BF平面11BCCB，

1BB平面11BCCB，∴11AB⊥平面11BCCB，∵BC平面11BCCB，∴11ABBC⊥，又11AB∥AB，∴ABBC⊥.【小问2详解】如图，以B为原点，分别以1,,BABCBB为,,xyz轴

，建立空间直角坐标系，()12,0,2A，()1,1,0E，()0,2,1F，()1,0,2D，()10,0,2B，()1,1,1EF=−，()0,1,2ED=−，()11,0,0AD=−，设平面DFE的法向量为(),,mxyz=，点

1A到平面DFE的距离为d，020EFmxyzEDmyz=−++==−+=，令1z=，则2y=，3x=，则()3,2,1m=，则30031414941d−++==++.【小问3详解】设1BDa=，0,2a，则(),

0,2Da，()1,1,2EDa=−−，()0120EFmxyzEDmaxyz=−++==−−+=，令3x=，则2za=−，1ya=+，则()3,1,2maa=+−，由（1）得11AB可以作为平面11BBCC的一个法向量，()112,0,0AB=−，设平面

11BBCC与平面DFE所成二面角（锐角）为，则()()22263cos22142912aaaa−==−++++−，当12a=时，22214aa−+最小，cos最大，最小，所以当112BD=时，平面11BBCC与平面DFE所成二面角（锐角）最小

.19.在平面直角坐标系xOy中，二次函数2()(,,0)fxxaxbabb=++R的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三个点的圆记为M．（1）当4,2ab==时，求三角形ABC的面积；（2）求M的方程；（3）

问M是否经过定点（其坐标与a，b的值无关）？请证明你的结论．【答案】（1）22（2）M的方程为22(1)0xyaxbyb++−++=（3）过定点(0,1)，证明见解析.【解析】【分析】（1）当4,2ab==时，求出()()22,0,22,0AB−+−−，()0,2C，所以三角形ABC的面

积为1222222S==.（2）设出所求圆的一般方程，令0y=得到的方程与20xaxb++=是同一个方程；令0x=得到的方程有一个根为b，由此求得参数及M的一般方程．（3）把M方程里面的ab、合并到一起，分别令ab、的系数及剩余项为零，得到方程组，求解该方程组，求出圆过的定点．

【小问1详解】当4,2ab==时，2()42fxxx=++，令2()420fxxx=++=，得22x=−，不妨设()()22,0,22,0AB−+−−，则22AB=，令0x=，得()0,2C，所以三角形ABC的面积为1222222S==.【小问2详解】设所求圆的一般方程为220x

yDxEyF++++=，由题意得2()(,,0)fxxaxbabb=++R的图象与两坐标轴的三个交点即为圆220xyDxEyF++++=和坐标轴的交点，令0y=得，20xDxF++=，由题意可得，这与20xaxb++=是同一个方程，故Da=，Fb=．令0x=得，20yEyF++=，由

题意可得，此方程20xaxb++=有一个根为b，代入此方程得出1Eb=−−，∴M的方程为22(1)0xyaxbyb++−++=．【小问3详解】把M的方程改写为22(1)0xyyaxby+−++−=，令220100xyxyy=−=+−=，解得0

1xy==，故M过定点(0,1).获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com