【文档说明】北京市第一○一中学2024-2025学年高三上学期数学统练三 Word版含解析.docx，共(19)页，992.069 KB，由小赞的店铺上传

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北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练三班级：＿＿＿＿学号：＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿成绩：＿＿＿＿一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数z满足i34iz=−，则z的虚部为（）A.3iB.3i−C.3D.3−【答案】

D【解析】【分析】由i34iz=−，化简得到43iz=−−求解.【详解】解：因为复数z满足i34iz=−，所以34i43iiz−==−−，所以z的虚部为-3，故选：D2.已知nb是等比数列，若23b=，627b=，则4b的值为（）A.9B.9−C.9D.81【答案】A【解析

】【分析】根据等比中项的性质即可得到答案.【详解】由题得242632781bbb===，而2420bbq=，则49b=，故选：A.3.已知函数()fx的导函数()fx的图象如图所示，则()fx的极小值点为（）A.1x和4xB.2xC.3xD.5x【答案】D【解析】【分析

】根据导函数的图像，确定导函数取得正负的区间，得到原函数的单调性，从而可得选项.【详解】因为当()3,xx−，()0fx，所以()fx单调递增；当()35,xxx时，()0fx，当()5,xx+时，()0fx，所以()fx在()35,xx上单调递减，在()5,x+

上单调递增，故()fx的极小值点为5x.故选：D.4.在同一个坐标系中，函数()logafxx=，()xgxa−=，()ahxx=的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂

函数图象判断出a的范围，由此可得答案.【详解】因为在同一坐标系中，所以函数()logafxx=，()1xxgxaa−==的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD；在BC选项中，过原点的图象为幂函数()ahxx=的图象，

且由图象可知01a，所以()logafxx=单调递减，()1xxgxaa−==单调递增，故排除B，所以C正确.故选：C.5.已知实数,0abcabc，则下列结论一定正确的是（）A.aabcB.abbcC.11acD.2abbcacb++【答案

】D【解析】【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可.【详解】解：由题可知，0,0,0abc，A项中，若0abc，则aabc，故A项错误；B项中，若0abc，则0,0abbc，故abbc

，故B项错误；C项中，若0abc，则11ac，故C项错误；D项中，22()()abacbbcaabbcbcbcabcb−−−+−+，因为,0abcabc，则0bc−，故2abbcacb++正确，故D项正确.故选：D.6.设,

ab是非零向量，则“abab+=−”是“//abrr”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意利用平面向量的三角不等式可得结论.【详解】对于充分性，

易知abab+=−成立的条件是,ab方向相反，且ab，所以由abab+=−可得//abrr，所以充分性成立；对于必要性，若//abrr，,ab的方向也可以相同，此时满足abab+=+，因此必要性不成立，所以“abab+=−”是“//abrr”的充分而不必要条件.故选：A.7.已知函

数()()()cos20,πfxAxA=+是奇函数，且3π14f=−，将()fx的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为()gx，则（）A.()sing

xx=B.()singxx=−C.()πcos4gxx=+D.()πcos4gxx=−【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的性质及图象变换计算即可.【详解】由题意可知()ππZ2kk=+，π，所以π2=或π2=−，由3π3π1c

os142fA=−=+=−因为3π0cos02A+，所以π,12A=−=，即()πcos2sin22fxxx=−=，故()singxx=.故选

：A.8.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为a，甲同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%.n天后，甲同学的知识储备量为()12%na+，乙同学的

知识储备量为()12%na−，则甲、乙的知识储备量之比为2时，需要经过的天数约为（）（参考数据：lg20.3010，lg1022.0086，lg981.9912）A.15B.18C.30D.35【答案】B【解析】【分析】根据题意列式，结合对数运

算，即可求得答案.【详解】由题意可设经过n天后甲、乙知识储备量之比为2，则()()12%1022,29812%nnnnaa+==−，则lg20.3010(lg102lg98)lg2,18lg102lg982.00861.9912nn

−==−−（天），故选：B9.若数列na满足12a=，1123nnnSSna+++=+，则88Sa+的值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】B的【解析】【分析】由nS与na的关系求得()()112nnSnSn+=++，从

而1nSn+为常数列，得到1nSn=+，即可求88Sa+的值.【详解】由11nnnSSa++−=及1123nnnSSna+++=+得()()1123nnnnSSnSS+++=+−，即()()112323nnnnSSnSnS++−+=++，即()

()112nnSnSn+=++，所以112nnSSnn+=++，即1nSn+常数列，又11221Sa==，所以11nSn=+，即1nSn=+，所以878879,81,SSaSS===−=，所以8810Sa+=.故选：B10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七

号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m的A，B

两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.1t和2t分别是两个函数的极小值点.曲线a经过()()0110,

,,rtr和()20,tr，曲线b经过()22,tr.已知211212,4m,4srtrtrt===，并且从0t=时刻到2=tt时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（）A

.613,m/s74B.613,m/s72为C.235,m/s74D.235,m/s72【答案】B【解析】【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知6m,2mACBCv==，结合7mAB=分析求解即可.【详解】如图，建

立平面直角坐标系，设动点P的轨迹与y轴重合，其在120,,ttt=时刻对应的点分别为O（坐标原点），,DE，P的速度为m/s,0vv，因为1122112,4m,2s,4srtrtrtt====，可得22mr=，由题意可知：,ADBE均与y轴垂直，且4m,2m,2mADBEOD

DEv====，作BCAD⊥垂足为C，则6m,2mACBCv==，因为222ACBCAB+=，即236449v+=，解得132v=；又因为BC∥y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为ABC，所以P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值为6sin7ACABCAB==.故选：

B.【点睛】关键点点睛：建系，设动点P的轨迹与y轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解.二、填空题共5小题.11.已知集合A={﹣1，1，3}，B={2，2a﹣1}，A∩B={1}，则实数a的值是________．【答案】1【解析】【详解】由A∩B={1}知，1B，

即2a﹣1=1，解之得a=1，故填112.函数()()02143fxxx=−−−的定义域是___________.【答案】133,,244+【解析】【分析】根据底数不为0以及二次根式的被开方数大于等于0，列式可求定义域.【详解】由题意可知210430xx−

−，解得12x且34x，所以函数0()21(43)fxxx=−−−的定义域为133[,)(,)244+.故答案为：133[,)(,)244+.13.已知命题p：xR，2210axax++，

若命题p为假命题，则实数a的取值范围是___．【答案】)0,1【解析】【分析】根据已知中“xR，2ax2ax10++”为假命题，可以得到否定命题:“xR，2ax2ax10++”为真命题，则问题可转化为一个函数恒成立问题，对二次项系数a分

类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案．【详解】解：“xR，2ax2ax10++”为假命题，其否定“xR，2ax2ax10++”为真命题，当a0=时，显然成立；当a0时，2ax2ax10++恒成立

可化为：a024a4a0−解得0a1综上实数a的取值范围是)0,1.故答案为)0,1.【点睛】本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据原命题与其否定命题之间真假性相反，写出原命题的否定命题，并将问题转化为一个函数恒成立问题是解答本题的关键．14.已知等边A

BCV的边长为4，EF，分别是，ABAC的中点，则EFEA=_______；若MN，是线段BC上的动点，且1MN=，则EMEN的最小值为_______．【答案】①.2②.114##2.75【解析】分析】第一空：通过()EFEAEAAFEA=+展开整理，带入数据计算

即可；第二空：设,03BNtt=，通过()()EMENEBBMEBBN=++展开整理，带入数据然后配方求最值.【详解】()22222cos1202EFEAEAAFEAEAAFEA=+=+=+=;若MN，是线段BC上的动点，且1MN=，不妨设N点相对M更靠近B点，设,03BNtt=

，()()()2EMENEBBMEBBNEBBMBNEBBMBN=++=+++()()2221cos1201tttt=+++++22111324ttt=−+=−+，当12t=时，EMEN取最小值，且为114.故答案为：2；114.15.已知函数()

sincos23,xxfx=+其中x表示不超过x的最大整数.例如：11,0.50,0.51==−=−给出以下四个结论：①2π4;33f=②集合}R(,{)R|yyfxx=的元素个数为9;

③存在Ra，对任意的Rx，有()()faxfax=−+;【④()fxxa+对任意[0,2π]x都成立，则实数a的取值范围是3,2π,2−−其中所有正确结论的序号是__________

.【答案】①④【解析】【分析】利用给定定义直接判断①，卡出0,2πx，求出每个元素判断②，举反例判断③，利用题意分离参数，得到min()agx，再结合给定定义求解min()gx，最后得到参数范围即可.【详解】对于①，由()sincos23xxfx=+知，()3

2π2π1sincos20133242323233fx−−=+=+=+=，故①正确，对于②，由周期性可知，()fx的周期为2π，故讨论0,2πx即可，易得当0x=时，()01234fx=

+=，当π2x=时，()10233fx=+=，当πx=时，()014233fx−=+=，当3π2x=时，()103232fx−=+=，当2πx=时，()01234fx=+=，当π(,π)2x时，()

014233fx−=+=，当π(0,)2x时，()00232fx=+=，当3ππ,2x()时，()115236fx−−=+=，当3π,2π2x()时，()103232fx−=+=，故该集合元素个数为6，故②错误，对于③，显然在0,2

πx时，()fx的值域不关于xa=对称，故()fx不关于xa=对称，即()()faxfax−+，故③错误，对于④，当0x=时，()012304fxx−=+−=，当π2x=时，()10ππ23322fxx−=+−=−，当2πx=时，()01232π42πfxx−=+−=−，当π(0,)

2x时，()00π232(2,2)2fxxxx−=+−=−−，当π,π2x时，()01444π23π,3332fxxxx−−=+−=−−−，当3ππ,2x()时，()11553π523(,π)6626fxxxx−−−=+−=−

−−，当3π,2π2x时，()103333232π,π2222fxxx−=+−=−−−，而()fxxa+对任意[0,2π]x都成立，故()afxx−恒成立，令()()gxfxx=−，即min()agx，而显然3()2

π2gx−，可得32π2a−恒成立，即3,2π2a−−，故④正确.故答案为：①④【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数新定义，解题关键是找合理分离参数，然后利用给定定义求解函数最值，最后得到

所要求的参数范围即可．三、解答题共6小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.等差数列na中，首项11a=，且2342,,2aaa+−成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）求数列11nnaa+

的前n项和(N)nSn．【答案】（1）21nan=−（2）21nnSn=+【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求出d，进而得出数列na的通项公式；（2）根据裂项相消求和法得出前n项和为和(N)nSn.【小问1详解】因为2342,,2aaa

+−成等比数列，所以()()232422aaa=+−即()()()21112232adadad+=+++−，解得2=d，所以21nan=−；【小问2详解】因为12231111nnnSaaaaaa+=+++L，()1111335

2121nSnn=+++−+（），111111123352121nSnn=−+−++−−+，11122121nnSnn=−=++．17.已知函数2()23sincos2cos222xxxfx=−．（1）求𝑓(π3)的值；（2）求函数()fx的单调

递减区间及对称轴方程．【答案】（1）0；（2）2π5π2π,2π,33kkk++Z，2ππ,3xkk=+Z．【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简得π()2sin()16fxx=

−−，把π3x=代入函数解析式中，即可𝑓(π3)的值；（2）由正弦函数单调性和对称性，由整体代入法求解可得.【小问1详解】由2()23sincos2cos222xxxfx=−得()3sin(cos1)fxxx=−+3sincos1xx=−−π2sin()16x=−−所以πππ

()2sin()10336f=−−=.【小问2详解】令ππ3π2π2π,262kxkk+−+Z，得2π5π2π2π,33kxkk++Z所以函数()fx的单调递减区间是2π5π2π,2π,Z33kkk

++令πππ,62xkk−=+Z，得2ππ,3xkk=+Z即函数()fx的对称轴方程2ππ,3xkk=+Z18.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2222sinbcabcA+=−．（

1）求A的大小；（2）若D是边AB的中点，且2CD=，求22cb+的取值范围．【答案】（1）3π4A=（2）()4,42【解析】【分析】（1）根据余弦定理可以求解；（2）令ACD=，利用正弦定理，把边长,bc都用表示，最后用三角函数知识解得取值范围.【小问1详解】因为2222sinbca

bcA+=−所以2222sincossin22bcabcAAAbcbc+−==−=−，所以tan1A=−，又因为()0,πA，所以3π4A=；【小问2详解】令ACD=,因为3π4A=，所以π04，由正弦定理可得：2π22sin3πππsin4sinsinsin444b

CDbbA===−−−222sin3πsinsinsinsin4ADCDADADA===,所以242sincAD==，所以π2242sin2222sin42cos4cb+=+−=

，又因为π04，，所以2cos,12所以()224,42cb+19.已知函数()2112ln2fxaxxxx=+−−−.（1）求()fx的图象在点()()1,1f处的切线方程；（2）讨论()fx的单调区间.【答案】（1

）12y=−（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求解切线方程即可；（2）先将𝑓′(𝑥)整理为()()()()211,0xxfxaxxx−+−=，只需考虑()()1xax−−的符号即可，根据二次函数的图象性质对参数a分类讨论

可得结果.【小问1详解】()()()21111,10,12fxaxffxx=−−−==−.故()fx的图象在点(1,𝑓(1))处的切线方程为12y=−.【小问2详解】()()()()2211111,0xxfxax

axxxxx+−=−−−=−.①当0a时，令()0fx=，解得1x=，有x(0,1)1(1,+∞)𝑓′(𝑥)+0-()fx极大值故单调递增区间为(0,1)，单调递减

区间为(1,+∞).②当0a时，令()0fx=，解得1x=或xa=.当01a时，x()0,aa(),1a1(1,+∞)𝑓′(𝑥)-0+0-()fx极小值极大值故单调递增区间为(),1a，单调递减区间为()()0,,1,a+，当1

a=时，()()0,fxfx的单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间.当1a时，x(0,1)1()1,aa(),a+𝑓′(𝑥)-0+0-()fx极小值极大值单调递增区间为()1,a，单调递减区间为()()0,

1,,a+.综上，当0a时，()fx的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)；当01a时，单调递增区间为(),1a，单调递减区间为()()0,,1,a+；当1a=时，单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间；当1a时，单调递增区间为()1,a，单调递

减区间为()()0,1,,a+.20.已知()()21eaxfxxx=−−在0x=处的切线方程为0xyb++=．（1）求实数,ab的值；（2）证明：()fx仅有一个极值点0x，且()034fx−．（3）若()()1ekxgxkxx=−−，是否存在k使得()1gx−恒成立，存在请求出k的取

值范围，不存在请说明理由．【答案】（1）2,1ab==（2）证明见详解（3）不存在，理由见详解【解析】【分析】（1）求出()fx的导数，根据切线方程求出a，b的值即可；（2）求导可得()24e1xfxx=−，令()()g

xfx=，利用导数可得()gx的单调性，结合零点存在性定理可得()gx在10,4上存在唯一零点0x，且0204e1xx=，进而可得()fx的单调性，可判断极值情况；结合0204e1xx=代入化简()0001124fxxx=−+，运

算得证；（3）问题转化为()1e1kxkxx−−，对xR恒成立，当0k时，显然上式不成立；当0k时，令()()1e1kxxkxx=−−+，利用导数可得存在1210,xk，使得()10x=，

当()10,xx时，()0x，即()x单调递减，此时()()00x=，上式不能恒成立，得解.【小问1详解】由题意，()()22e1axfxaxa=+−−，则()011fa=−=−，解得2a=，又()01f=−，可得切点为()0,1−，代入0xyb++=，得1b=

.所以实数2,1ab==.【小问2详解】由（1）得()()221exfxxx=−−，则()24e1xfxx=−，令()()gxfx=，()()24e12xgxx=+，令()0gx，得12x−，令()0gx，得12x−，所以()gx在1,2−−上单调递

减，在1,2−+上单调递增，所以()1min12e102gxg−=−=−−，且当0x时，()0gx，()010g=−，121e104g=−，所以()gx在10,4上存在唯一零点0x，使得()0

0gx=即0204e1xx=，当()0,xx−时，()0gx，即()0fx，()fx单调递减，当()0,xx+时，()0gx，即()0fx，()fx单调递增，所以()fx仅存在一个极值点0x，010,4x，()()

()020000000011121e21424xfxxxxxxxx=−−=−−=−+，又函数14yxx=+，10,4x，而224104xyx−=，所以14yxx=+在10,4x上单调递减，则1544yxx=+，所以()0153244fx−=−.【小

问3详解】若存在k，使得()1gx−恒成立，即()1e1kxkxx−−，对xR恒成立，当0k时，当1x时，则()1e0kxkx−，显然上式不成立；当0k时，令()()1e1kxxkxx=−−+，()00=，则()2e1kxxkx=−

，令()()Gxx=，则()()21e0kxGxkkx=+在)0,+上恒成立，所以()Gx即()x在)0,+上单调递增，又()01=−，121e10kk=−，所以存1210,xk，使得()10x=，所以当()10,x

x时，()0x，即()x单调递减，此时()()00x=，所以()0x不恒成立，故当0k时，不存在k满足条件.综上，不存在k，使得()1gx−恒成立.【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是将问题

转化为()1e1kxkxx−−，对xR恒成立，分0k和0k讨论，其中0k时，令()()1e1kxxkxx=−−+，利用导数判断求解找出矛盾.在21.有穷数列12,,,(2)naaan中，令()()*1,1,,ppqSpqaaapqnpq+=+++

N，当p=q时，规定(),pSpqa=.（1）已知数列3213,,,−−，写出所有的有序数对(),pq，且pq，使得(),0Spq；（2）已知整数列12,,,,naaan为偶数，若(),11,2,,2nSinii−+=，满足：当i为奇数

时，(),10Sini−+；当i为偶数时，(),10Sini−+.求12naaa+++的最小值；（3）已知数列12,,,naaa满足()1,0Sn，定义集合()1,0,1,2,,1AiSinin=+=−.若()*12,

,,kAiiik=N且为非空集合，求证：()121,kiiiSnaaa+++.【答案】（1）()1,4、()2,3、()2,4、()3,4（2）1n−（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合题意，逐个计算即可得；（2）由题意可得()1,

0Sn，()2,10Sn−，可得当2ni时，有12iniaa−++，当2ni=时，1221nnaa++，结合11iniiniaaaa−+−+++，即可得解；（3）将()()121,kiiiSnaaa−+++展开，从而得到证明mia与1mia+之间的项之和，11

21iaaa−+++，112kkiinaaa−+++++都为正数，即可得证.【小问1详解】(),pq为()1,4时，()(),321310Spq=−++−+=，(),pq为()2,3时，()(),2110Spq=+−=，(

),pq为()2,4时，()(),21340Spq=+−+=，(),pq为()3,4时，()(),1320Spq=−+=，故pq，且使得(),0Spq的有序数对有()1,4、()2,3、()2,4、()3,4；【小问2详解】由题意可得(

)1,0Sn，()2,10Sn−，又na为整数，故()1,1Sn，()2,11Sn−−，则()()11,2,12nSnSnaa−−=+，同理可得()()212,13,22nSnSnaa−−−−=+−，即有212naa−+，同理可

得，当2ni时，有12iniaa−++，即当2ni时，有112iniiniaaaa−+−+++，当2ni=时，122,1122nnnnSaa++=+，故()()12121122nnnnnaaaa

aaaaa−++++=++++++()()121122nnnnaaaaaa−+++++++22112nn−=+=−；【小问3详解】对于数列12,,,naaa，12,,,kAiii=，不妨设12kiii，①首先考虑()1121

,2,,,21mmkiimkiin−−=−的情况，由于()1,0Sin，()11,0Sin+，故10ia，同理20ia，L，0kia，故()121,0kiiiSnaaa+++.②再考虑12,,,kiii中有连续一段是连续的正整数的情况，此时1,piA−1,qiA+11,

,1,,1),111mmiimppqpqk+−==+−−−,因为()()121,,ppqpiiqiSinSinaaa++−+=+++，()()10,,pqSinSin−+，故这说明此连续qp−项的

和为负.同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负，再由①中结论，可得()121,0kiiiSnaaa+++.的③若在①②中1211,2,,,mmiiimiA+===，由于()1,0mSin+，此时去掉前m项，则可转化①②的情

况，所以有()121,0kiiiSnaaa+++.④若()1,2,3,,1Ammn=−，则210mmnaaa+++++，所以此时有()121,kiiiSnaaa+++，综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于将()()121,kiiiSnaaa−++

+展开，从而得到证明mia与1mia+之间的项之和，1121iaaa−+++，112kkiinaaa−+++++都为正数，即可得证.