【文档说明】北京师范大学第二附属中学2023解高三上学期期中考试数学试题（解析版）.docx，共(17)页，863.634 KB，由小赞的店铺上传

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北师大二附中2023届高三（上）期中数学测试一、选择题（共10小题：共40分）1.若集合2230,1,0,1,2AxxxB=−−=−，则AB=（）A.{1,0,1,2}−B.{13}xx−C.{0,1,2}D.{1,0,1}−【答案】C【解析】【分析】先

将集合A化简，然后根据交集的运算，即可得到结果.【详解】因为2230xx−−，解得13x−即13Axx=−，且1,0,1,2B=−，所以0,1,2AB=故选:C.2.在复平面内，复数i1i+对应的点位

于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘除运算将复数化为代数形式，然后求出对应点的坐标，再判断对应点的象限即可.【详解】ii(1i)i111i1i(1i)(1i)222−+===+++−，其对应点的坐标为11,22

位于第一象限.故选：A3.下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（）A.sinyx=B.yx=C.3yx=−D.lgyx=【答案】A【解析】【分析】根据解析式可直接判定奇偶性和单调性，得出答案.【详解】对A，根据正弦函数的性质可得sinyx=

是奇函数，在()0,1单调递增，故A正确；对B，yx=的定义域为)0,+，不关于原点对称，故不是奇函数，故B错误；对C，3yx=−在()0,1单调递递减，故C错误；对D，lgyx=的定义域为()0,+，不关于原点对称，故不是奇函数，故D错误.故选：A.4.已知角终边经过点()3,4P，将

角的终边绕原点O逆时针旋转2得到角的终边，则tan等于（）A.43−B.34−C.45D.54−【答案】B【解析】【分析】先由条件求出tan，再根据角的旋转及诱导公式即可求解.【详解】因为角的终边经过

点()3,4P，所以4tan3=，所以3tantan()cot,24=+=−=−故选：B5.设128a=，3log2b=，2log3c=，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.bacC.b<c<aD.c<a<b【答案】C【解析】【分析】利用中间数

和对数函数的单调性可判断三者之间的大小，从而可得正确的选项.【详解】因为33log2log31b==，22log3log21c==，故cb.因为112222842log4log3ac====，故a

cb，故选：C.6.na为等比数列，若1a，3a，5a成等差数列，则3513aaaa+=+（）A.1B.2C.4D.8【答案】A的【解析】【分析】设公比为(0)qq，即得23513aaqaa+=+，根据等差中项的性质有2421qq=+，即可求值.

【详解】设na的公比为(0)qq，则223532131(1)(1)aaaqqaaaq++==++，而1a，3a，5a成等差数列，∴3152aaa=+，即2421qq=+，解得21q=.∴35131aaaa+=+.故选：A.7

.若ab，则一定有（）A.11abB.|a|>|b|C.22abD.33ab【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质或反例逐项检验后可得正确的选项.【详解】取1,1ab==−，则11ab，||||ab=，22ab=，故A、B、C均错误，由不等

式的性质可得33ab，故D正确.故选：D.8.已知非零向量,,abc，则“acbc=”是“ab=”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】考虑

两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OAaOBbOCcBAab====−,当ABOC⊥时，ab−与c垂直，，所以成立，此时ab，∴不是ab=的充分条件，当ab=时，0ab−=，∴()00abcc−==rrrrr,∴成立，的∴是ab=

的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.9.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即15

20)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（）A.32B.33C.34D.35【答案】D【解析】【分析】设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m,由他们年龄依次相差一岁得出(1)(2

)(28)1520nnnnm++++++++=，结合等差数列的求和公式得出111429mn=−，再由90,100m求出n的值.【详解】根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，90,100m，则有(1)(2)(28)2940

61520nnnnmnm++++++++=++=则有291114nm+=，则111429mn=−，所以90111429100m−解得34.96635.31n，因为年龄为整数，所以35n=.故选：D10.设A，B是有限集，定义：(,)()()dABc

ardABcardAB=−，其中card()A表示有限集A中元素的个数．命题①：对任意有限集A，B，“AB”是“(,)0dAB”的充分必要条件；命题②：对任意有限集,,,(,)(,)(,)ABCdACdABdBC+．则下列选项正确的是（）A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②

都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立【答案】A【解析】【分析】由题意，结合集合的相关性质，结合充分必要条件的定义，以及Venn图，结合作差法，可得答案.【详解】对于命题①，若AB，则()()cardABca

rdAB，所以()()(),0dABcardABcardAB=−，反之可以把上述过程逆推，故“AB”是“(),0dAB”的充分必要条件，则命题①成立；对于命题②，()()()()cardABcard

AcardBcardAB=+−，所以()()()(),2dABcardAcardBcardAB=+−，同理可得()()()(),2dACcardAcardCcardAC=+−，()()()(),2dBCcardBcardCcardBC=+−，所以()()(),,,dA

BdBCdAC+−()()()2cardAcardBcardAB=+−()()()2cardBcardCcardBC++−()()()2cardAcardCcardAC−+−()()()()2222cardBcar

dABcardBCcardAC=−−+()()()()222cardBcardACcardABcardBC=+−+()()()()()222cardBcardACcardACBcardABC=+−

+()()()()()22220cardBcardACBcardACcardABC=−+−，命题②成立.故选：A.二、填空题（共5小题；共25分）11.函数()3ln(1)fxxx=−+−的定义域是___

______．【答案】(1,3【解析】【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零，和对数的真数大于零即可求出答案．【详解】解：由题意得30,10,xx−−，解得13x，∴函数()fx的定义域为(1,3，故答案为：(1,3．12.已知向量(1,2)a=，向量(2,)bm=，

若ab+与a垂直，则实数m的值为__________．【答案】72−##3.5−【解析】【分析】根据向量垂直，利用向量数量积的坐标表示列方程求参数m.【详解】由题设(3,2)abm+=+，又ab+与a垂直，所以()3

1(2)20abam+=++=，可得72m=−.故答案为：72−13.已知1a，集合2Axaxa=−中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的一个值是____________．【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】由题设得4(2)2aa−−求参数范

围，即可得结果.【详解】由题设4(2)2aa−−且1a，可得23a，所以，符号条件的一个a值为2.故答案为：2（答案不唯一）14.已知函数()xxfxxee=−，若()fxa有且仅有两个不同整数解，则函数()fx的最小值为___________；实数a的取

值范围是___________.【答案】①.1−②.223,ee−−【解析】【分析】求出导函数()fx，确定()fx的单调性，得最小值(0)f，然后比较(1)f，(1)f−，(2)f−的大小

结合单调性可得结论．【详解】函数()xxfxxee=−，∴()xxxxfxexeexe=+−=，∴当0x时，()0fx，()fx单调递减；当0x时，()0fx¢>，()fx单调递增.∴当0x=时，()fx取得最小值，且()()min01

fxf==−.显然，()10f=.当1x时，()0fx恒成立，因为()fxa有且仅有两个不同的整数解，的则()()12faf−−，即223aee−−，223,aee−−.故

答案为1−；223,ee−−.15.记[]x为不超过实数x的最大整数，例如，[2]2=，[1.5]1=，[0.3]1−=−．设a为正整数，数列nx满足1xa=，1[][]()2nnnaxxxnN++=，现有下列命题：①当5a=时，数

列nx的前3项依次为5,3,2；②对数列nx都存在正整数k，当nk时总有nkxx=；③当1n时，1nxa−；④对某个正整数k，若1kkxx+，则[]nxa=．其中的真命题有____________．（写出所有真命题的编号）【答案】①③④【解析】

【详解】若5a=，根据1[][]()2nnnaxxxnN++=当n=1时，x2=[]=3,同理x3=,故①对.对于②③④可以采用特殊值列举法：当a=1时，x1="1,"x2="1,"x3=1,……xn

=1,……此时②③④均对.当a=2时，x1="2,"x2="1,"x3=1,……xn=1,……此时②③④均对当a=3时，x1="3,"x2="2,"x3=1,x4=2……xn=1,……此时③④均对综上，真命题有①③④[点评]此题难度较大，不容易寻找其解题的切入

点，特殊值列举是很有效的解决办法.三、解答题（共6小题；共85分）16.设函数()2cos(cos3sin)()fxxxxxR=+．（1）求函数()yfx=的周期和单调递增区间；（2）当0,2x时，求函数()fx的

最大值及对应的自变量取值．.【答案】（1）T=，单调增区间为,36kk−+，Zk；（2）6x=时，函数有最大值为3【解析】【分析】（1）化简得到()2sin216fxx=++，再计算周期和单调增区间得到

答案.（2）0,2x，则72,666x+，得到最值.【详解】（1）2()2cos(cos3sin)2cos23sincoscos213sin2fxxxxxxxxx=+=+=++2sin216x=++，故22T==.取2222

62kxk−++，Zk，解得36kxk−+,Zk,即单调增区间为,36kk−+，Zk.（2）0,2x，72,666x+，故当262x+=，

即6x=时，函数有最大值为()max2sin13636fxf==++=.【点睛】本题考查了三角函数的周期，单调区间，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.17.已知函数32

()()fxaxbxx=+R的图象过点(1,2)P−，且在点P处的切线恰好与直线30xy−=垂直．（1）求函数()fx的解析式；（2）若函数()fx在区间[,1]mm+上单调递增，求实数m的取值范围．【答案】（1）

32()3()fxxxx=+R（2）3m−或0m【解析】【分析】(1)将点P坐标代入函数解析式得到关于,ab的方程，再根据函数在切点处的导数等于切线的斜率再建立关于,ab的另一个方程，即可求出,ab，即可确定函数

()fx的解析式;(2)求出函数的单调区间，利用()[,1],20,mm+−−+可求解.【小问1详解】因为函数32()()fxaxbxx=+R的图象过点(1,2)P−,所以2ab−+=,又因为2()32fxaxbx=

+,且()fx点P处的切线恰好与直线30xy−=垂直,所以(1)323fab−=−=−,由2323abab−+=−=−解得13ab==,所以32()3()fxxxx=+R.【小问2详解】由(1)知2()36=3(2)fxxxxx=++，令()0fx，即

3(2)0xx+，解得<2x−或0x，令()0fx，即3(2)0xx+，解得20x−，所以()fx在(,2)−−单调递增，(2,0)−单调递减，(0,+)单调递增，根据函数()fx在区间[,1]mm+上单调递增，则有12m+−或0m，解得3m

−或0m.18.已知①23cb=，②4B=，③2a=，在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：()(sinsin)(3sinsin)baBAcBC−+=−（1）求角A的大小；（2）已知_________，__

_______，且ABC存在，求ABC的面积．【答案】（1）A=6（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理将已知式子中的正弦转化为相应的边，后利用余弦定理可得答案.（2）若选择①②，可求出C，后可发现sinsincCbB，则相应三角形不存在.若选择①③，利

用余弦定理结合23cb=，可得到b和c.后利用1sin2SbcA=可得答案.若选择②③，利用正弦定理结合4B=，可得到b.后利用余弦定理得到c，最后利用in12sSabC=得到答案.【小问1详解】由正弦定理sinsinsinabcABC==，()(sinsin)(

3sinsin)baBAcBC−+=−()()()3babacbc−+=−，即，得2223cos22bcaAbc+−==，又A在三角形中，则A=6【小问2详解】若选择①②，因4B=，A=6，则762sinsinsinsin4612434C+

=−−==+=.由正弦定理sinsinsinabcABC==，则sin31sin2CcBb+==23，故符合条件的三角形不存在.若选择①③，由余弦定理有222cos2bcaAbc+−=，又23cb=，A=6，2a=则221343cos243b

Ab−==，解得27b=，则437c=.则1sin2ABCSbcA=124312322777==，即ABC面积为237.若选择②③，由正弦定理有sinsinsinabcABC==，则sinsinbBaA=，又4B=，2a=，A=6.则2sin42212sin62b===，

得22b=.又4B=，A=6，则762sinsinsinsin4612434C+=−−==+=.则1162sin22231224ABCSabC+===+，即ABC面积为31+.19.某辆汽车以x

公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60120x)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为145001005xx−+升.(1)欲使每小时的油耗不超过9升,求x的取值范围;(2)求该汽车行驶100公里的

油耗y关于汽车行驶速度x的函数,并求y的最小值.【答案】（1）60,100;（2）y=2118090000909x−+,(其中60120x);最小值为809升.【解析】【分析】(1)令1450010095xx−+,求出解集,结合题意得出x的取值范围;

(2)写出y关于x的函数,求出函数的最小值即可.【详解】（1）由题意,令1450010095xx−+,化简得214545000xx−+,解得45100x;又因为60120x,所以欲使每

小时的油耗不超过9升,x的取值范围是60,100;（2）设该汽车行驶100公里的油耗为y;则100145001005yxxx=−+=2118090000909x−+,(其中60120x)

;由60120x,知111,12060x,所以x=90时,汽车行驶100公里的油耗取得最小值为809升.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法以及二次函数的最值，属于基础题.20.已知函数()

1xxfxe−=.（1）求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（2）求函数()fx的零点和极值；（3）若对任意)12,,xxa+，都有()()1221efxfx−−成立，求实数a的最小值.【答案

】（1）210xy+−=；（2）零点1x=，极小值21e−；（3）1.【解析】【详解】（1）因为，所以'(0)2f=−．因为，所以曲线在处的切线方程为.（2）令，解得，所以的零点为.由解得，则及的情况如下：2－0+所

以函数在时,取得极小值.（3）法一：当时，.当时，.若，由（2）可知的最小值为，的最大值为，所以“对任意，有恒成立”等价于即，解得.所以的最小值为1.法二：当时，.当时，.且由（2）可知，的最小值为，若，令，则而，不符合要求，

所以.当时，,,所以，即满足要求，综上，的最小值为1.21设集合,,N,N,,STSTST中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意,xyS，若xy，都有xyT；②对于任意,xyT，若xy，则ySx．（1）分别

对{1,2,4}S=和{2,4,8}S=，求出对应的ST；（2）如果当S中恰有三个元素时，ST中恰有4个元素，证明：S中最小的元素是1；（3）如果S恰有4个元素，求ST的元素个数．【答案】（1）{1,2,4}

S=时{1,2,4,8}ST=，{2,4,8}S=时{2,4,8,16,32}ST=；（2）证明见解析；（3）7个元素.【解析】【分析】（1）根据定义，应用列表法分别列举得出{2,4,8}T=、{8,16,32}T=，再应用

集合并运算求结果；（2）对于{,,}Sabc=且abc，*,,Nabc，列举出满足①时{,,}Tabacbc=且abacbc，再结合②及S元素个数，讨论cca=、cba=求对应ST的元素个数，即可证结论；（3）对于{,,,}Sabcd=且abcd，*,,,Nabcd，列举出满

足①时{,,,,,}Tabacbcadbdcd=且min{,}max{,}abacbcadbcadbdcd，结合②及S元素个数，讨论bcad、bcad、bcad=，进而确定ST中的元素即可.【小问1详解】对于{1,2,4}S=，集合T的元素如下：xy且xy1x=2x=4

x=1y=−242y=2−84y=48−由表得：{2,4,8}T=，此时要满足xy有ySx，如下表：yx且xy2x=4x=8x=.2y=−−−4y=2−−8y=42−显然2,4S满足要求，所以

{2,4,8}T=，则{1,2,4,8}ST=；对于{2,4,8}S=，集合T的元素如下：xy且xy2x=4x=8x=2y=−8164y=8−328y=1632−由表得：{8,16,32}T=，此时要满足xy有ySx，如下表：yx且xy8x=16x=32x=8y

=−−−16y=2−−32y=42−显然2,4S满足要求，所以{8,16,32}T=，则{2,4,8,16,32}ST=.【小问2详解】对于{,,}Sabc=且abc，*,,Nabc，集合T的元素如下：xy且xyxa=

xb=xc=ya=−abacyb=ab−bcyc=acbc−由表得：{,,}Tabacbc=且abacbc，此时要满足xy有ySx，如下表：yx且xyxab=xac=xbc=yab=−−−yac=cb−−ybc=caba−其中ccba、bcaa且cb、ba、cSa，当c

ca=时1a=，此时必有ba=cbb=，即2cb=，故2{1,,}Sbb=，23{,,}Tbbb=，则23{1,,,}STbbb=，满足要求；当cba=时，必有ba=cab=，即2ba=，3caba==，故23{,,}Saaa=，3

45{,,}Taaa=，则2345{,,,,}STaaaaa=，不满足要求；综上，当S中恰有三个元素时，ST中恰有4个元素，S中最小的元素是1，得证.【小问3详解】对于{,,,}Sabcd=且abcd，*,,,Na

bcd，集合T的元素如下：xy且xyxa=xb=xc=xd=ya=−abacadyb=ab−bcbdyc=acbc−cdyd=adbdcd−由表得：{,,,,,}Tabacbcadbdcd=且min{,}max{,}abacb

cadbcadbdcd，此时要满足xy有ySx，如下表：yx且xyxab=xac=xbc=xad=xbd=xcd=yab=−−−−−−yac=cb−−−−−ybc=caba−*−−yad=dbdc*−−−ybd=dabdacdcba−−ycd=cdab

dadbcacb−当bcad时，上表第一列有cddcdcabaabb且均属于集合S，而{,,,}Sabcd=，矛盾；当bcad时，上表第一列有cdddccababab且均属于集合S，而{,,,}Sabcd=，矛盾当bcad=时，则m

ax{,}min{,}cddbddcbddcdbabaacbaacbaca===且均属于集合S，而{,,,}Sabcd=，此时只需满足bddcacba==，则dbacabddcbacbadcacddab

=======，可得234{,,,}Saaaa=，且34567{,,,,}Taaaaa=，注意a不等于1，所以234567,,,,{},,aaaaaaSTa=，故共有7个元素.【点睛】关键点点睛：后两问，首先设出集合S，根据题设集合的性

质①列举出集合T中可能元素，再结合集合的性质②，由S中元素个数分类讨论确定所设元素的数量关系，即可得结果.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com