【文档说明】高中数学人教版必修5教案：2.3等差数列的前n项和 （系列五）含答案【高考】.doc，共(5)页，72.000 KB，由小赞的店铺上传

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12.3等差数列的前n项和教学目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路，会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题；提高学生的推理能力，增强学生的应用意识.教学重点：等差数列前n项和公式的推导、理解及应用.教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的

有关问题教学过程：Ⅰ.复习回顾经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：（1）an－an－1＝d(n≥1)，d为常数.（2）若a，A，b为等差数列，则A＝a＋b2.（3)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.（其中m，n，p，q均为正整数）Ⅱ.讲授新课随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样

的问题.例：如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系

，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？首先，我们来看这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是

怎么算的吗？高斯的算法是：首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和：2＋99＝101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，……新课标第一网第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是101×1002＝5050.这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题

，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算

式，那么上述问题便可迎刃而解.xkb1.com设等差数列{an}的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an①把项的次序反过来，Sn又可写成Sn＝an＋an－1＋…＋a1②①＋②2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)又∵a2＋

an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3＝…＝an＋a1∴2Sn＝n(a1＋an)2即：Sn＝n（a1＋an）2若根据等差数列{an}的通项公式，Sn可写为：Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n－

1)d]①,把项的次序反过来，Sn又可写为：Sn=an+(an－d)+…+[an－(n－1)d②],把①、②两边分别相加，得2Sn＝个nnnnaaaaaa)()()(111++++++＝n(a1＋an)即：Sn＝n（a1＋an）2.xKb1.Com由此可得等差数

列{an}的前n项和的公式Sn＝n（a1＋an）2.也就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.用这个公式来计算1＋2＋3＋…＋100＝？我们有S100＝100（1＋100）2＝5050.又∵an＝a1+(n－1

)d,∴Sn＝n（a1＋an）2＝n[a1＋a1＋（n－1）d）]2＝na1＋n（n－1）2d∴Sn＝n（a1＋an）2或Sn＝na1＋n（n－1）2d有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如

何解决？分析题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{an}，其中a1＝1，a120＝120，n＝120.解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{an}，其中n＝120，a1＝1，a120＝120.则：S120＝120（1＋120）2＝7260

答案：这个V形架上共放着7260支铅笔.下面我们再来看一例题：等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项的和是54?分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.解：设题中的等差数列为{an}，前n项为的Sn，由题意可

知：a1＝－10，d＝(－6)－(－10)＝4，Sn＝54由等差数列前n项求和公式可得：－10n＋n（n－1）2×4＝54解之得：n1＝9，n2＝－3(舍去)答案：等差数列－10，－6，－2，2，…前9项的和是54.［例1］在等差数列{an}中，（1）已知a2＋a5＋a12＋a15＝3

6，求S16（2）已知a6＝20，求S11.分析：（1）由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a1，a16，d，但由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a1＋a16的和，于是问题得以解决.（2）要求S11只需知道a1＋a11即

可，而a1与a11的等差中项恰好是a6，从而问题获解.解：（1）∵a2＋a15＝a5＋a12＝a1＋a16＝183∴S16＝16（a1＋a16）2＝8×18＝144.（2）∵a1＋a11＝2a6∴S11＝11（a1＋a11）2＝11a6＝11×20＝

220.［例2］有一项数为2n＋1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比.分析一：利用Sn＝na1＋n（n－1）2d解题解法一：设该数列的首项为a1，公差为d，奇数项为a1，a1＋2d，…其和为S1，共n＋1项；偶数项为a1＋d，a1＋3d，a1

＋5d，…，其和为S2，共n项∴S1S2＝（n＋1）a1＋12（n＋1）[（n＋1）－1]2dn（a1＋d）＋12n（n－1）2d＝n＋1n.分析二：利用Sn＝n（a1＋an）2解题.解法二：由解法一知：S1＝（n＋1）（a1＋a2n＋1

）2，S2＝n（a2＋a2n）2∵a1＋a2n+1＝a2＋a2n∴S1S2＝n＋1n［例3］若两个等差数列的前n项和之比是（7n＋1）∶(4n＋27)，试求它们的第11项之比.分析一：利用性质m＋n＝p＋qam＋an＝ap＋aq解题.解法一：设数列{an}的前n项和

为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn.则：a11＝a1＋a212，b11＝b1＋b212,∴a11b11＝a1＋a212b1＋b212＝a1＋a212·21b1＋b212·21＝S21T21＝7×21＋14×21＋27＝43分析二：利用等差

数列前n项和Sn＝An2+Bn解题.解法二：由题设，令Sn＝(7n＋1)·nk，Tn＝(4n＋27)·nk[由an＝Sn－Sn－1＝k(14n－6)，得a11＝148k，n≥2bn＝Tn－Tn－1＝k(8n－23)，得b11＝111k，n

≥2,∴a11b11＝148k111k＝43评述：对本例，一般性的结论有：已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，则：（1）anbn＝S2n－1T2n－1；(2)ambn＝2n－12m－1·S2m－1T2n－1［例4］等差数列{an}的前m项和为30，前2m项

和为100，则它的前3m项和为A.30B.170C.210D.260答案：C分析一：把问题特殊化，即命m＝1来解.4解法一：取m＝1，则a1＝S1＝30，a2＝S2－S1＝70∴d＝a2－a1＝40，a3＝a2＋d

＝70＋40＝110，S3＝a1＋a2＋a3＝210分析二：利用等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋n（n－1）2d进行求解.解法二：由已知，得Sm＝ma1＋m（m－1）2d＝30S2m＝2ma1＋2m（2m－1）

2d＝100解得a1＝10m＋20m2，d＝40m2∴S2m＝3ma1＋3m（3m－1）2d＝210.分析三：借助等差数列的前n项和公式Sn＝n（a1＋an）2及性质m＋n＝p＋qam＋an＝ap＋aq求解.解法三：由已知得m（a1＋am

）＝60①m（a1＋a2m）＝100②3m（a1＋a3m）＝2S3m③a3m－a2m＝a2m－am④由③－②及②－①结合④，得S3m＝210.分析四：根据性质：“已知{an}成等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…(k≥2)成等差数列”解题.解法

四：根据上述性质，知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列.故Sm＋(S3m－S2m)＝2(S2m－Sm),∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.分析五：根据Sn＝an2＋bn求解.解法五：∵{an}为等差数列，∴设Sn＝a·n2＋b·n,∴Sm＝am2＋bm＝30，S2m＝4m2a＋2

mb＝100得a＝20m2，b＝10m∴S3m＝9m2a＋3mb＝210.分析六：运用等差数列求和公式，Sn＝na1＋n（n－1）2d的变形式解题解法六：由Sn＝na1＋n（n－1）2d，即Snn＝a1＋n－12d由此可知数列{Snn}也成等差数列，也即Smm，S2m2m，S3m3m成等差数列.

由S2m2m＝Smm＋S3m3m，Sm＝30，S2m＝100∴S3m＝210评述：一般地，对于等差数列{am}中，有Sp－Sqp－q＝Sp＋qp＋q(p≠q).5[例5]在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成等

差数列，求这10个数的和.分析：求解的关键有二：其一是求和公式的选择；其二是用好等差数列的性质.解法一：设插入的10个数依次为x1，x2，x3，…，x10，则a，x1，x2，…，x10，b成等差数列.令S＝x1＋x2＋x3＋…＋x10，需求出首

项x1和公差d.∵b＝a12＝a1＋11d∴d＝b－a11，x1＝a＋b－a11＝10a＋b11∴S＝10x1＋10×92d＝10·10a＋b11＋10×92·b－a11＝5(a＋b)解法二：设法同上，但不求d.依x1＋x10＝a＋b∴S＝10（x1＋x10）2

＝5(a＋b)解法三：设法同上，正难则反∴S＝S12－(a＋b)＝12（a＋b）2－(a＋b)＝5(a＋b)评述：求和问题灵活多变，要注意理解和运用.［例6］在凸多边形中，已知它的内角度数组成公差为5°的等差数列，且最小角

是120°，试问它是几边形？解：设这是一个n边形，则Sm＝n×1200＋n（n－1）2·50＝（n－2）×18001200＋（n－1）·50＜1800n2－25n＋144＝0n＜13n＝9所以这是一个九边形.Ⅲ.课堂练习课本P42练习1，2，3，4.Ⅳ.课时小结通过本节学习

，要熟练掌握等差数列前n项和公式:Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d及其获取思路.Ⅴ.课后作业课本P45习题1，2，3