【文档说明】重庆市第一中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题 含解析.docx，共(27)页，1.775 MB，由小赞的店铺上传

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2023年重庆一中高2025届高二上期第一次月考考试数学试题卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效.3.

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的）1.椭圆22125xy+=的短半轴长为（）A.22B.2C.5D.3【答案】B【解析】【分析】根据椭圆方程

确定短半轴长即可.【详解】由椭圆方程知：2b=，即短半轴长为2.故选：B2.双曲线()222210,0xyabab−=的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（）A.π4B.2π3C.3π4D.5π6【答案】B【解析】【分析】由双曲线的渐近线的斜率与双

曲线的离心率的关系，以及直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由于双曲线()222210,0xyabab−=渐近线为byxa=，且注意到双曲线的离心率为cea=，又在双曲线中有平方关系：222cab=+，的所以离心率为2

2221cabbeaaa+===+，又由题意2e=，所以有2212ba+=，解得3ba=，即双曲线的渐近线的斜率为3ba=，由直线斜率和倾斜角的关系可知此双曲线的渐近线的倾斜角可以是2π3或π3.

故选：B.3.在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若2ac=，则2222sinsinsinCAA−的值为（）A.1−B.1C.3D.7【答案】D【解析】【分析】由正弦定理边角转化即可得.【详解】已知2ac=，又由正弦定理sinsinacAC=得，s

in2sinCcAa==，则222222sinsin2sin1sinsinCACAA−=−22212217ca=−=−=.故选：D.4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得

到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆，且与矩形ABCD的四边相切.则下列椭圆的标准方程中满足题意的是（）A.2218116xy+=B.2216581xy+=C.22110064xy+=D.22

164100xy+=【答案】A【解析】【详解】依次求出与选项中椭圆相切的矩形ABCD的面积，得到答案.A选项，2218116xy+=中，9,4ab==，故与2218116xy+=相切的矩形面积为494144=，满足

要求；B选项，2216581xy+=中，9,65ab==，此时矩形面积为43665ab=，不合要求；C选项，22110064xy+=中，10,8ab==，此时矩形面积为4320ab=，不合要求；D选项，同理可得，此时矩形面积为4320ab=，不合要求.故选：A5.圆心在y轴上

的圆C与直线1xy−=相切于点()1,0A，则圆心C的纵坐标为（）A.2B.2C.1D.0【答案】C【解析】【分析】由题意直线AC垂直于直线1xy−=，利用点斜式写出直线AC，再求其与y轴交点即得结果.

【详解】由题设，直线AC垂直于直线1xy−=，则直线:(1)10ACyxxy=−−+−=，又圆心C在y轴上，令0x=，则1y=，即圆心C的纵坐标为1.故选：C6.设1F、2F分别是双曲线C：22124x

y−=的左、右两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且1212OPPFPF=−，则1PFO的面积为（）A.4B.22C.3D.2【答案】A【解析】【分析】由题设可得211||2OPFFc==，进而确定P的位

置，易知1PFO为直角三角形，最后利用双曲线定义求直角边，即可求面积.【详解】由122111||622OPPFPFFFc=−===，所以P是以原点为圆心，6为半径的圆与双曲线C的交点，又12(6,0),(6,0)FF−，即它们也在P

点所在的圆上，且21||FF为直径，所以1PFO为直角三角形，1290FPF=，如上图，12||222||PFPFa==−，且22212|||424|PFPFc=+=，所以22222222(22||)|24|22|80|102||||PFPFPFPFPF++=+−==

−，则1||102PF=+，故1PFO的面积为121||||42PFPF=.故选：A7.斜率为k的直线l与椭圆C：22163xy+=交于A，B两点，线段AB的中点为()2,Mm，则k的范围是（）A.1kB.1133k−C.1k−或1kD.2

233k−【答案】C【解析】【分析】由点在椭圆内有24163m+求m范围，设直线方程联立椭圆整理为一元二次方程形式，则必有0，4ABxx+=，结合韦达定理有1mk=−，即可求k的范围.【详解】由题设，()2,Mm在椭圆C内，则24111

63mm+−，设直线:(2)lykxm=−+代入椭圆2226xy+=，整理得222(12)4(2)2(2)60kxkmkxmk++−+−−=且0，则24(2)412ABkkmxxk−+==+，由图知：直线斜率不可能为0，所以1mk=

−，故1111kk−−−或1k.故选：C8.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=，00(,)Mxy是直线40bxaya−+=上任意一点，若圆()()22008xxyy−+−=与双曲线C的右支没有公

共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A.(1,2B.(1,2C.()2,+D.)42,+【答案】A【解析】【分析】由题意可得双曲线的一条渐近线与直线40bxaya−+=，利用平行线间的距离公式求出它们之间的距离d，则由题意可得22d，从而可

求出离心率的范围【详解】双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的一条渐近线方程为byxa=，即0bxay−=，则直线40bxaya−+=与直线0bxay−=的距离为2244aadcab==+，因为点00(,)Mxy是直

线40bxaya−+=上任意一点，且圆2200()()8xxyy−+−=与双曲线C的右支没有公共点，所以22d，即422ac，得离心率2cea=，因为1e，所以双曲线的离心率的取值范围为(1,2]

，故选：A.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知圆1C：()2234xy−+=，圆2C：221xy+=，则（）A.两圆外切B.直线1x=是两圆的一条公切线C.直线2xmy=+被圆

1C截得的最短弦长为23D.过点23,22作圆2C的切线仅有一条【答案】ABC【解析】【分析】由两圆的位置关系可判断A；由直线与圆的位置关系可判断B，C，D.【详解】对于A，已知圆1C：()2234xy−+=，圆2C：221xy+=，则()113,0,2Cr

=，()220,0,1Cr=，12123CCrr==+，所以两圆外切，故A正确；对于B，圆心()13,0C到直线1x=的距离为2，圆心()20,0C到直线1x=的距离为1，故直线1x=是两圆的一条公切线，故B正确；对于C，直线2xmy=+恒过定点()2,0A，圆心

()13,0C到直线2xmy=+的最大距离为11CA=，所以直线2xmy=+被圆1C截得的最短弦长为222123−=，故C正确；对于D，因为2223235122444+=+=

，所以点23,22在圆2C外，故过点23,22作圆2C的切线有两条，D错误.故选：ABC.10.已知曲线C：44xxyy−=，()00,Pxy为C上一点，则（）A.曲线C在

第一象限的图象为双曲线的一部分B.点()00,Pxy不可能落在第三象限C.直线220xy−−=与曲线C有两个交点D.若直线l：1ykx=−与曲线C有三个交点，则12,22k【答案】AC【解析】【分析】讨论,xy符号研究不同象限对

应曲线C，结合椭圆、双曲线性质，数形结合判断各项的正误即可.【详解】当0,0xy，则曲线2222:4414xCxyy−=−=，双曲线的一部分；当0x=，则曲线C：441yyy−==−；当0,0xy，则曲线22:

44Cxy−−=不存在；当0y=，则曲线C：||42xxx==；当0,0xy，则曲线2222:4414xCxyy−+=−=，双曲线的一部分；当0,0xy，则曲线2222:4414xCxyy+=+=，椭圆的一部分；又220xy−−=过点(2,0),(0,1)−，且曲线C在第

一、三象限对应双曲线的一条渐近线为20xy−=，所以，曲线C如下图示：所以A、C对，B错；由1ykx=−恒过(0,1)−，结合C项分析，如下图示，显然1(0,)2k时1ykx=−与曲线C也有三个交点，D错.故选：AC11.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为

4，O为空间中一点，则下列结论中正确的是（）A.直线1AC和平面ABCD所成角的余弦值为63B.正方体1111ABCDABCD−的外接球表面积为48πC.若O在正方形11DCCD内部，且26OB=，则点O轨迹的长

度为2πD.若O在正方形ABCD内部，且1π6ODC=恒成立，则点O轨迹为圆的一部分【答案】ABC【解析】【分析】由线面角定义求直线1AC和平面ABCD所成角的余弦值判断A；由正方体外接球半径为体对角线的一半，应用球体表面积公式求表面积判断B；由已知确定O轨迹图形，进

而求其长度判断C；利用一个与轴成π4的平面ABCD截一个圆锥体所得的图形即知O轨迹判断D.【详解】A：由1AA⊥面ABCD，所以直线1AC和平面ABCD所成角为1ACA，则11426cos343ACACAAC===，对；B：由正方体外接球半径为体对角

线的一半，即为23，则其表面积为24π(23)48π=，对；C：由O在正方形11DCCD内部，且26OB=，若,EF分别是1,CDCC上的点，且22CECF==，此时26BEBF==，由图知：O在EF上，故以C为圆心，22为半

径的四分之一圆弧上，所以点O轨迹的长度为142π2π4=，对；D：由于1CD与面ABCD不垂直，O在正方形ABCD内部，且1π6ODC=恒成立，以1CD为轴，过1D与轴成π6的直线在旋转过程中在面ABCD上轨迹分析如下：以1CD为轴，过1D与该轴成π6的直线旋转得轴截面为等边三角形

的圆锥体，O在面ABCD上轨迹：用面ABCD与1CD所成角为π4，且过C点在圆锥侧面所截得的图形，即为椭圆，如下图，该圆锥的轴截面且正方形11CDDC为正方体一个侧面，1π6GDC=，所以O在面ABCD上轨迹：以GH为长轴长的椭圆，故点O轨迹为椭圆的一部分，错.故选：

ABC12.已知椭圆C：()222123xyaa+=的左、右焦点分别为1F，2F，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：2226xya+=+于M，N两点，下列结论正确的是（）A.实数a越大，椭圆C越圆B.若12PFPF⊥，且OPPM=，则22e=

C.当2a=时，过1F的直线1l交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且112AFFB=，则1l的斜率5k=D.若126PFPF=，则9PMPN=【答案】BD【解析】【分析】A选项，根据离心率231ea=−得到a越大，e越大，椭圆C越扁；B选项，根据12PFPF

⊥，得到1212FOcFP==，又OPPM=，得到方程，求出226,3ac==，得到离心率；C选项，设出1l的方程1xmy=−，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，结合112AFFB=求出m的值，从而求出直线斜率；D选项，表达出10PFaex=+，20PFaex=−，从

而得到方程，求出()222026aaxc−=，进而表达出22PMPNOMOP=−9=，D正确..【详解】A选项，因为2a，所以24a，此时23ca=−，故椭圆离心率为22223331aaeaaa−−===−，a越大，则离心率e越大，故椭圆C越扁，A错误；B选项

，因为12PFPF⊥，则1212FOcFP==，又OPPM=，则2OMc=，故262ac+=，又223ca=−，解得226,3ac==，故3226cea===，B正确；C选项，当2a=时，椭圆C：2214

3xy+=，且()11,0F−，当过1F的直线1l斜率为0时，此时A在x轴上，不合要求，舍去，设过1F的直线1l的方程为1xmy=−，因为点A在x轴的上方，且112AFFB=，所以直线1l的斜率大于0，联立22143xy+=得，()2234690mymy+−−=，设()()1

122,,,AxyBxy，则12122269,3434−+==++myyyymm，因为直线所过定点1F在椭圆内部，则直线与椭圆必有两交点，因为112AFFB=，所以122yy=−，故2222269,23434myymm=−=++，所以2226923434mmm−=

++，解得255m=，负值舍去，所以直线1l的方程的斜率152km==，C错误；D选项，设()00,Pxy，则2200213xya+=，所以2200233xya=−，则()()2200222222100

00333132xxaPFxacyxccxc−−+=++==++++()2202200022cxaaaacxexex=+=++=+，同理可得20PFaex=−，由126PFPF=得22206aex−=，故()222202266aaaxec−−==，则()22200

2233633xycaa==−−−，又,PMOMOPPNOMOP=−=−，故()22222006PMPNOMOPaxy=−=+−+()()()222222222263633366aaaaaacacc−−−+−=−+++−=()22693aa+−=−=，D正确.故选：BD【点

睛】椭圆焦半径公式：（1）椭圆()222210xyabab+=上一点()00,Mxy，其中椭圆左右焦点分别为()()12,0,,0FcFc−，则10MFaex=+，20MFaex=−，（2）椭圆()222210yxabab+=上一点()00,Mxy，其中椭圆下上焦点分别为()

()120,,0,FcFc−，则10MFaey=+，20MFaey=−，记忆口诀：左加右减，下加上减.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上）13.若直线1l：220axy−+=与直线2l：()24

10xay+++=平行，则实数=a_____________.【答案】2−【解析】【分析】根据平行关系得到方程，求出答案.【详解】由题意得()()4220aa+−−=，解得2a=−，检验符合.故答案为：2−14.焦点在y轴上且中心为原点的椭圆2C与椭圆1C：2212xy+=离心率相同，且1C

，2C在第一象限内公共点的横坐标为1，则2C的方程_______________【答案】2224155yx+=【解析】【分析】先求出椭圆1C的离心率，1C，2C在第一象限内公共点的坐标，从而利用待定系数法求出2C

的方程.【详解】椭圆1C中，22,211ac==−=，故椭圆1C的离心率为1222=，2212xy+=中，令1x=得22y=，故1C，2C在第一象限内公共点的坐标为21,2，设2222211:1yxCab+=，将21,2

代入可得22111112ab+=，又2211122aba−=，解得2154b=，2152a=，故答案为：2224155yx+=.15.焦距为12的双曲线22221xyab−=的左右焦点分别为1F，

2F，P是双曲线右支上一点，I为12PFF△的内心，PI交x轴于Q点，若12FQPF=，且:2:1PIIQ=，则双曲线的实轴长为_______________【答案】8【解析】【分析】设Iyn=，则3Pyn=，12PFF△内切圆半径为n，

根据三角形面积的两种表达得到方程，求出1224PFPF+=，结合双曲线定义得到1212,12PFaPFa=+=−，因为12FQPF=，表达出1FQ，2QF，由正弦定理得到1122PFQFPFQF=，得到方程，求出4a=，得到焦距.【详解】由题意得()()126,0,6,

0FF−，设Iyn=，因为:2:1PIIQ=，所以3Pyn=，因为I为12PFF△的内心，所以12PFF△内切圆半径为n，则()()12121212111222PFFSPFPFFFnPFPFn=++=++，又121213182PFFSFFnn==，

故()12112182PFPFnn++=，解得1224PFPF+=，根据双曲线定义可知，122PFPFa−=，解得1212,12PFaPFa=+=−，因为12FQPF=，所以112FQa=−，因为1212FF=，所以2121F

QaQFFF=−=，因为PQ平分12FPF，所以12FPQQPF=，在1FPQ中，由正弦定理得，1111sinsinPFQFPQFQPF=，在2FPQ△中，由正弦定理得，2222sinsinPFQF

PQFQPF=，因为12πFQPPQF+=，所以12sinsinFQPPQF=，所以1122PFQFPFQF=，即121212aaaa+−=−，解得4a=，故焦距为28a=.故答案为：816.过椭圆2213627xy+=上一动点P分别向

圆1C：()2234xy++=和圆2C：()2231xy−+=作切线，切点分别为M，N，则222PMPN+的取值范围为_____________.【答案】90,165【解析】【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得2214PMPC=−，2221

PNPC=−，由椭圆的定义可得1212PFPF+=，设23,9PFt=，利用二次函数的基本性质可求得222PMPN+的取值范围.【详解】6a=，33b=，223cab=−=，易知()13,0C−、()23,0C为椭圆的两个焦点，()

2222221212242126PMPNPCPCPCPC+=−+−=+−，根据椭圆定义12212PCPCa+==，设2PCt=，则actac−+，即39t，则()()222222212263241383846PMPNtttttt+=−+−=−+=−+，当4t=时，222PMPN+取到最

小值90．当9t=时，222PMPN+取到最大值165．故222PMPN+的取值范围为：90,165.故答案为：90,165.四、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，

已知32b=，π3B=.（1）若2ac=，求a，c的值；（2）求ABC面积的最大值.【答案】（1）26a=，6c=；（2）932.【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理列方程求边长；（2）由三角形面积

公式、余弦定理及基本不等式求面积最大值，注意取值条件.【小问1详解】由题设222222cos18bacacBacac=+−+−=，又2ac=，所以23186cc==，故26a=.故26a=，6c=.【小问2详解】由13sin24ABCSacBac==.而22182acaca

cacac+−=−=，当且仅当32ac==时等号成立，所以ABC面积的最大值为3931842ABCS==.18.已知双曲线C：22221xyab−=经过点()3,2，其中一条渐近线为33yx=.（1）求双曲

线C的方程；（2）一条过双曲线C的右焦点F且纵截距为2−的直线l，交双曲线C于P，Q两点，求OPOQ的值.【答案】（1）2213xy−=（2）7【解析】【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程和点的坐标列式求解即

可；（2）根据双曲线方程求出焦点进而得到直线方程，与双曲线方程联立得到韦达定理的形式，根据()()1212121222OPOQxxyyxxxx=+=+−−代入韦达定理即可求解.【小问1详解】因为双曲线2

2221xyab−=的渐近线方程为byxa=，所以33ba=①，又因为点()3,2在双曲线上，所以22921ab−=②，①②联立解得23a=，21b=，所以双曲线C的方程为2213xy−=.【小问2详解】由（1）可知双曲线C中2224cab=+=，所以右焦点F

坐标为()2,0，即直线l的横截距为2，又因为直线l的纵截距为2−，所以直线l的方程为()122xy+=−，即2yx=−，联立22132xyyx−==−得2212150xx−+=，设()11,

Pxy，()22,Qxy，则126xx+=，12152xx=，所以()()()121212121212222247OPOQxxyyxxxxxxxx=+=+−−=−++=.【点睛】本题考查直线与双曲线综

合应用问题，涉及双曲线方程的求解、平面向量数量积的求解问题，求解数量积的关键是能够将所求量转化为符合韦达定理的形式，通过直线与双曲线联立得到韦达定理的结论，代入可整理出结果.19.圆O：228xy+=内有一点()01,2P，过0P直线交圆于A，B两点.（1）当0P为弦AB中点时

，求直线AB的方程；（2）若圆O与圆C：()()22119xy+++=相交于E，F两点，求EF的长度.的【答案】（1）250xy+−=（2）3142【解析】【分析】（1）由垂径定理得0OP⊥AB，根据0OPk得到12ABk=−，从而求出直线AB的方

程；（2）先求出公共弦方程，即直线EF的方程为2210xy++=，由点到直线距离公式和垂径定理求出答案.【小问1详解】因为0P为弦AB中点，由垂径定理得0OP⊥AB，因为020210OPk−==−，所以12ABk=−，故直

线AB的方程为()1212yx−=−−，即250xy+−=；【小问2详解】228xy+=与()()22119xy+++=相减得，2210xy++=，即直线EF的方程为2210xy++=，圆心O到直线2210xy++=的距离为0012444d++==+，由垂径定理得EF的长度为213142

82882d−=−=.20.在四棱锥ABCFE−中，底面BCFE为梯形，BCBE⊥，EFBC∥，2BCBE==，6AE=，32EF=，AB⊥平面BCFE.（1）求证：平面AEF⊥平面ABE；（2）求直线AE与平面AFC所成角的正弦值.【答案

】（1）证明过程见解析（2）1919【解析】【分析】（1）由线面垂直得到BC⊥平面ABE，进而得到EF⊥平面ABE，证明出面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的求解公式得到答案.【小问1详解】因为AB⊥平面BCFE，BC平面BCFE，所以AB⊥BC，又

BCBE⊥，ABBEB=，,ABBE平面ABE，所以BC⊥平面ABE，因为EFBC∥，所以EF⊥平面ABE，因EF平面AEF，所以平面AEF⊥平面ABE；【小问2详解】因为AB⊥平面BCFE，BE平面BCFE，所以AB⊥BE，故2242ABAEBE=−=，且,,BEBCBA两两垂直，以B为

坐标原点，,,BEBCBA所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则()()()()30,0,0,2,0,0,2,,0,0,2,0,0,0,422BEFCA，设平面AFC的法向量为(),,mxyz=，则()()()33,

,2,,42242022,,0,2,422420mAFxyzxyzmACxyzyz=−=+−==−=−=，令1z=，则222,2yx==，故2,22,12m=，为

设直线AE与平面AFC所成角的大小为，则()22,0,42,22,123219sincos,1913843281622AEmAEmAEm−=====+++.直线AE与平面AFC所成角的正弦值为191

9.21.已知圆1O：()224924xy++=和圆2O：()22124xy−+=，以动点P为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切.记动点P的轨迹为T.（1）求轨迹T的方程；（2）过()0,1N的

直线交轨迹T于A，B两点，点C在直线2y=上.若ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，求AB的长度.【答案】（1）22142xy+=；（2）453.【解析】【分析】（1）首先判断圆2O在圆1O内，设(,)Pxy且对应圆半径为r，根据题设及两点距离公式得到r关于x关系，代

入距离公式整理即得轨迹方程；（2）设直线AB为1ykx=+，联立22142xy+=整理为一元二次方程形式，应用韦达定理、弦长公式得22222(1)(14)||12kkABk++=+，求AB中点E及其中垂线与2y=交点C，根据已知有||2||ABCE=列方程求参数

，即可求AB的长度.【小问1详解】由题设1(2,0)O−且半径172r=，2(2,0)O且半径212r=，所以1212||223OOrr=−=，即圆2O在圆1O内，设(,)Pxy，又P为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切，

且半径为r，所以()()222222722322322122xyrxxrrxyr++=−−=−=−+=+，则222222(2)(2)1242xyxyx−+=−+=.所以轨迹

T方程为22142xy+=.【小问2详解】由题意，直线AB的斜率一定存在，设直线AB为1ykx=+，由01142+，即N在椭圆内，联立椭圆方程整理得：22(12420)kxkx++−=，所以23280k=+，且2242,1212ABABkxxxxkk+=−=−++，则2||1||ABABkx

x=+−=22222(1)(14)12kkk+++，又22242()221212ABABkyykxxkk+=++=−=++，则AB中点2221(,)1212kEkk−++，所以线段AB垂直平分线为22112()12

12kyxkkk−=−+++，令2y=，则2212kxkk=−−+，故交点坐标的2(2,2)12kCkk−−+，由ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，所以222222222(1)(14)1||2||(2)(2)(12)1212kkkABCEkkkk++==

−+−+++则2232222(1)(14)(4)(14)kkkkk++=−−++，则222222(1)(14)(1)(14)kkkk++=++，所以214k=，故45||3AB=.22.已知椭圆C：()22210xy

aa+=，(),0Aa−，(),0Ba.（1）若椭圆C的离心率是32，求a的值；（2）椭圆C内部的一点()1,02Ttt，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N，且M，N是不同的两点.①设BTM△的面积是1S，ATN△的面积是2S，当2a=时，求12SS的范

围；②若点(),uuUxy，(),vvVxy满足uvxx，且uvyy，则点U在点V的右下方.求证：点M在点N的右下方.【答案】（1）12a=或2a=（2）①()743,1−；②证明见解析.【解析】【分析】（1）首先对参数a分类讨论，然后结合平方关系、离心率公式即可求解.（2）①

画出图形，先将直线方程与椭圆方程分别联立，分别求出M，N的坐标，然后再将面积比转换为线段长度之比，即坐标变化量之比，从而可将12SS表示成关于t的函数，结合题意可以求出t的范围，由复合函数单调性即可求出12SS的范围；②要证明点M在点N的右下方，只需证明直线M

N的斜率0MNMNyykxx−=−即可，结合①中的数据并通过适当的运算技巧即可得证.【小问1详解】因为椭圆的离心率为32，当01a时，21312a−=，解得12a=，当1a时，2132aa−=，解得2a=，综上所述：若椭圆C的离心率是

32，则12a=或2a=.小问2详解】①如图所示：当2a=时，椭圆方程为2214xy+=，此时()2,0A−，()2,0B，()1,02Ttt，所以直线AT的方程为()()1222yxt=++，将直线AT的方程与椭圆方程联立得()()22141222

xyyxt+==++,消去x化简并整理得()()2245220ttyty++−+=，解得()22245Mtytt+=++，【同理直线BT的方程为()()1222yxt=−−，将直线BT的方程与椭圆方程联立得()()22141222xyyxt+=

=−−,消去x化简并整理得()()2245220ttyty−++−=，解得()22245Ntytt−−=−+，注意到1212,1,1212MTMTNNyBTTMyyBTMATNATyTNyy−−=====−−，由题意可知121sin212121

sin2MNBTTMBTMBTTMSySATTNyATTNATN−===−，从而()()()()()()()()2222122222421424545214545422145424545145MNttttttSytttttSytttttttt

t+−+−++−+−−+++====−−−++−−−−+++−−+，所以21222458811545454StttStttttt−+==−=−++++++，因为()1,02Ttt

为椭圆内部一点，将12y=代入2214xy+=得3x=，因此03t，所以()1281,0354SfttStt=−=++，因为当05t时，函数54ytt=++单调递减，所以由复合函数单调性

可知()12SftS=在03t上单调递减，所以()()1284374331843SfftS−−===+，综上所述：当2a=时，12SS的范围为()743,1−.②由题意若要证明点M在点N的右下方，只需

证明直线MN的斜率0MNMNyykxx−=−即可，由①中分析可知，()22245Mtytt+=++，()22245Ntytt−−=−+，03t，所以()()()()2222222452432212454

5MMtttttxtytttt+−++++=+−==++++，()()()()22222224524322124545NNtttttxtytttt−−+−+−+−=−+==−+−+，所以()()()()22222222224

5452432434545MNMNttyyttttkxxtttttttt+−−−−++−+==−++−+−−++−+()()()()()()()()22222222122121212121tttttttt+−++−++

=+−−++−−++()()()2222235235tttttt−==−−−，因为03t，所以25350t−−，所以205MNMNyytkxxt−==−−，综上所述：由以上分析可

知点M在点N的右下方.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com