【文档说明】山西大学附属中学校2023届高三下学期3月模块诊断数学试题含解析.docx，共(22)页，1.624 MB，由小赞的店铺上传

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山西大学附中2022~2023学年第一学期高三3月模块诊断数学试题一.选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i是虚数单位，z=1－i，则复数z的模等于（）A.1B.2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】根据复数的

几何意义直接求出复数的模.【详解】由1iz=−，所以221(1)2z=+−=.故选：B2.已知集合2,xAyyxR==，24Bxx=，则AB=（）A.22−,B.)2,0−C.0,2D.(0

,2【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合B，再根据指数函数的性质求出集合A，最后根据交集的定义计算可得；【详解】解：由24x，即()()220xx−+，解得22x−，所以24|22Bxxxx==−

，又()2,0,xAyyxR===+，所以(0,2AB=.故选：D3.已知,abR，则ab是()20abaee−的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据不等式

的性质及指数函数的单调性即可判断.【详解】当ab时，推不出2()0abaee−，例如0a=时，当2()0abaee−时，可得0abee−，即abee，所以ab成立，所以ab是2()0abaee−成立的必要不充分条件，故选：B4.在下列区间中，函数()2022cos

12fxx=−单调递增的区间是（）A.0,2B.,2ππC.3,2D.3,22【答案】D【解析】【分析】根据余弦函数的性质求出函数的单调递增区间，再判断即可；【详解】解：因为()2022cos12fxx

=−，令22,12kxkkZ−+−，解得1122,1212kxkkZ−++，所以函数的单调递增区间为112,2,1212kkkZ−++，当1k

=时可得函数的一个单调递增区间为1325,1212，因为3,221325,1212，所以函数在3,22上单调递增；故选：D5.已知双曲线()22:1016xyCkk−=，若对任意实数m，直线430xym++=

与C至多有一个交点，则C的离心率为（）A.54B.53C.43D.979【答案】B【解析】【分析】根据直线430xym++=与双曲线的渐近线4yxk=−的关系求得k，从而求得c，以及双曲线的离心率.【详解】依题意可知直线430xym++=与双曲线C的渐近线4yxk=−平行或重合，则4

43k=，即9k=，3a=，从而9165c=+=，所以C的离心率53cea==.故选:B6.考察下列两个问题：①已知随机变量(),XBnp，且()4EX=，()2DX=，记()1PXa==；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，

设A表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，B表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记()|PABb=，则（）A.3ab=B.4ab=C.5ab=D.6ab=【答案】C【解析】【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式求得n，从

而可求得a，再根据条件概率公式求得b，即可得出答案.【详解】解：由()()()412EXnpDXnpp===−=，解得1,82pn==，则()171885118112222aPXC=====，又()()()331231|22nABAbPABnBC=

===，所以5ab=.故选：C.7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()．A.23B.33C.23D.53【答案】C【解析】【详解】建立如图所示的空间直

角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，∴PQ＝22222(1)()425221－＋－＋＝＋－－＋＝2219545()()559

9－＋－＋，当且仅当λ＝19，μ＝59时，线段PQ的长度取得最小值23.8.已知2319,sin,224abc===，则（）A.cbaB.abcC.a<c<bD.c<a<b【答案】D【解析】【分析】先通过简单的放缩比较c和

a的大小，再通过构造函数,利用图像特征比较b和a的大小，由此可得答案.【详解】293334π2π2π2πca===ca3132π2a==，设()sinfxx=，3()gxx=，当6x=时，31s

in662==()sinfxx=与3()gxx=相交于点1,62和原点0,6x时，3sinxx10,2613sin22，即bac<a<b故选：

D.二.选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，

87，x，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则（）A.180xy+=B.该组数据的均值一定为90C.该组数据的众数一定为84和96D.若要使该总体的标准差最小，则90xy==【答案】ABD【解析】【分析】依题意可得180xy+=，即可求出平均数，即可判断A、B，再利用特殊值判断

C，利用基本不等式判断D；【详解】解：因为总体的中位数为90，所以180xy+=，所以该组数据的均值为()181848487939696999010xy+++++++++=，故A正确，B正确，当90xy==

时，众数为84，90，96，当87x=，93y=时，众数为84，87，93，96，故C错误；要使该总体的标准差最小，即方差最小，即()()229090xy−+−最小，又()()()222180909002xyx

y+−−+−=，当且仅当9090xy−=−时，即90xy==时等号成立，故D正确．故选：ABD10.如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD−的内切球球心为O，EF、分别是棱1ABCC、的中点，G在棱BC上移动，则（）A.对于任

意点G，//OA平面EFGB.存在点G，使OD⊥平面EFGC.直线EF的被球O截得的弦长为3D.过直线EF的平面截球O所得截面圆面积的最小值为π2【答案】BD【解析】【分析】A选项，举出反例；B选项，取G为BC的中点时，证明OD⊥平面EFG；C选项，求

出球心到EF的距离，利用垂径定理求解；D选项，结合C选项中的求解得到球心O到截面的距离22dOM=，从而求出截面面积最小值.【详解】正方体内切球的球心O即正方体的中心，且球半径1R=，当G与B重合时，A平面EFB，O平面EFB

，此时直线OA与平面EFG相交，A错误；当G为BC中点时，EGBD⊥，1EGBB⊥，1BDBBB=，则EG⊥平面11BBDD，因为1BD平面11BBDD，所以1EGBD⊥；同理，1FGBD⊥，因为EGFGG=，所以1BD⊥

平面EFG，即OD⊥平面EFG，B正确；取EF的中点M，由对称性可知，OEOF=，则OMEF⊥.因为2OE=，22116222EMEFECFC==+=，则2222OMOEEM=−=，的所以直线EF的被球O截得

的弦长为222222122ROM−=−=，C错误；设截面圆半径为r，球心O到截面的距离为d，则2221rdR+==.因为22dOM=，则22112rd=−，所以截面圆面积2ππ2Sr=，D正确，故选：BD.11.将函数(

)()1sin0,0,02xgxAxA−=的图象向左平移φω个单位后得到函数()yfx=的图象，若对xR，()()11fxfx−=−，且()()130ff−==，则的可能取值为（）．A.2B.C.32D.2【答案】AC【解析】

【分析】由图像平移可得()()1sin2xfxAx=+，分析xR，()()11fxfx−=−，可得()fx为偶函数，结合范围可得2=，代入()()130ff−==，分析即得解【详解】将函数()()1sin0,0,02xgxAxA

−=的图象向左平移φω个单位后得到函数()yfx=的图象，故函数()()1sin2xfxAx=+对xR，()()11fxfx−=−，即tR，()()ftft=−故()fx为偶函数，所以2k=+，

Zk，又0，所以2=，故()1cos2xfxAx=()11cos02fA−==，所以2k=+，Zk，()13cos308fA==，所以32k=+，Zk，可得和3均为2的奇

数倍，故的可能取值为2，32．故选：AC12.已知函数()exxfx=(e为自然对数的底数)，过点(,)ab作曲线()fx的切线.下列说法正确的是（）A.当0a=时，若只能作两条切线，则24eb=B

当0a=，24eb时，则可作三条切线C.当02a时，可作三条切线，则24eeaaab−D.当2a=，0b时，有且只有两条切线【答案】AC【解析】【分析】先根据函数()fx，设出切点，写出切线方程，然后再根据4个选项种a的取值，确定b的取值，设出函

数，求导、判断其单调区间求解其极值并作图，观察yb=与函数图像的交点个数，从而确定切线方程的条数，即可完成求解.【详解】函数()exxfx=，所以()'1exxfx−=，设切点000(,)exxx，则切线的斜率为()0'001

exxkfx−==，则切线方程为：000001()eexxxxyxx−=−−，选项A，当0a=时，则24eb=，设()2exxgx=，所以()'(2)exxxgx−=，所以，当(,0)x−，()'gx

＜0，()gx单调递减，当(2,)x+，()'gx＞0，()gx单调递增，如图：.当0x=时，()gx取得极小值，极小值0，当2x=时，()gx取得极大值，极小值为24e，若只能做两条切线，yb=与()2exxgx=有且只有两个交点，则24eb=，故选项正确

；选项B，当0a=时，24eb＞时，则yb=与()2exxgx=有且只有一个交点，因此可做一条切线，故该选项错误；选项C，当02a时，则0200(1)exxxab+−=，设2((e)1)xxaxxh+

−=，所以2'(2)2(2)()e)e(xxhxaxaxxxa−++−==−−，因为02a，所以，当(,)xa−，()'hx＜0，()hx单调递减，当(,)xa+，()'hx＞0，()hx单调递增，如图：为所以，当xa=时，()hx

取得极小值，极小值为eaa，当2x=时，()hx取得极大值，极小值为24ea−，由可作三条切线，则yb=与()hx有3个交点，则24eeaaab−，故该选项正确；选项D，当2a=时，则02002(1)exxxb+−=，此时，设22(

e)(1)xkxxx+−=，所以，2'244(2)0e()exxkxxxx−+−−=−=，所以()kx单调递减，且()0kx＞，如图：所以，当0b时，yb=与()kx只有1个交点，因此有且只有1条切线，故该选项错误.故选：AC.三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共

20分.13.已知()0,，3cos5=−，则2cos24+=__________．【答案】110##0.1【解析】【分析】根据同角的三角函数关系式，结合降幂公式、诱导公式进行求解即可.【详解】解：由()0,，3cos5=−，得2co94sin5s11

25=−=−=，所以241cos11sin125cos2422210++−−+====．故答案为：11014.有4名男生和2名女生共6人组成两个志愿者队伍去两个不同的场馆，要求每队既有男生又有女生，则不同的分配方法有_______

________种．（用数字表示）【答案】28【解析】【分析】先把女生分配好，再分配男生，则可求不同的分配方法总数.【详解】女生的分配方法有2种，男生的分配方法有12344414CCC++=，故不同的分配方法总数为28.故答案为：2815.(x－2)3(2x＋1)2的展开式中x的奇次项的

系数之和为________.【答案】9【解析】【分析】根据多项式的乘法展开即可求解.【详解】32322(2)(21)(6128)(441)xxxxxxx−+=−+−++54324202510208xxx

xx=−++−−展开式中x奇次项的系数之和425209+−=．故答案为：916.椭圆C：222211xyaa+=−的左右焦点分别为12,FF，直线y＝kx（k＞0）与C相交于M，N两点，若12,,,MFNF四点共圆（其中M在第一象限），且直线2NF倾斜角不小于π

6，则椭圆C的长轴长的取值范围是__________.【答案】[31,22)+【解析】【分析】先求得c，由椭圆的中心对称性和圆的性质得到以12FF为直径的圆与椭圆C有公共点，得到2a，再利用直线2NF倾斜角，结合椭圆的定义，得到关于,ac的不等式，

求解即可得到答案.【详解】设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和M，1F，N，2F四点共圆，则四边形12MFNF为矩形，所以以12FF为直径的圆与椭圆C有公共点，则cb，所以222ca，又由题意222(1)1caa

=−−=，即1c=，故22a，即2a因为直线2NF倾斜角不小于π6，所以直线1MF的倾斜角不小于π6，则2133FMFM，化简可得123FMFM，因为12||||2FMFMa+=，所以2223aFMFM−，则2(31)FMa−，又2222

2(2||)||44aFMFMc−==+，所以22||2FMaa=−−，故22(31)aaa−−−，解得312a+，所以231a+，综上31222a+.故答案为：[31,22)+.四.解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说

明，证明过程或演算步骤.）17.在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2ab=，且2sincos6cBaC=−.（1）求角C；（2）E为三角形ABC所在平面内的一点，AEABAC

=+，且2AE=，求线段CE的长.【答案】（1）3；（2）3【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化计算得tan3C=，所以可得3C=；（2）由余弦定理计算得223cb=，可得222abc=+，所以2A=，再由AEABAC=+，得//CEAB且CEAB=，所以四边

形ABEC是矩形，求解得1b=，从而得33====CEABcb.【小问1详解】因为2ab=，由2sincos6cBaC=−得，sincos6cBbC=−，由正弦定理得sinsinsi

ncos6CBBC=−，因为0B，所以sin0B，故31sincoscossin622CCCC=−=+，得13sincos22CC=，即tan3C=，又0C，所以3C=.【小问2详解】由余弦定理得22222222cos42

3cababCbbbb=+−=+−=，所以222abc=+，即2A=，又因为AEABAC=+，即−==AEACABCEAB，因为,,ABC不共线，所以//CEAB且CEAB=，所以四边形ABEC是矩形，所以22====BCAEab，即1b=

，所以33====CEABcb.18.数学家也有一些美丽的错误,如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：21nznF=+()nN是质数.1732年,瑞士数学家欧拉算出56416700417F=,该数不是质数.已知nS为数列na的前n项和,且()2l

og11nnSF=−−()n+N（1）求数列na的通项公式；（2）若21(1)lognnbna+=+,设为数列2nb的前n项和,求出nT,并证明：对任意n+N,12nT.【答案】（1）12nna−=（2）证明见解析【解

析】【分析】（1）根据数列的前n项和公式的性质可得11,1(),2nnnSnanNSSn-ì=ï=?í-³ïî,分别代入1n=、2n,即可求得na的通项公式,需要注意验证1n=的情况.（2）根据（1）得12nna−=,即可求得12nna+=,带

入nb中,整理之后,得出22(1)nbnn=+,利用裂项相消求和,最后分离常数,即可证明12nT.【详解】解：（1）因为()2log11nnSF=−−,221nnF=+,所以()22log211121nnnS=+−−=−;当1n=时,111aS==,当

2n时,111222nnnnnnaSS−−−=−=−=,11a=适合上式,故12nna−=;（2）因为12nna−=,所以12nna+=,所以212(1)log(1)log2(1)nnnbnannn+=+

=+=+,故22112(1)1nbnnnn==−++,所以1111121222231nTnn=−+−++−+111111221212223111nnnn=−+−++−=−=−+++;因为220(1)nbnn=+,所以1

0nnTT+−对*nN恒成立,即1nnTT+,所以11nTT=≥,又因为201n+,所以2221nTn=−+,综上对*nN,12nT【点睛】本意考查已知数列的前n项和求数列的通项公式和裂项相消求和,属于数列基础题,熟记公式是解题的关键.19.在东京奥运会中，甲、

乙、丙三名跳水运动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为()01pp，乙、丙晋级的概率均为()01qq，且三人是否晋级相互独立.（1）若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋

级的概率也相等，求p，q；（2）若12p=，记三个人中晋级的人数为，若0=时的概率和3=时的概率相等，求的分布列及()E.【答案】（1）49p=，13q=（2）分布列见解析，32【解析】【分析】（1）求出乙、丙

两人均没有晋级的概率和两人有且仅有一人晋级的概率可求出结果；（2）由题意可求得12q=，故1~3,2B，即可求出结果.【小问1详解】由题意可得：乙、丙两人均没有晋级的概率为()21q−，乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率为()()12C121qqqq−=−，故()()2121qp

qqp−=−=解得49p=，13q=.【小问2详解】的所有可能取值为0，1，2，3，则()()21012Pq==−，()2132Pq==，由题意可得：()2211122qq−=，解得12q=，注意到12p

q==，所以满足二项分布1~3,2B，则()()3213111130,1C28228PP======，()()2323113112C,322828PP==

====，故的分布列为：0123P18383818所以()13322==E.20.如图，在三棱锥−PABC中，侧面PAC⊥底面ABC，ACBC⊥，PAC△是边长为2的正三角形，4BC=，,EF

分别是,PCPB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l.（1）证明：直线l⊥平面PAC；（2）设点Q在直线l上，直线PQ与平面AEF所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为，求当AQ为何值时，π2+=.【答案】（1）证明见解析（2）

当1=AQ时，π2+=【解析】【分析】（1）证明线面平行，进而由线面平行的性质得到线线平行，结合面面垂直证明线面垂直；（2）作出辅助线，找到直线PQ与平面AEF所成的角，异面直线PQ与EF所成的角为，结合三角函数的性质进行求解.【小问1详解】因为,EF分别是,PCPB的中点，则BCEF∥

，又BC平面AEF，EF平面AEF，从而BC∥平面AEF.因为BC平面ABC，平面AEF平面=ABCl，则BC∥l，因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC平面ABCAC=，BCAC⊥，则BC⊥平面PAC，所以直线l⊥平面PAC.【小问2详解】因为BC⊥平面PAC，PC

平面PAC，则BCPC⊥.又EFBC∥，则EFPC⊥.因为PAC△为正三角形，E为PC的中点，则AEPC⊥.因为AEEF=E，从而PC⊥平面AEF.连接EQ，则PQE=，因为lEF∥，lPA⊥，则PQA=，在

RtPEQ中，1sinPEPQPQ==，在RtPAQ中，cosAQPQ=.因为2+=，则sincos=，得1=AQ.所以当1=AQ时，2+=.21.已知抛物线()2:20Expyp=的焦点为F，直线4x=分别与x轴交于点P，与抛物线E

交于点Q，且54QFPQ=.（1）求抛物线E的方程；（2）如图，设点,,ABC都在抛物线E上，若ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，求ABACuuuruuur的最小值.【答案】（1）24xy=（2）32【解析】【分析】（1）设()04,Qy，列方程组000216524pypyy=

+=，求出2p=，即可得到抛物线E的方程；（2）设点()222312123123,,,,,444xxxAxBxCxxxx，利用ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，表

示出()()32211kxkk−−+，用坐标表示出ABAC=uuuruuurg()()32221611kkk++利用基本不等式求出ABAC的最小值.【小问1详解】设点()04,Qy，由已知000216524pypyy=+=，则8102

ppp+=，即24p=.因为0p，则2p=，所以抛物线E的方程是24xy=.【小问2详解】设点()222312123123,,,,,444xxxAxBxCxxxx，直线A

B斜率为()0kk，因为ABBC⊥，则直线BC的斜率为1k−.因为ABBC=，则212232111xxkxxk−+=−+，得()2312xxkxx−=−，①因为22121212444xxxxkxx−+==−，则124xxk+=，即12

4xkx=−，②因为223223231444xxxxkxx−+−==−，则234xxk+=−，即324xxk=−−③将②③代入①，得()2242420xkkxk+−−=，即()()322212120kkxkkk−+−−−=，则()()32211kxk

k−=+，所以()()()()22222122··cos451421ABACABACABxxkkxk===−+=−+()()()()()2332222411614111kkkkkkkk−+=−+=++因

为212kk+，则()22214kk+，又()22112kk++≥，则()()3222121kkk++，从而的()()3222121kkk++，当且仅当1k=时取等号，所以ABAC的最小值为32.22.已知函数f(x)＝ax＋x2－

xlna(a>0，a≠1).（1）求函数f(x)的极小值；（2）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围.【答案】（1）极小值()01f=；（2）)10,,aee+【解析】【分析】（1）先求原函数的导数得：(

)()ln2ln21lnxxfxaaxaxaa=+−=+−，再对a进行讨论，得到()0fx¢>，从而函数()fx在()0,+上单调递增．（2）()fx的最大值减去()fx的最小值大于或等于1e−，由单调性知，()fx的最大值是()1f或()1f−，最小值()

01f=，由()()11ff−−的单调性，判断()1f与()1f−的大小关系，再由()fx的最大值减去最小值()0f大于或等于1e−求出a的取值范围．【详解】（1）由于()()ln2ln21ln0xx

fxaaxaxaa=+−=+−，1°当1,2ayx=单调递增，ln0a，所以()1lnxyaa=−单调递增，故()21lnxyxaa=+−单调递增，∴()()021ln201ln0xxaaaa+−+−=，即()()0fxf，所以0x，当0x

时，()0fx，所以函数()fx在()0,+上单调递增，在(),0−单调递减，所以当0x=时，函数取得极小值，()01f=；2°当01,2ayx=单调递增，ln0a，所以()1lnxyaa=−单调递增，故()21lnxyxaa=+−单调递增，∴()()021ln201ln0

xxaaaa+−+−=，即()()0fxf，所以0x，当0x时，()0fx，所以函数()fx在()0,+上单调递增，在(),0−单调递减，所以当0x=时，函数取得极小值，()01f=；综上，函数()fx的极小值()01f=．.（2）因为存在12,1,1xx−，

使得()()121fxfxe−−，所以当1,1x−时，()()()()()()()()maxminmaxmin1fxfxfxfxe−=−−，由（1）知，()fx在10−，上递减，在0,1上递增，所以当1,1x−时()()()(

)()()()minmax01,max1,1fxffxff===−，而()()()11111ln1ln2lnffaaaaaaa−−=+−−++=−−，记()()12ln0gttttt=−−，因为()22121110

gtttt=+−=−（当2t=时取等号），所以()12lngtttt=−−在()0,t+上单调递增，而()10g=．1°当1a时，()0ga，∴()()11ff−，∴当1a时，()()101ff

e−−，即ln1aae−−，易知：lnyaa=−，在()1,a+上递增，∴ae．2°当01a时，()0ga，∴()()()()111,101,ln1ffffeaea−−−−+−，易知1lnyaa=+在()0,1a上递减，∴10,ae，综上：)1

0,,aee+．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的极值，最值，以及通过构造函数研究函数的的性质，本题的关键是需分类讨论1a和01a两种情况.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号ww

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