【文档说明】山西大学附属中学校2023届高三下学期3月模块诊断数学试题含解析.docx，共(22)页，1.624 MB，由小赞的店铺上传

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山西大学附中2022~2023学年第一学期高三3月模块诊断数学试题一.选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i是虚数单位，z=1－i，则复数z的模等于

（）A.1B.2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义直接求出复数的模.【详解】由1iz=−，所以221(1)2z=+−=.故选：B2.已知集合2,xAyyxR==，24Bxx=，则A

B=（）A.22−,B.)2,0−C.0,2D.(0,2【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合B，再根据指数函数的性质求出集合A，最后根据交集的定义计算可得；【详解】解：由24x，即()()220xx−

+，解得22x−，所以24|22Bxxxx==−，又()2,0,xAyyxR===+，所以(0,2AB=.故选：D3.已知,abR，则ab是()20abaee−的（

）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质及指数函数的单调性即可判断.【详解】当ab时，推不出2()0abaee−，例如0a=时，当2()0abaee−时，可得

0abee−，即abee，所以ab成立，所以ab是2()0abaee−成立的必要不充分条件，故选：B4.在下列区间中，函数()2022cos12fxx=−单调递增的区间是（）A.0,2B.,2ππC.3,2D.3,2

2【答案】D【解析】【分析】根据余弦函数的性质求出函数的单调递增区间，再判断即可；【详解】解：因为()2022cos12fxx=−，令22,12kxkkZ−+−，解得1122,1212kxkkZ−+

+，所以函数的单调递增区间为112,2,1212kkkZ−++，当1k=时可得函数的一个单调递增区间为1325,1212，因为3,221325,1212，所

以函数在3,22上单调递增；故选：D5.已知双曲线()22:1016xyCkk−=，若对任意实数m，直线430xym++=与C至多有一个交点，则C的离心率为（）A.54B.53C.43D.979【答案】B【解析

】【分析】根据直线430xym++=与双曲线的渐近线4yxk=−的关系求得k，从而求得c，以及双曲线的离心率.【详解】依题意可知直线430xym++=与双曲线C的渐近线4yxk=−平行或重合，则443k=，即9k=，3a=，从而9165c=+=，所

以C的离心率53cea==.故选:B6.考察下列两个问题：①已知随机变量(),XBnp，且()4EX=，()2DX=，记()1PXa==；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A表示“甲、乙、丙所去的

景点互不相同”，B表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记()|PABb=，则（）A.3ab=B.4ab=C.5ab=D.6ab=【答案】C【解析】【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式求得n，从而可求得a，再根据条件概率公式求得b，即可得出答

案.【详解】解：由()()()412EXnpDXnpp===−=，解得1,82pn==，则()171885118112222aPXC=====，又()()()3312

31|22nABAbPABnBC====，所以5ab=.故选：C.7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()．A.23B.33C.23D.53【答案】C【解析】【详解】建立如图所示的空间直角坐标

系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，∴PQ＝22222(1)()425221－＋－＋＝＋－－＋＝2219545()()5599－＋

－＋，当且仅当λ＝19，μ＝59时，线段PQ的长度取得最小值23.8.已知2319,sin,224abc===，则（）A.cbaB.abcC.a<c<bD.c<a<b【答案】D【解析】【分析】先通过简单的放缩比较c和a的大小，再通过构造函数,利用图像特征

比较b和a的大小，由此可得答案.【详解】293334π2π2π2πca===ca3132π2a==，设()sinfxx=，3()gxx=，当6x=时，31sin662==()sinfxx=与3()

gxx=相交于点1,62和原点0,6x时，3sinxx10,2613sin22，即bac<a<b故选：D.二.选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5

分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，x，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则（）A.180xy+=B.该

组数据的均值一定为90C.该组数据的众数一定为84和96D.若要使该总体的标准差最小，则90xy==【答案】ABD【解析】【分析】依题意可得180xy+=，即可求出平均数，即可判断A、B，再利用特殊值判断C，利用基本不等式判断D；【详解】解：因

为总体的中位数为90，所以180xy+=，所以该组数据的均值为()181848487939696999010xy+++++++++=，故A正确，B正确，当90xy==时，众数为84，90，96，当87x=，93y=

时，众数为84，87，93，96，故C错误；要使该总体的标准差最小，即方差最小，即()()229090xy−+−最小，又()()()222180909002xyxy+−−+−=，当且仅当9090xy−=−时，即90xy==时等号成立，故D正确．故选：ABD10.如图，棱长为2的正方体111

1ABCDABCD−的内切球球心为O，EF、分别是棱1ABCC、的中点，G在棱BC上移动，则（）A.对于任意点G，//OA平面EFGB.存在点G，使OD⊥平面EFGC.直线EF的被球O截得的弦长为3D.过直线EF的

平面截球O所得截面圆面积的最小值为π2【答案】BD【解析】【分析】A选项，举出反例；B选项，取G为BC的中点时，证明OD⊥平面EFG；C选项，求出球心到EF的距离，利用垂径定理求解；D选项，结合C选项中的求解得到球心O到截面的距离22dOM=，从而求出截面面积最小

值.【详解】正方体内切球的球心O即正方体的中心，且球半径1R=，当G与B重合时，A平面EFB，O平面EFB，此时直线OA与平面EFG相交，A错误；当G为BC中点时，EGBD⊥，1EGBB⊥，1BDBBB=，则EG⊥平面11BBDD，因为1BD平面1

1BBDD，所以1EGBD⊥；同理，1FGBD⊥，因为EGFGG=，所以1BD⊥平面EFG，即OD⊥平面EFG，B正确；取EF的中点M，由对称性可知，OEOF=，则OMEF⊥.因为2OE=，2211622

2EMEFECFC==+=，则2222OMOEEM=−=，的所以直线EF的被球O截得的弦长为222222122ROM−=−=，C错误；设截面圆半径为r，球心O到截面的距离为d，则2221rdR+==.因为22dOM=，则22112rd=−

，所以截面圆面积2ππ2Sr=，D正确，故选：BD.11.将函数()()1sin0,0,02xgxAxA−=的图象向左平移φω个单位后得到函数()yfx=的图象，若对xR，()()11fxfx−=−，且()()130f

f−==，则的可能取值为（）．A.2B.C.32D.2【答案】AC【解析】【分析】由图像平移可得()()1sin2xfxAx=+，分析xR，()()11fxfx−=−，可得()fx为偶函数，结合范围

可得2=，代入()()130ff−==，分析即得解【详解】将函数()()1sin0,0,02xgxAxA−=的图象向左平移φω个单位后得到函数()yfx=的图象，故函数()()1sin2xfxAx=+对xR，()()11fxfx−

=−，即tR，()()ftft=−故()fx为偶函数，所以2k=+，Zk，又0，所以2=，故()1cos2xfxAx=()11cos02fA−==，所以2k=+，Zk，()13cos308fA==，所以32k=+，Zk，可得

和3均为2的奇数倍，故的可能取值为2，32．故选：AC12.已知函数()exxfx=(e为自然对数的底数)，过点(,)ab作曲线()fx的切线.下列说法正确的是（）A.当0a=时，若只能作两条切线，则24eb=B当0a=，24eb时，则可作三条切线C.当02a时，可作三条

切线，则24eeaaab−D.当2a=，0b时，有且只有两条切线【答案】AC【解析】【分析】先根据函数()fx，设出切点，写出切线方程，然后再根据4个选项种a的取值，确定b的取值，设出函数，求导、判断其单调区间求解其极值并作图，观察yb=与函数图像的交

点个数，从而确定切线方程的条数，即可完成求解.【详解】函数()exxfx=，所以()'1exxfx−=，设切点000(,)exxx，则切线的斜率为()0'001exxkfx−==，则切线方程为：000001()eexxxxyxx−=−−，选项A，当0a=时，则24eb=，设()2e

xxgx=，所以()'(2)exxxgx−=，所以，当(,0)x−，()'gx＜0，()gx单调递减，当(2,)x+，()'gx＞0，()gx单调递增，如图：.当0x=时，()gx取得极小值，极小值0，当2x=时，()g

x取得极大值，极小值为24e，若只能做两条切线，yb=与()2exxgx=有且只有两个交点，则24eb=，故选项正确；选项B，当0a=时，24eb＞时，则yb=与()2exxgx=有且只有一个交点，因此可做一条切线，故该选项错误；选项C，当02a时，则0200(1)exxxab+−=，设2

((e)1)xxaxxh+−=，所以2'(2)2(2)()e)e(xxhxaxaxxxa−++−==−−，因为02a，所以，当(,)xa−，()'hx＜0，()hx单调递减，当(,)xa+，()'hx＞0，()hx单调递增，

如图：为所以，当xa=时，()hx取得极小值，极小值为eaa，当2x=时，()hx取得极大值，极小值为24ea−，由可作三条切线，则yb=与()hx有3个交点，则24eeaaab−，故该选项正确；选项D，当2a=时，

则02002(1)exxxb+−=，此时，设22(e)(1)xkxxx+−=，所以，2'244(2)0e()exxkxxxx−+−−=−=，所以()kx单调递减，且()0kx＞，如图：所以，当0b时，yb=与()kx只有1个交点，因此有且只有1条切线，故该选项错误.故

选：AC.三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()0,，3cos5=−，则2cos24+=__________．【答案】110##0.1【解析】【分析】根据同角的三角函数

关系式，结合降幂公式、诱导公式进行求解即可.【详解】解：由()0,，3cos5=−，得2co94sin5s1125=−=−=，所以241cos11sin125cos2422210++−−+====．故答案为：11014.有4名男生和2名女

生共6人组成两个志愿者队伍去两个不同的场馆，要求每队既有男生又有女生，则不同的分配方法有_______________种．（用数字表示）【答案】28【解析】【分析】先把女生分配好，再分配男生，则可求不同的分配方

法总数.【详解】女生的分配方法有2种，男生的分配方法有12344414CCC++=，故不同的分配方法总数为28.故答案为：2815.(x－2)3(2x＋1)2的展开式中x的奇次项的系数之和为________.【答案】9【解析

】【分析】根据多项式的乘法展开即可求解.【详解】32322(2)(21)(6128)(441)xxxxxxx−+=−+−++54324202510208xxxxx=−++−−展开式中x奇次项的系数之和425209+−=．故

答案为：916.椭圆C：222211xyaa+=−的左右焦点分别为12,FF，直线y＝kx（k＞0）与C相交于M，N两点，若12,,,MFNF四点共圆（其中M在第一象限），且直线2NF倾斜角不小于π6，则椭圆C的长轴长的取值范围是________

__.【答案】[31,22)+【解析】【分析】先求得c，由椭圆的中心对称性和圆的性质得到以12FF为直径的圆与椭圆C有公共点，得到2a，再利用直线2NF倾斜角，结合椭圆的定义，得到关于,ac的不等式，求解即可得到答案.【详解】设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心

对称性和M，1F，N，2F四点共圆，则四边形12MFNF为矩形，所以以12FF为直径的圆与椭圆C有公共点，则cb，所以222ca，又由题意222(1)1caa=−−=，即1c=，故22a，即2a因为直线2NF倾斜角不小于π6，所

以直线1MF的倾斜角不小于π6，则2133FMFM，化简可得123FMFM，因为12||||2FMFMa+=，所以2223aFMFM−，则2(31)FMa−，又22222(2||)||44aFMFMc−==

+，所以22||2FMaa=−−，故22(31)aaa−−−，解得312a+，所以231a+，综上31222a+.故答案为：[31,22)+.四.解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.在三角形ABC中，内角A，B

，C的对边分别为a，b，c，2ab=，且2sincos6cBaC=−.（1）求角C；（2）E为三角形ABC所在平面内的一点，AEABAC=+，且2AE=，求线段CE的长.【答案】（1）3；（2）3【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化计算得tan3C=，所

以可得3C=；（2）由余弦定理计算得223cb=，可得222abc=+，所以2A=，再由AEABAC=+，得//CEAB且CEAB=，所以四边形ABEC是矩形，求解得1b=，从而得33====CEA

Bcb.【小问1详解】因为2ab=，由2sincos6cBaC=−得，sincos6cBbC=−，由正弦定理得sinsinsincos6CBBC=−，因为0B

，所以sin0B，故31sincoscossin622CCCC=−=+，得13sincos22CC=，即tan3C=，又0C，所以3C=.【小问2详解】由余弦定理得22222222c

os423cababCbbbb=+−=+−=，所以222abc=+，即2A=，又因为AEABAC=+，即−==AEACABCEAB，因为,,ABC不共线，所以//CEAB且CEAB=，所以四边形ABEC是矩形，所以22====BCAEab，即1b=，所

以33====CEABcb.18.数学家也有一些美丽的错误,如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：21nznF=+()nN是质数.1732年,瑞士数学家欧拉算出56416700417F=,该数不是质数.已知nS为数列na的前n项和,且()2log11nnSF=−−()n+N（1）

求数列na的通项公式；（2）若21(1)lognnbna+=+,设为数列2nb的前n项和,求出nT,并证明：对任意n+N,12nT.【答案】（1）12nna−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据数列的前n项和公式的性质可

得11,1(),2nnnSnanNSSn-ì=ï=?í-³ïî,分别代入1n=、2n,即可求得na的通项公式,需要注意验证1n=的情况.（2）根据（1）得12nna−=,即可求得12nna+=,带入nb中,整理之后,得出22(1)nbnn=+,

利用裂项相消求和,最后分离常数,即可证明12nT.【详解】解：（1）因为()2log11nnSF=−−,221nnF=+,所以()22log211121nnnS=+−−=−;当1n=时,111aS==,当2n时,111222nnnnnnaSS−−−=−=−=,11a=适合上式,故

12nna−=;（2）因为12nna−=,所以12nna+=,所以212(1)log(1)log2(1)nnnbnannn+=+=+=+,故22112(1)1nbnnnn==−++,所以1111121222231nT

nn=−+−++−+111111221212223111nnnn=−+−++−=−=−+++;因为220(1)nbnn=+,所以10nnTT+−对*nN恒成立,即1

nnTT+,所以11nTT=≥,又因为201n+,所以2221nTn=−+,综上对*nN,12nT【点睛】本意考查已知数列的前n项和求数列的通项公式和裂项相消求和,属于数列基础题,熟记公式是解题的关键.19.在东京奥运会中，甲、乙、丙三名跳水运动员参加小组赛，已知甲晋级的

概率为()01pp，乙、丙晋级的概率均为()01qq，且三人是否晋级相互独立.（1）若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，求p，q；（2）若12p

=，记三个人中晋级的人数为，若0=时的概率和3=时的概率相等，求的分布列及()E.【答案】（1）49p=，13q=（2）分布列见解析，32【解析】【分析】（1）求出乙、丙两人均没有晋级的概率和两人有且仅有一人晋级的概率可求出结果；（2）由题意可求得12q=，故1~3,2B

，即可求出结果.【小问1详解】由题意可得：乙、丙两人均没有晋级的概率为()21q−，乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率为()()12C121qqqq−=−，故()()2121qpqqp−=−=解得49p=，

13q=.【小问2详解】的所有可能取值为0，1，2，3，则()()21012Pq==−，()2132Pq==，由题意可得：()2211122qq−=，解得12q=，注意到12pq==，所以满足二项分布1~3,2B，则

()()3213111130,1C28228PP======，()()2323113112C,322828PP======，故的分布列为：0123P18383818所以()13322==E.

20.如图，在三棱锥−PABC中，侧面PAC⊥底面ABC，ACBC⊥，PAC△是边长为2的正三角形，4BC=，,EF分别是,PCPB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l.（1）证明：直线l⊥平面PAC；（2）设点Q在直线l上，直线PQ与平面AEF所成的

角为，异面直线PQ与EF所成的角为，求当AQ为何值时，π2+=.【答案】（1）证明见解析（2）当1=AQ时，π2+=【解析】【分析】（1）证明线面平行，进而由线面平行的性质得到线线平行，结合面面垂直证明线面垂直；（2）作出辅助线，找到直线PQ与平面AEF所成的

角，异面直线PQ与EF所成的角为，结合三角函数的性质进行求解.【小问1详解】因为,EF分别是,PCPB的中点，则BCEF∥，又BC平面AEF，EF平面AEF，从而BC∥平面AEF.因为BC平面ABC，平面AEF平面=ABCl，则BC∥l，

因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC平面ABCAC=，BCAC⊥，则BC⊥平面PAC，所以直线l⊥平面PAC.【小问2详解】因为BC⊥平面PAC，PC平面PAC，则BCPC⊥.又EFBC∥，则EFPC⊥.因为PAC△为正三角形，E为PC的中点，则AEPC⊥.因为AEE

F=E，从而PC⊥平面AEF.连接EQ，则PQE=，因为lEF∥，lPA⊥，则PQA=，在RtPEQ中，1sinPEPQPQ==，在RtPAQ中，cosAQPQ=.因为2+=，则sincos=，得1=AQ.所以当1=AQ时，2+=.21.已

知抛物线()2:20Expyp=的焦点为F，直线4x=分别与x轴交于点P，与抛物线E交于点Q，且54QFPQ=.（1）求抛物线E的方程；（2）如图，设点,,ABC都在抛物线E上，若ABC是以AC为斜边的等腰直

角三角形，求ABACuuuruuur的最小值.【答案】（1）24xy=（2）32【解析】【分析】（1）设()04,Qy，列方程组000216524pypyy=+=，求出2p=，即可得到抛物线E的方程；（2）设点()2223121

23123,,,,,444xxxAxBxCxxxx，利用ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，表示出()()32211kxkk−−+，用坐标表示出ABAC=uuuruuurg()()3222

1611kkk++利用基本不等式求出ABAC的最小值.【小问1详解】设点()04,Qy，由已知000216524pypyy=+=，则8102ppp+=，即24p=.因为0p，则2p=，所以抛物线E的方

程是24xy=.【小问2详解】设点()222312123123,,,,,444xxxAxBxCxxxx，直线AB斜率为()0kk，因为ABBC⊥，则直线BC的斜率为1k−.因为ABBC=，则21

2232111xxkxxk−+=−+，得()2312xxkxx−=−，①因为22121212444xxxxkxx−+==−，则124xxk+=，即124xkx=−，②因为223223231444xxxxkxx−+−==−，则2

34xxk+=−，即324xxk=−−③将②③代入①，得()2242420xkkxk+−−=，即()()322212120kkxkkk−+−−−=，则()()32211kxkk−=+，所以()()()()22222122··cos451421ABACABACABxxkkxk===−+=−+()(

)()()()2332222411614111kkkkkkkk−+=−+=++因为212kk+，则()22214kk+，又()22112kk++≥，则()()3222121kkk++

，从而的()()3222121kkk++，当且仅当1k=时取等号，所以ABAC的最小值为32.22.已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna(a>0，a≠1).（1）求函数f(x)的极小值；（2）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e

－1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围.【答案】（1）极小值()01f=；（2）)10,,aee+【解析】【分析】（1）先求原函数的导数得：()()ln2ln21lnxxfxaaxaxaa=+−=+−，再对a进行讨论，得到()0fx¢>，从而函数()fx在()0,

+上单调递增．（2）()fx的最大值减去()fx的最小值大于或等于1e−，由单调性知，()fx的最大值是()1f或()1f−，最小值()01f=，由()()11ff−−的单调性，判断()1f与()1f−的大小关系，再由()fx的最大值减

去最小值()0f大于或等于1e−求出a的取值范围．【详解】（1）由于()()ln2ln21ln0xxfxaaxaxaa=+−=+−，1°当1,2ayx=单调递增，ln0a，所以()1lnxyaa=−单调递增，故()21lnx

yxaa=+−单调递增，∴()()021ln201ln0xxaaaa+−+−=，即()()0fxf，所以0x，当0x时，()0fx，所以函数()fx在()0,+上单调递增，在(),0

−单调递减，所以当0x=时，函数取得极小值，()01f=；2°当01,2ayx=单调递增，ln0a，所以()1lnxyaa=−单调递增，故()21lnxyxaa=+−单调递增，∴()()021ln201ln0xxaaaa+−+−=，即()()0f

xf，所以0x，当0x时，()0fx，所以函数()fx在()0,+上单调递增，在(),0−单调递减，所以当0x=时，函数取得极小值，()01f=；综上，函数()fx的极小值()01f=．.（2）因为存在

12,1,1xx−，使得()()121fxfxe−−，所以当1,1x−时，()()()()()()()()maxminmaxmin1fxfxfxfxe−=−−，由（1）知，()fx在10−，上递减，在0,1上递增，所以当

1,1x−时()()()()()()()minmax01,max1,1fxffxff===−，而()()()11111ln1ln2lnffaaaaaaa−−=+−−++=−−，记()()12ln0gttttt=−

−，因为()22121110gtttt=+−=−（当2t=时取等号），所以()12lngtttt=−−在()0,t+上单调递增，而()10g=．1°当1a时，()0ga，∴()()11ff−，∴当1a时，()()101ff

e−−，即ln1aae−−，易知：lnyaa=−，在()1,a+上递增，∴ae．2°当01a时，()0ga，∴()()()()111,101,ln1ffffeaea−−−−+−，易知1lnyaa=+在()0,1a上递减，∴10,ae

，综上：)10,,aee+．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的极值，最值，以及通过构造函数研究函数的的性质，本题的关键是需分类讨论1a和01a两种情况.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com