【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程(人教A版2019) 第二讲 因式分解(人教版A2019) Word版含解析.docx,共(16)页,1.163 MB,由管理员店铺上传
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第二讲:因式分解【教学目标】1、掌握乘法公式中的平方差公式,完全平方公式,立方和、立方差公式,涉及到的三次的方程.2、掌握因式分解常用方法:提公因式法,公式法,十字相乘法,分组分解法等.【基础知识】一、乘法公式(1)平方
差公式22()()ababab+−=−;(2)完全平方公式222()2abaabb=+.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:(1)立方和公式2233()()abaabbab+−+=+;(2)立方差公式2233()()abaabbab−++=−;(3)三
数和平方公式2222()2()abcabcabbcac++=+++++;(4)两数和立方公式33223()33abaababb+=+++;(5)两数差立方公式33223()33abaababb−=−+−.二、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变
形叫做这个多项式分解因式.因式分解的常用方法:提公因式法,公式法,十字相乘法,分组分解法,待定系数法和因式定理法.无特殊说明,一般只要求在有理数的范围内分解到不能再分解为止.【题型目录】考点一:公式法考点二:提公因式法考点三:十字相乘法考点四:分组分解法【考点剖析】考点一:公式法平方
差公式:22()()ababab+−=−;完全平方公式:222()2abaabb=+.例1.若229xkxyy−+是一个整式完全平方后的结果,则k值为()A.3B.6C.6D.81【答案】C【分析】根据首末两
项是x和3y的平方,那么中间项为加上或减去x和3y的乘积的2倍,进而得出答案.【详解】解:∵229xkxyy−+是一个整式完全平方后的结果,∴()22222339xxyxkyyyx−=++,∴6kxyxy−=,∴6k=,故选C.
变式训练1.若()()22xyxy−=++(),则括号内的整式是()A.2xyB.2xy−C.4xyD.4xy−【答案】D【分析】根据完全平方公式变形即可求解.【详解】解:()2xy−222xyxy=+−2224xyxyxy=+
+−()24xyxy=+−,故选D.变式训练2.分解因式:214y−=()A.()()1212yy−+B.()()1414yy−+C.()()122yy−+D.()()212yy−+【答案】A【分析】直接利用平方差
公式分解因式得出答案.【详解】解:214y−21(2)y=−(12)(12)yy=−+.故选:A.变式训练3.如图,先将图1中边长为a的大正方形纸片ABCD剪去一个边长为b的小正方形EBGF,然后沿直线EF将纸片剪开,再将所得的两个
长方形按如图2所示的方式拼接(无缝隙,无重叠),得到一个大的长方形AEGC.根据图1和图2的面积关系可以写出的等式是()(用含a,b式子表示)A.22()()ababab+−=−B.22()()2ababaabb++=++C.22()()2ababaabb--=-+D.2()abb
abb+=+【答案】A【分析】根据两个图形中阴影部分面积线段,得出等式即可求解.【详解】解:图1中的阴影部分面积为22ab−,图2中的阴影部分面积为()()abab−+,依题意,根据图1和图2的面积关系可以写出的等式是22()(
)ababab+−=−,故选:A.考点二:提公因式法先提取式子中公共部分,即为提公因式法.例2.下列分解因式正确的是()A.()22422xxxx−+=−+B.()2xxyxxxy++=+C.()()2()xxyyyxxy−+−=−D.2269(3)xx
x+−=−【答案】C【分析】分别把选项进行因式分解后即可做出判断.【详解】解:()22422xxxx−+=−−,故A不符合题意;()21xxyxxxy++=++,故B不符合题意;()()xxyyyx−+−()()xxyyxy=−
−−()()xyxy=−−2()xy=−,故C符合题意;269xx+−不能因式分解,故D不符合题意,故选:C.变式训练1.分式2xxxy−−可化简为()A.1yx−B.1xy−+C.1xy+D.1xy−【答案】A【分析】将分
式分母先因式分解,再约分,即可求解.【详解】解:2xxxy−−()xxxy−=−1yx=−故先:A.变式训练2.把多项式22226312ababab−+分解因式,应提取的公因式是()A.abB.23abC.3abD.2212ab【答案】C【分析】根据题意可得提取3ab即可得到
答案.【详解】解:22226312ababab−+()324ababab=−+,故选C.变式训练3.下列各多项式的因式分解中,正确的是()A.()22693aaa−+=+B.()()22422ababab−=+−
C.()2812246xxxx+=+D.()22242xyxy+=+【答案】B【分析】利用因式分解逐一判断即可.【详解】解:A.()22693−+=−aaa,故因式分解不正确;B.()()22422ababab−=+−,因式分解正确;C.()2812423xxxx+=
+,故因式分解不正确;D.224xy+不能因式分解;故选B.考点三:十字相乘法十字左边相乘等于二次项,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项例3.将多项式2412xx+−分解因式正确的结果为()A.()()34xx+−B.()()43xx+−C.()()62xx+−D.()()24
xx+−【答案】C【分析】二次项系数看成11,常数项看成()62−,利用十字相乘法分解因式即可.【详解】解:2412xx+−()()62xx=+−故选:C.变式训练1.下列算式计算结果为2412xx−
−的是()A.()()26+−xxB.()()26xx−+C.()()34xx+−D.()()34−+xx【答案】A【分析】依据因式分解法进行计算即可.【详解】解:()()241226xxxx−−=+−,故选:A.变式训练2.下列因式分解结果正确的是()A.()3244x
xxx−+=−−B.()()22444xyxyxy−=+−C.()22121xxxx−−−=−+−D.()()25623xxxx−+=−−【答案】D【分析】根据因式分解-十字相乘法,提公因式法与公式法
的综合运用,进行分解逐一判断即可.【详解】解:A、()()()324422xxxxxxx−+=−−=−+−,故本选项不符合题意;B、()()22422xyxyxy−=+−,故本选项不符合题意;C、()22211xxx−−−=−+,
故本选项不符合题意;D、()()25623xxxx−+=−−,故本选项符合题意;故选:D.变式训练3.下列因式分解正确的是()A.()22323aaaa−−=−−B.()()2327333xxx−=+−C.()2222xxyyxy+−=−D.()()22
24xxx+−=−【答案】B【分析】根据因式分解的定义,以及提公因式法以及十字相乘法因式分解即可求解.【详解】解:A.()()22331aaaa−−=−+,故该选项不正确,不符合题意;B.()()23
27333xxx−=+−,故该选项正确,符合题意;C.()2222xxyyxy+−−,故该选项不正确,不符合题意;D.()()2224xxx+−=−,不是因式分解,故该选项不正确,不符合题意.故选:B.考点四:分组分解法多项式,根据具体式子,然后分组进行对应的因式分解
,然后再合并,从而变成最终的乘积公式.例4.多项式22424xxyyxy−−++分解因式后有一个因式是(2)xy−,另一个因式是()A.21xy++B.21xy+−C.21xy−+D.21xy−−【答案】C【分析】首先将原式重新分组,进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出
答案.【详解】解:22424xxyyxy−−++=22(44)(2)xxyyxy−++−=2(2)(2)xyxy−+−=(2)(21)xyxy−−+.故选:C.变式训练1.若ABC的三边a,b,c,满足222506810abcabc+++=
++,则ABC的面积为()A.6B.52C.63D.8【答案】A【分析】先将条件配成完全平方式,求出a,b,c的值,可得△ABC是直角三角形,即可求面积.【详解】解:∵222506810abcabc+++=++,∴2226981610250aabbcc+++++−−=−,
即()()()2223450abc−+−+−=,∴3,4,5abc===,∴222+=abc,∴△ABC是直角三角形,∴ABC的面积为3462=.故选:A变式训练2.下列因式分解错误的是()A.()
222abab−=−B.()()2933xxx−=+−C.()22442aaa+−=−D.()()222111xxyxyxy−+−=−+−−【答案】C【分析】利用提公因式法与公式法,分组分解法进行分解逐一判断即可.【详解】解:A、222()abab−=−,正确,故该选项不符合题意
;B、29(3)(3)xxx−=+−,正确,故该选项不符合题意;C、2244(2)aaa+−−,原分解错误,故该选项符合题意;D、2221(1)(1)xxyxyxy−+−=−+−−,正确,故该选项不符合题意;故选:C.变式训练3.下列因式分解错误的是()A.()222222242
4()2(2)(2)−+−=−+−=−−=−−−+xxyyxxyyxyxyxyB.2222()(2321412121)23()()()1xxxxxxxxx+−=++−=+−=+−++=−+C.2249(32)(23)abbaab−
+=−+D.()24228164xxx−+=−【答案】D【分析】根据因式分解的方法分别判断即可.【详解】解:A.()2222222424()2(2)(2)−+−=−+−=−−=−−−+xxyyxxyyxyxyxy,正确;B.2222()(2321412121)23()()()1xxxxxx
xxx+−=++−=+−=+−++=−+,正确;C.2249(32)(23)abbaab−+=−+,正确;D.()()()224228164=22xxxxx−+=+−−,原式分解不彻底,故不正确;故选D.【课堂小结】1.知
识清单:(1)乘法公式:平方差公式,完全平方公式,立方和、立方差公式等.(2)因式分解:提公因式法,十字相乘法,分组分解法等.2.方法归纳:数与式的计算,配凑.3.常见误区:十字相乘法中计算.【课后作业】1、已知关于x的代数式()22116xkx+++是一
个完全平方式,则k的值为()A.3B.5−C.3D.3或5−【答案】D【分析】这里首末两项是x和2这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x和2的积的2倍,据此解答,即可.【详解】解:∵关于x的代数式()22
116xkx+++是一个完全平方式,()()()2222116214xkxxkx+++=+++,∴()21214k+=或()()21214k+=−,解得:5k=−或3.故选:D2、设()()225353ababA+=−+,则A=()A.30abB.60abC.15a
bD.12ab【答案】B【分析】已知等式两边利用完全平方公式展开,移项合并即可求解.【详解】解:∵()()225353ababA+=−+,∴()()225353Aabab−=+−22222530925309aabbaabb=
++−+−60ab=故选:B.3、下列乘法公式运用正确的是()A.()()2111mmm−+−−=−B.()()22abbaab+−=−C.()2221241xxx−=+−D.()2211aa+=+【答案】A【分析】
根据平方差公式和完全平方公式进行判断即可.【详解】解:A.()()()2221111mmmm−+−−=−−=−,故A正确;B.()()()()22abbabababa+−=+−=−,故B错误;C.()()222212221441xxxxx−=−+=−+,故C错误;D.()22211
aaa++=+,故D错误.故选:A.4、如图①,从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形,然后将剩余分剪拼成一个长方形(如图②),则上述操作所能验证的公式是()A.()2aabaab+=+B.()2222abaabb−=−+C.()2222abaabb+=
++D.()()22ababab−=+−【答案】D【分析】由大正方形的面积减去小正方形的面积等于矩形的面积,进而可以证明平方差公式.【详解】解:大正方形的面积减去小正方形的面积为22ab−,矩形的面积()()
abab+−故()()22ababab−=+−,故选:D.5、下列分解因式正确的是()A.()2aabaaab−+=−B.()()22444ababab−=+−C.()2222aabbab++=−D.()()()()aabbbaabab−−−=−+【答案】D【分析】根据提公因式法、公
式法进行因式分解,逐项判断即可.【详解】解:A、()21aabaaab−+=−+,选项错误,不符合题意;B、()()()22224222abababab−=−=+−,选项错误,不符合题意;C、()2222aabbab++=+,选项错误,不符合题意;D、()()()()()()aabbbaaabba
babab−−−=−+−=−+,选项正确,符合题意;故选:D.6、已知23ab−=,224311aabb−+=,则222abab−的值为()A.3B.6C.8D.11【答案】B【分析】将23ab−=变形为23ab−=,同时将224311aabb−+=化为()221
1abab−+=,可得出ab的值,再将222abab−分解因式,最后将ab和2ab−的值代入即可求解.【详解】解:∵23ab−=,∴23ab−=,∵224311aabb−+=,∴224411baabab−++=,即()2211abab−+=,∴2
311ab+=,∴2ab=,∴222abab−()2abab=−23=6=.故选:B.7、列因式分解结果正确的是()A.()3244xxxx−+=−−B.()()22444xyxyxy−=+−C.(
)22121xxxx−−−=−+−D.2269(3)xxx−+=−【答案】D【分析】根据提公因式法与公式法的综合运用,进行分解逐一判断即可.【详解】解:A、()()()324422xxxxxxx−+=−−=−+−,本
选项错误,不符合题意;B、()()22422xyxyxy−=+−,本选项错误,不符合题意;C、()()22221211xxxxx−−−=−++=−+,本选项错误,不符合题意;D、()22693xxx−+=−,正确,符合题意;故选:D.8、下列因式分解正确的是()A.()232262
3xxxxx−=−B.()()224162424ababab−=+−C.()2224221xxx−+=−D.()()23441xxxx−−=+−【答案】C【分析】根据因式分解的方法逐项计算,即可判断.【详解】23
2)22(136xxxx−−=,故A因式分解错误,不符合题意;()()22416422ababab−=+−,故B因式分解错误,不符合题意;()2224221xxx−+=−,故C因式分解正确,符合题意;(
)()23441xxxx−−=−+,故D因式分解错误,不符合题意.故选C.9、把2221xyy−−−分解因式结果正确的是().A.(x+y+1)(x-y-1)B.(x+y-1)(x-y-1)C.(x+y-1)(x+y+1)D.(x-y+1)(x+y+1)【答案】A【
分析】由于后三项符合完全平方公式,应考虑三一分组,然后再用平方差公式进行二次分解.【详解】解:原式=x2-(y2+2y+1),=x2-(y+1)2,=(x+y+1)(x-y-1).故选A.10、下列因式分解中错误的是()A.()2
228164xxyyxy−+=−B.()()111xyxyxy−+−=+−C.()()24515xxxx−−=−+D.()()()42161412121xxxx−=++−【答案】C【分析】根据完全平方公式,分组分解法,十字相乘法,平方差公式因式分解即可【详解
】解:A.()2228164xxyyxy−+=−,故该选项正确,不符合题意;B.()()111xyxyxy−+−=+−,故该选项正确,不符合题意;C.()()24515xxxx−−=+−,故该选项不正确,符合题意;D.()()()42161412121xxxx−=++−,故该选项正确,不符合题
意;故选C11、若实数x满足2210xx−−=,则322742019xxx−+−的值为()A.-2019B.-2020C.-2022D.-2021【答案】C【分析】先将x2-2x-1=0变形为x2-2x=1,再将要求的式子逐步变形,将x2-
2x=1整体代入降次,最后可化简求得答案.【详解】解:∵x2-2x-1=0,∴x2-2x=1,∵2x3-7x2+4x-2019=2x3-4x2-3x2+4x-2019,=2x(x2-2x)-3x2+4x-2019,=6x-3x2-2019,=-3(x2-2x)-
2019=-3-2019=-2022,故选:C.12、已知a,b,c是正整数,ab,且211aabacbc−−+=,则ac−等于()A.1−B.1−或11−C.1D.1或11【答案】D【分析】把211aabacbc−−+=进行因式分解得到()(
)11abac−−=,再根据题意得到abac−−,都是正整数,则111acab−=−=或111acab−=−=.【详解】解:∵211aabacbc−−+=,∴()()11aabcab−−−=,∴()()11abac−−=,∵a,b,c是正整数,ab,∴a
bac−−,都是正整数,∴111acab−=−=或111acab−=−=,故选D.13、已知a、b、c是ABC三条边的长,且满足条件()222220abcbac++−+=,则ABC的形状是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】A【分析
】首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解,再根据非负数的性质得到abc==,从而得到答案.【详解】解:∵()222220abcbac++−+=,∴2222220abcabbc++−−=,∴()()2222220aabbbbcc−++−+=,∴(
)()220abbc−+−=,∵()()2200abbc−−,,∴()()2200abbc−=−=,,∴00abbc−=−=,,∴abc==,∴ABC是等边三角形,故选A.14、把代数式通过配凑等手段,得到局部完
全平方式.再进行有关运算和解题,这种解题方法叫做配方法.如:①用配方法分解因式:268aa++,解:原式()()22681169124aaaaaa=+++−=++−=++②222222Maabbb=−+−+,利用配方法求M的最小值,解:()()222
22222222221111aabbbaabbbbabb−+−+=−++−++=−+−+∵()20ab−,()210b−∴当1ab==时,M有最小值1.请根据上述材料解决下列问题:(1)在横线上添加一个
常数,使之成为完全平方式:223xx−+______.(2)用配方法因式分解:2243xxyy−+.(3)若284Mxx=+−,求M的最小值.(4)已知222222450xyzxyyz++−−−+=,则xyz++的值为____
__.【答案】(1)19;(2)()()3xyxy−−;(3)20−;(4)4【分析】(1)根据题意,由完全平方公式222()2abaabb+=++,可以知道横线上是19,(2)按照题干上的示例可以将2243xxyy−+分为222(44)xxyyy−+−,再利用完全平方公式即可求解
,(3)根据题意的方法,先将M因式分解为完全平方的形式即()2420x+−,即可求出最小值,(4)根据题意先将222222450xyzxyyz++−−−+=因式分解,变成完全平方的形式即222()(1)(2)0xyyz−+−+−=,然后得出x,y,z的值,代入xyz++即可求出结果.【详解】(1
)解:22211393xxx−+=−,故答案为:19;(2)解:2243xxyy−+22244xxyyy=−+−()222xyy=−−()()22xyyxyy=−+−−()()3xyxy=−−;(3)解:284Mxx=+−281
6164xx=++−−()2420x=+−,∵2(4)0x+,∴当4x=−时,M有最小值为20−;(4)解:222222450xyzxyyz++−−−+=,2222221440xxyyyyzz−++−++−+=,()()()222120xyyz−+−+−=,∵
()20xy−,()10y−2,()220z−,∴01020xyyz−=−=−=,∴1x=,1y=,2z=,∴1124xyz++=++=,故答案为:4.