【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第二讲 因式分解（人教版A2019） Word版含解析.docx，共(16)页，1.163 MB，由小赞的店铺上传

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第二讲：因式分解【教学目标】1、掌握乘法公式中的平方差公式，完全平方公式，立方和、立方差公式，涉及到的三次的方程.2、掌握因式分解常用方法：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等.【基础知识】一、乘法公式（1）平方差公

式22()()ababab+−=−；（2）完全平方公式222()2abaabb=+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()abaabbab+−+=+；（2）立方差

公式2233()()abaabbab−++=−；（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33abaababb+=+++；（5）两数差立方公式33223()33abaababb−=−

+−．二、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式分解因式.因式分解的常用方法：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，待定系数法和因式定理法.无特殊说明，一般只要求在有理数的范围内分解到不能

再分解为止.【题型目录】考点一：公式法考点二：提公因式法考点三：十字相乘法考点四：分组分解法【考点剖析】考点一：公式法平方差公式：22()()ababab+−=−；完全平方公式：222()2abaabb=+.

例1．若229xkxyy−+是一个整式完全平方后的结果，则k值为（）A．3B．6C．6D．81【答案】C【分析】根据首末两项是x和3y的平方，那么中间项为加上或减去x和3y的乘积的2倍，进而得出答案．【详解】解：∵229x

kxyy−+是一个整式完全平方后的结果，∴()22222339xxyxkyyyx−=++，∴6kxyxy−=，∴6k=，故选C．变式训练1．若()()22xyxy−=++（），则括号内的整式是（）A．2xyB．2xy−C．4xyD．4xy−【答案】D【分

析】根据完全平方公式变形即可求解．【详解】解：()2xy−222xyxy=+−2224xyxyxy=++−()24xyxy=+−，故选D．变式训练2．分解因式：214y−=（）A．()()1212yy−+B．()()1414

yy−+C．()()122yy−+D．()()212yy−+【答案】A【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：214y−21(2)y=−(12)(12)yy=−+．故选：A．变式训练3．如

图，先将图1中边长为a的大正方形纸片ABCD剪去一个边长为b的小正方形EBGF，然后沿直线EF将纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图2所示的方式拼接（无缝隙，无重叠），得到一个大的长方形AEGC．根据图

1和图2的面积关系可以写出的等式是（）（用含a，b式子表示）A．22()()ababab+−=−B．22()()2ababaabb++=++C．22()()2ababaabb--=-+D．2()abbabb+=+【答案】A【分析】根据两个图形中阴影部分面积线段，得出等式即可

求解．【详解】解：图1中的阴影部分面积为22ab−，图2中的阴影部分面积为()()abab−+，依题意，根据图1和图2的面积关系可以写出的等式是22()()ababab+−=−，故选：A．考点二：提公因式法先提取式子中公共部分

，即为提公因式法.例2．下列分解因式正确的是（）A．()22422xxxx−+=−+B．()2xxyxxxy++=+C．()()2()xxyyyxxy−+−=−D．2269(3)xxx+−=−【答案】C【分析】分别把选项进行因式分解后即可做出判断．【详解】解：()2

2422xxxx−+=−−，故A不符合题意；()21xxyxxxy++=++，故B不符合题意；()()xxyyyx−+−()()xxyyxy=−−−()()xyxy=−−2()xy=−，故C符合题意；269xx+−不能因式分解，故D不符合题意，故选：C

．变式训练1．分式2xxxy−−可化简为（）A．1yx−B．1xy−+C．1xy+D．1xy−【答案】A【分析】将分式分母先因式分解，再约分，即可求解．【详解】解：2xxxy−−()xxxy−=−1yx=−故先：A．变式训练2．把多项式22226312ababab−+分解因式，应提取

的公因式是（）A．abB．23abC．3abD．2212ab【答案】C【分析】根据题意可得提取3ab即可得到答案．【详解】解：22226312ababab−+()324ababab=−+，故选C．变式训练3．下列各多项式的因式分解中，正确的是（）A．(

)22693aaa−+=+B．()()22422ababab−=+−C．()2812246xxxx+=+D．()22242xyxy+=+【答案】B【分析】利用因式分解逐一判断即可．【详解】解：A.()22693−+=−aaa，故

因式分解不正确；B.()()22422ababab−=+−，因式分解正确；C.()2812423xxxx+=+，故因式分解不正确；D.224xy+不能因式分解；故选B．考点三：十字相乘法十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项例3．将多项式2412xx+−分解因式正确的

结果为（）A．()()34xx+−B．()()43xx+−C．()()62xx+−D．()()24xx+−【答案】C【分析】二次项系数看成11，常数项看成()62−，利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：2412xx+−()()62xx=+−故选：C．变式训练1．下列算式计算结

果为2412xx−−的是（）A．()()26+−xxB．()()26xx−+C．()()34xx+−D．()()34−+xx【答案】A【分析】依据因式分解法进行计算即可．【详解】解：()()241226xxxx−−=+−

，故选：A．变式训练2．下列因式分解结果正确的是（）A．()3244xxxx−+=−−B．()()22444xyxyxy−=+−C．()22121xxxx−−−=−+−D．()()25623xxxx−+=−−【答案】D【分析】根据因式分解－十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用

，进行分解逐一判断即可．【详解】解：A、()()()324422xxxxxxx−+=−−=−+−，故本选项不符合题意；B、()()22422xyxyxy−=+−，故本选项不符合题意；C、()22211xxx−−−=−+，故本选项不符

合题意；D、()()25623xxxx−+=−−，故本选项符合题意；故选：D．变式训练3．下列因式分解正确的是（）A．()22323aaaa−−=−−B．()()2327333xxx−=+−C．()2222xxyyxy+−=−D．()()2224xx

x+−=−【答案】B【分析】根据因式分解的定义，以及提公因式法以及十字相乘法因式分解即可求解．【详解】解：A.()()22331aaaa−−=−+，故该选项不正确，不符合题意；B.()()2327333xxx−=+−，故该选项正确，符合题意；C.()2222xxyyxy+−−，故该选项不正确，

不符合题意；D.()()2224xxx+−=−，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意．故选：B．考点四：分组分解法多项式，根据具体式子，然后分组进行对应的因式分解，然后再合并，从而变成最终的乘积公式.例4．多项式22424xxyyxy−−++分解因式后有一个因式是(2)

xy−，另一个因式是（）A．21xy++B．21xy+−C．21xy−+D．21xy−−【答案】C【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【详解】解：22424xxyyxy−−++＝22(44)(2)

xxyyxy−++−＝2(2)(2)xyxy−+−＝(2)(21)xyxy−−+．故选：C．变式训练1．若ABC的三边a，b，c，满足222506810abcabc+++=++，则ABC的面积为（）A．6B．5

2C．63D．8【答案】A【分析】先将条件配成完全平方式，求出a，b，c的值，可得△ABC是直角三角形，即可求面积．【详解】解：∵222506810abcabc+++=++，∴2226981610250aabbcc+++++−−=−，即()()()2223450abc−+−+−=，∴3,4,

5abc===，∴222+=abc，∴△ABC是直角三角形，∴ABC的面积为3462=．故选：A变式训练2．下列因式分解错误的是（）A．()222abab−=−B．()()2933xxx−=+−C．

()22442aaa+−=−D．()()222111xxyxyxy−+−=−+−−【答案】C【分析】利用提公因式法与公式法，分组分解法进行分解逐一判断即可．【详解】解：A、222()abab−=−，正确，故该选项不符合题意；B、29(3)(3)xx

x−=+−，正确，故该选项不符合题意；C、2244(2)aaa+−−，原分解错误，故该选项符合题意；D、2221(1)(1)xxyxyxy−+−=−+−−，正确，故该选项不符合题意；故选：C．变式训练3．下列因式分解错误的是（）A．()222222242

4()2(2)(2)−+−=−+−=−−=−−−+xxyyxxyyxyxyxyB．2222()(2321412121)23()()()1xxxxxxxxx+−=++−=+−=+−++=−+C．2249(32)(23)abbaab−+=−+D．()24228164xxx−+=−【

答案】D【分析】根据因式分解的方法分别判断即可．【详解】解：A．()2222222424()2(2)(2)−+−=−+−=−−=−−−+xxyyxxyyxyxyxy，正确；B．2222()(2321412121)23()

()()1xxxxxxxxx+−=++−=+−=+−++=−+，正确；C．2249(32)(23)abbaab−+=−+，正确；D．()()()224228164=22xxxxx−+=+−−，原式分解不彻底，故不正确；故选D．【课堂小结】1

．知识清单：(1)乘法公式：平方差公式，完全平方公式，立方和、立方差公式等．(2)因式分解：提公因式法，十字相乘法，分组分解法等．2．方法归纳：数与式的计算，配凑．3．常见误区：十字相乘法中计算．【课后作业】1、已知关于x的代数式()22116xkx+++是一个完

全平方式，则k的值为（）A．3B．5−C．3D．3或5−【答案】D【分析】这里首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2的积的2倍，据此解答，即可．【详解】解：∵关于x的代数式()22116xkx+++是一个完全平方式，()()()2222116214xkxxkx+++=++

+，∴()21214k+=或()()21214k+=−，解得：5k=−或3．故选：D2、设()()225353ababA+=−+，则A=（）A．30abB．60abC．15abD．12ab【答案】B【分析】已知等式两边利用完

全平方公式展开，移项合并即可求解．【详解】解：∵()()225353ababA+=−+，∴()()225353Aabab−=+−22222530925309aabbaabb=++−+−60ab=故选：B．3、下列乘法公式运用正确的是（）A．()()2111m

mm−+−−=−B．()()22abbaab+−=−C．()2221241xxx−=+−D．()2211aa+=+【答案】A【分析】根据平方差公式和完全平方公式进行判断即可．【详解】解：A．()()()2221111mmmm−+−−=−−=−，故A正确；B．()()()()22abba

bababa+−=+−=−，故B错误；C．()()222212221441xxxxx−=−+=−+，故C错误；D．()22211aaa++=+，故D错误．故选：A．4、如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余

分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（）A．()2aabaab+=+B．()2222abaabb−=−+C．()2222abaabb+=++D．()()22ababab−=+−【答案】D【分析】由大正方形的面积减去小正方形的面积等于矩形的面积，进而可以证明平方差公式．【

详解】解：大正方形的面积减去小正方形的面积为22ab−，矩形的面积()()abab+−故()()22ababab−=+−，故选：D．5、下列分解因式正确的是（）A．()2aabaaab−+=−B．()()22444ababab−

=+−C．()2222aabbab++=−D．()()()()aabbbaabab−−−=−+【答案】D【分析】根据提公因式法、公式法进行因式分解，逐项判断即可．【详解】解：A、()21aabaaab−+=−+，选项错误，不符合题意；B、()()()22224222abababab−=−=+−，

选项错误，不符合题意；C、()2222aabbab++=+，选项错误，不符合题意；D、()()()()()()aabbbaaabbababab−−−=−+−=−+，选项正确，符合题意；故选：D．6、已知23ab−=，224311

aabb−+=，则222abab−的值为（）A．3B．6C．8D．11【答案】B【分析】将23ab−=变形为23ab−=，同时将224311aabb−+=化为()2211abab−+=，可得出ab的值，再将222abab−分解因式，最后将ab和2ab−的值代入即可求解．【详解】解：∵23ab−=

，∴23ab−=，∵224311aabb−+=，∴224411baabab−++=，即()2211abab−+=，∴2311ab+=，∴2ab=，∴222abab−()2abab=−23=6=．故选：B．7、列因式分解结果正确的是（）A．()3244xxxx−+=−−B．

()()22444xyxyxy−=+−C．()22121xxxx−−−=−+−D．2269(3)xxx−+=−【答案】D【分析】根据提公因式法与公式法的综合运用，进行分解逐一判断即可．【详解】解：A、()()()324422xxxxxxx−+=−−=−+−，本选项错误，不符合题意；B

、()()22422xyxyxy−=+−，本选项错误，不符合题意；C、()()22221211xxxxx−−−=−++=−+，本选项错误，不符合题意；D、()22693xxx−+=−，正确，符合题意；故选：D．8、下列因式分解正确

的是（）A．()2322623xxxxx−=−B．()()224162424ababab−=+−C．()2224221xxx−+=−D．()()23441xxxx−−=+−【答案】C【分析】根据因式分解的方法逐

项计算，即可判断．【详解】232)22(136xxxx−−=，故A因式分解错误，不符合题意；()()22416422ababab−=+−，故B因式分解错误，不符合题意；()2224221xxx−+=−，

故C因式分解正确，符合题意；()()23441xxxx−−=−+，故D因式分解错误，不符合题意．故选C．9、把2221xyy−−−分解因式结果正确的是（）．A．（x＋y＋1）(x－y－1)B．（x＋y－1）(x－y－1)C．（x＋y－1）(x＋y＋1)D．（x－y＋1）(x＋y＋1

)【答案】A【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．【详解】解：原式=x2-（y2+2y+1），=x2-（y+1）2，=（x+y+1）（x-y-1）．故选A．10、下列因式分解中错误的是（）A．()2228164xxyyxy−+=−B．(

)()111xyxyxy−+−=+−C．()()24515xxxx−−=−+D．()()()42161412121xxxx−=++−【答案】C【分析】根据完全平方公式，分组分解法，十字相乘法，平方差公式因式分解即可【详解】解：A.()2228164xxyyxy−+=−，故该选项正确，

不符合题意；B.()()111xyxyxy−+−=+−，故该选项正确，不符合题意；C.()()24515xxxx−−=+−，故该选项不正确，符合题意；D.()()()42161412121xxxx−=++−，故该选项正确，不符合题意；故选C11、若实数x满足2210xx−−=，则3227420

19xxx−+−的值为（）A．-2019B．-2020C．-2022D．-2021【答案】C【分析】先将x2-2x-1=0变形为x2-2x=1，再将要求的式子逐步变形，将x2-2x=1整体代入降次，最后可化简求得答案．【详解】解：∵x2-2x-1=0，∴x2-2x=1，∵2x3-7x2+

4x-2019=2x3-4x2-3x2+4x-2019，=2x（x2-2x）-3x2+4x-2019，=6x-3x2-2019，=-3（x2-2x）-2019=-3-2019=-2022，故选：C．12、已知a，b，c是正

整数，ab，且211aabacbc−−+=，则ac−等于（）A．1−B．1−或11−C．1D．1或11【答案】D【分析】把211aabacbc−−+=进行因式分解得到()()11abac−−=，再根据题意得到abac−−，都是正整数，则111acab−=−=或111acab−=

−=．【详解】解：∵211aabacbc−−+=，∴()()11aabcab−−−=，∴()()11abac−−=，∵a，b，c是正整数，ab，∴abac−−，都是正整数，∴111acab−=−=或111acab−=−=，故选D．13、已知a、b、c是ABC三条边的长，且满足

条件()222220abcbac++−+=，则ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【分析】首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解，再根据非负数的性质得到abc==，从而得到答案．【详解】解：∵()222220abcbac

++−+=，∴2222220abcabbc++−−=，∴()()2222220aabbbbcc−++−+=，∴()()220abbc−+−=，∵()()2200abbc−−，，∴()()2200abbc−=−=，，∴00abbc−=−=，，∴abc==，∴ABC是等边三

角形，故选A．14、把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：268aa++，解：原式()()22681169124aaaaaa=+++−=++−=++②222222Maabbb=−+−+，利用配方法求M的最小值，

解：()()22222222222221111aabbbaabbbbabb−+−+=−++−++=−+−+∵()20ab−，()210b−∴当1ab==时，M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：223xx−+______．

(2)用配方法因式分解：2243xxyy−+．(3)若284Mxx=+−，求M的最小值．(4)已知222222450xyzxyyz++−−−+=，则xyz++的值为______．【答案】(1)19；(2)()

()3xyxy−−；(3)20−；(4)4【分析】（1）根据题意，由完全平方公式222()2abaabb+=++，可以知道横线上是19，（2）按照题干上的示例可以将2243xxyy−+分为222(44)xxyyy−+−，再利用完全平方公式即可求解，（3）根据题意的方法，先将M因式分解

为完全平方的形式即()2420x+−，即可求出最小值，（4）根据题意先将222222450xyzxyyz++−−−+=因式分解，变成完全平方的形式即222()(1)(2)0xyyz−+−+−=，然后得出x，y，z的值，代入xyz

++即可求出结果．【详解】（1）解：22211393xxx−+=−，故答案为：19；（2）解：2243xxyy−+22244xxyyy=−+−()222xyy=−−()()22xyyxyy=−+−−()()3xyxy=−−；（3）解：284Mxx=+−28

16164xx=++−−()2420x=+−，∵2(4)0x+，∴当4x=−时，M有最小值为20−；（4）解：222222450xyzxyyz++−−−+=，2222221440xxyyyyzz−++−++−+=，()()()222120xyyz−+

−+−=，∵()20xy−，()10y−2，()220z−，∴01020xyyz−=−=−=，∴1x=，1y=，2z=，∴1124xyz++=++=，故答案为：4．