【文档说明】上海市曹杨第二中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(18)页，835.505 KB，由小赞的店铺上传

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上海市曹杨第二中学2021-2022年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.函数sin3yx=的最小正周期为_____．【答案】2π3【解析】【分析】直接利用三角函数的周期公式，即可求解.【详解】解：由正弦函数的周期公式得2π3T=，所以函数sin3yx

=的最小正周期为2π3，故答案为：2π32.复数23iz=−（其中i为虚数单位）的虚部为____．【答案】3−【解析】【分析】由复数的概念可直接得到虚部.【详解】由复数的概念可知复数23iz=−的虚部为3−.故答案为:3−

.3.函数tan2yx=的定义域为___________________【答案】2,4kxxkZ+.【解析】【分析】由正切函数tanyx=的定义域得出()22xkkZ+，解出不等式可得出所求函数的定义域．【详解】由于正切函数tanyx=

为,2xxkkZ+，解不等式()22xkkZ+，得()24kxkZ+，因此，函数tan2yx=的定义域为2,4kxxkZ+，故答案为2,4kxxkZ+．【点睛】本题考

查正切型函数定义域的求解，解题时需结合正切函数的定义域列不等式进行计算，考查计算能力，属于中等题．4.已知tan3=−，则coscos(2)23sin()2sin2−+−=−+−____．【答案

】25##0.4【解析】【分析】先通过诱导公式化简，然后弦化切即可得到答案.【详解】原式sincostan1312sin2costan2325++−+====−−−−．故答案为：25.5.若,为锐角，且83sin,cos1

75==，则cos()+=_____．【答案】1385【解析】【分析】通过平方关系求出cos和sin值，再根据两角和的余弦公式即可得解.【详解】因为,为锐角，且83sin,cos175==，所以154cos,sin175==，所以1538

413cos()coscossinsin17517585+=−=−=．故答案为：1385.6.方程3sincos2xx+=在0,2π上的解集为__．【答案】π7π,1212【解析】【分析】首先利用辅助角公式化简，然后利用特殊

角的三角函数值确定解集，最后根据题干中给定角的取值范围即可确定满足条件的角的集合.的【详解】因为3sincos2xx+=，所以π2sin26x+=，所以ππ2π64xk+=+或π3π2π64xk+=+，所以π2π12xk=+或7π2π12xk=+，因为0,

2πx，所以π12x=或7π12x=，故答案为：π7π,1212．7.已知向量a在向量b方向上的投影向量为2b−，且||3b=，则=ab__．(结果用数值表示)【答案】18−【解析】【分析】首先根据投影公式求得||cos6aab=−，再代入数量积公

式，即可求解.【详解】因为向量a在向量b方向上的投影向量为2b−，且||3b=，所以||cos2||baabbb=−，所以||cos6aab=−，则||||cos,6318ababab==−=−．故答案为：18−8.函数22

sincos2sin1,[0,π]yxxxx=−+的单调递减区间为_____．【答案】π,85π8【解析】【分析】先将函数解析式化简，再利用整体代入法即可求得函数单调递减区间【详解】22sincos2sin1sin2co

s22si4πn2yxxxxxx=−+=+=+，由ππ3π2π22π242kxk+++，得π5πππ,88kxkk++Z又[0,π]x，则π5π88x则函数22sincos2sin1yxxx=−+，[0,π]x单调递减区间为π,85π8．故

答案为：π,85π89.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若coscossinaBbAcC+=，2221()4Sbca=+−，则B=__________．【答案】4【解析】【详解】试题分析：∵222cos2bcaAbc+

−=，∴22211sin()24SbcAbca==+−，∴11sin2cos24bcAbcA=，∴tan1A=，4A=．∵coscossinaBbAcC+=，∴2sin()sinABC+=，∴sin1C=，∴2C=，∴

4B=．考点：解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得tan1A=，可得4A=，再用正弦定理把coscossinaBbAcC+=中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得90C=，最后根据

三角形内角和，进而求得B．10.已知函数()2sin()0,||2fxx=+，若()fx在区间,124上具有单调性，且5,041212fff=

=，则()fx=_____．【答案】2sin26x−【解析】【分析】根据条件，运用三角函数的性质逐步推理，求出和.【详解】由于5412ff=，存在两种情况：（1）周期为51246

T=−=，则有212T==，又012f=，所以()12kkZ+=，2＜，0=，即()2sin12fxx=，又4126−==T，则()fx在区间,124上不具有单调性，不符合题意；（2）3x

=为函数的对称轴，则()1132kkZ+=+…①，因为012f=，所以()2212kkZ+=…②，①-②得()1242kk=+−，所以()1224kk=+−，因()fx在区间

,124上具有单调性，所以41262T−=，即3T，所以2,06T=＜，2=或6，若2=，则21kk=，由①得16k=−+，因为||2，所以6=−，

210kk==，代入①也成立，符合题意；若6=，由①得122k=+−，不可能满足2＜；所以()2sin26fxx=−；故答案为：()2sin26fxx=−.11.已知函数()21()sins3in0

,222xfxxxR=+−，若()fx在区间(),2内没有零点，则ω的取值范围是__.【答案】1170,,12612U【解析】【分析】由三角恒等变换得()sin6f

xx=−，进而根据题意得()()2020ffT=，再分别解不等式即可得答案.【详解】解：函数211()sinsinsincossin22222363xfxxxxx

=+−=−=−∵()fx在区间(),2内没有零点，为∴()()2020ffT=，即sinsin206601−−∴sin06sin206−−

①或sin06sin206−−②，解①得()2262226kkkZkk−+−+，即()172266171212kkkZkk++++，由于0

1，故0k=，即17612解②得()2262226kkkZkk−+−−+−，即()512266511212kkkZkk−++−+

+，由于01，故0k=，即1012，综上可得的取值范围是1170,,12612U故答案为：1170,,12612U12.如图，圆O是半径为1的圆，12OA=，设B，C为圆上的任意2个点，则ACBC→→的

取值范围是___________.【答案】1,38−【解析】【分析】连接OA，OB，设D是线段BC的中点，连接OD，则有ODBC⊥.设为OA→和BC→的夹角.求出211cos22ACBCBCBC→→→→=−

,利用二次函数即得解.【详解】解：连接OA，OB，设D是线段BC的中点，连接OD，则有ODBC⊥.设为OA→和BC→的夹角.则ACBCOCOABCOCBCOABC→→→→→→→→→=−=−coscosOCBCBCOOABC→→→→=

−211cos22BCBC→→=−，221111cos2222BCBCBCBC→→→→−−2111228BC=−−，（当cos1=即0=时取等）因为0,2BC→，所以当12BC→=时，ACBC→→

有最小值18−.221111cos+2222BCBCBCBC→→→→−2111228BC=+−，（当cos1=−即=时取等）当2BC→=时，211+22BCBC→→有最大值为3，

即ACBC→→有最大值3，所以ACBC→→的取值范围是1,38−.故答案为：1,38−【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型211cos22ACBCBCBC→→→→=−，再利用二次函数

的图象和性质求解.二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.已知非零向量,,abc，则“acbc=”是“ab=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】

如图所示，,,,OAaOBbOCcBAab====−,当ABOC⊥时，ab−与c垂直，，所以成立，此时ab，∴不是ab=的充分条件，当ab=时，0ab−=，∴()00abcc−==rrrrr,∴成立，∴是ab=的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.1

4.设函数()sincosfxaxbx=+，其中0a，0b，若()4fxf对任意的Rx恒成立，则下列结论正确的是（）A.26fB.()fx的图像关于直线34x=对称C.()fx在5,44上单调递增D.过点

(),ab的直线与函数()fx的图像必有公共点【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化简，进而根据函数在4x=处取得最大值求出参数，然后结合三角函数的图象和性质判断答案.【详解】由题意，()()22sincossinfxaxbxabx=+

=++，tanba=，而函数在4x=处取得最大值，所以()()2Z2Z424kkkk+=+=+，所以()22sin4fxabx=++，tan1baba===，则()()2sin04fxaxa=+.对A

，因为32123226sinsinsin24426422224++==+=+=，即26f，A错误；对B，因为3sinsin044+==，所以B错误；对C，因为3,242x+

，所以函数在5,44上单调递减，所以C错误；对D，因为()fx的最大值为2a，而2baa=，所以过点(),ab的直线与函数()fx的图象必有公共点，D正确.故选：D.15.函数sin(2)yx=+的图像向左平移π6个单位长度后与函数πcos26yx=+

的图像重合，则||的最小值为（）A.5π6B.2π3C.π3D.π6【答案】C【解析】【分析】利用三角函数图像平移规则和三角函数诱导公式即可取得||的最小值【详解】函数sin(2)yx=+的图像向左平移π6

个单位长度后为πsin23yx=++又因为πππππcos2sin2sin266233yxxx=+=++=++，则||的最小值为π3，故选：C．16.如果对一切正实数

x，y，不等式29cossin4yxaxy−−恒成立，则实数a的取值范围是（）A.4,3−B.[3,)+C.[22,22]−D.[3,3]−【答案】D【解析】【分析】将不等式4y−cos2x≥asinx9y−恒成立转化为94yy+

asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）94yy=+，利用基本不等式可求得f（y）min＝3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx＝0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【详解】解：∀实数x、y

，不等式4y−cos2x≥asinx9y−恒成立⇔94yy+asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）94yy=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，∵y＞0，f（y）94yy=+294yy=3（当且

仅当y＝6时取“＝”），f（y）min＝3；所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx2sinx+恒成立，令sinx＝t，则0＜t≤1，再令g（t）＝t2t+（0＜t≤1），则a≤g（t

）min．由于g′（t）＝122t−＜0，所以，g（t）＝t2t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min＝g（1）＝3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx2sinx+恒成立，同理可得

a≥﹣3；③若sinx＝0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点睛】本题考查恒成立问题，将不等式4y−cos2x≥asinx9y−恒成立转化为94yy+asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）94yy=+，求得f（y）min＝3是关键，也是难点，考查

等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（本大题满分52分，本大题共有4题）17.已知||3a=，||4b=，||13ab−=．（1）求,ab；（2）求|2|+ab的值．【答案】（1）π,3ab=（2）97【解析】【分析】（1）用平面向量

的模长及数量积运算即可求解.（2）用公式2|2||2|abab+=+，展开即可求解.【小问1详解】因为||3a=，||4b=，||13ab−=所以222||=2cos,abaababb−−+，即924co

s,1613ab−+=，即1cos,2ab=，又,[0,]ab，所以π,3ab=【小问2详解】2221|2||2|4cos,49434416972ababaababb+=+=++=++=18.已知△ABC的角

A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos3sincBbCa+=．（1）求角C的大小；（2）若2c=，3ACCB=−uuuruur，求ab+的值．【答案】（1）6C=；（2）1043ab+=+．【解析】【分析】（1）由正弦定理和三角函数的诱导公式、两角和的正弦公式、同角的商数关系，可

得所求值；（2）由向量的数量积的定义和余弦定理，结合配方法，可得所求值．【详解】解：（1）由正弦定理可得sincos3sinsinsinsin()sincoscossinCBBCABCBCBC+==+=+，所以3sinsin

sincosBCBC=，因为sin0B，所以sita3snnco3CCC==，又()0C，，所以6C=；（2）因为cos3CACBabC==，3coscos62C==，所以23=ab，所以22222cos()22cos6cababCababab=+−=+−−，则23()2244364

10432ababab+=++=++=+，所以1043ab+=+．19.如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5公里，与小岛D相距为35公里．已知角A为钝角，且3sin5A=．（

1）求小岛A与小岛D之间的距离；（2）记CDB为，CBD为，求sin(2)+的值．【答案】（1）2（2）2525【解析】【分析】(1)在ABD△中，利用余弦定理即可求解；(2)在BCD△中，先利用正弦定理求出5sin5=，然后利用两角和正弦公式即可求解.小问1详解】由题意可知：5

ABBC==，35BD=，因为角A为钝角，3sin5A=，所以4cos5A=−，在ABD△中，由余弦定理得，2222cosADABADABABD+−=，所以28200ADAD+−=，解得2AD=或10AD=−（舍

），所以小岛A与小岛D之间的距离为2．【小问2详解】在BCD△中，由正弦定理sinsinBCBDC=，因为πAC+=，所以3sinsin(π)sin5CAA=−==，则5sin5=，因为BCBD，所以为锐角，所以25cos5=，因为3sin(

)sin(π)sin5CC+=−==，4cos()cos(π)cos5CC+=−=−=−，所以sin(2)sin[()]+=++25sincos()cossin()25=+++=．20.借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图像的旋转问题

.试解答下列问题.（1）在直角坐标系中，将点(2,1)A绕坐标原点O逆时针旋转π4到点B，求点B的坐标；（2）如图，设向量(,)ABab=，把向量AB按逆时针方向旋转角得到向量AC，求向量AC的坐标；的【（3）设(,)(,)AaaBmn，为不重合的两

定点，将点B绕点A按逆时针方向旋转角得点C，判断C是否能够落在直线yx=上，若能，试用,,amn表示相应的值，若不能，说明理由.【答案】（1）232,22B（2）()cossin,cossinACabba=−+（3）能，答案见解析【解析】【分析】（1）设OAr

=，以OA为终边的角为，则利用两角和的正弦和余弦公式求得cos4π+和πsin4+，进而求得点B坐标；（2）先把(,)ABab=平移到起点在原点得到(),OBab=，与（1）同理求得OC即得AC；（3）与

（1）同理求得点C，把点C坐标代入直线yx=，分情况讨论求解即可．【小问1详解】设()cos25,,sin1rOArBxyr====，则πππ2cos()coscossinsin4442xrrr=+=−=，πππ32

sin()sincoscossin4442yrrr=+=+=，所以232,22B；【小问2详解】把向量AB的起点平移到原点O，如图，(,),OBABabACOC===，设以OB为终边的角为，则以OC

为终边的角为+，记=(,)rOCOBCxy=，，则cossinarbr==，()()coscoscossinsincossinsinsincoscossincossinxrrrabyrrrba

=+=−=−=+=+=+，所以()cossin,cossinACabba=−+；【小问3详解】欲求C点坐标，只需要求向量OC坐标.显然.OCOAAC=+因为向量(,)ABmana=−−，由（2）得()()cos()sin,(

)cos()sinACmananama=−−−−+−()(,)()cos()sin,()cos()sinOCOAACaamananama=+=+−−−−+−即C点坐标为()()cos()sin,()cos()sinamanaanama+−−−+−+−

，“点C落在直线yx=上”“()cos()sin()cos()sinamanaanama+−−−=+−+−”“()cos+2)sinmnmna−=−（”①当2mnmna=+=时，点AB、重合，不合题意；

②当2mnmna=+时，点C能落在直线yx=上，此时需π(Z)kk=；③当2mnmna+=时，点C能落在直线yx=上，此时需π(Z)2kk=+；④当+2mnmna时，点C能落在直线yx

=上，由tan+2mnmna−=−，此时需πarctan(Z)2mnkkmna−=++−.注：情形②可以并入情形④综上所述：当+2mnmna=时，ππ(Z)2kk=+；当+2mna时，πarctan(Z)2mnkkmna−=++−.获得更多资

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