【文档说明】河北省衡水中学2023届高三第四次综合素养测评数学试题 含解析.docx，共(26)页，2.869 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年度下学期高三年级第四次综合素养测评数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知P，Q为R的两个非空真子集，若RQðPRð，则下列结论正确的是（）A.xQ，xPB.0RxPð，0RxQðC.0xQ，0xPD.RxPð，RxQð【答案】B【解

析】【分析】根据条件画出Venn图，根据图形，判断选项.【详解】因为RQðRPð，所以PQ，如图，对于选项A：由题意知P是Q的真子集，故xQ，xP，故不正确，对于选项B：由RQð是RPð的真子集且RQð，RPð都

不是空集知，0RxPð，0RxQð，故正确.对于选项C：由RQð是RPð的真子集知，xQ，xP，故不正确，对于选项D：Q是RPð的真子集，故RxPð，RxQð，故不正确，故选：B2cos198cos132c

os42sin18+=（）A.32−B.12−C.32D.1【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式，逆用正弦和角公式计算出答案..【详解】()()cos198cos132cos42sin18cos1801

8cos9042cos42sin18+=+++()3cos18sin42cos42sin18sin4218sin602=+=+==.故选：C3.设向量,ab均为单位向量,则“ab⊥”是“3223ab

ab−=+”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】将等式两边平方即可证明其充分必要性.【详解】若ab⊥,则0ab=,所以22232912413abaabb−=−+=,22223412913abaabb+=+

+=,所以3223abab−=+,满足充分性;若3223abab−=+,则两边平方得0ab=,所以ab⊥,满足必要性．故选:B.4.已知函数()yfx=的定义域为0,4，则函数0(1)(2)1fxyxx+=+−−的定义域是（）A.(1,5B.()()1,22,5C.(

)(1,22,3D.(1,3【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.【详解】因为函数()yfx=的定义域为0,4，又函数0(1)(2)1fxyxx+=+−−有意义，则有0141020xxx+−−，解得1

2x或23x，所以函数0(1)(2)1fxyxx+=+−−的定义域是()(1,22,3.故选：C5.如图，正方体1111ABCDABCD−中，PQRS､､､分别为棱1ABBCBBCD､､､的中点，

连接11ASBD､，对空间任意两点MN､，若线段MN与线段11ASBD､都不相交，则称MN､两点可视，下列选项中与点1D可视的为（）A.点PB.点QC.点RD.点B【答案】B【解析】【分析】根据异面直线的定义判断即可.【详解】

A选项：四边形11ADSP是平行四边形，1AS与1DP相交，故A错；C选项：四边形11DBBD是平行四边形，1DR与1DB相交，故C错；D选项：四边形11DBBD是平行四边形，1DB与1DB相交，故D错；利用排除法可得选项B正确.故选：B.6.垃圾分类的目的是提高垃圾的资

源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动．高一、高二、

高三年级分别有2名、3名、3名同学获一等奖．若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（）A.432种B.420种C.176种D.72种【答案】A【解析】【分析】将各年级的学生进行

捆绑，然后考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】将三个年级的学生分别捆绑，形成三个“大元素”，考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，由分

步乘法计数原理可知，不同的排法种数为32333233AAAA6266432==种.故选：A.7.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球

体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100m，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A.49.

25mB.50.76mC.56.74mD.58.60m【答案】B【解析】【分析】根据三角函数可得3,tan10RABRAC==，利用3100tan10RBCR=−=求解R即可.【详解】如图，设球的半径为,3,tan

10RRABRAC==3100tan10RBCR=−=，100100sin101cos103sin103tan10R==−−，100sin1050sin1050sin102525.2sin(3010)sin202s

in10cos10cos100.985=====−50250.760.985R=，故选：B8.已知定义在R上的函数()fx满足()01f=，对x，yR，有()()()()12fxyfxfyfyx+=−−+，则()()202

3111ififi==+（）A20234050B.20242025C.20234048D.20232024【答案】A【解析】【分析】由已知可推得()12f=，令1y=，得出()()12fxfxx+=−.设()*,nafnn=N，则()()1221nn

anan+−+=−+，由12a=，可得1nan=+.又()()111112fifiii=−+++，代入求和即可得出结果.【详解】令0xy==，由已知可得()()()210022fff=−+=.令1y=，由已知可得()()()()()1

1122fxfxffxfxx+=−−+=−，设()*,nafnn=N，则12nnaan+=−，整理可得()()1221nnanan+−+=−+.又12a=，所以()()12210nnanan+−+=−+=，所以1nan=+.则()()()()1

1111111212iififiaaiiii+===−+++++，所以()()2023111111111120231233445202420254050ififi==−+−+−++−=+.故选：A.【点睛】方法点睛：对于抽象函数的问题，常用赋值法：赋确定值求解函数值，赋确定值及可变值可

得函数关系式.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.热搜是指网站从搜索引擎带来最多流量的几个或者

是几十个关键词及其内容，热搜分为短期热搜关键词和长期热搜关键词两类.“搜索指数”是网友通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.如图是2021年9月到2022年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图（纵轴单位：人次）..根据该走势图，下列结

论不正确的是（）A.网友对该关键词相关的信息关注度不断减弱B.网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化，有规律可循C.2021年9月份的方差小于2021年11月份的方差D.2021年10月份的平均值大于2022年1月份的平均值【答案】ABC【解

析】【分析】根据走势图依次判断各个选项即可.【详解】对于A，走势图存在上下波动的情况，故关注度并非不断减弱，A错误；对于B，走势图变化趋势并没有呈现出周期性，B错误；对于C，走势图中，2021年9月份的波动程度超过2021年11月份的波动程度，故9月份的方差大于11月份的方差，C错误；对于D，走

势图中，2021年10月份的数值明显高于2022年1月份的数值，故2021年10月份的平均值大于2022年1月份的平均值，D正确.故选：ABC.10.已知直线:40lxy+−=，圆22:2Oxy+=，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则（）A.直线l

与圆O相切B.圆O上的点到直线l的距离的最小值为2C.存在点M，使90AMB=D.存在点M，使AMB为等边三角形【答案】BD【解析】【分析】对于A选项，分析圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，若dr=，则

直线l与圆O相切，若dr，则直线l与圆O不相切；对于B选项，圆O上的点到直线l的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径长；对于C选项，当MO最短时，有最大的张角AMB；对于D选项，考虑AMB能否等于

60°.【详解】对于A选项，圆心到直线的距离𝑑=|−4|√12+12=2√2>√2=𝑟，所以直线和圆相离，故A错误；对于B选项，圆O上的点到直线l的距离的最小值为2dr−=，故B正确；对于C选项，当OM⊥l时，AMB有最大值60°，故C错误；对于D选项，当OM⊥l时，AMB为等边三角形，故

D正确.故选：BD.11.一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，090BF==，0060,45,ADBCDE===，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥FCAB−，取BC中

点O与AC中点M，则下列判断中正确的是（）A.BCFM⊥B.AC与平面MOF所成的角的余弦值为32C.平面MOF与平面AFB所成的二面角的平面角为45°D.设平面ABF平面MOFl=，则有//lAB【答案】AD【解析】【分析】证明BC⊥面FOM可判断

A；根据AC与平面MOF所成的角为060CMO=判断B；利用特殊位置判断C；先证明//AB面MOF，由线面平行的性质定理可判断D；【详解】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BCOFBCOMOMOFO⊥⊥=，所以BC⊥面FOMBCFM⊥，故A正确；因为BC⊥面

FOM，所以AC与平面MOF所成的角为060CMO=，所以余弦值为12，故B错误；对于C选项可以考虑特殊位置法，由BC⊥面FOM得面ABC⊥面FOM，所以点F在平面ABC内的射影在直线OM上，不妨设点F平面ABC内的射影为M，过点M作//BCMN，连结NF.易证AB⊥面MNF

，则l⊥面MNF，所以MFN为平面MOF与平面AFB所成的二面角的平面角，不妨设2AB=，因为060A?，所以23BC=，则13,12OFBCOM===，显然MFN不等于45°，故C错误.设面MOF与平

面ABF的交线为l，又因为//,ABOMAB面MOF，OM面MOF，所以//AB面MOF，由线面平行的性质定理可得：//lAB，故D正确；故选：AD.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直

线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.12.华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关

键概念，定义如下：设()fx是定义在R上的函数，对于0xR，令()()11,2,3,nnxfxn−==，若存在正整数k使得0kxx=，且当0jk时，0jxx，则称0x是()fx的一个周期为k的周期

点.给出下列四个结论正确的是（）A.若()1xfxe−=，则()fx存在唯一个周期为1的周期点；B.若()()21fxx=−，则()fx存在周期为2的周期点；C.若()()12,2121,2xxfxxx

=−，则()fx不存在周期为3的周期点；D.若()()1fxxx=−，则对任意正整数n，12都不是()fx的周期为n的周期点.【答案】AD【解析】【分析】由周期点的定义，可得直线yx=与()yfx=存在交

点．分别对选项分析，结合函数的最值和函数值的符号，可得结论．【详解】解：对于0xR，令1()(1nnxfxn−==，2，3，)，若存在正整数k使得0kxx=，且当0jk时，0jxx，则称0x是()fx的一个周期为k的周期点．对于①，若0x为()fx周期为1的周期点

，01000)1(xefxxx−===，故A正确；对于②，若0x为()fx周期为2的周期点，则11000()2(1)2[1()]42xfxxfxx==−=−=−解得,023x=，但000()2(1)xfxx==−，解得023

x=所以()fx不存在在周期为2的周期点，故B错误；对于③，当1k=时，易见有两个周期点20,3；当2k=时，()()()2122,0221222,02221222,21212222,2212xxxxfxxxxx

−−=−−−−即()214,04344,22141124,421342,24xxxxfxxxxx−−=−−，可得2k=时，周期点有4个，422

0,,,;553同理，3k=时，周期点有8个，8426420,,,,,,;999777故③错误；对于④，211()(1)()24fxxxx=−=−−+，所以1()4fx„，即1()2fx，所以12不是周期点，故D正确．故选：AD．【点睛】关键点点睛：本题考查了周期点的概

念，解题的关键是紧扣定义进行计算即可.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知复数22(34)(224)immmm+−+−−(R)m是纯虚数，则m=___________.【答案】1【解析】【分析】根据复数的概念列式即可求得m的值.【

详解】因为22(34)(224)immmm+−+−−(R)m是纯虚数，所以223402240mmmm+−=−−，解得1m=.故答案为：1.14.抛物线2ymx=绕其顶点顺时针旋转90之后，得到的图像正好对应抛物线22yx=，则m=__________.【答案】1

2−##0.5−【解析】【分析】根据两条抛物线的图形特征，可得旋转前后的焦点对应即可作答.【详解】抛物线2ymx=的顶点为原点，焦点为(,0)4mF，而抛物线22yx=，即212xy=的顶点为原点，焦点为1(0,)8F，因为抛物线2ymx=绕其顶点顺时针旋转90后，得抛物线2

12xy=，因此点1(0,)8F绕原点逆时针旋转90后得点(,0)4mF，则148m=−，解得12m=−，所以12m=−.故答案为：12−.15.已知等比数列na的各项均为正数，5116a，且存在*mN，使得221mmaa++=，则1a的最小值为_____

___．【答案】4【解析】【分析】由递推关系结合基本不等式的性质，得22222122222mmmmaaqqaa++=+==，此时12ma+=时等号成立，24q；再由条件4415111216464aaqaa==，求得首项的最小值.【详解】设等

比数列na的公比为q，0q，因为0na，*mN，所以由基本不等式得，22222122222mmmmaaqqaa++=+==，所以24q，当且仅当22mmaa+=，即12ma+=时等号成立．则4415111216464aaqaa==，所以14a，即1a

的最小值为4．故答案为：4【点睛】关键点点睛：利用基本不等式得到24q，进而利用等比数列的通项公式求解1a的最小值．16.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角

形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC三边翻折后交于点P.若3AB=，则sinPAC=___________；若::6:5:4ACABBC=，则PAPBPC++的值为___

________.【答案】①.74②.234##5.75【解析】【分析】第一空，由正弦定理求得3sin4ACB=，可得7cos4ACB=，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得sincosPACACB=，即得答案；第二空，设,,CABCBAACB

===，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出()4coscoscosPAPBPC++=++，即可求得答案.【详解】设外接圆半径为R，则2R=，由正弦定理，可知324sinsinABRACBACB===，即3sin

4ACB=，由于ACB是锐角，故7cos4ACB=，又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即⊥APBC,故π2PACACB=−，所以7sincos4PACACB==；设,,CABCBAACB

===，则πππ,,222PACPBAPAB=−=−=−，由于::6:5:4ACABBC=，不妨假设6,5,4ACABBC===，由余弦定理知222222222654345614659cos,cos,cos265424582

4616+−+−+−======，设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于ππ,22ECBEBCPCDCPD+=+=,故EBCCPD=,则得πππAPCCPDEBCABC=−=−=−，所以24

ππsinsinsinsin22PCPAACACRAPCABC=====−−，同理可得24πsinsinsin2PBABABRAPBACB====−，所以()319234coscoscos448164PAPBPC

++=++=++=故答案为：74；234【点睛】本题重要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步

骤）17.如图，,PQ是以原点为圆心的单位圆上的两个动点,若它们同时从点(1,0)A出发，沿逆时针方向作匀角速度运动,其角速度分别为,36（单位：弧度/秒），M为线段PQ的中点，记经过x秒后(其中06x)，()fxOM=(I)求()yfx=的函数解析式；(II)将()fx图象

上的各点均向右平移2个单位长度，得到()ygx=的图象，求函数()ggx=的单调递减区间．,【答案】（Ⅰ）f（x）＝cos12x，（0≤x≤6），（Ⅱ）[2，8]．【解析】【分析】（Ⅰ）依题意可知∠POA3=

x，∠QOA6=x，∠MOQ36212xx−==x，从而求得f（x）＝|OM|＝cos∠MOQ的解析式；（Ⅱ）依题意可知g（x）＝cos（12x6−）（2≤x≤8），由2kπ12x6−2kπ+π，求得x的范围，可得函数y＝g（x）在[2，8]上

的单调递减区间．【详解】解：（Ⅰ）依题意可知∠POA3=x，∠QOA6=x．∵|OP|＝|OQ|＝1，∴|OM|＝|OQ|•cos∠MOQ＝cos∠MOQ，∴∠MOQ36212xx−==x，∴f（x）＝|OM|＝cos12x（

0≤x≤6），即f（x）＝cos12x，（0≤x≤6）．（Ⅱ）依题意可知g（x）＝cos12（x﹣2）＝cos（12x6−）（2≤x≤8），由2kπ12x6−2kπ+π，得24k+2≤x≤2

4k+14，故函数y＝g（x）在[2，8]上的单调递减区间为[2，8]．【点睛】本题主要考查直角三角形中的边角关系，余弦函数的单调性，考查转化能力与计算能力，属于基础题．18.如图，四棱锥PABCD−中，ABD△是等边三角形，PAPBPD==，BCCD=

．（1）证明：BDPC⊥；（2）若23BD=，7CDAP==，求点A到平面PCD的距离．【答案】（1）证明见解析（2）534【解析】【分析】（1）连接AC，交BD于点O，连接PO，结合题意和三角形全等得到BDOP⊥，利用线面垂直的判定得到BD⊥平面POC，再利用线面垂直的性质即可得证；（

2）结合（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面PCD的法向量和AC所在直线的方向向量，利用空间向量的方法即可求解.【小问1详解】如图，连接AC，交BD于点O，连接PO，由,,ADABCDBCACAC===，可得ABCACD△≌△，

所以BACDAC=，又AOAO=，所以AOBAOD△≌△，所以BOOD=，即O为BD中点，在等腰PBD△中，可得BDOP⊥，在等腰BCD△中，BDOC⊥，又OPOCO=，,OPOC平面POC，所以BD⊥平面POC，又PC平面

POC，所以BDPC⊥．【小问2详解】由（1）可得，ACBD⊥，又17,32CDODBD===，所以222,33COCDODAOOD=−===，由于PABD−为正三棱锥，点P在底面ABD的垂足一定在AO上，设垂足为M，根据正三棱锥的性质可得2222,33AMAOPMAPAM===−=，如图，

过点O作PM的平行线，以PM的平行线所在直线为z轴，以,OAOB所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系．可得(3,0,0),(2,0,0),(0,3,0),(1,0,3)ACDP−−，(3,0,3),(2,3,0)PCDC=−−=

−又(5,0,0)AC=−，（或(3,3,0),(2,0,3)ADAP=−−=−）设平面PCD的法向量(,,)nxyz=，可得0330300230230nPCxzxznDCxyxy=−−=+=

=−+=−=不妨令3x=，可得(3,2,3)n=−，所以||534||nACdn==，故所以点A到平面PCD的距离为534．19.已知na是首项为1的等差数列，公差0,ndb是首项为

2的等比数列，4283,abab==．（1）求,nnab的通项公式；（2）若数列nb的第m项mb，满足__________（在①②中任选一个条件），*Nk，则将其去掉，数列nb剩余的各项按原顺序组成一个新的数列nc，求

nc的前20项和20S．①4logmkba=②31mkba=+．【答案】（1）,2nnnabn==（2）()20202413S=−【解析】【分析】（1）根据等差和等比数列的通项公式，列出基本量方程组

，即可求解；（2）若选择①，得2,mk=*Nk，可知剩下的项就是原数列的奇数项，代入等比数列求和公式，即可求解；若选择②，231mk=+，根据**N,Nmk，讨论m为奇数和偶数两种情况，即可判断求解.【小问

1详解】设na的公差为,ndb的公比为q，因为4283,abab==，所以2132,172dqdq+=+=，联立消q得29810dd−−=，解得1d=或19d=−与0d矛盾，故1d=，代回计算得2q=，所以()1111,2nnnnaandnbbq

−=+−===【小问2详解】若选①4logmkba=，则有*4log22,Nmkmkk==，所以nb剩余的项就是原数列的奇数项，相当于剩余的项nc以2为首项，4为公比的等比数列，所以()()202020214241143S−==−−；若选②31mkba=+，则有231mk=+，

因为**N,Nmk，所以当2mn=时，对应的41(31)133nnk−+−==为整数，满足，当21mn=−时，对应的41(31)2236nnk−+−==不为整数，不满足，所以nb剩余的项就是原数列的奇数项，相

当于剩余项nc以2为首项，4为公比的等比数列，所以()()202020214241143S−==−−；20.已知直线1l：2yx=和直线2l：2yx=−，过动点E作平行2l的直线交1l于点A，过动点E作平行1l的直线交2l于点B，且四边形OAEB（O为原点）的面积为4

.（1）求动点E的轨迹方程；（2）当动点E的轨迹的焦点在x轴时，记轨迹为曲线0E，若过点()1,0M的直线m与曲线0E交于P，Q两点，且与y轴交于点N，若NMMP=，NMMQ=，求证：+为定值.【答案】

（1）221416xy−=或221164yx−=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设00(,)Exy，根据直线相交求出点A的横坐标，再求出||OA，点E到直线1l的距离表示出四边形面积，化简方

程可得解；（2）验证特殊情况可知23+=，再由一般情况设设直线m的方程为1xty=+，由题意求出12121211()NNyyyyyyyy++=−+=−，联立直线与双曲线方程，由根与系数关系代入化简即可得证.【小问1详解】的设00(,)Exy，过0

0(,)Exy且平行2l的直线方程为002()yyxx−=−−，由002()2yyxxyx−=−−=得交点A的横坐标为0024xy+，所以2000025||12|||2|44xyOAxy+=+=+，E点到直线1l的距离为0

0|2|5xy−，所以四边形OAEB的面积为0000|2|5|2|445xyxy−+=，即22001416xy−=或22001164yx−=，故动点E的轨迹方程为221416xy−=或221164yx−=.【小问2详解】由题知0E的方程为

221416xy−=，设1122(0,),(,),(,)NNyPxyQxy，、当直线m的斜率为0时，(0,0)N，若(2,0),(2,0)PQ−，由NMMP=，NMMQ=，知1,13=−=，所以23+=；若(2,0),(2,0)

QP−，由NMMP=，NMMQ=，知11,3==−，所以23+=；当直线m的斜率不为0时，设直线m的方程为1xty=+(显然0t)，则1(0,)Nt−，即1Nyt=−，因为NMMP=，NMMQ=，所以1122(1,)(1,),(1,)(1,)NNyxyyxy−=−−=

−，解得1212121211,,().NNNNyyyyuyyyyyyyy+=−=−+=−+=−由221416xtyxy=+−=消x并整理得22(41)8120tyty−+−=，因为直线m与曲线0E有两个交点，则在2410t−且判别式0时有122841

tyyt−+=−且1221241yyt−=−所以221841241123tttt−−+==−−，即证得+为定值23.21.某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有,,,ABCD四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有,,,A

BCD四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生先接种与号码机产生的号码对应的A种疫苗后，再为居民们接种，记第n位居民（不包含张医生）接种,,,ABCD四种疫苗的概率分别为()()()(),

,,nnnnPAPBPCPD.（1）第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；（2）张医生认为，一段时间后接种,,,ABCD四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种,,,ABCD四种的概率，解释张医生观点的合理性.参考数据：4109

10553411115.110,1.710,2.010,9.8103322−−−−.【答案】（1）A疫苗（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分类讨论，根据全

概率公式计算；（2）根据（1）的逻辑，讨论()()()()1111,,,nnnnPAPBPCPD++++的通项公式，运用等比数列求出第10为居民使用A，B，C，D疫苗的概率即可.【小问1详解】第1位居民接种,,,ABCD疫苗的概率分别

为1110,,,333，若第2位居民接种A疫苗，则第1位居民接种B，C，D疫苗，()11111113333333PA=++=，第2位居民接种B疫苗，则第1位居民接种C，D疫苗，()1111233339PB=+=同理，第2位居民接种,CD疫苗的概率也等于29，故第2位居民接种A疫苗的概率最

大；【小问2详解】因为()()()1113nnPAPA+=−，所以()()1111434nnPAPA+−=−−，故数列()14nPA−是公比为13−的等比数列.又()11144PA−=−，所以()1111443

nnPA−−=−−即()1111443nnPA−=+−−，从而()910111443PA=+−−，同理()9101114123PB=+−，()()()91010101114123PC

PDPB===+−，所以()()91010111443PAPB−=+−−−910511111.71041233−+−=−

，第10位居民接种,,,ABCD疫苗概率应该相差无几.第(10)nn位居民接种,,,ABCD疫苗概率应该相差将会更小，所以张医生话合理.22.已知函数()()()21,lnfxxaxgxx

aaR=−+=+.（1）若()()1,afxgx=在区间()0,t上恒成立，求实数t的取值范围；的（2）若函数()fx和()gx有公切线，求实数a的取值范围.【答案】（1）(0,1（2）(,1−【解析】【分析】（1）设()()()hxfxgx=−，用导数法解()min0hx

即可；（2）设函数()fx在点()()11,xfx处与函数()gx在点()()22,xgx处有相同的切线，由()()()()212112121122121ln1,2fxgxxaxxafxgxxaxxxxx

−−+−−==−==−−，化简得到222221ln20424aaxaxx++++−=，然后将问题转化为关于x的方程221ln20424aaxaxx++++−=有解求解.【小问1详解】由题意，当1a=

时，设()()()hxfxgx=−，则()221ln11ln(0)hxxxxxxxx=−+−−=−−，()()()221112121xxxxhxxxxx+−−−==−−=，令()0hx=，得1x=（舍负）()hx在()

0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，()min()10hxh==.根据题意t的取值范围为(0,1.【小问2详解】设函数()fx在点()()11,xfx处与函数()gx在点()()22,xgx处有相同的

切线，则()()()()212112121122121ln1,2fxgxxaxxafxgxxaxxxxx−−+−−==−==−−，12122axx=+，代入21211221lnxxxaxxax−=−+

−−得222221ln20424aaxaxx++++−=.问题转化为：关于x的方程221ln20424aaxaxx++++−=有解，设()221ln2(0)424aaFxxaxxx=++++−，则函数()Fx有零点，

()211ln24Fxaxax=+++−，当2axe−=时，()2ln20,e0axaF−+−=.问题转化为：()Fx的最小值小于或等于0.()23231121222axaxFxxxxx−−=−−+=，设()20002100xaxx

−−=，则当00xx时，()0Fx，当0xx时，()0Fx.()Fx在()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增，()Fx的最小值为()2002001ln2424aaFxxaxx=++++−.由

200210xax−−=知0012axx=−，故()20000012ln2Fxxxxx=+−+−.设()212ln2(0)xxxxxx=+−+−，则()211220xxxx=+++，故()x在()0,+上单调递增，

()10,=当(0,1x时，()0x，()Fx的最小值()00Fx等价于001x.又函数12yxx=−在(0,1上单调递增，(0012,1axx=−−.【点睛】方法点睛：对于函数()fx与函数有相同的切线问题，一般设函数()fx在点()()11

,xfx处与函数()gx在点()()22,xgx处有相同的切线，由()()()()121212fxgxfxgxxx−==−，利用消元法，转化为方程有解求解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue1

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