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专练44直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书93页[基础强化]一、选择题1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但不过圆心C．相交过圆心D．相离答案：B

解析：圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝|2－2－5|22＋12＝5<6，∴两圆相交但不过圆心．2．已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋16＝0，则圆C1与圆C2的位置关

系是()A.相离B．外切C．相交D．内切答案：B解析：∵x2＋y2＝4的圆心C1(0，0)，半径r1＝2，又x2＋y2＋6x－8y＋16＝0可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝9，其圆心C2(－3，4)，半径r2＝3，又圆心距|C1C2|＝（0

＋3）2＋（0－4）2＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切．3．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是()A．1＋2B．2C．1＋22D．2＋22答案：A解析：x2＋y2－2

x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心C(1，1)，半径为1，圆心C到直线x－y－2＝0的距离d＝|1－1－2|12＋（－1）2＝2，∴圆上的点到直线距离的最大值为d＋r＝2＋1.4．两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y

－1＝0的公切线有()A．4条B．3条C．2条D．1条答案：B解析：圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴圆心C1(2，－1)，C2(－2，2)，半径r1＝2，r2＝3，圆心距|C1C2|＝（－2－2）

2＋（2＋1）2＝5，r1＋r2＝5，∴|C1C2|＝r1＋r2，∴两圆C1与C2外切，∴它们有3条公切线．5．已知直线l：y＝k(x＋3)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝()A．0B．3C．33或0D．3或0答案：

D解析：由题意得圆心(0，1)到直线kx－y＋3k＝0的距离为1，即：|－1＋3k|k2＋1＝1得k＝0或k＝3.6．已知直线l经过点(0，1)且与圆(x－1)2＋y2＝4相交于A、B两点，若|AB|＝22，则直线l的斜率k的值

为()A．1B．－1或1C．0或1D．1答案：D解析：由题意得圆心(1，0)到直线l：y＝kx＋1的距离d为d＝|k＋1|k2＋1＝4－（2）2，得(k＋1)2＝2(k2＋1)，得k＝1.7．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为

4，则实数a的值是()A.－2B．－4C．－6D．－8答案：B解析：x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，则圆心(－1，1)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|12＋12＝2，由题意得2＋22＝2－a，∴a＝

－4.8．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为()A.2x－y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0D．2x＋y＋1＝0答案：D

解析：如图，由题可知，AB⊥PM，|PM|·|AB|＝2S四边形APBM＝2(S△PAM＋S△PBM)＝2(|PA|＋|PB|)，∵|PA|＝|PB|，∴|PM|·|AB|＝4|PA|＝4|PM|2－|AM|2＝4|PM|2－4，当|PM|最小时，|PM

|·|AB|最小，易知|PM|min＝54＋1＝5，此时|PA|＝1，AB∥l，设直线AB的方程为y＝－2x＋b(b≠－2)，圆心M到直线AB的距离为d＝|3－b|5，|AB|＝4|PA||PM|＝45，∴d2＋AB22＝|MA|2，即（3－b）25＋45＝4，解

得b＝－1或b＝7(舍).综上，直线AB的方程为y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.故选D.9．若直线l与曲线y＝x和圆x2＋y2＝15都相切，则l的方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x＋12C．y＝12x＋1D．y＝12x＋12答案：D解

析：方法一(直接计算法)由题可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l为y＝kx＋m，直线l与曲线y＝x的切点为A(x0，y0).由导数的几何意义可知12x0＝k，即x0＝12k，点A既在直线l上，又在曲线y＝x上，∴y0＝kx0＋m，y0＝x0．∴kx0＋m＝x0

，即k·12k2＋m＝12k，化简可得m＝14k，又∵直线l与圆x2＋y2＝15相切，∴|m|1＋k2＝55，将m＝14k代入化简得16k4＋16k2－5＝0，解得k2＝14或k2＝－54(舍去).∵y＝x的图象在第一象限，∴k>0，∴k＝12，∴m＝12，∴

l的方程为y＝12x＋12.故选D.方法二(选项分析法)由选项知直线l的斜率为2或12，不妨假设为2，设直线l与曲线y＝x的切点为P(x0，y0)，则12x0－12＝2.解得x0＝116，则y0＝14，即P116，14，显然点P在圆x2＋y2＝15内

，不符合题意，所以直线l的斜率为12，又直线l与圆x2＋y2＝15相切，所以只有D项符合题意，故选D.二、填空题10．若圆x2＋y2－4x－4y＝0上至少有3个不同的点到直线l：y＝kx的距离为2，则直线l的斜率k的取值范围是________．答案

：[2－3，2＋3]解析：x2＋y2－4x－4y＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝8，∴圆心为(2，2)，半径为22.当圆心到直线l的距离为2时，圆上恰好存在3个点到直线l的距离为2，∴圆心到直线l的距离应小于或等于2，∴|2k－2|1＋k2≤2，∴2－3≤k≤2＋3.11．[202

3·新课标Ⅱ卷]已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值________．答案：2(答案不唯一，可以是±12，±2中任意一个)解析：设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙

C的圆心C(1，0)，半径R＝2，C到直线l的距离d＝21＋m2，|AB|＝2R2－d2＝24－（21＋m2）2＝4|m|1＋m2.由S△ABC＝85，得12×4|m|1＋m2×21＋m2＝85，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±12，故答案可以为2.12．

过点P(1，－3)作圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A，B，则切线方程为______________．答案：x＝1或8x－15y－53＝0解析：当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝1，当切线的斜率存在时，设切线方程为y＋3＝k(x－1)

，即：kx－y－k－3＝0，由题意得|4k－2－k－3|k2＋1＝3，得k＝815，∴切线方程为8x－15y－53＝0.[能力提升]13．[2024·全国甲卷(理)]已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y

2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A．1B．2C．4D．25答案：C解析：因为a，b，c成等差数列，所以a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0恒过点P(1，－2).x2＋y2＋4y－1＝0化为

标准方程得x2＋(y＋2)2＝5，则圆心C为(0，－2)，半径r＝5，则|PC|＝1，当PC⊥AB时，|AB|取得最小值，此时|AB|＝25－|PC|2＝4.故选C.14．[2023·新课标Ⅰ卷]过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1

＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝()A．1B．154C．104D．64答案：B解析：如图，x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝5，所以圆心到点(0，－2)的距离为（2－0）2＋（0＋2）2＝22，由于圆心与点(0，

－2)的连线平分角α，所以sinα2＝r22＝522＝104，所以cosα2＝64，所以sinα＝2sinα2cosα2＝2×104×64＝154.故选B.15．[2022·新高考Ⅰ卷，14]写出与圆x2＋

y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)解析：由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3

，4)，r1＝1，r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图．设切点为A(x，y).由O1A＝15O1O2，得A(35，45).因为kO1O2＝43，所以切线l1的斜率k1＝－34，所以l

1：y－45＝－34(x－35)，即3x＋4y－5＝0.由图象易得两圆均与直线l2：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l：y＝43x.联立y＝43x，x＝－1，解得x＝－1，y＝－43．故直线l与l2

的交点为P(－1，－43).由切线定理，得两圆的另一公切线l3过点P.设l3：y＋43＝k(x＋1).由点到直线的距离公式，得|𝐾−43|√√𝐾2+1＝1，解得k＝724，所以l3：y＋43＝724(x＋1)，即7x－24y－25＝0.16．已知圆C

1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝4，若点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，则1a＋9b的最小值为________．答案：8解析：由题意将两圆的方程相减，可得公共弦方

程为x＋y＝2.点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，∴a＋b＝2，∴1a＋9b＝121a＋9b(a＋b)＝1210＋ba＋9ab≥12×(10＋6)＝8，当且仅当ba＝9ab，即b＝3a时取等号，所以1a＋9b的最小值为8.