【文档说明】山西省运城市景胜学校（东校区）2023-2024学年高二上学期9月月考试题+数学（A卷）+含解析.docx，共(27)页，1.770 MB，由小赞的店铺上传

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景胜学校2023-2024学年度第一学期高二月考（9月）数学试题（A卷）2023.09一、单选题1．对于空间中的任意三个向量a，b，24ab+，它们一定是（）A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．既不共线也不共面的向量2．四面体ABCD

中，22ACADAB===，60BAD=，2ABCD=，则BAC=（）A．60B．90C．120D．1503．向量a=（﹣1，2，﹣2），b=（k，4，5）夹角的余弦值为26，则实数k为（）A．3B．﹣11C．﹣3或11D．3或﹣114．如图正方体1111ABCDABCD−的

棱长为a，以下结论不正确的是（）A．异面直线1AD与1AB所成的角为60B．直线1AD与1BC垂直C．直线1AD与1BD平行D．三棱锥1CDAA−的体积为316a5．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点()2,2,1A，点A关于平面Oxy对称的点为B，点

A关于x轴对称的点为C，则ABC的面积为（）A．2B．4C．8D．166．正方体1111ABCDABCD−棱长为2，E是棱AB的中点，F是四边形11AADD内一点（包含边界），且34FEFD=−，当三棱锥FAED−的体积最大时，EF与

平面11ABBA所成角的正弦值为（）A．23B．53C．255D．527．在长方体1111ABCDABCD−中，2ABAD==，11AA=，O是AC的中点，点P在线段11AC上，若直线OP与平面1ACD所成的角

为，则cos的取值范围是（）A．23,33B．26,33C．33,43D．37,338．正方体1111ABCDABCD−的棱长为3，点E，F分别在棱111,CCDC上，且12CEEC=，112DFFC=，下列几个命题：①

异面直线1AD与BF垂直；②过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；③三棱锥1BBEF−的体积为32④过点1B作平面，使得AE⊥，则平面截正方体所得的截面面积为5192．其中真命题的序号为（）

A．①④B．①③④C．①②③D．①②③④二、多选题9．已知1v，2v分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），1nur，2nuur分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中，正确的

是（）A．12//vv⇔l1//l2B．1v⊥2v⇔l1⊥l2C．12//nn⇔α//βD．1nur⊥2nuur⇔α⊥β10．如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，下列各组向量的夹角为45的是（）A．AB与11ACB．AB与11CAC．BC与1CBD．BC与1A

D11．已知三棱锥B-ACD的侧棱两两垂直，E为棱CD的中点，且1AB=，2BD=，4BC=，则（）A．1ACAD→→=B．异面直线BE与AD所成角的正弦值为25C．平面ABE与平面ABD不垂直D．平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为1053512．如图，在

几何体111ABCABC-中，四边形11AACB是矩形，111ACBABC≌△△，且平面//ACB平面111ABC，1AAAB⊥，1212ABBCAAAC====，则下列结论正确的是（）A．11//ACBBB．异面直线1BB、1CC所成的角为π3C．几何体111ABCABC-的体积为12

D．平面11ABB与平面1ACC间的距离为33三、填空题13．在三棱柱111ABCABC-中，点M在线段1CB上，且12CMMB=，若以1,,ABACAA为基底表示AM，则AM=．14．已知直线a，b的方向向量分别为(4,,2)mkk=−和(,3,6)nkk=+，若//ab，则k=.15

．若平面向量,ab为单位向量，12ab=，空间向量c满足||23c=，2ac=，3bc=，则对任意的实数12,tt，12ctatb−−的最小值为．16．三棱锥−PABC中，,,PAPBPC两两垂直，6PAPBPC===，点M为平面ABC内的动点，且满足3PM=，记直线PM与直线AB的

所成角的余弦值的取值范围为．四、解答题17．已知(1,2,1),(2,2,2)AB−，点P在z轴上，且||||PAPB=，求点P的坐标．18．如图，在直三棱柱111ABCABC-中，2ACCB==，13AA=，90ACB=

，P为BC的中点，点Q，R分别在棱1AA，1BB上，12AQAQ=，12BRRB=．求平面PQR与平面111ABC夹角的余弦值．19．如图，已知正方形ABED的边长为2，O为两条对角线的交点，如图所示，将RtBED沿BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足ABAC=．（1）求四面体AB

CD的体积V；（2）请计算：①直线BC与AD所成角的大小；②直线BC与平面ACD所成的角的正弦．20．如图，ABC和DBC△所在平面垂直，且ABBCBDCBADBC====，．(1)求证：ADBC⊥；(2)若2π3=，求平面ABD和平面ABC的夹角的余弦值．21．如图，四边

形ABCD是梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，四边形CC1D1D为矩形，已知AB⊥BC1，AD=4，AB=2，BC=1.（I）求证：BC1∥平面ADD1；（II）若DD1=2，求平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值；（III）设P为

线段C1D上的一个动点（端点除外），判断直线BC1与直线CP能否垂直?并说明理由.22．如图，在棱长为2的正方体ABCDEFGH−中，点M是正方体的中心，将四棱锥MBCGF−绕直线CG逆时针旋转(0π)后，得到四棱锥MBCGF−．(1)若π2=，求证：平面MCG//平面M

BF；(2)是否存在，使得直线MF⊥平面MBC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。高二数学参考答案（A）1．A【分析】根据空间向量共面定理，即可直接判断并选择.【详解】若a，b不共线，则由空间共面向量定理知，a，b，24ab+共面；若a

，b共线，则a，b，24ab+共线，也共面.故选：A.2．C【分析】根据题意得()ABCDABADAC=−，由数量积公式计算即可.【详解】由题知，22ACADAB===，60BAD=所以()ABCDABA

DACABADABAC=−=−coscos2ABADBADABACBAC=−=，所以12cos6012cos2BAC−=，解得120BAC=，故选：C3．B【分析】根据向量的数量积的运算，代入公式得到关于k的

方程，解出即可．【详解】由题意得：|a|144=++=3，|b|22162541kk=++=+，故cosa，281026341kbk−+−==+，解得：k＝﹣11，故选：B4．C【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用正方体的性质、向量的

夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式即可得出．【详解】如图所示，建立空间直角坐标系．A．A1（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B1（a，a，a）．∴1AD=（﹣a，0，﹣a），1AB=（0，a，a），∴21111111

222ADABacosADABaaADAB−===−＜，＞，∴异面直线A1D与AB1所成的角为60°．B．C1（0，a，a），B（a，a，0）．11ADBC=（﹣a，0，﹣a）•（﹣a，0，a）＝a2﹣a2＝0．∴直线A1D与BC1垂直．C．D1（0，0，a）．∵

11ADBD=（﹣a，0，﹣a）•（﹣a，﹣a，a）＝a2﹣a2＝0，∴直线A1D与BD1垂直，不平行；D．三棱锥A﹣A1CD的体积123111326CAADVaaa−===．综上可知：只有C不正确．故选C．【点睛】本题考

查了正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．B【分析】利用空间中的对称求出,BC坐标，再根据两点之间的距离求出长度，利用勾股定理证得三角形为直角三角形，进而求得面积.【详解】由题意可得，点()2,2,1A关于平面O

xy对称的点为()2,2,1B−，2AB=点()2,2,1A关于x轴对称的点为()2,2,1C−−，224225AC=+=4BC=，222BCABAC+=，即ABC为直角三角形，所以ABC的面积为1142422SBCAB===故选

：B6．A【分析】建立空间直角坐标系，设出()0,,Fmn，利用向量的数量积及体积最大值求得10,1,2F，从而得到EF与平面11ABBA所成角的正弦值.【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，1AA所在直线分别为,,xyz轴，建立

空间直角坐标系，则()0,0,0A，()1,0,0E，()0,2,0D，设()0,,Fmn，0,2,0,2mn，则()()2231,,0,2,24FEFDmnmnmmn=−−−−=−+=−，由于ADES为定值，要想三棱锥FAED−的体积最大，

则F到底面ADE的距离最大，其中()222312144nmmm=−−+=−−+，所以当1m=时，2n取得最大值14，因为0,2n，所以n的最大值为12，所以10,1,2F，11,1,2EF=−，平面11ABBA的法向量()10,1,0n=，所以

EF与平面11ABBA所成角的正弦值为11112cos,31114EFnEFnEFn===++故选：A7．D【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得sin的取值范围，由此求得sin，即可得解.【详解】以D为原点，分别以1,,DADCDD所在直线

为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，如图所示则()0,0,0D，()2,0,0A，()0,2,0C，()1,1,0O，()10,0,1D，设()(),2,102Paaa−，则()()()11,1,1,2,0,1,2,2,0OPaaADAC=−−=−=−uuuruuur

uuur，设平面1ACD的法向量为(),,nxyz=则120220nADxznACxy=−+==−+=，令1x=，得()1,1,2n=所以()()()222211221sin66111211nOPaanOPaaa−+−+===−+−+−+ruuurru

uur，由于02a，()22111,3a−+，()213,13211a−+，()22126sin,33612a=−+，222sin,93，2171sin,39−，由于0,2

，所以237cos1sin,33=−故选：D8．B【解析】对于①：取11AB的三等分点为1F，使11112AFFB=，利用已知条件找到异面直线BE，CF所成的角，即可得出结果；对于②：取1BB的三等分

点为1E，使1112BEEB=，利用已知条件得到四边形BEFG即为所求截面，即可得出结论；对于③：利用等体积法求解即可；对于④：取CD的三等分点为1H，使112CHDH=，取BC的三等分点为H，使2CHBH

=，猜想出面111BDHH即为所求的截面，建立空间坐标证明推测，代入数值即可求出结论．【详解】解：对于①：取11AB的三等分点为1F，使11112AFFB=，又112DFFC=，111//FBFC且111FBFC=，四边形111FCBF为平行四边形，111////FFBCBC且1

11FFBCBC==，四边形1FFCB为平行四边形，1//BFCF，则1FBE为异面直线BE，CF所成的角，连接1EF，由题意得：1110,10,14BFBEEF===，所以222111163cos22010BFBEEFFBEBFBE+−===

，故①正确；对于②：取1BB的三等分点为1E，使1112BEEB=，又12CEEC=，1//BECE且1BECE=，四边形1BEEC为平行四边形，则1//EEBC且1EEBC=，又由①得：1//FFBC且1FFBC=，于是11//FFEE且11FFEE=，四边形11EEFF

为平行四边形，11//EEFF，取11AB的中点为G，连接BG，又11111121BFBEBGEB==，11////EFBGEF，则四边形BEFG即为所求截面，由题意知：BEFG，则②不正确；对于③：_11933

22BBES==，又1CF⊥面1BBE，11CF=，所以1111119313322BBEFFBBEBBEVVSCF−−====，故③正确；对于④：取CD的三等分点为1H，使112CHDH=，取BC的三等

分点为H，使2CHBH=，111////HHBDBD，则面111BDHH即为所求的截面，建立如图所示的空间坐标系，则(3A，0，0)，(0E，3，1)，1(3B，3，3)，1(0D，0，3)，1(0H，1，0)，1111(3,

3,1),(3,3,0),(3AEBDBH=−=−−=−，2−，3)−，11110,0AEBDAEBH==所以⊥AE面111BDHH，由已知条件得：11111111232,22,103BDHHBDBHDH=====，等腰梯形111BDHH的高为：22322238(10)()22h−=

−=，所以截面面积为：(2232)38519222S+==，故④正确．故选：B．【点睛】本题主要考查异面直线所成角以及线线平行问题，还考查了等体积法求四棱锥的体积以及利用空间向量解决线面垂直问题；问题的关键是截面不容易找．9

．ABCD【分析】根据方向向量的关系和法向量的关系可判断线线关系和面面关系，即可得到答案．【详解】解：若两条直线不重合，则空间中直线与直线平行（或垂直）的充要条件是它们的方向向量平行（或垂直），故选项A，B正确；若两个平面不重合，则空间中面面平行（或垂直）的充要条件是它

们的法向量平行（或垂直），故选项C，D正确．故选：ABCD．10．AD【分析】如图建立空间直角坐标系，然后利用向量的夹角公式逐个计算【详解】如图，以D为原点，分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设

正方体的棱长为1，则1111(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)DABCABCD,对于A，因为(0,1,0)AB=，11(1,1,0)AC=−，所以11111112cos,22AB

ACABACABAC===，因为11,0,πABAC，所以11π,4ABAC=，所以A正确，对于B，因为(0,1,0)AB=，11(1,1,0)CA=−，所以11111112cos,22ABCAABCAABCA−===−,因为11,

0,πABCA，所以113π,4ABCA=，所以B错误，对于C，因为(1,0,0)BC=−，1(1,0,1)CB=−，所以1112cos,2BCCBBCCBBCCB==−，因为1,0,πBCCB，所以13π,4BCCB=，所以C错误，对于D，因为(1,0,0)BC=−，1(1,0,1)

AD=−，所以11112cos,22BCADBCADBCAD===，因为1,0,πBCAD，所以1,4BCAD=，所以D正确，故选：AD11．ACD【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz−，A．证明1ACAD→→=，所以该选项正确；B．利用向量法求出异面直

线BE与AD所成角的正弦值为215，所以该选项错误；C.反证法证明平面ABE与平面ABD不垂直，所以该选项正确；D.利用向量法证明平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为10535，所以该选项正确.【详解】因为三棱锥B-ACD的侧棱两两垂直，所以建立如图所示的空间

直角坐标系Bxyz−，则(1,0,0),(0,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,2,1)ABCDE,A.(1,4,0),(1,0,2)ACAD→→=−=−，所以(1)(1)40021ACAD→→=−−++

=，所以该选项正确；B.(0,2,1)BE→=，所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为||22555||||BEADBEAD→→→→==所以异面直线BE与AD所成角的正弦值为215，所以该选项错误；C.假设平面ABE与平面ABD

垂直，因为平面ABE与平面ABD交于AB,BDAB⊥,BD平面ABD，故BD⊥平面ABE，因为BE平面ABE，所以BDBE⊥,显然不成立，所以平面ABE与平面ABD不垂直，所以该选项正确；D.设平面ABE的法向量为(,,),mxyz→=所

以·0·20ABmxBEmyz=−==+=，所以(0,1,2)m→=−，设平面ACD的法向量为(,,),nxyz→=所以·40·20ACnxyADnxz=−+==−+=，所以(4,1,2)n→=，所以平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为||331053552135||||m

nmn→→→→===.所以该选项正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：二面角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）；方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,mn；再代入公式cosmn

mn=（其中,mn分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）.12．ABD【分析】过点B作BE使得1BEAA=，过点1C作11CFAA=，分析可知几何体111FABCCAEB−为正方体，以

点F为坐标原点，FA、FC、1FC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BD选项；证明出四边形11ABBC为平行四边形，可判断A选项；计算出几何体111ABCABC-的体积，可判断C选项.【详

解】过点B作BE使得1BEAA=，过点1C作11CFAA=，如图所示：因为四边形11AABC为矩形，则11AACB=，又因为11BEAAFC==，则111AACBBEFC===，所以，四边形11AACF为平行四边形，则11ACAF=，11CBFC=，因为平面111//ACB平面ABC，则A

B与11AC、11CB共面，即AB与AF、FC共面，所以，A、B、C、F四点共面，同理可知，1A、E、1B、1C四点共面，故几何体111FABCCAEB−为四棱柱，因为四边形11AABC为矩形，则1AAAC⊥，又因为1AAAB⊥，ABACA=，AB、AC平面ABCF，所以，1AA⊥平面AB

CF，因为111ACBABC≌△△，则11ACCB=，11BCAB=，所以，在底面ABCF中，ABCF=，BCAF=，故四边形ABCF为平行四边形，因为212ABBCAC===，则2AC=，所以，222ABBCAC

+=，即ABBC⊥，所以，平行四边形ABCF为正方形，又因为1AAAB=，故几何体111FABCCAEB−为正方体，对于A选项，在正方体111FABCCAEB−中，11//ABCB且11ABCB=，故四边形11ABBC为平行四

边形，所以，11//BBAC，A对；对于B选项，以点F为坐标原点，FA、FC、1FC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0B、()1,0,0A、()0,1,0C、(

)11,0,1A、()10,0,1C、()10,1,1B，()11,0,1BB=−，()10,1,1CC=−，11111111cos,222BBCCBBCCBBCC===，所以，异面直线1BB、1CC所成的角为π3，B对；对于C选项，11111111132112

1211323ABCABCFABCCAEBBABECACFVVVV−−−−=−−=−=，C错；对于D选项，因为11//ACBB，1AC平面11ABB，1BB平面11ABB，所以，1//AC平面11ABB，因为11//ABAC，AC平面1

1ABB，11AB平面11ABB，所以，//AC平面11ABB，又因为1ACACA=，1AC、AC平面1ACC，所以，平面1//ACC平面11ABB，设平面1ACC的法向量为(),,mxyz=，()1,1,0AC=−，()11,0

,1AC=−，则100mACxymACxz=−+==−+=，取1x=，可得()1,1,1m=，又因为()10,0,1AA=，所以，平面11ABB与平面1ACC间的距离为11333AAmdm=

==，D对.故选：ABD.13．1212333ABACAA++【分析】利用向量的线性关系结合图形运算即得.【详解】在三棱柱111ABCABC-中，点M在线段1CB上，且12CMMB=，所以11AABB=，123CMCB=，所以()()111222333AMACCMACCBACBB

BCACBBACAB====+++−+−+1122333ACBBAB=++1212333ABACAA=++.故答案为：1212333ABACAA++.14．6【解析】先根据两直线平行得到直线的方向向量共线，列出关于k的方程，由此求解

出k的值即可.【详解】因为//ab，所以4236kkkk−==+，解得：6k=，故答案为：6.【点睛】本题考查根据空间向量的共线关系求解参数，难度较易.已知()()()111222121212,,,,,0axyzbxyzxxyyzz==，若//ab，则111222xyzxyz=

=.15．263【分析】由2222121243882433tctatbtt−−−=++−+，求出12ctatb−−的最小值.【详解】()2222221212121222ctatbcctatbtatbttab

−−=−++++221212121246tttttt=−−+++2221243882433ttt−=++−+即21283ctatb−−，当且仅当2182,33tt==取等号即12ctatb−−的最小值为82633=故答案为：263【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于

由2222121243882433tctatbtt−−−=++−+，结合不等式的性质得出最值.16．30,3【分析】根据已知条件先确定出M在平面ABC内的轨迹，然后通过建立空间直角坐标系，根据两直线方向向量夹角的余弦值结合三

角函数值的范围，计算出两直线所成角的余弦值的取值范围.【详解】因为,,PAPBPC两两垂直，且PAPBPC==，所以由勾股定理可知ABACBC==，所以三棱锥为正三棱锥，记P在底面ABC内的投影为O，所以2223ABACBCPAPB===+=，因为cos302ABAO=，所以2A

O=，所以222POAPAO=−=，因为3PM=，所以221OMPMOP=−=，所以M的轨迹是以O为圆心半径为1的圆，取AB中点D，连接CD，可知CD经过点O，建立如下图所示的空间直角坐标系：设()cos,sin,0M，0,2π，()()()1,3,0,1,

3,0,0,0,2ABP−，所以()()cos,sin,2,0,23,0PMAB=−=，所以23sin3cos,sin3233PMAB==，设直线PM与直线AB的所成角为.所以33coscos,sin0,33PMAB==

故答案为：30,3.【点睛】思路点睛：异面直线所成角的余弦值的向量求法：（1）先分别求解出两条异面直线的一个方向向量；（2）计算出两个方向向量夹角的余弦值；（3）根据方向向量夹角的余弦值的绝对

值等于异面直线所成角的余弦值求解出结果.17．(0,0,3).【分析】根据给定条件设出点P的坐标，再建立方程求解作答.【详解】因点P在z轴上，则设(0,0,)Pz，而(1,2,1),(2,2,2)AB−，且||||P

APB=，因此，2222221(2)(1)22(2)zz+−+−=++−，解得3z=，所以点P的坐标是(0,0,3).18．22929【分析】以1C为原点，11CA，11CB，1CC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，然后求出两个平面的法向量，然后

可算出答案.【详解】以1C为原点，11CA，11CB，1CC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设平面111ABC的法向量为1nur，平面PQR的法向量为2nuur，则平面PQR与平面111ABC的夹角就是1nur与2nuur的夹角或其补角．因为1CC⊥平

面111ABC，所以平面111ABC的一个法向量为1(0,0,1)n=．根据所建立的空间直角坐标系，可知(0,1,3)P，(2,0,2)Q，(0,2,1)R．所以(2,1,1)PQ=−−，(0,1,2)PR=−．设2(

,,)nxyz=，则2200nPRPQn==，2020xyzyz−−=−=，所以3,22.xzyz==取2(3,4,2)n=，则121212(0,0,1)(3,4,2)229cos,29129nnnnnn===．设平面PQR与平面

111ABC的夹角为，则12229coscos,29nn==．即平面PQR与平面111ABC的夹角的余弦值为22929．19．（1）13；（2）①60；②63.【分析】（1）利用勾股定理证明COAO⊥，结合COBD⊥，证明CO⊥平面ABD，从而CO是三棱锥CABD−的高，由锥体

的体积公式求解即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标．①利用异面直线所成角的计算公式求解即可；②利用待定系数法求出平面ACD的法向量，然后由线面角的计算公式求解即可．【详解】（1）由已知，有1AOCO==，2

ABAC==，222AOCOAC+=，COAO⊥，又由已知，有COBD⊥，因为BDAOO=，所以CO⊥平面ABD，即CO是三棱锥CABD−的高，所以()211121.323V==（2）分别以OA、OB、

OC为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz−．则有(1,0,0)A，(0,1,0)B，(0,0,1)C，(0,1,0)D−，()0,1,1BC=−，()1,1,0AD=−−，()1,0,1AC=−①设BC与AD所成角的大小为，则1cos

2BCADBCAD==．又02，故BC与AD所成角的大小为60．②设(),,nxyz=为平面ACD的一个法向量，则00nADnAC==即0,0.xyxz−−=−+=令1x=，得()1,1,1n=−．26c

os,323BCnBCnBCn===，故BC与平面ACD所成的角的正弦值为63.20．(1)见解析；(2)55.【分析】（1）取AD的中点E，可得BEAD⊥，根据ABCDBC△≌△可得CEAD⊥，由线面垂直的判定定理及性质定理可证明；（2）作AOBC⊥于点O,以点O为原点，,,ODO

COA所在直线分别为,,xyz轴建立空间坐标系，求出两个平面的法向量即可求解.【详解】（1）取AD的中点E，连接,BECE，因为ABBD=，所以BEAD⊥.因为,,ABBDCBADBCBC==为公共边，所以ABCDBC△≌△，所以

CACD=,所以CEAD⊥.因为,,BECEEBECE=平面BCE，所以AD⊥平面BCE，因为BC平面BCE,所以ADBC⊥.（2）当2π3=,可设1AB=,作AOBC⊥于点O,连接DO，易证,,AOOCOD两两垂直，以点O为原点，,,ODOCOA所在直线分别

为,,xyz轴建立空间坐标系，则()31330,0,0,,0,0,0,,0,0,,0,0,0,2222ODBCA,设平面ABD的法向量为(),,nxyz=，13330,,,,0,2222ABAD=−=−

,所以1302233022nAByznADxz=−==−=，令1z=,可得1,3xy==，则()1,3,1n=r.易知OD⊥平面ABC，所以平面ABC的法向量为()1,0,0m=，设平面ABD和平面ABC的夹角为，则15co

s,515mnmnmn===,故平面ABD和平面ABC的夹角的余弦值为55.21．（I）证明见解析；（II）32929；（III）直线BC1与CP不可能垂直.【详解】试题分析：（1）先根据线面平行的判定定理证明1//CC平面1,//ADDBC平面1ADD，再由面面垂

直的判定定理可得平面1//BCC平面1ADD，根据面面平行的性质可得结果；（2）先证明1DD⊥平面ABCD，过D在底面ABCD中作DMAD⊥，所以,DADM,1DD两两垂直，以1,,DADMDD分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，求出平面11ACD与平面1ADD的法向量，利用空间向量夹角

余弦公式可得结果；（3）利用反证法，若两直线垂直，根据向量垂直数量积为零可得到点P不在线段上，从而假设不成立.试题解析：（I）证明：由CC1D1D为矩形，得CC1∥DD1，又因为DD1平面ADD1，CC1平面ADD1，所以CC1∥平

面ADD1，同理BC∥平面ADD1，又因为BCCC1=C，所以平面BCC1∥平面ADD1，又因为BC1平面BCC1，所以BC1∥平面ADD1.（II）.由平面ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，得AB⊥BC，又因为AB⊥BC1，BCBC1=B，所以AB⊥平面BCC1，所以AB⊥

CC1，又因为四边形CC1D1D为矩形，且底面ABCD中AB与CD相交一点，所以CC1⊥平面ABCD，因为CC1∥DD1，所以DD1⊥平面ABCD.过D在底面ABCD中作DM⊥AD，所以DA，DM，DD1两两垂直，以DA，DM，DD1分

别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），C（3，2，0），C1（3，2，2），D1（0，0，2），所以1AC=（-l，2，2），1AD=（-4，0，2）.设平面AC1D1的一个法向量为m=（x，y，z），由m·1AC=0，m·1AD=

0，得220,420,xyzxz−++=−+=令x=2，得m=（2，-3，4）易得平面ADD1的法向量n=（0，1，0）.所以cos<m，n>=32929mnmn=−.即平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值为32929（II

I）结论：直线BC1与CP不可能垂直，证明：设DD1=m（m>0），DP=1DC（∈（0，1）），由B（4，2，0），C（3，2，0），C1（3，2，m），D（0，0，0），得=（-l，0，m），1DC=（3，2，m），DP=1DC=（3，2，m），CD=（-3，-2，0），CP

=CD+DP=（3-3，2-2，m）.若BC1⊥CP，则·CP=-（3-3）+m2=0，即（m2-3）=-3，因为≠0，所以m2=-3+3>0，解得>1，这与0<<l矛盾.所以直线BC1与CP不可能

垂直.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂

直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.22．(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据面面平行的判定定理即可证明结论；（2）假设存在，使得直线

MF⊥平面MBC，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面平面MBC的法向量，则求出MF的坐标，由MFm∥可得cossin0cossin1−=+==，此方程组无解，即可得出结论.【详解】（1）证明：若π2=，则平面DCGH、平面

CBFG为同一个平面，连接,BHBF，则M是BH中点，M是BF中点，故MM是BHF的中位线，所以1//,2MMGFMMHFGF==．因为//,MMGFMMGF=，所以平面四边形

MMFG是平行四边形，所以//MGMF．又MG平面,MBFMF平面MBF，所以MG//平面MBF同理MC//平面BMF，且MG平面,MCGMC平面,MCGMGMCM=，所以，平面MCG//平面MBF．（2）假设存在，使得直线MF⊥平

面MBC．以C为原点，分别以,,CBDCCG为,,xyz轴正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0)CB，(1,1,1)M−，故(2,0,0),(1,1,1)CBCM==−．设(,,)mxyz=是平面MBC的法向量

，则00mCBmCM==，所以200xyz=−+=，取1y=，得(0,1,1)m=是平面MBC的一个法向量，取CG中点P，BF中点Q，连接,PQPM，则,,PMCGPQCGPMCG⊥⊥⊥．于是MPM是二面角MCGM−−的平面角，MPQ是二面角MCG

Q−−的平面角，QPM是二面角QCGM−−的平面角，于是π,4MPMMPQ==，所以π4MPQ−=，且CG⊥平面,2MPMMP=，故ππ2cos,2sin,144M−−

，同理(2cos,2sin,2)F，所以ππ2cos2cos,2sin2sin,144MF=−−−−，因为πππ2cos2cos2cos2coscos2sinsincossin444

−−=−−=−，πππ2sin2sin2sin2sincos2cossincossin444−−=−+=+，所以(cossin,cossin,1)MF=−+．若直线MF⊥平面MBC，m是平面MBC的一个法向量

，则//mMF．即存在R，使得MFm=，则cossin0cossin1−=+==，此方程组无解，所以，不存在，使得直线MF⊥平面MBC．【点睛】关键点点睛：是否存在，使得直线MF⊥平面，明确点线面的位置关系，建立空间直角坐标系后

，关键点在于确定ππ2cos2cos,2sin2sin,144MF=−−−−，并结合三角恒等变换化简，从而结合向量的共线的坐标表示，判断结论.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.

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