【文档说明】吉林省梅河口市第五中学2020届高三第五次模拟考试数学（文）试题【精准解析】.doc，共(27)页，2.000 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-76e1e69633a73a75cc7e6b5b1f4a122f.html

以下为本文档部分文字说明：

文科数学注意事项：1.试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.本试卷满分150分，测试时间120分钟.5.考试范围：高考全部内容.一、选择题：本题共1

2小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|0Axxx=−，则A=Rð（）A.{|01}xxB.{|01}xxC.{|01}xxx或D.0{|}1xxx或【答案】B【解析】【分析】解关于A的不等式，求出A的

补集.【详解】由已知{|0Axx=或1}x≥，故01RAx=ð，故选B.【点睛】本题考查集合的补集运算，是一道基础题．2.已知i是虚数单位，设2332izi−=+，则复数2z+对应的点位于复平面（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D

.第四象限【答案】A【解析】【分析】由复数除法法则计算出z，再计算出2z+，可得其对应点的坐标，得所在象限．【详解】由已知223(23)(32)649632(32)(32)13iiiiiiziiii−−−−−+====−++−，222zii+=−+=+，对应点为

(2,1)，在第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，掌握除法运算法则和共轭复数的概念是解题基础．3.随着南京2月14日颁布修订后的《积分落户实施办法》，3月18日石家庄市推出“零门槛”人户政策实施，2019二线城市抢

人大战再升级！某二线城市于2019年初制定人才引进与落户新政（即放宽政策，以下简称新政）硕士研究生及以上学历毕业生可直接落户并享有当地政府依法给予的住房补贴，本科学历毕业生可以直接落户，专科学历毕业生

在当地工作两年以上可以落户，高中及以下学历人员在当地工作十年可以落户.新政执行一年，2019年全年新增落户人口较2018年全年增加了一倍，为了深入了解新增落口结构及变化情况，相关部门统计了该市新政执行前一年（即20

18年）与新政执行一年（即2019年）新户人口学历构成比例，得到如图所示的扇形图：则下面结论中错误的是（）A.新政实施后，新增落户人口中本科生已经超过半数B.新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口减少C.新政对硕士研究生及以上学历的新增落户人口数量暂时未产生影响D.新政对专科生在该市落户起到

了积极的影响【答案】B【解析】【分析】通过分析两个饼图中各个学历人数的变化情况，得出正确选项.【详解】设2018人数为x，则2019年人数为2x，根据两个饼图可知：年份高中及以下专科本科硕士及以上20170.09x0.26x0.49x0.16x2018

0.1x0.58x1.16x0.16x由表格可知，新政实施后，新增落户人口中本科生已经超过半数；高中及以下学历人员新增落户人口增加了；新政对硕士研究生及以上学历的新增落户人口数量暂时未产生影响新政对专科生在该市落户起到了积极的影响；故B选项

判断错误.故选：B.【点睛】本题考查统计图之饼图的读取与理解，并对所反应的数据进行分析和判断，属于基础题.4.已知向量()1,2a=r，()2,3b=−r，()4,5c=r，若()abc+⊥rrr，则实数=（）A.12−B.12C.2−D.2【答案】C【

解析】【分析】首先可根据题意得出()12,23−+a+b=，然后根据()abc+⊥rrr得出()0abc+=rrr，最后通过计算即可得出结果.【详解】因为()1,2a=r，()2,3b=−r，所以()12,23−+a+b=，因为(

)abc+⊥rrr，()4,5c=r，所以()0abc+=rrr，即()()4125230−++=，解得2=−，故选：C.【点睛】本题考查向量运算的坐标表示以及向量垂直的相关性质，若ab⊥，

则0ab=，考查计算能力，是简单题.5.函数sinlnxyx=的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数在0,2内的函数值，即可判断；【详解】解：因为()sinlnxyfxx==，定义域为()(),00,−

+，且()()()sinsinlnlnxxfxfxxx−−==−=−−，所以()sinlnxfxx=为奇函数，函数图象关于原点对称，故AB错误；当()0,1x时，sin0x，ln0x，所以()sin0lnxfxx=，故D错误；故选：C【点睛】本题考查函数图象

的识别，函数的奇偶性的判断，属于基础题.6.已知,02−，且cos2sin0+=，则sin4+=（）A.232−B.624−C.624+D.234+【答案】B【解析】【

分析】首先利用二倍角公式求出sin，再根据同角三角函数的基本关系求出cos，最后利用两角和的正弦公式计算可得；【详解】解：因为cos2sin0+=，所以212sinsin0−+=，解得sin1=

或1sin2=−，因为,02−，所以1sin2=−，23cos1sin2=−=所以123262sinsincoscossin44422224−+=+=−+=故选：B【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，两

角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题.7.为了求得椭圆()222210xyabab+=的面积，把该椭圆放入一个矩形当中，恰好与矩形相切，向矩形内随机投入()()()1122,,,,,nnxyxyxy共n个不同的点，

其中在椭圆内的点恰好有()mmn个.若矩形的面积是2，则可以估计椭圆的面积为（）A.mnB.2mnC.2mnD.nm【答案】B【解析】【分析】根据几何概型的概率公式计算可得；【详解】解：依题意，根据几何概型的概率公式SPS=椭圆矩形，所以椭圆的面积为

2mn故选：B【点睛】本题考查几何概型的概率公式的应用，属于基础题.8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为

“剩余原壶中13的酒量”，即输出值是输入值的13，则输入的x=（）A.35B.911C.2123D.4547【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，使得最后退出循环时1873xx−=，即可得解.【详解】1i=时，21xx=−；2i=时，()2

21143xxx=−−=−；3i=时，()243187xxx=−−=−；4i=时，退出循环.此时，1873xx−=，解得2123x=.故选C【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确结论，属于基础题.9.记不等式组22200

xyxyxy+−+−，表示的平面区域为D，命题():,pxyD，222xy+；命题():,qxyD，220xy+−.下面给出四个命题：①pq；②()pq；③()pq；④()()pq.这四个命题中，所有真命题的序号为（）

A.①②B.①③C.②③D.①③④【答案】B【解析】【分析】先由约束条件画出可行域，由于222xy+表示可行域中的点到原点的距离的平方大于等于2，所以只需要求出可行域中到原点的距离的最小值作比较即可，由220xy+−=得112yx=−+，作直线12yx=−，向上平移求目标函数的最小值即可.【

详解】解：不等式组22200xyxyxy+−+−，表示的平面区域为D如图所示，①令22zxy=+，则表示可行域中的点到原点的距离的平方，由图可知点A到原点的距离最小，由20xyxy+=−=，得11xy==，所以点(1,1)A，所以2

2AO=，所以222zxy=+，所以命题():,pxyD，222xy+为真命题，则p为假命题；②令22zxy=+−，则1122zyx=−++，作直线12yx=−，向上平移直线过点(1,1)A时，截距最小，此时22zxy=+−有最小值1，所以命题():,qxyD，220xy+

−为假命题，则q为真命题，综上，pq和()pq为真命题，()pq和()()pq为假命题，故选：B【点睛】此题考查线性规划的简单应用和复合命题的真假判断，考查了数学转化思想，属于中档题.10.若正三棱柱的各个顶点均在同一个半径为1的球面上，

且正三棱柱的侧面均为正方形，则该三棱柱的表面积为（）A.123272+B.123372+C.123472+D.123572+【答案】B【解析】【分析】本题首先可以绘出正三棱

柱的图像，然后设正三棱柱的底面边长为a并求出OG、DG以及OD长，再然后根据222DGOGOD+=求出a的值，最后根据正三棱柱的表面积计算公式即可得出结果.【详解】如图，绘出正三棱柱的图像：记正三棱柱为三棱柱ABCDEF−，O为外接球的球心，G为底

面DEF的重心，连接OG，则OG⊥底面DEF，连接DG、OD，设正三棱柱的底面边长为a，因为正三棱柱的侧面均为正方形，所以122aOGAD==，因为DEF是等边三角形，G为底面DEF的重心，所以233323aDGa=?，因为222DGOGOD+=，外接球的半径即1OD=，所以223132

aa骣骣琪琪+=琪琪桫桫，解得2127a=，则正三棱柱的表面积：2211312332sin6032322272SADDEDEDFaa骣琪=创+创创=?创?+琪桫，故选：B.【点睛】本题考查正三棱柱的表

面积的相关计算，考查正三棱柱与圆相切的相关性质，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.11.已知双曲线的一条渐近线方程为3yx=，且双曲线经过点()2,3，若1F，2F为其左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若点()6,8A，则当2PAPF+|取最小值时，点P的坐标为（）A.232

1,322++B.3221,322++C.32321,322++D.221,322++【答案】C【解析】【分析】首先求双曲线方程，根据双曲线定义转化212PAPFPAPFa+=

+−，根据图象求得点P的位置，再联立方程求点P的坐标.【详解】由条件可知2233bbaa==，即224913aa−=，解得：21a=，23b=，2213yx−=，()12,0F−，()22,0F2111222PAPFPA

PFaPAPFAF+=+−=+−−，当1,,PFA三点共线时取等号，()()221628082AF=++−=，此时直线1AF的斜率()80162k−==−−，直线1AF的方程为2yx=+，联立222130yxyxx=+−=，解得：3122x

=+，3322y=+，即点P的坐标为3312,3222++.故选：C【点睛】本题考查双曲线方程，双曲线定义，双曲线的几何性质，重点考查数形结合分析问题，转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是根据双曲线的定义转化

21122PAPFPAPFaPAPF+=+−=+−.12.已知函数()xfxeaxb=−−，若()0fx恒成立，则2ab+的最大值为（）A.24e+B.2eC.eD.2e【答案】B【解析】【分析】先求出函数(

)fx的导数，再分别讨论0,0aa的情况，得到(1ln)baa−，得到23lnabaaa+−，令()3ln,0gxxxxx=−，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求得2ab+的最大值.【详

解】由题意，函数()xfxeaxb=−−，则()xfxea=−，当0a时，()0xfxea=−，()fx单调递增，此时函数()fx无最小值，不符合题意，舍去；当0a时，令()0xfxea=−=，解得lnx

a=，当(,ln)xa−时，()0fx，()fx单调递减；当(ln,)xa+时，()0fx，()fx单调递增，所以当lnxa=时，函数取得最小值，最小值为()lnlnfaaaab=−−，因为()0fx恒成立，即ln0aaab−−，可得(1ln)baa

−，则22(1ln)3lnabaaaaaa++−=−，0a，设()3ln,0gxxxxx=−，则()3ln12lngxxx=−−=−，当2xe时，()0gx，函数()gx单调递减；当20xe时，()0gx，函数()gx单调递增；所以当2xe=时，函数()gx取得最大

值，最大值为22222()3lngeeeee=−=，故2ab+的最大值为2e.故选：B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值

，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2019年10月1日，盛大的阅兵仪式在北京举行.某班为增强民族自豪感，组织全班50名同学共同观看阅兵仪式.观看结束后，班主任采用

系统抽样的方法抽取10名同学，分享观后感，将这50名学生随机编号1~50号，并分组，第一组1~5号，第二组6~10号，…，第十组46~50号，若在第三组中抽得号码为12号学生，则在第八组抽得号码为____________

__号的学生.【答案】37【解析】【分析】系统抽样相邻两个号码间隔相同，由此可得（或利用号码成等差数列求解）．【详解】由题意得第三组抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为()1283537+−=号的学生.故答案为：37．【点睛】本题考查系统抽样，掌握系统

抽样的概念是解题基础．14.在ABC中，coscosaBbAc−=，4bc+=，则ABC面积的最大值为____________.【答案】2【解析】【分析】本题首先可以根据coscosaBbAc−=得出()sinsinABC−=，然后根据三角形的相关性质得出2A=，最后根据解三角

形面积公式以及基本不等式即可得出结果.【详解】由coscosaBbAc−=及正弦定理可得sincossincossinABBAC−=，即()sinsinABC−=，因为A、BÐ、C为ABC的内角，所以ABC−=，因为ABC++=，所以2A=，则2111sin22222ABCbc

SbcAbc+===△，当且仅当2bc==时“=”成立，故答案为2.【点睛】本题考查正弦定理边角互化、三角恒等变换、解三角形面积公式以及基本不等式，考查的公式有1sin2SbcA=、()sinsi

ncossincosABBBAA−=−，考查通过基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题.15.已知函数2log1,03()1,3xxfxxx−=+,则使不等式()12fxf成立的x的取值范围为____________

_______.【答案】1,32【解析】【分析】对自变x进行分类讨论，解两个不等式，再取并集，即可得答案；【详解】211log1222f=−=，由()12fxf得，当03x时，由2log12x−，得132x；当3x

时，12x+，此时无解.综上所述，不等式()12fxf的解集为1,32.故答案为：1,32.【点睛】本题考查利用分类讨论解不等式，考运算求解能力，求解时注意交集与并集的运用.16.若直线l交抛物线24yx=于A，B两点，O为坐标原点，OAB内有一

点()6,2M满足::1:2:3AOMBOMAMBSSS=△△△，则直线l的斜率为_______________.【答案】1【解析】【分析】设点A，B到直线OM的距离分别为Ad、Bd，延长线段OM交AB于点Q，然后利用::1:2:3AOMBOMAMBSSS=△△△可得到AMQAOM

SS=△△，从而得M为OQ的中点，则()12,4Q，而由已知可得2BQQA=，从而可得到A,B两点坐标的关系，再结合A,B两点在抛物线上，可求出A,B两点的坐标，从而可得到直线l的斜率，或利用奔驰定理得，0OMBAO

MBMAMASMBSMOS++=△△△，结合已知得230MAMBMO++=，得到A,B两点的坐标的关系，再结合A,B两点在抛物线上，可求出A,B两点的坐标，从而可得到直线l的斜率.【详解】方法一设点A，B到直线OM的

距离分别为Ad、Bd，延长线段OM交AB于点Q，则1123AOMAAMQAMBAOMBBOMQASdSSSQBdS=====△△△△△，故M为OQ的中点，∴()12,4Q.设()11,Axy，()22,Bxy，则()()2121212

1122123622424122xxxxBQQAyyyy−=−=−=−=−=−，则()()2111224362yx−=−，又2114yx=，得11168xy==或1100xy==（舍去）.故直线l的斜率8411612k−==−.方法二

设()11,Axy，()22,Bxy，则()116,2MAxy=−−，()226,2MBxy=−−，()6,2MO=−−，由奔驰定理得，0OMBAOMBMAMASMBSMOS++=△△△，则121223602302120xxMAMBMOyy+−=++=+−=，把2114yx=，2

224yx=代入并求解，可得11168xy==，2244xy==−，故直线l的斜率1k=.故答案为：1【点睛】此题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质，考查了转化思想，属于中档题.三、解答題：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列{}na是等差数列，且81a=，1624S=．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式na；（Ⅱ）若数列{}nb是递增的等比数列且149+=bb，238bb=，求1133552121()()()()n

nabababab−−++++++++．【答案】（Ⅰ）7nan=−（Ⅱ）24173nnn−−+【解析】【分析】（Ⅰ）由已知可得11712153adad+=+=，即可求出数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）由已知可得14142398

bbbbbb+===可得bn＝2n﹣1，再分组求和即可．【详解】（Ⅰ）有已知得：12712153adad+=+=16,1ad=−=，()61?17nann=−+−=−.（Ⅱ）由已知得：14149·8bbbb+==,又

nb是递增的等比数列，故解得：141,8,2bbq===,12nnb−=,∴()()()()1133552121nnabababab−−++++++++=()()13211321nnaaabbb−−+++++++=()()16422814164nn−−−−++−+++++=()()

2146284172143nnnnnn−−+−−+=−+−.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.2019年11月3日举行的“第三届中国企业改革发展论坛”上，济南已在中国（山东

）自贸试验区济南片区，发出了一张在区块链存储和传递的数字营业执照.下一步，济南希望在山东自贸区济南片区打造区块链等新技术的应用场景，推动自贸区企业上链.而区块链技术的发展也将对移动支付产生深远影响，移动支付（支付宝支付，微信支付等）开创了新的支付方式，使电

子货币开始普及，为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关，对某地200人进行了问卷调查，得到数据如下：60岁以上的人群中，习惯使用移动支付的人数为30人；60岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为40

人.已知在全部200人中随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6.（1）完成如下的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由.习惯使用移动支付不习惯使用移动支付合计（人数）60岁以上60岁及以下合计（人数）2

00（2）在习惯使用移动支付的60岁及以上的人群中，每月移动支付的金额如下表：每月支付金额100,2000(2000,30003000以上人数15x5现采用分层抽样的方法从中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，

求这2人中有1人月支付金额超过3000元的概率.附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKk0.1000.0500.0100.0010k2.7063.8416.63510

.828【答案】（1）列联表答案见解析；有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关；（2）13.【解析】【分析】（1）根据题意填写列联表，计算2K的值，对照临界值得出结论；（2）先根据分层抽样确定月支付金额在1

00,2000的有3人，在(2000,3000的为2人，3000以上的为1人，分别记为1A，2A，3A1B，2B，C，写出基本事件总数，再利用古典概率模型求解即可.【详解】解：（1）根据题意，列联表如下：习惯使用移动支付不习惯使用移动支付合计（人数）60岁以上304

07060岁及以下9040130合计（人数）12080200220024002400120013.18710.828701301208091K==.所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有

关.（2）由（1）得10x=，所以在抽取的6人中，月支付金额在100,2000的有3人，记为1A，2A,3A；在(2000,3000的为2人，记为1B，2B；3000以上的为1人，记为C.则从6人中抽取两人，共有()12,AA，()13,AA，()11,AB，()

12,AB，()1,AC，()23,AA，()21,AB，()22,AB，()2,AC，()31,AB，()32,AB，()3,AC，()12,BB，()1,BC，()2,BC，共15种取法.其中共有()1,AC，()2,AC

，()3,AC，()1,BC，()2,BC，有5种符合条件，所以51153P==.【点睛】本题考查独立性检验和古典概率模型，考查数据分析处理能力，是中档题.19.如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD为直角梯形，//ABDC，90ABC

=，120PAB=，2DCPC==，1PAABBC===.（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；（2）求四棱锥PABCD−的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）34.【解析】【分析】（1）BCAB⊥，BCPB⊥这两条相交直线，再利用面面垂直的判定定理，即可得答案；（2）在平面

PAB内，过点P作PEAB⊥，交BA的延长线于点E，再利用四棱锥的体积公式计算，即可得答案；【详解】（1）证明：在PAB△中，由1==PAAB，120PAB=，得3PB=.因为2PC=，1BC=，3PB=，

所以222PBBCPC+=，即BCPB⊥.因为90ABC=，所以BCAB⊥.因为PBABB=，所以BC⊥平面PAB.又BC平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.（2）在平面PAB内，过点P作PEAB

⊥，交BA的延长线于点E.如图，由（1）知BC⊥平面PAB，因为BC平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.因为PE平面PAB，平面PAB平面ABCDAB=，PEAB⊥，所以PE⊥平面ABCD.因为在RtPEA△中，1PA=，

60PAE=，所以32PE=.因为底面ABCD是直角梯形，所以()11331213224PABCDV−=+=.【点睛】本题考查面面垂直判定定理和四棱锥体积求解，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.20.已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴的正半轴上，

过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足3.4OAOB=−（1）求抛物线C的方程；（2）若P是抛物线C上的动点，点,MN在x轴上，圆2211xy+−=（）内切于PMN，求PMN面积的最小值.

【答案】（1）22xy=(2)8【解析】【分析】（1）设直线l的方程为()()11222pykxAxyBxy=+，，，，，由直线方程与抛物线方程联立，消元后可1212,xxxx+，代入3.4OAOB=−可求得p，得抛物线方程；（2）设()()()()0000000PxyxyMmN

n，，，，，易知点M，N的横坐标与P的横坐标均不相同.不妨设mn.写出直线PM的方程，由直线PM与圆相切得一关系式，同理PN与圆相切又得一关系式，两者比较说明,mn是一个方程的根，由韦达定理得,mnmn+，从而可表示并求出mn−（用00,xy表示），而PMN面积为01(

)2Smny=−，表示为0y的函数，由基本不等式可求得最小值．【详解】（1）由题意，设抛物线C的方程为22(0)xpyp=，则焦点F的坐标为02p（，）.设直线l的方程为()()11222pykxAxyBxy=+，，，，，联立方程得222xpypykx==+，消去y得2

222220,440xpkxppkp−−==+，所以221212122.4pxxpkxxpyy+==−=，，因为121234OAOBxxyy=+=−，所以1.p=故抛物线的方程为22xy=.(2)设()()()

()0000000PxyxyMmNn，，，，，易知点M，N的横坐标与P的横坐标均不相同.不妨设mn.易得直线PM的方程为()00yyxmxm=−−化简得()0000yxxmymy−−−=，又圆心（0,1）到直线PM的距离为1，所以()0022001xmmyyxm

−+=+−，所以()()()222220000002xmyxmmyxmmy−+=−+−+不难发现02y，故上式可化为()2000220ymxmy−+−=，同理可得()2000220ynxny−+−=，所以m，n可以看作是()2000220ytxty−+−

=的两个实数根，则0000222xymnmnyy−−+==−−，，所以()()()2222000204484.2xyymnmnmny+−−=+−=−因为()00Pxy，是抛物线C上的点，所以2002xy=则(

)()2202042ymny−=−，又02y，所以002,2ymny=−从而()02000000014242222PMNyySmnyyyyyy=−===−++−−−()00422482yy−+=−当且

仅当()2024y−=时取得等号，此时004,22yx==故△PMN面积的最小值为8.【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是“设而不求”，这也是直线与圆锥曲线相交时的常用方法．本题第（2）小题解法值得借鉴，设()()()(

)0000000PxyxyMmNn，，，，，，为了求mn−（不妨考虑mn），利用直线PM与圆相切得一与m有关的等式，同理可得一个与n有关的等式，这两个等式结合，,mn可看作是一个一元二次方程的两根，由韦达定理表示出,mn的和与积，从而可求得差．21.已知函数()lnfxxax=−（

a为实常数）（1）求函数()fx的单调区间；（2）若0a，求不等式()20fxfxa−−的解集；（3）若存在两个不相等的正数1x、2x满足()()12fxfx=，求证：122xxa+.（

注()lnmmxnmxn−=−）【答案】（1）答案见解析；（2）12,xaa；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可.(2)令()()2Fxfxfxa=−−，

根据函数的单调性求出不等式的解集即可.(3)由题意得0a，不妨设1210xxa，则11(2,)axa+−，根据函数单调性得到()112fxfxa−，由()()12fxfx=替换即可.【详解】（1）()fx的定义域为()0,+，()11axfxaxx−=−

=，①当0a时，恒有()0fx，故()fx在()0,+上单调递增；②当0a时，由()0fx得10xa，故()fx在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减；综上①②可知：当0a时()fx的单调递增区间为()0,+，无单调递减区间；当0a

时，()fx的单调递增区间为10,a，单调递减区间为1,a+.（2）因为()fx的定义域为()0,+，所以0x且20xa−，而0a，故20xa.设()()22lnlnFxfxfxxaxxaa

=−−=−−−+22lnln22axxxaxaa−=−−−+，()212112022axaFxaxxxxaa−=+−=−−，且当且仅当1xa=时取等号，所以()Fx在20,

a上单调递增，又因为1xa=时，()10FxFa==.所以当10,xa时，()0Fx，当12,xaa时，()0Fx，故()20fxfxa−−的解集为12,xaa.

（3）由（1）知0a时()fx在()0,+上单调递增，若()()12fxfx=，则12xx=，不合题意.故0a，而()fx在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减，若存在两个不相等的正

数1x、2x满足()()12fxfx=，则1x、2x必有一个在10,a上，另一个在1,a+上，不妨设1210xxa，则1212,xaaa−.又由（2）知10

,xa时，()0Fx，即()20fxfxa−−，所以()112fxfxa−.因为()()12fxfx=，所以()212fxfxa−，又因为()fx在1,a+上单调递减，所以212xxa−，即122xxa+.

【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4

：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为3cos33sinxy==+（为参数）.以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin436+=，射线11:63OM

=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求OPOQ的范围.【答案】（1）6sin=；（2）1218OPOQ.【解析】【分析】（1）先消去参数得普通方程，然后由cossinxy==

可化为极坐标方程；（2）把1=代入圆与直线的极坐标方程得,PQ点的极径即OP，OQ，计算OPOQ，结合正切函数性质可得结论．【详解】（1）圆C的普通方程是()2239xy+−=，即2260xyy+−=，因为222xy+=

，siny=，所以圆C的极坐标方程为6sin=.（2）由题意知，设()11,P，则有116sin=.设()21,Q，且直线l的极坐标方程是()3sincos43+=，则有433sincos=+，即211433sincos

=+.所以112111243sin24313sincos3tanOPOQ===++，因为163，13tan33，所以1218OPOQ.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查参数方程

与普通方程的互化，考查极坐标的应用．注意极径的绝对值就是对应点到极点（原点）的距离，因此问题只涉及点到原点距离时可考虑用极坐标方程求解．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()22121fxxx=−−+.（

1）画出函数()fx的图象，并求出函数()fx的值域；（2）若不等式()321fxax−+恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）函数图象答案见解析，值域为)2,−+；（2）(),4−.【解析】【分析】（1）利用零点分段

法去掉绝对值符号，即可画出函数的图象，观察图象求出函数的值域；（2）分离参数，利用绝对值三角不等式得到21212xx−++，即可求出实数a的取值范围.【详解】【解】（1）()123,21161,22123,2xxfxxxxx−+−=−+−−，作出函数()fx的图象如

图所示.由图象可知函数()fx的值域为)2,−+.（2）()321fxax−+恒成立，即22121321xxax−−+−+恒成立，即221221xxa−++恒成立，即21212axx−++恒成立，因为21212xx−++，所以22a，即4a，所以实数a的取

值范围为(),4−.【点睛】本题考查含绝对值的不等式恒成立问题．考查含绝对值函数的值域，对含绝对值的函数常用绝对值定义去绝对值符号，化为分段函数求解．含绝对值的不等式解决问题的方法一是利用绝对值定义分类讨论求解，一是利用绝对值不等式求出最值

再求解．象本题可能分离参数，就可以通过绝对值三角不等式求得最值，然后得出参数范围．