【文档说明】吉林省梅河口市第五中学2020届高三第五次模拟考试数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(26)页，1.700 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学试卷（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2|lo

g1Axx=,2|20Bxxx=−−,则BA=ð()A.（﹣∞,2）B.（﹣1,0]C.（﹣1,2）D.（﹣1,0）【答案】B【解析】【分析】分别根据对数与二次不等式的运算求解集合,AB,进而求得BAð即可.【详解】∵

集合2|log1|02Axxxx==,2|20|12Bxxxxx=−−=−,∴|10BAxx=−ð,故选：B【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的求解以及集合的补集运算.属于基础题.2.已知5(0)2azai=+，若5

zz=，则a=()A.1B.5C.3D.5【答案】A【解析】【分析】先把复数z进行化简，得到2zaai=−，再根据共轭复数的概念求出z，然后直接计算即可求解.【详解】()()()52222aizaaiii−==−+−，∴225(2)()zzaa=

=+−，a＞0，解得1a=.故选：A【点睛】本题考查复数的共轭，以及复数的四则运算，属于简单题3.已知0.3513()62abclog===，，，则()A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.a＞c＞bD.b＞a＞c【答案】C【解析】【分析】根据指数的性

质可得1a，102b，根据对数的性质可得112c，综合即可得结果.【详解】∵0.30331=，∴1a，∵11110()()222=，∴102b，∵551log6log52=＞，且55log6log5

1=，∴112c，∴acb，故选：C.【点睛】本题主要考查了指数、对数值的大小比较，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键，属于基础题.4.某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的

营业额（单位：万元）进行统计并得到如图折线图.下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是()A.甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为32万元B.根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均值在[2

0，25]内C.根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势D.乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元【答案】A【解析】【分析】根据折线图依次判断每个选项：甲门店的营业额平均值远低于32万元，A错误，其他正确，得到答案.【详解】对于A，甲门店的营业额

折线图具有较好的对称性，营业额平均值远低于32万元，A错误.对于B，甲门店的营业额的平均值为12182128322524181619499++++++++=21.6，即该门店营业额的平均值在区间[20，25]内，B正确.对于C，根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势，C正确.

对于D，乙门店在这9个月中的营业额最大值为30万元，最小值为5万元，则极差为25万元，D正确.故选：A.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的识图能力和应用能力.5.若x，y满足约束条件330303

590xyxyxy−++−−−，则2zxy=−的最大值为()A.5B.6C.3D.4【答案】D【解析】【分析】由目标函数作出可行域，由直线方程可知，目标函数过点A时，z有最大值，求出A点坐标，代入即可求出结果.【详解】由x，y满足约束条件，作出可行域如图，由2zxy=−，得

y12=x12z−，由图可知，当直线y12=x12z−过可行域内点A时直线在y轴上的截距最小，z最大.联立3303590xyxy−+=−−=，解得()2,3A−−∴目标函数z=x﹣2y的最大值为2234−+=.故选：D【点睛】本题主要考查线性

规划问题，解题关键是能将问题转化为直线截距最值的求解问题.6.某几何体的三视图如图所示，则其体积是()A.()4592+B.36πC.63πD.216+9π【答案】C【解析】【分析】根据题目的三视图作

出几何体的直观图，然后计算即可求解.【详解】由三视图知，该几何体是圆柱与圆锥的组合体，如图所示；则该组合体的体积为V=V柱+V锥=π32613+π323=63π.故选：C【点睛】本题考查几何体的三视图，属于简单

题.7.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所

示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是()A.()522xxsinxfx−=−B.()22xxcosxfx−=−C.()522xxcosxfx−=−D.()522xxsinxfx−=−【答案】C【解析】【

分析】首先根据奇偶性的判断可知，选项B，D不符题意，然后利用特值法，在05x，范围内代入一个特值，即可得出正确答案.【详解】观察图象可知，函数的图象关于y轴对称，对于A选项，()55()2222xxxxsinx

sinxfxfx−−−−===−−，为偶函数，对于B选项，()()()2222xxxxcosxcosxfxfx−−−−==−=−−−，为奇函数，对于C选项，()(5)(5)()2222xxxxcosxcosxfxfx−−−−===−−，为偶函数，对于D选项，()55()2222xxxx

sinxsinxfxfx−−−−==−=−−−，为奇函数，而选项B，D为奇函数，其图象关于原点对称，不合题意；对选项A而言，当05x，时，如取6x=，3666122202−−−=，则有66665116

()0222262sinf−−==−−，f（x）＜0，不合题意；故选：C【点睛】本题考查函数图像的判断,有以下几个方法：(1)根据奇偶性判断；(2)根据特值判断；(3)根据单调性和趋势判断.8.已知函数()sin()(0)fxx=+的图象与x轴的两个相邻交点的距

离等于4，若()6，xRfxf，则正数的最小值为()A.6B.56C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由题意可知，函数()fx的半周期为4，故可求得4=，又由条件()6，xRfxf，推得6x

=是()fx的一条对称轴，故而求得的表达式，由0，求得最后结果.【详解】∵函数()sin()(0)fxx=+的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于4，∴1224=，∴4=，∴()sin(4)fxx=+，又∵()6

，xRfxf，∴6x=是()fx的一条对称轴，∴462k+=+，kZ，∴6，kkZ=−.∵0故令1k=，得56=为最小值.故选：B.【点睛】本题为考查“()sin()fxAxb=++的图像和性质”的基本题型，考查学生对三角函数相关性质的

理解记忆，以及运用，为中等偏下难度题型.9.若81()axx+的展开式中x2的项的系数为358,则x5的项的系数为()A.74B.78C.716D.732【答案】C【解析】【分析】根据二项式的展开式公式

求解a,再计算x5的项的系数即可.【详解】由已知得388218kkkkTCax−−+=,k=0,1,..,8,令3822k−=,解得k=4,∴448358Ca=,解得12a=.令3852k−=,得k=2,故x5的系数为268716Ca=.故选：C.【点睛】本题主要考查了二项式的

展开式公式的运用,属于基础题.10.抛物线C：24yx=的焦点为F，过F且斜率为3的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P为抛物线C上的动点，且点P在l的左侧，则PMN面积的最大值为()A.3B.23C.233D.1639【答案】

D【解析】【分析】易得直线l的方程为3(1)yx=−，联立直线和抛物线的方程并结合抛物线的性质得出||MN；设与直线l平行的直线为：3yxm=+，当直线3yxm=+与抛物线相切时，P到直线l的距离有最大值，进而求得m的值，再求出直线l与直线333yx=+的距离，最后计算面积即可.【详解

】由题意可知直线l的方程为：3(1)yx=−，设11(,)Mxy，22(,)Nxy，代入抛物线的方程可得231030xx−+=，12103xx+=，由抛物线的性质可得121016||233MNxxp=++=+=，设与直线l平行的直线方程为：3yxm=+，代入抛物线的方程可得223(23

4)0xmxm+−+=，当直线3yxm=+与抛物线相切时，P到直线l的距离有最大值，所以22(234)430mm=−−=，解得33m=，直线l与直线333yx=+的距离233d=，所以PMN面积的最大值为116231632339=，故选：D.【点睛】本题考查直线与

抛物线位置关系的应用，考查抛物线的性质，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.11.在矩形ABCD中，4AB=，3BC=，沿矩形对角线BD将BCD折起形成四面体ABCD，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD

中，当DABC⊥时，BCAC⊥；②四面体ABCD的体积的最大值为245；③在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成角可能为3；④四面体ABCD的外接球的体积为定值.其中所有正确结论的编号为()A.①④B.①②C.①②④D.②③④【答案】C【解析】【分析】对四

个结论逐一分析判断，对于①，利用翻折前后BCDC⊥这个条件不变，易得BC⊥平面DAC，从而BCAC⊥；对于②，当平面BCD⊥平面ABD时，四面体ABCD的体积最大，易得出体积；对于③，当平面BCD⊥平面ABD时，BC与平面A

BD所成的角最大，即CBD，计算其正弦值可得出结果；对于④，在翻折的过程中，BD的中点到四面体四个顶点的距离均相等，所以外接球的直径恒为BD，体积恒为定值.【详解】如图，当DABC⊥时，∵BCDC⊥，∴BC⊥平面DAC，∵AC平面DAC，∴BC

AC⊥，即①正确；当平面BCD⊥平面ABD时，四面体ABCD的体积最大，最大值为111224343255=，即②正确；当平面BCD⊥平面ABD时，BC与平面ABD所成的角最大，为CBD，而43

sinsin523CDCBDBD===，∴BC与平面ABD所成角一定小于3，即③错误；在翻折的过程中，ABD和BCD始终是直角三角形，斜边都是BD，其外接球的球心永远是BD的中点，外接球的直径为BD，∴四面体ABCD的外接球的体积不变，即④正确.故正确的有①

②④.故选：C.【点睛】本题考查图形翻折的应用，解题关键是应抓住翻折前后的“不变量”和“变量”，进而分析计算，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养，属于常考题.12.若对任意的1x，)22,0x−，12xx，122112xxxexeax

x−−恒成立，则a的最小值为()A.23e−B.22e−C.21e−D.1e−【答案】A【解析】【分析】122112xxxexeaxx−−恒成立等价于1212xxeaeaxx++恒成立，令()xeafxx+=，可得出(1)xaex−，再令(())1xgexx−=，可得()maxgxa

，然后利用导数求()maxgx即可.【详解】对任意的1x，)22,0x−，12xx，可知120xx，则122112xxxexeaxx−−恒成立等价于211221()xxxexeaxx−−，即1212xxeaeaxx++，令()xeafxx+=，则函数()x

eafxx+=在)2,0−上为减函数，∴()21()0xexafxx−−=，∴(1)xaex−，再令(())1xgexx−=，)2,0x−，∴()0xgxxe=，∴()gx在)2,0−上为减函数，∴23()(2)maxgxge=−=−，∴a23e−

，故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的恒成立求参问题，考查分析和转化能力，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量(,1)am=，(

4,)bm=，向量a在b方向上的投影为5，则m=_____.【答案】2【解析】【分析】由向量投影的定义列出关于m的方程求解即可.【详解】由题意可知：向量a在b方向上的投影为2224155416abmmmbmm+===++，

两边平方，可得2225516mm=+，解得2m=−或2m=，当2m=−时，25516mm=−+，不符合题意，∴2m=.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于基础题.14.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知27a=，

4b=，120A=，则ABC的面积为______.【答案】23.【解析】【分析】利用余弦定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【详解】因为27a=，4b=，120A=，又222cos2bcaAbc+−=，所以()2224271cos120224cc+−=−=，化为

2+4120cc−=，解得()2>0cc=，所以112csin42sin23223ABCSbA===△．故答案为：23．【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形面积计算公式，意在考查学生对这些知识的掌握水

平和分析推理能力与计算能力，属于基础题.15.若sin11cos3=−，则22cos3snin2i2s+−=_____.【答案】2−【解析】【分析】将所给条件等式化简变形，代入所求式子，结合余弦二倍角

公式化简即可得解.【详解】∵sin11cos3=−，∴3sin1cos=−，代入等式，结合余弦二倍角公式化简可得22cos3sinsi22n+−()22cos1cos221cos+−−=

=−−.故答案为：2−.【点睛】本题考查了三角函数式化简求值的简单应用，二倍角公式的用法，属于基础题.16.双曲线C的渐近线方程为33yx=，一个焦点为F（0，﹣8），则该双曲线的标准方程为_____.已知点A（﹣6，0），若点P为C上一动点，且P

点在x轴上方，当点P的位置变化时，△PAF的周长的最小值为_____.【答案】(1).2211648yx−=(2).28【解析】【分析】答题空1：利用已知条件求出a，b，，然后求出双曲线方程即可答题空2：利用双曲线的定义转化求解三角形的周长最小值即可【详解】∵双曲线C的渐近线方程为33yx

=，一个焦点为F（0，﹣8），∴2222138abab=+=，解得a=4，b=43.∴双曲线的标准方程为2211648yx−=；设双曲线的上焦点为F′（0，8），则|PF|=|PF′|+8，△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|

PF′|+|PA|+|AF|+8.当P点在第二象限，且A，P，F′共线时，|PF′|+|PA|最小，最小值为|AF′|=10.而|AF|=10，故，△PAF的周长的最小值为10+10+8=28.故答案

为：2211648yx−=；28.【点睛】本题考查根据已知条件求解双曲线的标准方程，以及求解三角形的周长最小值问题，属于简单题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第

22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设{an}是一个首项为2，公比为q（q1）的等比数列，且3a1，2a2，a3成等差数列.（1）求{an}的通项公式；（2）已知数列{bn}的前

n项和为Sn，b1=1，且1nnSS−−=1（n≥2），求数列{anbn}的前n项和Tn.【答案】（1）1*3,2nnNan=﹣；（2）()2132nnTn=−+.【解析】【分析】（1）由题意结合等差数列、等比数列的性质可得4×2q=3×2+2q2，解方程后利用等比数列的通项公

式即可得解；（2）由题意结合等差数列的判定与通项公式可得nSn=，利用nb与nS的关系可得*21,nnNbn=−，进而可得()1*2213,nnnaNbnn−=−，再利用错位相减法即可得解.【详解】（1）因为3a1，2a2，a3成等差数列，所以4a2=3a1+a3，

又{an}是一个首项为2，公比为q（q1）的等比数列，所以4×2q=3×2+2q2，解得q=3或q=1（舍去），则*123,nnnNa−=；（2）由111Sb==，且()112nnSSn−−=，可得nS是首项和公差均为1的等差数列，所以11nSnn=+−=，所以2nSn

=，可得n=1时，b1=S1=1；2n时，()221121nnnbSSnnn−=−=−−=−，对于n=1时，该式也成立，则*21,nnNbn=−，所以()1*2213,nnnaNbnn−=−所以()212113353213nnTn−=++++−，()2

332133353213nnTn=++++−，两式相减可得()()212212333213nnnTn−−=++++−−()()()1313242213413413nnnnn−−=+−−=−−−−，所以()2132

nnTn=−+.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了数列na与nS的关系与错位相减法求数列前n项和的应用，牢记错位相减法对应的形式并且细心计算是解题关键，属于中档题.18.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，1AB=，13AA=，12BEEB=，12

AMMA=，N是棱11CD的中点，平面1AEC与直线1DD相交于点F.（1）证明：直线//MN平面1AECF.（2）求二面角EACF−−的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）63.【解析】【分析】（1）推导出1//CEAF，12DFFD=，设点G为1DF的中点，连结GM，GN，推导出/

/GN平面1AECF，//GM平面1AECF，从而平面//MNG平面1AECF，由此能证明//MN平面1AECF．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角EACF−−的正弦值．【详解】解：（

1）证明：平面11//BBCC平面11AADD，平面1AECF平面111BBCCEC=，平面1AECF平面11AADDAF=，1//CEAF，由题意得12DFFD=，设点G为1DF的中点，连结GM，GN，NQ是棱11CD的中点，1//GNFC，GN平面1AECF，1FC平面1AEC

F，//GN平面1AECF，12DFFD=，12AMMA=，//GMAF，GM平面1AECF，AF平面1AECF，//GM平面1AECF，GNGMG=，平面//MNG平面1AECF，MN平面MNG，//MN平面1AECF．（2）解：1AB=，13DD=，

如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，(1A，0，0)，(0C，1，0)，(0F，0，1)，(1,E1，2)，(1AC=−，1，0)，(0AE=，1，2)，(1AF=−，0，1)，设平面ACE的法向量

(mx=，y，)z，则·0·20mACxymAEyz=−+==+=，取1z=，得(2m=−，2−，1)，设平面ACF的法向量(na=，b，)c，则·0·0nACabnAFac=−+==−+=，取1a=，得

(1n=，1，1)，设二面角EACF−−的平面角为，由|||221|3|cos|||||333mnmn−−+===，236sin1()33=−=，二面角EACF−−的正弦值为63．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二

面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．19.已知0＜m＜2,动点M到两定点F1（﹣m,0）,F2（m,0）的距离之和为4,设点M的轨迹为曲线C,若曲线C过点222N，.（1）求

m的值以及曲线C的方程；（2）过定点605，且斜率不为零的直线l与曲线C交于A,B两点.证明：以AB为直径的圆过曲线C的右顶点.【答案】（1）3,2214xy+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义

可知曲线C是以两定点F1,F2为焦点,长半轴长为2的椭圆,再代入点222N，求得椭圆中的基本量即可.(2)设直线6:5lxty=+,再联立椭圆的方程,得出韦达定理,代入PAPB进行计算可得0PAPB=证明即可.【详解】（1

）解：设M（x,y）,因为|MF1|+|MF2|=4＞2m,所以曲线C是以两定点F1,F2为焦点,长半轴长为2的椭圆,所以a=2.设椭圆C的方程为2224xyb+=1（b＞0）,代入点222N，得b2=1,由c2=a2﹣b2

,得c2=3,所以3mc==,故曲线C的方程为2214xy+=；（2）证明：设直线l：x=ty65+,A（x1,y1）,B（x2,y2）,椭圆的右顶点为P（2,0）,联立方程组226514xtyxy=

++=消去x得()2212644525tyty++−=0.△＞0,y1+y2()21254tt−=+,y1y2()264254t=−+,所以()()()()212121212416221525PAPBxxyytyyyy=−−+=+−++()

222264644816640254tttt−−+++==+,∴PAPB⊥,故点P在以AB为直径的圆上,即以AB为直径的圆过曲线C的右顶点.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及方程的求解方法,同时也考查了联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理证明圆过定点的问题,可利用

向量的数量积为0列式化简求解.属于难题.20.已知函数f（x）=lnx﹣tx+t.（1）讨论f（x）的单调性；（2）当t=2时,方程f（x）=m﹣ax恰有两个不相等的实数根x1,x2,证明：12122

2xxaxx+−.【答案】（1）当t≤0时,f（x）在（0,+∞）上单调递增；当t＞0时,f（x）在（0,1t）上单调递增,在（1t,+∞）上单调递减；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)求导后分0t和0t两种情况讨论极值点的大小关系以及导函数的正负,进而求得原函数的单

调区间即可.(2)代入2t=,根据f（x）=m﹣ax,可得()()ln22gxxaxm=+−+=的两根分别为12,xx,再消去m化简得到1212ln2xxaxx−=−,再代入所证的121222xxaxx+−,换元令21,1xccx=,进而求导分析导数的正负以及

原函数的单调性即可.【详解】（1）f（x）的定义域为（0,+∞）,f′（x）1tx=−,当t≤0时,f′（x）＞0恒成立,f（x）在（0,+∞）上单调递增,当t＞0时,令f′（x）＞0,得0＜x1t＜,令f′（x）＜0,得x1t＞.∴f（x）在（

0,1t）上单调递增,在（1t,+∞）上单调递减.综上所述,当t≤0时,f（x）在（0,+∞）上单调递增；当t＞0时,f（x）在（0,1t）上单调递增,在（1t,+∞）上单调递减.（2）证明：由f（x）=m﹣ax,得lnx+（a﹣2）x+2﹣m=0.令g（x）=lnx+（a﹣2）x+2,则g（x

1）=g（x2）=m.即lnx1+（a﹣2）x1=lnx2+（a﹣2）x2,∴a﹣22112xlnxxx=−.不妨设0＜x1＜x2,要证121222xxaxx+−＞,只需证1212xxxx+＞2（2﹣a）21122xlnxxx−

=−,即证1222112xxxlnxxx−−.令21xcx=（c＞1）,g（c）=2lnc﹣c1c+,∵g′（c）222111(1)ccc=−−=−−0.∴g（c）在（1,+∞）上单调递减,则g（c）＜g（1）=0.故121222xxaxx+−＞成立.【点睛

】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题,同时也考查了构造函数解决双变量的问题,需要根据题意消去参数,再换元构造函数分析单调性与最值证明不等式.属于难题.21.2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门了.在疫情防控常态下，武

汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，严密防范、慎终如始.为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A，B两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机

选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下：①单独投给A方案，则A方案得1分，B方案得﹣1分；②单独投给B方案，则B方案得1分，A方案得﹣1分；③弃权或同时投票给A，B方案，则两种方案均得0分.前1名物业人员的投票结束，再安排下1名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4

分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案.假设A，B两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为23和12.（1）在第1名物业人员投票结束后，A方案的得分记为ξ，求ξ的分布列；（2）求最终选取A方案为小区管理方案的概率.【答案】（1

）分布列见解析；（2）181324.【解析】【分析】(1)由题意知，ξ的所有可能取值为﹣1，0，1，然后，列出ξ的分布列即可(2)记M1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记M2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记M3

表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记选取A方案为小区管理方案的概率为P，然后分别求出()1PM，()2PM，()3PM的值，则选取A方案为小区管理方案的概率为：()()()123PPMPMPM=++，然后计算求解即可.【详解】（1）由题意知，ξ的所有可能取值

为﹣1，0，1，P（ξ=﹣1）=（123−）1126=，P（ξ=0）2111132322=+=，P（ξ=1）2111323=−=，∴ξ的分布列为（2）记M1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方

案为小区管理方案”，由（1）知，()()22111[1]()39PMp====，记M2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，()()()12222111[1]02()329

PMCPP=====，记M3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，①若A方案比B方案多4分，有两类：第一类，A方案前三次得了一次1分两次0分，最后一次得1分，其概率为()()122311]0]12CPP===；第二类，A

方案前两次得了一次1分一次﹣1分，后两次均得1分，其概率为()()13211[1]81CPP=−==，②若A方案比B方案多2分，有三类：第一类，A方案四次中得了一次1分，其他三次全0分，其概率为()()1341[0]16CPP===；第二类，

A方案前三次得了一次1分，一次0分，一次﹣1分，最后一次得了1分，其概率为()()()3231[1]0118APPP===−=；第三类，A方案前两次得了一次1分一次﹣1分，第三次得1分，第四次得0分，其概率为()()()1221[1]0154CPP

P===−=.故()311111109128161854324PM=++++=，∴最终选取A方案为小区管理方案的概率为()()()1231110918199324324PPMPMPM=++

=++=.【点睛】本题考查离散随机变量的分布列问题，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线1C的参数方程

为114cos(114sinxy=−+=+为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos=．曲线3C的极坐标方程为2318sin=+，曲线

1C与曲线2C的交线为直线l．（1）求直线l和曲线3C的直角坐标方程；（2）直线l与x轴交于点M，与曲线3C相交于A，B两点，求11MAMB−的值．【答案】（1）l：360xy−−=，3C：2219xy+=；（2）655．【解析】【分析】（1）直接利用转化公式求解即可；（2

）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【详解】解：（1）已知曲线1C的参数方程为114cos(114sinxy=−+=+为参数），转换为直角坐标方程为22(1)(1)14xy++−=①，曲线2C的极坐标方程为4cos=，整理得24cos=，根

据222cossinxyxy=+==转换为直角坐标方程为22(2)4xy−+=②，∴①②两个方程相减得公共弦所在直线l的方程为360xy−−=，曲线3C的极坐标方程为2318sin=+，根据222cossinxyxy=+==转换为

直角坐标方程为2219xy+=；（2）直线l与x轴交于(2,0)M，∴直线l的参数方程为10210(31010xttyt=+=为参数），代入到2219xy+=，得241210250tt−−=，∴1221041tt+=，122541tt=−，故121111||||MAMBtt

−=−1212tttt−=2121212()4||tttttt+−=222104100()41412541+=24500412541=30525=655=．【点评】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程和普通方程

的互化，考查直线的参数方程的应用，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】23.设函数()21|1|fxxx=−−−.（1）求不等式()3fx的解集；（2）若方程2()fxxax=+有两个不等实数根，求a的取值范围.【答案】（1）(,3)−；（2）()

()0223−++，，.【解析】【分析】（1）函数()fx写成分段函数的形式，分类讨论不等式的解集取并集即可；（2）方程2()fxxax=+有两个不等实数根等价于2211xxxax−+−−−=有两个不等实数根，利用基本不等

式求出当x＜0时23xx−−+的范围，然后数形结合求出a的取值范围.【详解】（1）321()21|1|1xxfxxxxx−=−−−=，，，∵()3fx，∴3231xx−或31xx，∴1x或13x，即3x，∴不等式的解集为(,3)−；（2）方程2(

)fxxax=+，即221|1|xxxax−−−=+，显然0x=不是方程的根，故2211xxxax−+−−−=，令)()()211211()23001xxxxxgxxxxx−+−+−−−==−−+−，，

，，，，当x＜0时，2233223xxxx−−+=−+++−，当且仅当2x=−时取等号，作出()gx的图象，如图所示：∵方程2()fxxax=+有两个不等实数根，∴由图象可知()()0223a−++，，.【点睛】本题考查绝对值不等

式的解法、根据方程的根的个数求参数的取值范围、分段函数的图象与性质，属于中档题.