【文档说明】2020年真题+高考模拟题 专项版解析 文科数学——05 平面解析几何（教师版）【高考】.docx，共(47)页，2.242 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-76e16d8e208129b723da0a870dd6d02e.html

以下为本文档部分文字说明：

专题05平面解析几何1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知圆2260xyx+−=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】圆2260xyx+−=化为22(3)9xy

−+=，所以圆心C坐标为(3,0)C，半径为3，设(1,2)P，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)22CP=−+−=根据弦长公式得最小值为229||2982CP−=−=.故选：B．【点

睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=1ACBC，则点C的轨迹为A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线【答案】A【解析】设()20ABaa=，以AB中点为

坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0AaBa−，设(),Cxy，可得：()(),,,ACxayBCxay→→=+=−，从而：()()2ACBCxaxay→→=+−+，结合题意可得：()()21xaxay+−+=，整理可得：2221xya

+=+，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，21a+为半径的圆.故选：A．【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】点(0)1−，到直线()1ykx=+距离的最大值为A．1B

．2C．3D．2【答案】B【解析】由(1)ykx=+可知直线过定点(1,0)P−，设(0,1)A−，当直线(1)ykx=+与AP垂直时，点A到直线(1)ykx=+距离最大，即为||2AP=.故选：B．【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用

几何性质是解题的关键，属于基础题.4．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为A．55B．255C．355D．455【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第

一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(),aa，则圆的半径为a，圆的标准方程为()()222xayaa−+−=.由题意可得()()22221aaa−+−=，可得2650aa

−+=，解得1a=或5a=，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d−−==；圆心到直线的距离均为225532555d−−==圆心到直线230xy−−=的距离均为

22555d−==；所以，圆心到直线230xy−−=的距离为255.故选：B．【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设O为坐标原点

，直线x=2与抛物线C：()220ypxp=交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为A．（14，0）B．（12，0）C．（1，0）D．（2，0）【答案】B【解析】因为直线2x=与抛物线22(0)ypxp=

交于,ED两点，且ODOE⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOxEOx==，所以()2,2D，代入抛物线方程44p=，求得1p=，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B．【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问

题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设12,FF是双曲线22:13yCx−=的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||2OP=，则12PFF△的面积为A．

72B．3C．52D．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)FF−，则1,2ac==，因为121||1||2OPFF==，所以点P在以12FF为直径的圆上，即12FFP是以P为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||

PFPFFF+=，即2212||||16PFPF+=，又12||||22PFPFa−==，所以2124||||PFPF=−=2212||||2PFPF+−12||||162PFPF=−12||||PFPF，解得12||||6PFPF=，所

以12FFPS=△121||||32PFPF=故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.7．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：2222−xya

b=l(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为A．4B．8C．16D．32【答案】B【解析】2222:1(0,0)xyCabab−=，双曲线的渐近线方程是byxa=，直线xa=与双

曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限，联立xabyxa==，解得xayb==，故(,)Dab，联立xabyxa==−，解得xayb==−，故(

,)Eab−，||2EDb=，ODE面积为：1282ODESabab===△，双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=，其焦距为2222222168cabab=+==，当且仅当22ab==取等号，

C的焦距的最小值：8.故选：B．【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，

属于中档题.8．【2020年高考天津】设双曲线C的方程为22221(0,0)xyabab−=，过抛物线24yx=的焦点和点(0,)b的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为A．22144xy−=

B．2214yx−=C．2214xy−=D．221xy−=【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l的方程为1yxb+=，即直线的斜率为b−，又双曲线的渐近线的方程为byxa=，所以bba−=−，1bba−=−，因为0,0ab，解得1,1

ab==．故选：D．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．9．【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为A．4B．5C．6D．7【答案

】A【解析】设圆心(),Cxy，则()()22341xy−+−=，化简得()()22341xy−+−=，所以圆心C的轨迹是以(3,4)M为圆心，1为半径的圆，所以||1||OCOM+22345=+=，

所以||514OC−=，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选：A．【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.10．【2020年高考北京】设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl⊥于Q，则线段FQ的垂直平分

线A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP【答案】B【解析】如图所示：．因为线段FQ的垂直平分线上的点到,FQ的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，PQPF=，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的

应用，属于基础题.11．【2020年高考浙江】已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数234yx=−图象上的点，则|OP|=A．222B．4105C．7D．10【答案

】D【解析】因为||||24PAPB−=，所以点P在以,AB为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1ca==可得，222413bca=−=−=，即双曲线的右支方程为()22103yxx−=，而点P还在函数234yx=−的图象上，所以，由(

)22210334yxxyx−−==，解得132332xy==，即13271044OP=+=．故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查

学生的数学运算能力，属于基础题．12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线22:1Cmxny+=.A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为nC．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为myxn=−D

．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，若0mn，则221mxny+=可化为22111xymn+=，因为0mn，所以11mn，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若0mn=，则22

1mxny+=可化为221xyn+=，此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；对于C，若0mn，则221mxny+=可化为22111xymn+=，此时曲线C表示双曲线，由220mxny+=可得myxn=−，故C正确；对于D，若0,

0mn=，则221mxny+=可化为21yn=，nyn=，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.13

．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设双曲线C:22221xyab−=(a>0,b>0)的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为_________．【答案】3【解析】由双曲线方程22221xyab−=可得其焦点在x轴上，因为其一条渐近线为2yx=，所以2b

a=，2213cbeaa==+=.故答案为：3【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.14．【2020年高考天津】已知直线380xy−+=和圆222(0)xyrr+=相交于,AB两点．若||6AB=，则r的

值为_________．【答案】5【解析】因为圆心()0,0到直线380xy−+=的距离8413d==+，由22||2ABrd=−可得22624r=−，解得=5r．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．15．【

2020年高考北京】已知双曲线22:163xyC−=，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0；3【解析】在双曲线C中，6a=，3b=，则223cab=+=，则双曲线C的右焦点坐标为()3,0，双曲线C的渐近

线方程为22yx=，即20xy=，所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为23312=+.故答案为：()3,0；3.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.16．【

2020年高考浙江】已知直线(0)ykxbk=+与圆221xy+=和圆22(4)1xy−+=均相切，则k=_______，b=_______．【答案】33；233−【解析】由题意，12,CC到直线的距离等于半径，即22||11bk=+，22|4|

11kbk+=+，所以||4bkb=+，所以0k=（舍）或者2bk=−，解得323,33kb==−.故答案为：323;33−【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.17．【2020

年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线222105()xyaa−=的一条渐近线方程为52yx=，则该双曲线的离心率是▲．【答案】32【解析】双曲线22215xya−=，故5b=.由于双曲线的一条渐近线方程为52yx

=，即522baa==，所以22453cab=+=+=，所以双曲线的离心率为32ca=.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.18．【2020年新高考全国Ⅰ卷】斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=_

_______．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24yx=，∴抛物线的焦点F坐标为(1,0)F，又∵直线AB过焦点F且斜率为3，∴直线AB的方程为：3(1)yx=−代入抛物线方程消去y并化简得231030xx−+=，解法一：解得121,33xx=

=所以212116||1||13|3|33ABkxx=+−=+−=解法二：10036640=−=设1122(,),(,)AxyBxy，则12103xx+=,过,AB分别作准线1x=−的垂线，设垂足分别为,CD如图所示.12||||||||||11ABA

FBFACBDxx=+=+=+++1216+2=3xx=+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.19．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知3(0)2P，，A

，B是圆C：221()362xy+−=上的两个动点，满足PAPB=，则△PAB面积的最大值是▲．【答案】105【解析】PAPBPCAB=⊥Q设圆心C到直线AB距离为d，则231||=236,||144ABdPC−=+=所以2221236(1)(36)(1)2P

ABSdddd−+=−+V令222(36)(1)(06)2(1)(236)04ydddydddd=−+=+−−+==（负值舍去）当04d时，0y；当46d时，0y，因此当4d=时，y取最大值，即PABS取最大值为105，故答案为：105【

点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.20．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知A、B分别为椭圆E：2221xya+=（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，8AGGB=，P为直线x=6上的动点，PA与E

的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【解析】（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)AaBaG−．则(,1)AGa=，(,1)GBa=−．由8AGGB=得218a−=，即3a=．所以E的方程为2219xy+=．（2）

设1122(,),(,),(6,)CxyDxyPt．若0t，设直线CD的方程为xmyn=+，由题意可知33n−．由于直线PA的方程为(3)9tyx=+，所以11(3)9tyx=+．直线PB的方程为(3)3tyx=−，所以22(3)3tyx=−．可得12213(3)(3)yxyx

−=+．由于222219xy+=，故2222(3)(3)9xxy+−=−，可得121227(3)(3)yyxx=−++，即221212(27)(3)()(3)0myymnyyn++++++=．①将xmyn=+代入2219xy+=得222(9)290mym

nyn+++−=．所以212122229,99mnnyyyymm−+=−=−++．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0mnmnmnnm+−−++++=．解得3n=−（舍去），32n=．故直线CD的方程为32xmy=+，即直线CD过定点3(,0)2．若0t=，则直线CD的方

程为0y=，过点3(,0)2．综上，直线CD过定点3(,0)2．【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.21．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知椭圆C1：22221xyab+=(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的

焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．【解析】（1）由已知可设2

C的方程为24ycx=，其中22cab=−.不妨设,AC在第一象限，由题设得,AB的纵坐标分别为2ba，2ba−；,CD的纵坐标分别为2c，2c−，故22||bABa=，||4CDc=.由4||||3C

DAB=得2843bca=，即2322()ccaa=−，解得2ca=−（舍去），12ca=.所以1C的离心率为12.（2）由（1）知2ac=，3bc=，故22122:143xyCcc+=.所以1C的四个顶点坐标分别为(

2,0)c，(2,0)c−，(0,3)c，(0,3)c−，2C的准线为xc=−.由已知得312cccc+++=，即2c=.所以1C的标准方程为2211612xy+=，2C的标准方程为28yx=.【点睛】本题考查了求椭圆

的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.22．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆222:1(05)25xyCmm+=的离心率为154，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（

2）若点P在C上，点Q在直线6x=上，且||||BPBQ=，BPBQ⊥，求APQ△的面积．【解析】（1）由题设可得2251554m−=，得22516m=，所以C的方程为221252516xy+=.（2）设(,),(6,)PPQPxyQy，根据对称性可设0Qy，由题意知0P

y，由已知可得(5,0)B，直线BP的方程为1(5)Qyxy=−−，所以2||1PQBPyy=+，2||1QBQy=+，因为||||BPBQ=，所以1Py=，将1Py=代入C的方程，解得3Px=或3−.由直线BP的方程得2Qy=或8.所以点,PQ的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,

1),(6,8)PQPQ−.11||10PQ=，直线11PQ的方程为13yx=，点(5,0)A−到直线11PQ的距离为102，故11APQ△的面积为110510222=.22||130PQ=，直线22

PQ的方程为71093yx=+，点A到直线22PQ的距离为13026，故22APQ△的面积为113051302262=.综上，APQ△的面积为52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆

的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.23．【2020年高考北京】已知椭圆2222:1xyCab+=过点(2,1)A−−，且2ab=．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B−的直线l交椭圆C于点,MN,直线,MA

NA分别交直线4x=−于点,PQ．求||||PBBQ的值．【解析】(1)设椭圆方程为：()222210xyabab+=，由题意可得：224112abab+==，解得：2282ab==，故椭圆方程为：22182xy+=.

(2)设()11,Mxy，()22,Nxy，直线MN的方程为：()4ykx=+，与椭圆方程22182xy+=联立可得：()222448xkx++=，即：()()222241326480kxkxk+++−=，则：2212122232648,4141

kkxxxxkk−−+==++.直线MA的方程为：()111122yyxx++=++，令4x=−可得：()()()1111111141214122122222Pkxkxyxyxxxx++−++++=−−=−−

=++++，同理可得：()()222142Qkxyx−++=+.很明显0PQyy，且：PQPByPQy=，注意到：()()()()()()()()122112121242424421212222PQxxxxxxyykkxxxx++++++++=−++=−+++++，而：()(

)()()()122112124242238xxxxxxxx+++++=+++2222648322384141kkkk−−=++++()()()22226483328412041kkkk−+−++==+，故0,PQPQyyyy

+==−.从而1PQPByPQy==.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等

问题．24．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆221:12xCy+=，抛物线22:2(0)Cypxp=，点A是椭圆1C与抛物线2C的交点，过点A的直线l交椭圆1C于点B，交抛物线2C于点M（B，M不同

于A）．（Ⅰ）若116p=，求抛物线2C的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．【解析】（Ⅰ）由116p=得2C的焦点坐标是1(,0)32．（Ⅱ）由题意可设直线:(

0,0)lxmytmt=+，点00(,)Axy．将直线l的方程代入椭圆221:12xCy+=得222(2)220mymtyt+++−=，所以点M的纵坐标22Mmtym=−+．将直线l的方程代入抛物线22:2Cypx=得2220ypmypt−−=，所以02Myypt=−

，解得202(2)pmym+=，因此22022(2)pmxm+=．由220012xy+=得2421224()2()160mmpmm=+++，所以当2m=，105t=时，p取到最大值1040．【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉

及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.25．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:143xyE+=的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交

于另一点B．（1）求12AFF△的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OPQP的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记OAB△与MAB△的面积分别为S1，S2，若213SS=，求点M的坐标．【解析】（1）椭圆22:143xyE

+=的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则2224,3,1abc===.所以12AFF△的周长为226ac+=.（2）椭圆E的右准线为4x=.设(,0),(4,)PxQy，则(,0),(4,)OPxQPxy==−−，2(4)(2)44,OPQPxxx=−

=−−−在2x=时取等号.所以OPQP的最小值为4−.（3）因为椭圆22:143xyE+=的左、右焦点分别为12,FF，点A在椭圆E上且在第一象限内，212AFFF⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2FFA−.所以直线:3430.ABxy

−+=设(,)Mxy，因为213SS=，所以点M到直线AB距离等于点O到直线AB距离的3倍.由此得|343||30403|355xy−+−+=，则34120xy−+=或3460xy−−=.由2234120,143xyxy−+=+=得2724320xx++=，此方程无

解；由223460,143xyxy−−=+=得271240xx−−=，所以2x=或27x=−.代入直线:3460lxy−−=，对应分别得0y=或127y=−.因此点M的坐标为(2,0)或212(,)77−−.【

点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213SS=推出95d=是解答本题的关键.26．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率为22，且过点

A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．【解析】（1）由题设得22411ab+=，22212aba−=，解得26a=，23b=．所以C的方程为22163xy+=．（2）设11(,)Mx

y，22(,)Nxy．若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为ykxm=+，代入22163xy+=得222(12)4260kxkmxm+++−=．于是2121222426,1212kmmxxxxkk−+=−=++．①由AMAN⊥知0AMAN=，故1212(2)(2

)(1)(1)0xxyy−−+−−=，可得221212(1)(2)()(1)40kxxkmkxxm++−−++−+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212mkmkkmkmkk−+−−−+−+=++．整理得(231)(21)0kmkm

+++−=．因为(2,1)A不在直线MN上，所以210km+−，故2310km++=，1k．于是MN的方程为21()(1)33ykxk=−−.所以直线MN过点21(,)33P−.若直线MN与x轴垂直，可得11(,)Nxy−.由0AMAN=得

1111(2)(2)(1)(1)0xxyy−−+−−−=.又2211163xy+=，可得2113840xx−+=.解得12x=（舍去），123x=.此时直线MN过点21(,)33P−.令Q为AP的中点，即41(,)33Q.若D与P不重合，则由题设知

AP是RtADP△的斜边，故122||||23DQAP==.若D与P重合，则1||||2DQAP=.综上，存在点41(,)33Q，使得||DQ为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线MN经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.27．

【2020年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆C：22221(0)xyabab+=过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为12，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.【解析】(1)由题意可知直线AM的方程为：13(2)2yx−

=−，即24−=−xy.当y=0时，解得4x=−，所以a=4，椭圆()2222:10xyCabab+=过点M(2，3)，可得249116b+=，解得b2=12.所以C的方程：2211612xy+=.(2)设与直线AM平行的直线方程为：2xym−=，如图所示，当

直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程2xym−=与椭圆方程2211612xy+=，可得：()2232448myy++=，化简可得：2216123480ymym++−=，所

以()221444163480mm=−−=，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：28xy−=，直线AM方程为：24−=−xy，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：

84125514d+==+，由两点之间距离公式可得22||(24)335AM=++=.所以△AMN的面积的最大值：1125351825=.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有

关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．28．【2020年高考天津】已知椭圆22221(0)xyabab+=的一个顶点为(0,3)A−，右

焦点为F，且||||OAOF=，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足3OCOF=，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．【解析】（Ⅰ）由已知可得3b=．记半焦距为c，由||||OFO

A=可得3cb==．又由222abc=+，可得218a=．所以，椭圆的方程为221189xy+=．（Ⅱ）因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以ABCP⊥．依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在．设直线AB的方程为3ykx=−．由方程

组223,1,189ykxxy=−+=消去y，可得()2221120kxkx+−=，解得0x=，或21221kxk=+.依题意，可得点B的坐标为2221263,2121kkkk−++．因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0,3)−，所以点P

的坐标为2263,2121kkk−++．由3OCOF=，得点C的坐标为(1,0)，故直线CP的斜率为2230216121kkk−−+−+，即23261kk−+．又因为ABCP⊥，所以231261kkk=−−+，整理得22310kk−+=，解得12k=，或

1k=．所以，直线AB的方程为132yx=−，或3yx=−．1．【山西省太原市第五中学2020届高三下学期6月月考数学】若双曲线()222109yxaa−=的一条渐近线与直线13yx=垂直，则此双曲线的实

轴长为A．18B．9C．6D．3【答案】A【解析】双曲线()222109yxaa−=的渐近线方程为3ayx=，因为双曲线()222109yxaa−=的一条渐近线与直线13yx=垂直，所以33a=，解得9a=

，所以此双曲线的实轴长为18.故选A．【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．【四川省资阳市2019-2020学年高三上学期第二次诊断考试数学】圆222220xyxy

++−−=上到直线:20lxy++=的距离为1的点共有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】圆222220xyxy++−−=可化为22(1)(1)4xy++−=,所以圆心为(1,1)−,半径r为2,圆心(1,1)−到直线:20lxy++

=的距离为:|112|111d−++==+,所以12dr=,所以圆222220xyxy++−−=上到直线:20lxy++=的距离为1的点共有3个.故选:C【点睛】本题考查了由圆的方程求圆心坐标和半径,考查了点到直线的距离公式,属于基础题.

3．【安徽省马鞍山市第二中学2019-2020学年高三第二次阶段性素质测试数学】直线:10lxy−+=与圆22:4210Cxyxy+−−+=位置关系是A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心【答案】D【解析】由圆的方程22:

4210Cxyxy+−−+=，化成标准式为()()22:214Cxy−+−=得到圆心坐标为()2,1，半径2r=，圆心到直线10xy−+=的距离|211|22dr−+==，直线与圆的位置关系是相交但不过圆心．故选：D．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及

的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及点与直线的位置关系，直线与圆的位置关系可以用d与r的大小来判断：当0dr„时，直线与圆相加；当dr=时，直线与圆相切；当dr>时，直线与圆相离．4．【广东省深圳市高级中学2020届高三下学期5月适应性考试数学】已知O为坐标原点，抛物线E：22xp

y=(0p)的焦点为F，过焦点F的直线交E于A，B两点，若OFA的外接圆圆心为Q，Q到抛物线E的准线的距离为34，则p=A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由题意知，抛物线E：22xpy=(0p)的焦点为0,2pF，准线为2py=−

，Q在线段OF的垂直平分线上，故Q的纵坐标为4p，所以3424pp+=，所以1p=.故选A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，抛物线的简单几何性质，属于容易题.5．【山西省长治市2020届高三下学期5月质量检测数学】双曲线()22122:10,0xyCabab−=的焦距为4，且其渐近线与

圆()222:21Cxy−+=相切，则双曲线1C的方程为A．22193xy−=B．22162xy−=C．22126xy−=D．2213xy−=【答案】D【解析】圆2C的圆心坐标为(2,0),1r=，设渐近线

方程为byxa=，即0bxay−=，由渐近线与圆()222:21Cxy−+=相切，得22|2|1bab=+，2224abc+==，1,413ba==−=，则双曲线1C的方程为2213xy−=.故选D．【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程，涉及了直线与圆位置关

系的应用，属于中档题.6．【山西省太原市第五中学2020届高三下学期3月摸底数学】若过椭圆22194xy+=内一点()3,1P的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为A．34130xy+−=B．3450xy−−=C．43150xy+−=D．4390xy−−

=【答案】C【解析】设弦的两端点为1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，P为AB中点，A，B在椭圆上，2211194xy+=，2222194xy+=，两式相减得：22221212094xxyy−−+=，126xx+=，122yy+=，可

得：121243yyxx−=−−，则43k=−，且过点(3,1)P，有41(3)3yx-=--，整理得43150xy+−=．故选C．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高

三下学期6月联考（三诊)数学】已知抛物线22yx=的焦点为F，抛物线上一点的M的纵坐标0y，则01y是1MF的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】抛物线22yx=的122p=，焦点为1,02F.设()00,

Mxy，当1MF时，根据抛物线的定义可知0112x+，即012x.由于M在抛物线22yx=上，所以2200001222yyxx==，解得01y−或01y.所以01y是1MF的充分不必要条件.故选A．【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查抛

物线的定义，属于中档题.8．【2020届安徽省池州市高三上学期期末考试数学】过点(2,2)的直线与圆221xy+=相交于A，B两点，则OAB（其中O为坐标原点）面积的最大值为A．14B．12C．1D．2【答案】B【解析】如图所示，

过O作OMAB⊥，垂足为M，设||OMd=，则2||21ABd=−，所以OAB的面积1||||2SABOM=22222)11(12dddddd−+=−=−12=当且仅当22d=时，取等号.故选:B9．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】已知双曲线22221(0,0

)xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，双曲线的左支上有A，B两点使得112AFFB=.若12AFF△的周长与12BFF△的周长之比是54，则双曲线的离心率是A．2B．5C．2D．139【答案】D【解析】设1BFm=，

则由112AFFB=，得12AFm=.由于212AFAFa−=，212BFBFa−=，所以222AFam=+，22BFma=+.则12BFF△的周长为1212222BFBFFFmac++=++，12AFF△的周长为1212422AFAFFFmac=

++++.根据题意得42252224macmac++=++，得3mac=+，又因为1212coscos0AFFBFF+=，所以223340caam−−=，代入3mac=+，可得139e=.故选D．【点睛】此题考查双曲线

的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，属于中档题.10．【2020届四川省成都市石室中学高三下学期5月月考数学】已知抛物线24yx＝的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A，B两点，过A作抛物线

准线的垂线，垂足为M，MAF的角平分线与抛物线的准线交于点P，线段AB的中点为Q．若8AB=，PQ=A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】如图，由题得MAPQAP=,||||AFAM=,所以||||APMFMGGF⊥=，.所以||||PMPF=,所以MPAPAF

,所以90PFBPNB==,所以||||PFBPNBPFPN=，，所以||||PMPN=,即点P是MN的中点，所以111||(||||)(||||)||4222PQAMBNAFBFAB=+=+==.故选B．【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，考查

直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．【安徽省马鞍山市第二中学2019-2020学年高三第二次阶段性素质测试数学】已知圆221:(2)(3)1Cxy−+−=，圆222:(3)(4)9Cxy−+−=，,MN分别为圆12,CC上

的点，P为x轴上的动点，则||||PMPN+的最小值为A．17B．171−C．622−D．524−【答案】D【解析】如图所示，圆1C关于x轴的对称圆的圆心坐标3(2,)A−，半径为1，圆2C的圆心坐标

为(3,4),，半径为3，由图象可知，当,,PMN三点共线时，||||PMPN+取得最小值，且||||PMPN+的最小值为圆3C与圆2C的圆心距减去两个圆的半径之和，即22231(32)(34)4524AC−−=−+−−−=−，故选D．【点睛】本题主要考

查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．12．【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学】已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=

的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线:430lxy−=与椭圆相交于A、B两点.若||||6AFBF+=，点P到直线l的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围为A．9(0,]5B．3(0,]2C．5(0,]3D．13(,]32【答案】C【

解析】设椭圆的左焦点为F，P为短轴的上端点，连接,AFBF，如下图所示：由椭圆的对称性可知，,AB关于原点对称，则OAOB=，又OFOF=，四边形AFBF为平行四边形，AFBF=，又26AFBFBFBFa+=+==，解得：3a=，点P到直线l距离：3655bd−

=，解得：2b，即22292acc−=−，05c，50,3cea=.故选C．13．【江西省吉安市泰和中学2019-2020学年高三11月质量检测-数学试题】已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，A为OM的中点，若以A

M为直径的圆与E的渐近线相切，则双曲线E的离心率等于A．324B．233C．3D．2【答案】A【解析】由题意知，双曲线E的右顶点为A(a，0)，渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0.由A为OM的中点，可知M(2a，0)．故以AM为直径的圆的圆心的坐标为32a，0，半径r＝12|A

M|＝a2.又双曲线的渐近线与圆相切，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即b×32a±a×0a2＋b2＝a2，整理得a2＋b2＝3b，即c＝3c2－a2，从而得e2＝98，所以e＝324.14．【202

0届河北省张家口市高三上学期期末教学质量监测数学】已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=,点()0,2,BbO为原点，以OB为直径的圆与圆2222:xyab+=+相交于点,JK.若JKOB=，则

双曲线C的渐近线方程为A．12yx=B．yx=C．2yx=D．3yx=【答案】B【解析】因为点()0,2,BbO为原点，所以以OB为直径的圆：222()xybb+−=，即圆：2220xyby+−=，因为

圆2222:xyab+=+，即圆222:xyc+=，故直线2:2cJKyb=设直线JK与y轴的交点为M，则22cOMb=，因为JKOB=，所以MKb=，在RtOMK中，可得222OMMKOK+=，即22

22()2cbcb+=，解得：1ba=，所以双曲线的渐近线为yx=故选:B．15．【上海市交大附中2019-2020学年高三下学期期中数学】若双曲线2214xym−=的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为_____.【答案】25【解析】由题得20,43,5mmm+==.所以双曲线的虚轴长为25.故

答案为25.【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16．【2020届河南省三门峡市高三上学期第一次大练习】斜率为1的直线l过抛物线()220ypxp=的焦

点F，若l与圆()2258xy−+=相切，则p等于______.【答案】2或18【解析】抛物线()220ypxp=的焦点(,0)2pF,所以直线:2plyx=-因为l与圆()2258xy−+=相切，所以|5|2222

2pp-=\=或18.故答案为：2或18.17．【福建省厦门市湖滨中学2020届高三上学期期中考试数学】若点(1,1)P为圆2260xyx+−=的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为___________.【答案】210xy−−=【解析】因为(1,1)P为圆22

60xyx+−=的弦MN的中点，所以圆心坐标为()3,0，31201MNk−=−=−，MN所在直线方程为()121yx−=−，化简为210xy−−=，故答案为210xy−−=.18．【山西省太原市第五中学2020届高三下学期

6月月考数学】若顶点在原点的抛物线经过三个点()2,1−，()1,2，()4,4中的2个点，则满足要求的抛物线的标准方程有_______________________．【答案】24xy=或24yx=【解析】设抛物线的标准方程为：2xmy=，当

2,1xy=−=时，4m=，此时，24xy=，点()4,4在抛物线上.设抛物线的标准方程为：2nyx=，当1,2xy==时，4n=，此时，24yx=，点()4,4在抛物线上.故答案为24xy=或24yx=.【点睛】本题考查抛物线标准

方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.19．【山东省实验中学2020届高三6月模拟考试数学试题】以抛物线22yx=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______________.【答案】22112xy−+=【解析】抛物线22yx=的焦点为

1,02，准线为12x=−，焦点到准线的距离为1，所以圆的圆心为1,02，半径为1，故圆的标准方程为22112xy−+=.故答案为：22112xy−+=【点睛】本小题主要考查抛物线性质，

考查圆的方程的求法，属于中档题.20．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考（三诊)数学】已知圆C的方程为()()22341xy−+−=，过直线l：350xay+−=（0a）上任意

一点作圆C的切线，若切线长的最小值为15，则直线l的斜率为______.【答案】34−【解析】设切线长最小时直线上对应的点为P，则PCl⊥，又2233454499aaCPaa+−+==++，因为切线长的最小值为15，故()22244151=9aa+++，解得4a=，故直线l的斜率

为34−.故答案为34−.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，此类问题一般转化为圆心到几何对象的距离问题，本题属于基础题.21．【山西省阳泉市2020届高三下学期第二次质量调研数学】已知抛物线C的方程为22(0)xpyp=，其焦点为F，AB为过焦点F的抛物线C的弦，

过A，B分别作抛物线的切线1l，2l，设1l，2l相交于点P．则PAPB=__________．【答案】0【解析】设221221,,,22xxAxBxpp，因为0,2pF，所以设AB的方程为2pykx=+，代入抛物线方程22

xpy=，得2220xpkxp−−=，从而212122,xxpkxxp+==−，由22xpy=，得22xyp=，则xyp=，则12,PAPBxxkkpp==，因此1221PAPBxxkkp==−，即PAPB⊥，所以0PAPB=.【点睛】本题考

查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.22．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】已知抛物线2:8Cxy=的焦点为F，过点(0,2)P−的直线l与抛物线相交于M、N两点，且||||32MFNF+=，若Q是直线l

上的一个动点，(0,3)B，则||||QFQB+的最小值为_______.【答案】17【解析】因为直线l过点(0,2)P−，所以设直线l的方程为2ykx=−，()()1122,,,MxyNxy联立方程组228yxkxy+==，得()2

24840yky+−+=，则21284yyk+=−，根据抛物线的定义可知12||||432MFNFyy+=++=，解得2k=，取2k=（2k=−时所得结果一致），则直线l的方程为22yx=−，设点(0,3)B关于直线l的对称点为()00,Bxy，根据垂直平分性，可列出方程组00003

22312yxyx+=−−=−，0041xy==,即(4,1)B，此时线段FB与直线l的交点即为使得||||QFQB+取得最小值的点，因为()0,2F，所以最小距离为()()22401217FB=

−+−=，故答案为：17.【点睛】本题考查抛物线中的最值问题，考查直线与抛物线相交以及抛物线的定义，考查点关于直线的对称点的求法，考查两点间距离公式，考查计算能力，体现了综合性，是难题.23．【湘赣粤202

0届高三（6月)大联考】设抛物线22yx=的焦点为F，过焦点F作直线MNx⊥轴，交抛物线于M、N两点，再过F点作直线AB使得//ABOM其中O是坐标原点），交抛物线于A、B两点，则三角形ABN的面积是___________.

【答案】54【解析】作图如下：由抛物线方程知：1p=，1,02F，则1,12M，1,12N−，2ABOMkk==，则直线AB的方程为122yx=−，由2212yxyx=−=得：24610xx−+=，设()11

,Axy，()22Bxy，由韦达定理知：1232xx+=.弦AB是焦点弦，1252ABxxp=++=，又点N到直线AB的距离为221115521d+−==+，三角形ABN的面积为1155522254

SABd===.故答案为54.【点睛】本题考查抛物线中的三角形面积的求解问题，涉及到抛物线焦点弦长公式的应用；解题关键是能够通过焦点弦长公式和点到直线距离公式求得三角形的底和高，进而求得结果.24．【河北省承德第一中学2020届高三上学期第三次月考数学】已知抛物线2:2(0)Cypxp=

，点F为抛物线C的焦点，点(1,)(0)Amm在抛物线C上，且2FA=，过点F作斜率为1(2)2kk的直线l与抛物线C交于P，Q两点.（1）求抛物线C的方程；（2）求△APQ面积的取值范围.【解析】（1）点A到准线距离为：12p+，到焦点距离2FA=，所以122p+=，2p

=，24yx=（2）将(1,)(0)Amm代入抛物线，2m=，设直线:(1)lykx=−，设1122(,),(,)PxyQxy，联立方程：24(1)yxykx==−22(1)4kxx−=2222(24)0kxkxk−++=224(24)40kk=+−恒成立，21221224

1kxxkxx++==，连接AF，则2121112(1)2(1)22APQAFPAFQSSSxxxx=+=−+−=−2APQS=2222212121242(24)41()()44(2)4(2)2kxx

xxxxkkk+−=+−=−=+−当2k=时，APQS有最小值为5当12k=时，APQS有最大值为85所以答案为5,85.25．【江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期第三

次月考数学】已知椭圆()212222,01:FFbabyaxE、=+为其左右焦点，21BB、为其上下顶点，四边形2211BFBF的面积为2.点P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆（记为圆P）总经过坐标原点O.（1）求椭圆E的长轴21A

A的最小值，并确定此时椭圆E的方程；（2）对于（1）中确定的椭圆E，若给定圆1F:()3122=++yx，则圆P和圆1F的公共弦MN的长是否为定值？如果是，求MN的值；如果不是，请说明理由.【解析】（1）依题意四边形

2211BFBF的面积为22,2=bcbc，因为长轴21AA22222222=+==bccba，当且仅当1==cb时取“=”，此时2=a，故长轴21AA的最小值为22，椭圆E的方程为.1222=+yx（2）设点()00,yxP为椭圆E上任意一点，则.211220202020x

yyx−==+圆P的方程为：()()022002220202020=−−++=−+−yyxxyxyxyyxx，圆1F的方程为：()022312222=−++=++xyxyx，两式作差得公共弦方程为：()01100=−++yyxx，所以弦心距d()()22221221112

1202002020020200=+++=−+++=+++=xxxxxxyxx，则弦长2322=−=dMN，所以圆1F和动圆P的公共弦长为定值2.26．【四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试】已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别是12F

F，，,AB是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且12PFF△的周长为6，若12PFF△面积的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点2F且斜率不为0的直线交椭圆C于,MN两个不同点，证明：直线AM于BN的交点在一条定直线上.【解析】（1）由题意得222226,123,2,a

cbcabc+===+1,3,2,cba===椭圆C的方程为22143xy+=；（2）由（1）得()2,0A−，()2,0B，()21,0F，设直线MN的方程为1xmy=+，()11,Mxy，()22,Nxy，由221143xmxxy=+

+=，得()2243690mymy++−=，122643myym+=−+，122943yym=−+，()121232myyyy=+，直线AM的方程为()1122yyxx=++，直线BN的方程

为()2222yyxx=−−，()()12122222yyxxxx+=−+−，()()2112212121232322yxmyyyxxyxmyyy+++===−−−，4x=，直线AM与BN的交点在直线4x=上.27．【天津市南开区南开中学2019-2

020学年高三下学期第五次月考数学】已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，以椭圆的顶点为顶点的四边形的面积为42，且该四边形内切圆的半径为223.（1）求椭圆的方程；（2）设AB是过椭圆中心的任意一条弦，直线l是线段AB的垂直平分线，若M是直线l与椭圆的

一个交点，求ABM面积的最小值.【解析】（1）22122422222213abababab====+∴椭圆的标准方程为22:18xCy+=.（2）当AB不在坐标轴上时，设直线AB的方程为：ykx=，设()11,Axy，(

)22,Mxy，2122288881ykxxxyk==+=+，22121124281kABkxk+=+=+，同理：222288kxk=+，221228kOMk+=+，∴()()2222222111114222822818

818ABMkkkSABOMkkkk+++===++++△，∵()()()()()222228189818122kkkkk+++++=+（当且仅当22818kk+=+，即1k=进“=”成立），∴()()2281169912ABMkSk+=+△，当直线l与坐标轴生重合时，易得22ABM

S=△，∵16229，∴当且仅当1k=时，AMB面积的最小值为169.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中三角形面积问题，本题中由于直线是过原点的，因此可设出直线方程后代入椭圆方程求出交点坐标，得出弦长．否则一般用设而不求的思想方法求解．

28．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为12，点A在椭圆E上且位于第一象限，直线1AF与y轴的交点为C，2ACF△的周长为4.（1）

求椭圆E的标准方程；（2）是否存在直线2AF与椭圆的另一个交点为B，使得2235ACFBCFSS=△△，若存在，求出2AF的方程，若不存在，说明理由.【解析】（1）2ACF△的周长为4，故22124||2ACCFAFAFAFa=++=+=，所以2a=.设椭圆的半焦距为c，所以12ca=，可得

1c=，又222bac=−，得23b=.所以椭圆E的标准方程为22143xy+=.（2）由题意得22222222221sin5213sin2ACFBCFCFAFAFCSAFSBFCFBFBFC===△△，所以2253AFFB

=.设()11,Axy，()22,Bxy，所以()()112251,1,3xyxy−−=−，所以1253yy=−①.设直线:1ABmyx=−，联立方程组221431xymyx+==−得()2234690my

my++−=，()22(6)434(9)0mm=−+−恒成立.所以122634myym+=−+②，1229,34yym=−+③，由①②③得33m=.因为点A在第一象限，所以33m=−，所以直线2AF的方程为313yx−=−，即33yx=−+.【点睛】本题考查了

椭圆方程，根据面积关系求直线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.29．【2020届河南省郑州市高三第二次质量预测文科数学试题】已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的短轴长为22，离心率为32．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l平行于直线byxa=，且

与椭圆C交于,AB两个不同的点，若AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．【解析】（1）由题意可得222b=，所以2b=，22312cbeaa==−=，解得22a=，所以椭圆C的标准方程为22182xy+=．（2）由于直线l平行于直线byxa=，即12y

x=，设直线l在y轴上的截距为n，所以l的方程为1(0)2yxnn=+．联立221,2182yxnxy=++=，得222240xnxn++−=，因为直线l与椭圆C交于,AB两个不同的点，所

以()22(2)4240nn=−−，解得22n−．设()11,Axy，()22,Bxy，则122xxn+=−，21224xxn=−．因为AOB为钝角等价于0OAOB，且0n，所以121212121122OAOBxxyyxxxnxn=+=+++()

()22212125524(2)04242nnxxxxnnnn=+++=−+−+，即22n，且0n，所以直线l在y轴上的截距n的取值范围：(2,0)(0,2)−．因为直线l在x轴上的截距2mn=−，所以m的取值范围是：(22,0)(0,22)−．30．【广东省深圳

市高级中学2020届高三下学期5月适应性考试数学】已知椭圆C：22221xyab+=(0ab)的左､右焦点分别为1F､2F，点31,2P满足：122PFPFa+=，且1232PFFS=△.（

1）求椭圆C的标准方程；（2）过点()4,0M的直线l与C交于()11,Axy，()22,Bxy不同的两点，且120yy，问在x轴上是否存在定点N，使得直线NA，NB与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形.若存在，求定点N的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）因为12

2PFPFa+=，所以点P在椭圆C上，将31,2P代入22221xyab+=，得221314ab+=①，设椭圆C焦距为2c，则121332222PFFSc==△，所以3c=，从而223ab−=②，由①②解得24a=，21b=，所以椭圆C的方程

为2214xy+=；（2）显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l：()4ykx=−，联立()224,440,ykxxy=−+−=消去y整理得()222214326440kxkxk+−+−=.由()()

()2222324146440kkk=−−+−，得21012k，则21223214kxxk+=+，212264414kxxk−=+，假设存在点(),0Nt，因为直线NA，NB与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形，所以0NANBkk+=.设(),0Nt，则()()

1212121244NANBkxkxyykkxtxtxtxt−−+=+=+−−−−()()()()1212122480xxtxxtkxtxt−+++==−−，即()()12122480xxtxxt−+++=，所以()2222224321

2888320141414tkkttkkkk+−+−+=+++，化简得：()2221288432832088ktktttk+=+−+=−，解得1t=.故在x轴上存在定点()1,0N，使得直线NA，NB与y轴围成的三角形始终在底边为y轴上的等

腰三角形.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，考查了椭圆中存在性问题的探究，考查了数学运算能力.31．【四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学】已知椭圆C的两个焦点分别为()()121,0,1,0FF−，长轴长为2

3．（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）过点()0,1的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点M满足MAMBMO++=0，求证：由点M构成的曲线L关于直线13y=对称．【解析】（1）由已知，得3,1ac==，所以1333cea===，又222abc=+，所以2b=，所以椭圆C的标准方程为

22132xy+=，离心率33e=.（2）设()11,Axy，()22,Bxy，(),mmMxy，①直线l与x轴垂直时，点,AB的坐标分别为()0,2−，()0,2．因为()0,2mmMAxy=−−−，()0,2mmM

Bxy=−−，()0,0mmMOxy=−−，所以()3,3mmMAMBMCxy++=−−=0uuuruuuruuur．所以0,0mmxy==，即点M与原点重合;②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为

1ykx=+，由221321xyykx+==+得()2232630kxkx++−=，()22236123272240kkk=++=+．所以122632kxxk−+=+，则1224032yyk+=+，因为()11

,mmMAxxyy=−−，()22,mmMBxxyy=−−，(),mmMOxy=−−，所以()121203,03mmMAMBMOxxxyyy++=++−++−=0uuuruuuruuur．所以123mxxx+=，123myyy+=．22

32mkxk−=+，243032myk=+，消去k，得()2223200mmmmxyyy+−=．综上，点M构成的曲线L的方程为222320xyy+−=.对于曲线L的任意一点(),Mxy，它关于直线13y=的对称点为

2,3Mxy−．把2,3Mxy−的坐标代入曲线L的方程的左端：2222222244232243223203333xyyxyyyxyy+−−−=+−+−+=+−=

．所以点M也在曲线L上．所以由点M构成的曲线L关于直线13y=对称.32．【广西南宁市第三中学2019-2020学年高三期末大联考】在平面直角坐标系xOy中,点(),Mxy满足方程()2211xyy+−=+.（1）求点M的轨迹C的方程；（

2）作曲线C关于x轴对称的曲线,记为'C,在曲线C上任取一点()00,Pxy,过点P作曲线C的切线l,若切线l与曲线'C交于A,B两点,过点A,B分别作曲线'C的切线1l,2l,证明：1l,2l的交点必在曲线C上.【解析】（1）由22(1)|1|xyy+−=+,两边平

方并化简()222(1)1xyy+−=+,得24xy=,即214yx=,所以点M的轨迹C的方程为214yx=.（2）依题可设点()00,Pxy,12yx=,曲线C切于点P的切线l的斜率为012x,切

线l的方程为0001()2yyxxx−=−,整理得2001124yxxx=−依题可知曲线2:421,1Cyxyx=−=−,联立方程组2002112414yxxxyx=−=−220020xxxx+−=,,设2111,4Axx−,2221,4Bxx−

,所以1202xxx+=−,2120xxx=−.（*）设曲线C上点2111,4Axx−处的切线斜率为112x−,切线方程为211111()42yxxxx+=−−,整理得2111124yxxx=−+,同理可得曲线C上点2221,4Bxx−处的切线方

程为2221124yxxx=−+,联立方程组21122211241124yxxxyxxx=−+=−+,121224xxxxxy+==−,又由（*）式得1202012244xxxxxxxy+==−=−=,则1l,2l

的交点坐标为200,4xx−,满足曲线C的方程214yx=.即1l,2l的交点必在曲线C上.【点睛】本题考查化简曲线方程,考查直线与圆锥曲线的关系,涉及相交利用韦达定理灵活应用,同时也考查了利用导数的几何意义求解切线

的问题,属于难题.