【文档说明】四川省泸州市泸县第四中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(15)页，696.132 KB，由小赞的店铺上传

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泸县四中高2021级高一下学期期中考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.第I卷客观题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin18cos27cos18sin27+的值是（）A.

22B.12C.32D.22−【答案】A【解析】【分析】根据式子特点，逆用两角和的正弦公式，即可计算出．【详解】解：()sin18cos27cos18sin27sin1827=si2=2n45=++.故选：A2.在ABC中，60,3,2C=AB=BC=，

那么A等于A.135B.105C.45D.75【答案】C【解析】【详解】分析：由C的度数求出sinC的值，再由c和a的值，利用正弦定理求出sinA的值，由c大于a，根据大边对大角，得到C大于A，得到A的范围，利用特殊角的三角函数值

即可求出A的度数.详解：60,3,2CABcBCa=====，由正弦定理sinsincaCA=，的得32sin22sin23aCAc===，又ac，得到60AC=，则45A=o，故选C.点睛：本题主要考查

正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3

）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.3.正方形数列1,4,9,16,25,的一个通项公式是（）A.2nn1−+B.1(1)2nn+C.2nD.1(2)3nn+【答案】C【解析】【分析】根据数列的前几项归纳出数列的一个通项公式；【详解】解：依题意2111a==，2242a

==，2393a==，……，即可归纳出数列的一个通项公式为2nan=；故选：C4.设(4,2),(6,)aby==，且//ab，则y=（）A.3B.12C.-12D.-3【答案】A【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】解：因为(4,2),(6,)aby

==，且//ab，所以426y=，解得3y=；故选：A5.设ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若coscossinbCcBaA+=，则ABC的形状为（）A.锐角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】【分析】由正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可求得s

inA，由此得到2A=，进而得到ABC的形状.【详解】由正弦定理得：2sincossincossinBCCBA+=，即()()2sinsinsinsinBCAAA+=−==，又()0,A，sin0A，sin1A

=，2A=，ABC为直角三角形.故选：C.6.在等比数列na中，3456783,24aaaaaa==，则91011aaa的值为（）A.48B.72C.144D.192【答案】D【解析】【分析】由等比

数列的性质求解【详解】数列na是等比数列，则334543aaaa==，3678724aaaa==，而3310733748aaaa==，故39101110248192aaaa===．故选：D7.若ABC的对边分别为,,abc，且1a=，45B=,2ABCS=,则b=A.5B.25

C.41D.52【答案】A【解析】【详解】在ABC中，1a=，045B=，可得114522ABCScsin==，解得42c=．由余弦定理可得：()222222142214252bacaccosB=+−=+−=．8.在ABC中，若tantantantan1

ABAB=++，则cosC的值是（）A.22−B.22C.12D.12−【答案】B【解析】【分析】由两角和的正切公式求出tan()1AB+=−，再根据三角形内角和定理及诱导公式求出4C=，从而得解；【详解】解：由tantantantan1ABAB=++，得tantan(1tanta

n)ABAB+=−−，∴tantantan()11tantanABABAB++==−−，∵tan()tanABC+=−.∴tan1C=.又0C，∴2,coscos442CC===.故选：B.【点睛】本题考查两角

和的正切公式及诱导公式的应用，属于基础题.9.某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利

率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是A.amB.11(1)(1)1mmappp++++−C.1(1)1mmappp++−D.(1)(1)1mmappp++−【答案】D【解析】【分析】根据题意建立方程()()()()21

1111mmapxxpxpxp−+=+++++++，再结合等比数列求和公式，即可求出x的值.【详解】设每年偿还的金额为x，则()()()()211111mmapxxpxpxp−+=+++++++，所以()()()11111mm

papxp−++=−+，解得()()111mmappxp+=+−故选D.【点睛】主要考查了等比数列求和，方程的求解，以及数学应用能力，属于中档题.这类型题的关键在于结合生活实际，读懂题意，合理地转化为数学问题

，再进行求解.10.已知1tan42+=，且02−，则2sin22sin+等于A255−B.25−C.25D.255【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件求得tan的值，然后求得sin,cos的值，由此求得题目所求表达式的值.【详

解】依题意π1tan11tan,tan41tan23++===−−，由22sin1cos3sincos1=−+=及02−，解得13sin,cos1010=−=，故2sin22sin+=222sincos2sin5

+=−，故选B.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于基础题.11.设函数()()()()221122xaxxfxx−=−是R上的单调递减函数，则实

数a的取值范围为（）A.(),2−B.13,8−C.()0,2D.13,28【答案】B【解析】【分析】根据()fx在R上的单调递减，所以分段函数的两段都是各自定义域内的减函数，即20a−，且()211

222a−−，即可求解.【详解】因为()fx在R上的单调递减，所以()22011222aa−−−，即2138aa，.所以实数a的取值范围为13,8−，故选：B【点睛】本题主要

考查了分段函数的单调性，求参数的取值范围，属于中档题.12.已知1sin()sin()25−+−=，且(0,)，则tan()4+=（）A.17−B.17C.7D.7−【答案】A【解析】【分析】由题意化简得1sincos

5+=，平方求得242sincos25=−，进而求得7sincos5−=，联立方程组，求得sin,cos，得到4tan3=−，结合两角和的正切公式，即可求解.【详解】由1sin()sin()25−+−=，可得1sincos5+=，两边平方得112s

incos25+=，可得242sincos025=−，因为(0,)，所以sin0,cos0，所以sincos0−，所以22449(sincos)1()2525−=−−=，所以7sincos5−=，联立方程组，可

得43sin,cos55==−，所以sintans43co==−，所以41tantan134tan()4471tantan143−++===−−+−.故选：A.第II卷主观题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等差数列na中，已知48

16aa+=，则该数列前11项和11S=______．【答案】88.【解析】【分析】利用等差数列的性质以及前n项和公式即可求解.【详解】因为na等差数列，所以()()11148111111111688222aaaaS++====，故答案为：88.14.在ABC中

，若a，b，c成等差数列，30B=，ABC的面积为32，则b=________.【答案】31b=+【解析】【分析】根据三角形面积公式可知ac的值，然后结合余弦定理表示出b的边，然后结合由,,abc成等差数列知2acb+=，而6ac=可知解得b的值．【详解】∵

abc、、成等差数列，∴2bac=+，∴22242bacac=++,①∵13sin22SacB==，∴6ac=②∵2222cos,bacacB=+−③由①②③得2423,31bb=+=+.故答案为：31b=

+.15.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于______.是【答案】()12031m−【解析】【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得

答案．【详解】由图可知，15DAB=∠()tan45tan30tan15=tan4530==231+tan45tan30−−−∵在RtADB中，60AD=()DB=ADtan15=6023=120603−−∵在RtADC

中，60=60DAC=,AD∠tan60603DC=AD?=∴()()()603120603=12031BC=DCDB=m−−−−∴河流的宽度BC等于()12031m−故答案为：()12031m−.【点睛】本题给出实际

应用问题，求河流在B,C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．16.ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且3ADCD=，27BD=，则CD=______；sinABD=______.【答案】①.2②.321

14【解析】【分析】由3ADCD=可得2ACCD=，在BCD△中利用余弦定理可求得CD的长，在ABD△中，利用正弦定理可求得sinABD的值.【详解】如图所示，等边ABC中，3ADCD=，所以2ACCD=

.又27BD=，所以2222cosBDBCCDBCCDBCD=+−，即()()22227222cos120CDCDCDCD+−=o，解得2CD=，所以6AD=；由sinsinADBDABDA=，即627sinsin60ABD=o，解得321sin14ABD=.故答案为：

2；32114.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数23()3cossincos2fxxxx=++(1)求()fx最小正周期；(2)求(

)fx在区间,64−上的最大值和最小值．的【答案】（1）；（2）最大值为13+,最小值为3．【解析】【详解】(1)3(cos21)13sin2222xx+=++sin(2)33x=++，（2）因为，所以，当时，即时，的最大值为13+，当时，即时，的最小值为3.

18.已知向量(1,2)a=，向量(3,2)b=−（1）当k为可值时，kab+与3ab−垂直；（2）求a向量在b向量上的投影【答案】（1）19k=（2）1010【解析】【分析】（1）利用向量坐标的运算法则求出kab+与3ab−，根据垂直得到方程可求出k；（2）利用向量的投影公式进行求

解.【小问1详解】(1,2)(3,2)(3,22)kabkkk=+−=−++，(1,2)3(3,2)3(10,4)ab=−−=−−，因为()(3)kabab+⊥−，所以10(3)4(22)2380kkk−−+=−=，解得：19k=【小问2详解】∵10b=

，341ab=−+=∴a在b上的投影1010abb==.19.已知4311sin,cos()714=+=−且,均锐角.（I）求sin(2)+；()II求.【答案】（Ⅰ）39398−（Ⅱ

）3=【解析】【分析】（1）利用同角的三角函数基本关系式算出cos、()sin+的值，再用两角和的正弦公式计算()sin2+即可.（2）因=+−，故可以利用两角差的正弦公式求sin.【详解】（Ⅰ）,0,2

，43sin7=，21cos1sin7=−=.又,均为锐角，()0,+，()()253sin1cos14+=−+=，()()()()sin2sinsincoscossin+=++=+++431115339371

471498=−+=−.（Ⅱ）()()()sinsinsincoscossin=+−=+−+53111434933147147982=+==又02（，），3=.【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异

、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则为是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.20.已知①3342abb=+；②23S=；③4322aaa=

+，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.设正项等比数列na的前n项和为nS，数列nb的前n项和为nT，，12ab=，对nN+都有212nTnbn=+成立.（1）求数列na、nb的通项公式；（2）求数列nnab的前n项和nH.【答案】（1）12nn

a−=，23nbn=−；（2）()2525nnHn=−+.【解析】【分析】（1）由1nnnbTT−=−，得23nbn=−，从而求出121ab==；选①有2314qaa==则2q=，选②21213Saaq=+=+=，2q=，选③由4322aaa=+得220qq−−=，2q=，从而求得数列na的

通项公式；（2）由（1）得1(23)2nnnabn−=−，结合错位相减法即可求得结果．【详解】解：（1）1n=时，11112Tbb=+=，11b=−2n时，221(2)(1)2(1)23nnnbTTnnnnn−=−=−−−−−=−，又11b=−符合上式，

23nbn=−，121ab==因为na为正项等比数列，0q.选①33428abb=+=，2314qaa==，2q=或2q=−（舍）12nna-=选②21213Saaq=+=+=，2q=，12nna-=选③由4322aaa=+得220qq−−=，2q=或1q=−（舍），12nna-=（2）

1(23)2nnnabn−=−0121121232(23)2nnHn−=−++++−①12121212(25)2(23)2nnnHnn−=−+++−+−②①-②得：()()()121122222325225nnnnHnn−−=−++++−−=−−()2525n

nHn=−+．21.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC−=−．（1）求A；（2）若22abc+=，求sinC．【答案】（1）3A=；（2）62sin4C+=.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b

cabc+−=，从而可整理出cosA，根据()0,A可求得结果；（2）利用正弦定理可得2sinsin2sinABC+=，利用()sinsinBAC=+、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【详解】（1）(

)2222sinsinsin2sinsinsinsinsinsinBCBBCCABC−=−+=−即：222sinsinsinsinsinBCABC+−=由正弦定理可得：222bcabc+−=2221cos22bcaAbc+−==()0,A3A=（2）22ab

c+=，由正弦定理得：2sinsin2sinABC+=又()sinsinsincoscossinBACACAC=+=+，3A=3312cossin2sin222CCC++=整理可得：3sin63cosCC−=22sincos1CC+=()()223sin631s

inCC−=−解得：62sin4C+=或624−因为6sin2sin2sin2sin02BCAC=−=−所以6sin4C，故62sin4C+=.（2）法二：22abc+=，由正弦定理得：2sinsin2sinABC+=又()sinsin

sincoscossinBACACAC=+=+，3A=3312cossin2sin222CCC++=整理可得：3sin63cosCC−=，即3sin3cos23sin66CCC−=−=

2sin62C−=由2(0,),(,)3662CC−−，所以,6446CC−==+62sinsin()464C+=+=.【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦

公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.22.等差数列{}na的前n项和为16,5,0nSaS=−=；数列{}nb中，23b=，且满足*130(N)nnbbn+−

=．（1）求{},{}nnab的通项；（2）求数列nnab+的前n项和nT．【答案】（1）27nan=−，13nnb−=（2）23162nnTnn−=−+【解析】【分析】（1）设等差数列{}na的公差为d，由已知结合等差数列的前n项和公式求出d即可求数列{}na的通项，由等比

数列的定义判断数列{}nb为公比3q=的等比数列，从而即可求数列{}nb的通项；（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解.【小问1详解】解：设等差数列{}na的公差为d，又15a=−，∴6161530150Sadd+=−+==，∴2d=，∴1(1

)52(1)27naandnn=+−=−+−=−，又∵130nnbb+−=，即13nnbb+=，∴{}nb为公比3q=的等比数列，∴2212333nnnnbbq−−−===；【小问2详解】解：∵等差

数列{}na的前n项和21()(527)622nnnaannSnn+−+−===−，等比数列{}nb的前n项和为1331132nnnS−−==−，∴数列nnab+的前n项和23162nnnnTSSnn−=+=−+.