【文档说明】辽宁省沈阳市第一二O中学2022-2023学年高三上学期期末 数学 答案.docx，共(27)页，2.365 MB，由小赞的店铺上传

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沈阳市第120中学2022-2023学年度上学期高三期末数学试题满分：150分时间：120分钟命题人：刘洋审题人：钱淑娟一、单选题（8个小题，每个小题5分，共40分，每道题只有一个选项正确）1.已知集合

|1Axx=，2|log1Bxx=，则（）A.|1ABxx=B.AB=RC.|1ABxx=UD.|01ABxx=【答案】D【解析】【分析】求出集合B后再逐项计算，从而可得正确的选项.【详解】集合|1Axx=

，2|log12|0Bxxxx==，|01ABxx=，故A错误，D正确；|2ABxx=，故B，C错误．故选：D．2.若11iz=+，21(2i)zz=+，1z是1z共轭复数，则2z=（）A.2B.2C.10D.10【答案】

C【解析】【分析】根据共轭复数的概念写出1z，然后，求出2z，进而求出2z的模长2z.【详解】21(2i)(1i)(2i)3izz=+=−+=−，所以，2223(1)10z=+−=故选：C3.若圆锥的母线长为23，侧面展开图的面积

为6，则该圆锥的体积是（）A.3B.3C.33D.9【答案】B【解析】【分析】根据圆锥侧面积和体积公式求解即可.【详解】设圆锥的高为h，底面半径为r，则122362r=，解得3r=.的所以()()222333h=−=.则圆锥的体积13333V==.故选

：B4.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为()()0,1,01kxbPfxPaka+=+的形式．已知()

()613kxbfxx+=+N描述的是一种果树的高度随着栽种时间x（单位：年）变化的规律，若刚栽种（x＝0）时该果树的高为1.5m，经过2年，该果树的高为4.5m，则该果树的高度不低于5.4m，至少需要（）A.3年B.4年C.5年D.6年【答案】A【解析】【分析】根据函数模型解析式，代入

值得到方程组261.51364.513bkb+=+=+，解出,kb，则得到函数解析式，代入()3f或列不等式均可.【详解】由题意可得,(0)1.5(2)4.5ff==,则261.51

364.513bkb+=+=+,解得1,1bk==−,所以16()13xfx−+=+,Nx，由函数的解析式可得,()fx在[0,)+上单调递增,且26(3)5.413f−==+,故该果树的高度不低于5.4m,至少需要3年

.故选：A.5.若函数()()sinsin3cosfxxxx=−的图象向左平移12个单位，得到函数()gx的图象，则下列关于()gx叙述正确的是（）A.()gx的最小正周期为2B.()gx在3,22−

内单调递增的C.()gx的图象关于12x=对称D.()gx的图象关于,02−对称【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简()fx为标准型，结合函数图象变换求得()gx，再根据三角函数的性质，对每个选项进行逐

一分析，即可判断和选择.【详解】()()sinsin3cosfxxxx=−()1311cos2sin2sin22262xxx=−−=−++，将其图象向左平移12个单位得到()11sin2sin21262

32gxxx=−+++=−++的图象；对A：()gx的最小正周期22T==，故A错误；对B：当x3,22−时，2102,333x+−，此时()gx不是单调函数，故B错

误；对C：11sin12222g=−+=−为函数最小值，故12x=是()gx的对称轴，C正确；对D：310222g−=+，故,02−不是()gx的对称中心，D错误.故选：C.6.

如图所示，梯形ABCD中，//ABCD，且2222ABADCDCB====，点P在线段BC上运动，若APxAByAD=+，则22xy+的最小值为（）A.54B.45C.1316D.134【答案】B【解析】【分析】利用坐标法，设(),01BPBC=，可得1122223322x

yy−+==，进而可得2222112xy=−++，然后利用二次函数的性质即得.【详解】如图建立平面直角坐标系，则()()33130,0,2,0,,,,2222ABCD，∴()13132,0,,,,2222ABADBC

===−，设(),01BPBC=，13,22BPBC==−，∴132,22APABBP−=+=，又()13132,0,2,2222xAPxAByxyy

yAD=+=+=+，∴1122223322xyy−+==，解得112,yx=−=，∴22222255211244144555xy++=−+=−+=−，即22

xy+的最小值为45.故选：B.7.设抛物线2:8Eyx=的焦点为F，过点(4,0)M的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，||3BF=，则BCF△与ACF△的面积之比BCFACFSS=

（）A.14B.15C.16D.17【答案】C【解析】【分析】根据抛物线焦半径公式得到B点横坐标，进而利用抛物线方程求出B点纵坐标，直线AB的方程，求出C点坐标，联立直线与抛物线，求出A点纵坐标，利用

21BCFCACFCSyyBCSACyy−==−求出答案.【详解】如图，过点B作BD垂直准线2x=−于点D，则由抛物线定义可知：||||3BFBD==，设直线AB为4xmy=+，()11,Axy，()22,Bxy，()2,CCy−，不妨设0m，则120,0yy，所以223x+=，解得

：21x=，则22288yx==，解得：222y=−，则()1,22B−，所以2241m−+=，解得：324m=，则直线AB为3244xy=+，所以当2x=−时，即32424y+=−，解得：42Cy=−，则()2,42C−−，联立4xmy=+与28yx=得：28320ymy−−=

，则1232yy=−，所以182y=，其中212216122BCFCACFCSyyBCSACyy−====−.故选：C8.下列不等式正确是（其中e2.718为自然对数的底数，π3.14，ln20.69）（）A.π323eπ−B.42eln2

3C.cos1e2ecos21+D.2sin1π【答案】C【解析】【分析】分别构造函数，利用导数求单调性即可求解.【详解】对于A，由π32π3π3eππ2ln23lnπ32ln3−−−−，考虑函数(

)2lnfxxx=−，2x，因为2()0xfxx−=，所以()fx在(2,)+上为增函数，所以(π)(3)ff，π2lnπ32ln3−−，即π323eπ−，故A错误；对于B，由()()33322eln22

42eln22eln23，考虑函数()elngxxx=−，ex，因为e()0xgxx−=，所以()gx在(e,)+上为增函数，所以()(e)0gxg=，所以elnxx在(e,)+上恒成立，因为()32222.8e=，所以()()332eln2，即3

22eln22成立，的所以42eln23，故B错误；对于C，由1cos1cos1cos122eeee2e4ecos211cos21cos124++，考虑函数2e()xhxx=，01x，因为3(2)e()0xxhxx−=，所以()hx在(0,1)上为减函数，因为1π10co

scos123=，所以1cos122ee4e1cos14=，cos1e4ecos212+，所以cos1e2ecos21+，故C正确；对于D，显然π22sin1sin452=，所以2sin1π，故D错误．故选：C二、多选题（4道小题，每道小题5分，共20分，漏选得2分，选错不得分

）9.已知,AB是两个随机事件，0()1PA，下列命题正确的是（）A.若,AB相互独立，()()PBAPB=B.若事件AB，则()1PBA=C.若,AB是对立事件，则()1PBA=D.若,AB是互斥事件，则()0PBA=【答案】ABD【解析】

【分析】利用条件概率、相互独立事件判断A；利用条件概率的定义判断B；利用条件概率及对立、互斥事件的意义判断C，D作答.【详解】对于A，随机事件,AB相互独立，则()()()PABPAPB=，()(|)()()PABPBAPBPA==，A正确；对于B，事件AB，()(

)PABPA=，()(|)1()PABPBAPA==，B正确；对于C，因,AB是对立事件，则()0PAB=，()(|)0()PABPBAPA==，C不正确；对于D，因,AB是互斥事件，则()0PAB=，()(|)0()PABPBAPA==，D正确.故选：ABD10.已知函数()(

)231,243,xxafxxxxa−=−+（）A.当1a=时，()fx的最小值为2−B.当1a=时，()fx的单调递增区间为(),1−，)2,+C.若()fx在()2,4上单调递增，则a的取值范围是(,2−D.若()fx恰有两个零点，则a的取值范围是((,01,3−

【答案】ABD【解析】【分析】根据分段函数单调性、最值、图象性质、零点逐项判断即可.【详解】解：当1a=时，()()231,1243,1xxfxxxx−=−+，则当1x时，函数()31xfx=−在(),1−上单调递增，则()()1,2fx−，当1x时

，()()()22243222fxxxx=−+=−−，则函数()fx在1,2上单调递减，在)2,+上单调递增，所以()()min22fxf==−，综上，当1a=时，()fx的最小值为2−，()fx的单调递增

区间为(),1−，)2,+，故A正确，B正确；在同一坐标系中画出函数31xy=−与函数()2243yxx=−+的图象，如下图根据图象可知，要使()fx在()2,4上单调递增，则a的取值范围是(,2−或)4,+，故C不正确；根据上述图象可知，31xy=−有一个零点0，()2243yxx

=−+有两个零点1和3，所以当(,0a−时，函数()()231,243,xxafxxxxa−=−+在(),a−上没有零点，在),a+上有两个零点1和3；当(0,1a时，函数()()231,243,xxafxxxxa−=−+在(),a−

上有一个零点0，在),a+上有两个零点1和3；当(1,3a时，函数()()231,243,xxafxxxxa−=−+在(),a−上有一个零点0，在),a+上有一个零点3；当()3,

a+时，函数()()231,243,xxafxxxxa−=−+在(),a−上有一个零点0，在),a+没有零点；综上，()fx恰有两个零点，则a的取值范围是((,01,3−

，故D正确.故选：ABD11.已知圆C：222220xykxyk+−−−=，则下列命题是真命题的是（）A.若圆C关于直线ykx=对称，则1k=B.存在直线与所有的圆都相切C.当1k=时，(),Pxy为圆

C上任意一点，则3yx+的最大值为53+D.当1k=时，直线:220,lxyM++=为直线l上的动点，过点M作圆C的切线,MAMB，切点为A，B，则CMAB最小值为4【答案】BCD【解析】【分析】根

据圆C关于直线ykx=对称，得k得值，检验半径是否大于零，即可判断A；根据直线与圆相切的充要条件判断B；根据直线与圆的位置关系确定3yx+的最值即可判断C；根据直线与圆相切的切线长与切点弦关系可判断D.【详解】解：圆C：222220xykxyk+−−−=，整理得：.()()()2221

1xkyk−+−=+，所以圆心(),1Ck，半径10rk=+，则1k−对于A，若圆C关于直线ykx=对称，则直线过圆心，所以21k=，得1k=，又1k=−时，0r=，方程不能表示圆，故A是假命题；对于B，对于圆C，圆心为(),1Ck

，半径10rk=+，则1k−，当直线为=1x−时，圆心到直线的距离(1)1dkkr=−−=+=，故存在直线=1x−，使得与所有的圆相切，故B是真命题；对于C，当1k=时，圆的方程为()()22114xy−+−=，圆心为()1,1C，半径2r=由于(),Pxy为圆C上任意一

点，设3yxm+=，则式子可表示直线3yxm=−+，此时m表示直线的纵截距，故当直线与圆相切时，可确定m的取值范围,于是圆心()1,1C到直线3yxm=−+的距离()2231213mdr+−===+，解得33m

=−或53m=+，则3335m−+，所以3yx+的最大值为53+，故C为真命题；对于D，圆的方程为()()22114xy−+−=，圆心为()1,1C，半径2r=，如图，连接,ACBC，因为直线,MAMB与圆C相切，所以,MAACMBBC⊥⊥，且可得MAMB=，又2ACBCr===，所以M

CAB⊥，且MC平分AB，所以112222MACMBCASCMABSMAAC===四边形，则22222244CMABMAACCMrCM==−=−，则CMAB最小值即CM的最小值，即圆心()1,1C到直线:220lxy++=的距离min22212521dCM++===+，

所以CMAB的最小值为4，故D为真命题.故选：BCD.12.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体

的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是()8π3−B.勒洛四面体ABCD内切球的半径是

46−C.勒洛四面体的截面面积的最大值为2π23−D.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为622−【答案】CD【解析】【分析】对A选项结合勒洛三角形得到其截面图，利用扇形面积和三角形面积公式即可得到答案，而A选项的截面积

为C选项的最大截面积，对B选项需要利用正四面体的高以及外接球半径与棱长的关系，得到外接球半径为62，再根据图形得到勒洛四面体的内切球半径，而此半径即为该勒洛四面体的能够容纳的最大球的半径，即可判断D选项.【详解】对于A，()2221π33322322π232344

ABCABCABCSSSS=−+=−+=−截扇形故A错误，截面示意图如下：对于B，由对称性知,勒洛四面体ABCD内切球球心是正四面体ABCD的内切球、外接球球心O,如图：正BCD△外接圆

半径12232cos3033OB==,正四面体ABCD的高2211263AOABOB=−=,令正四面体ABCD的外接球半径为R,在1RtBOO中,222262333RR=−+，解得62R=,此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：图

中取正四面体ABCD中心为O,连接BO交平面ACD于点E，交曲面ACD于点F，其中BO即为正四面体外接球半径62R=，因为点ACDF均在以点B为球心的球面上，所以2BFAB==，设勒洛四面体内切球半径为r，则由图得622rOFBFBOABBO==−=−=−，

故B错误；对于C，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，由对A的分析知()max223S=−截，故C正确；对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切,即为勒洛四面体内切球,所以勒洛四面体ABCD能够

容纳的最大球的半径为622−，故D正确.故选：CD．【点睛】本题实际上是勒洛三角形在三维层面的推广，对计算能力，空间想象能力要求高，记住正四面体的高，内切球半径，外接球半径与棱长关系的二级结论将会加快对本题的求解.三、填空题（共20分）13.已知5233axx+的展开式中所

有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为______.【答案】270【解析】【分析】首先利用赋值法求出所有项的系数和，建立方程求出参数a，然后利用二项展开式的通项求常数项即可.【详解】令1x=，5233axx+的展开式中所有项的系数之和为()5332a+=，所以32a+=，

解得1a=−，所以展开式的通项()()52510515531331rrrrrrrrTCxCxx−−−+=−=−，令1050r−=，得2r=，所以常数项为()2233531270TC=−=.故答案为：270.【点睛】对形如()(),naxbab

R+的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x=即可；对形如()(),naxbyabR+的式子求其展开式中各项系数之和，只需令1xy==即可.14.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都

未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有________种不同的情况.（用数字作答）【答案】54【解析】【分析】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三

名同学在三个位置上全排列，由分步乘法计数原理即可求解.【详解】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3种情况，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，其他三名同学排在三位置全排列有33A种，由分步乘法计数原理可知共有3333A54=种

，故答案为：54.15.已知双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，过原点的直线l与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A、B，1260FAF=，四边形12AFBF的周长p与面积S满足212839pS=，则该双曲线的离心率为______

．【答案】72【解析】【分析】由双曲线的定义及三角形周长为p,可得1||4pAFa=+，2||4pAFa=−，再由12||||sin60SFAFA=及212839pS=可得2264pa=，在1AFF中利用余弦定理可建立,,acp关系

式，再由2264pa=消去p即可得出离心率.【详解】由题知，12||||2AFAFa−=，四边形12AFBF的是平行四边形，12||||2pAFAF+=，联立解得，1||4pAFa=+，2||4pAFa=−，126

0FAF=，221233||||sin60()()()244216ppSpAFAFaaa=+−=−=，又212839pS=，222)9321283(16pap=−，即2264pa=.由余弦定理可得222(22))()()()cos6044(44ppppaaaca++−−+=−

，化简得2222224334716pcaaaa=+=+=，227742cea===.故答案为：7216.设nS为数列{}na的前n项和，1(1),,2nnnnSanN=−−则（1）3a=_____；（2）12100SSS+++=___________．【答案】116−；100

11(1)32−.【解析】【详解】（1）令1n=，114a=−；443311,,168SaSa=−=−−两式对减得到3116=−a；（2）由1(1),,2nnnnSanN=−−可得1(1(1),,)

22nnnnnSnNnSS−=−−−当n为偶数时，可得222121,2kkkkSSS−=−−整理得2121,2kkS−−=当n为奇数时，可得21212211(,2)kkkkSSS+++−=−−整理得2212122211112022

22kkkkkSS++++=−++==，所以501210013991001114411(1)13214SSSSSS−−+++=+++==−−.四、解答题17.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，

c，且2cos2bCac=+．（1）求角B的大小；（2）若23b=，D为AC边上的一点，1BD=，且______，求ABC的面积．①BD是B的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线

上并作答）．【答案】（1）2π3B=（2）3【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简2cos2bCac=+，再根据三角形中角的范围可求得2π3B=；（2）若选①：利用三角形面积关系和余弦定理求得4ac=，然后根据面积公式即可；若选②：根

据中点的向量关系式并同时平方，结合余弦定理求得4ac=，然后根据面积公式即可.【小问1详解】由正弦定理知：2sincos2sinsinBCAC=+又：()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+代入上式可得：2cossinsin0BCC+=()

0,πC，则sin0C故有：1cos2B=−又()0,πB，则2π3B=故B的大小为：2π3【小问2详解】若选①：由BD平分ABC得：ABCABDBCDSSS=+△△△则有：12π1π1πsin1sin1sin232323acca=+，即acac=+在

ABC中，由余弦定理可得：2222π2cos3bacac=+−又23b=，则有：2212acac++=联立2212acacacac=+++=可得：()−−=2120acac解得：4ac=（3ac=−舍去）故12π13sin432322ABCSac===△若选②：可得：12B

DBABC→→→=+，222211244BDBABCBABABCBC→→→→→→→=+=++2212π12cos43caca=++，可得：224acac+−=在ABC中，由余弦定理可得：2222π2cos3bacac=+−，

即2212acac++=联立2222412acacacac+−=++=解得：4ac=故12π13sin432322ABCSac===△18.设各项非负的数列na的前n项和为nS，已知212nnSan+=−*()nN，且235,,aaa成等比数列.（1）求

na的通项公式；（2）若12nnnaab+=，数列{}nb的前n项和nT.【答案】（1）1nan=−（2）1242nnnT−+=−【解析】【分析】（1）利用1(2)nnnaSSn−=−得出{}na的递推关系，从而得

数列从第2项起为等差数列，结合等比数列的性质可求得2a，这样可得通项公式(2)nan，然后由已知式中令1n=求得1a，比较后可得结论；（2）用错位相减法求和．【小问1详解】当1n=时，21221aa=−，

当2n时，212nnSan+=−①，212(1)nnSan−=−−②.①-②得22121nnnaaa+=−−，即()2221211nnnnaaaa+=++=+，∵0na，∴11nnaa+=+，∴数列na从第2项起是公差为1的等差数列.∴22(2)naann=+−，又2a，3a，5a成

等比数列，∴2325aaa=，即()()222213aaa+=+，解得21a=，∴121(2)nannn=+−=−，∵21221aa=−，∴10a=，适合上式，∴数列na的通项公式为1nan=−.【

小问2详解】12nnnb−=，∴数列nb的前n项的和为01221123122222nnnnnT−−−=+++++③123111231222222nnnnnT−−=+++++④③-④得211111122222nnnnT−=++++−111122221222212nnnnnnnn−−+

=−=−−=−−，∴1242nnnT−+=−.19.如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD为矩形，24ABBC==，E为CD的中点，且△VBC为等边三角形．（1）若VB⊥AE，求证：AE⊥VE；（2）若二面

角A－BC－V的大小为30，求直线AV与平面VCD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）4214【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再证明线线垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求直线AV与平面VCD所成角的正弦值．【小问1详解】因为E为CD的中点，所以2ADD

E==，所以△ADE为等腰直角三角形，所以45AED=．同理，45BEC=o．所以AE⊥BE．又因为VB⊥AE，且VBBEB=，VB面VBE，BE面VBE，所以AE⊥面VBE．因为VE面VBE，所以AE⊥VE．【小问2详解】取BC中点O，AD中点G、连接OG，VO，则O

G⊥BC．又△VBC为等边三角形，所以VO⊥BC，所以∠GOV为二面角A－BC－V的平面角．所以30GOV=以OB，GO方向分别作为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz．于是A（1，－4，0），C（－1，0，0），D（－1，－4，

0），330,,22V−，()0,4,0DC=，331,,22CV=−，531,,22AV=−．令(),,nxyz=为平面VCD的一个法向量，则00nDCnCV==，即4033022yxyz=−+=，令z＝2，得()3,0,

2n=−．设直线AV与平面VCD所成的角为，则sincos,AVn=23421478nAVAVn===，故直线AV与平面VCD所成角的正弦值为4214．20.北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学

生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：（1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超

过30人的概率；（2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X为选出“基地学校”的个数，求X的分布列和数学期望；（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对

“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概

率均为23，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？【答案】（1）25（2）分布列见解析，数学期望：65（3）至少要进行11轮

测试【解析】【分析】(1)根据已知条件结合条件概率的概率公式求解；(2)X的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，从而可求得X的分布列和数学期望；(3)根据题意，结合二项分布的概率公式求解【小

问1详解】由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且

“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B，则()26210C1C3PA==，()24210C2C15PAB==，所以，

()()()25PABPBAPA==.【小问2详解】参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，X的所有可能取值为0,1,2,3，所以()0346310CC2010C1206PX====，()1246310CC6011C1202PX====，()

2146310CC3632C12010PX====，()3046310CC413C12030PX====，所以X的分布列如下表：X0123P1612310130所以()131623210305EX=++=【小问3详解】记“甲同学在一轮测试中获得

“优秀””为事件C，则23233322220C1C33327P=−+=，由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布20,27Bn，由题意列式20827n，得545n，因为*Nn，所

以n的最小值为11，故至少要进行11轮测试21.已知椭圆()222210xyabab+=经过()0,2A，()3,1B−−两点．（1）求椭圆上的动点T到()1,0N的最短距离；（2）直线AB与x轴交于点(),

0Mm，过点M作不垂直于坐标轴且与AB不重合的直线l与椭圆交于C，D两点，直线AC，BD分别交直线xm=于P，Q两点．求证：PMMQ为定值．【答案】（1）142（2）证明见解析【解析】【分析】(1)根据题意求出椭圆

方程，再利用两点间的距离公式化简为函数最值问题求解；(2)首先利用直线AB的方程求出m=-2，再分别利用AC，BD的方程与椭圆方程联立方程组得出P，Q坐标，即可化简得到.【小问1详解】把()0,2A、()3

,1B−−两点坐标代入22221xyab+=得：2222041911abab+=+=，即23a=，2b=，即椭圆方程为：221124xy+=．设(),Txy，则点T到()1,0N的距离222222(1)(1)4(

1)25,123xdxyxxx=−+=−+−=−+因为2323x−，所以当32x=时，d有最小值，且min29314253422d=−+=，所以动点T到()1,0N的最短距离为142．【小问2详

解】如图，因为21103ABk+==+，所以直线AB的方程为：20xy−+=．取0y=得，2m=−，显然直线CD的斜率存在，设其方程为：()()21,0ykxkk=+，()11,Cxy，()22,Dxy，联立方程组：22(2)112

4ykxxy=++=得：()2222131212120kxkxk+++−=，所以21221213kxxk−+=+，2122121213kxxk−=+，记直线AC的方程为：1122yyxx−−=，令2x=−得：()()112222,kxPx−

+−．记直线BD的方程为：2211(3)3yyxx++=++，令2x=−得：()()22122,3kxQx−+−+，()()()()()()()112121222222231223pQkxyxxPMxkxQMyxxx−+++===−+++()221221212121211

21212122412224122131312122213kkxxxxxxkkkxxxxk−−+++++++++==−+++()()221221121221311212213kkxkkx−++==−++故PMQM为定值，定

值为1．22.已知函数()exfxaxa=−−，aR.（1）讨论()fx的单调区间；（2）当1a=时，令()()22fxgxx=.①证明：当0x时，()1gx；②若数列()*nxnN满足113x=，()1enxngx+=，证明：()2e11nxn−.【答

案】（1）答案见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析.【解析】【分析】(1)求出函数()fx的导函数()fx，再讨论()fx的符号即可计算作答.(2)①等价变形所证不等式，构造函数()21121exx

xFx++=−，利用导数探讨单调性即可；②由已知证明11e12x−，由①分析探讨，等价转化，再构造函数()()2e12xxhxx−=++，利用递推变换即可作答.【小问1详解】函数()exfxaxa=−−定义域为R，求导得()exfxa=−

，当0a时，()0fx¢>恒成立，即()fx在(),−+上单调递增，当0a时，令()e0xfxa=−，解得lnxa，令()e0xfxa=−，解得lnxa，即()fx在(),lna−上单调递减，在()ln,a+上单调递增，所

以，当0a时，()fx(),−+上单调递增，当0a时，()fx在(),lna−上单调递减，在()ln,a+上单调递增.【小问2详解】当1a=时，()()22e1xxgxx−−=，①当0x时，

()222112e121e1e12xxxxxxxxx++++−−，令()21121exxxFx++=−，0x，()2120exxFx−=恒成立，则()Fx在()0,+上单调递减，()()01010eFxF=−=，因此，21121exxx++成立，所以当0x时，

()1gx.②由①可知，当()0,x+时，()1gx，由113x=得()21e1xgx=，即20x，由()1enxngx+=，可得0nx，而113e1e1x−=−，又3327ee028−=−，即133e2，则1131e1e12x−=−，由于()12e11e1()2

nnxxnn−−，只需证()()1111e1e11e222nnnxxxngx+−−−−，又当0x时，22211()1e(4)e44(2)(2)e(2)022xxxgxxxxxxx−−−+++=−+++()2e102xxx−++，令()(

)2e12xxhxx−=++，0x，()()22e02xxhxx=+恒成立，则()hx在(0,)+上单调递增，()()00hxh=，则当0x时，恒有2e102xxx−++，而0nx，即()111e22nxngx−−成立，不等式在()11e1e12nnx

x+−−成立，因此()()()111211111e1e1e1e12222nnnxxxxnn+−+−−−−成立，即1e12nnx−成立，所以原不等式得证.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式造价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、

极(最)值问题处理.