【文档说明】四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期10月月考 数学答案.docx，共(11)页，753.015 KB，由小赞的店铺上传

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学科网（北京）股份有限公司成都石室中学2024～2025学年度上期高2025届十月月考数学参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，

请把正确的选项填涂在答题卡相应位置.1.已知集合1,2,4A=,2{|20}BxNxx=+−,则AB=A.2,1,0,1,2,4−−B.0,1,2,4C.1,2,4D.1【答案】B【解析】{0,1}B=，故{0,1,2,4}AB=，故选B.2.202

4年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一,奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得,两人在决赛中14次射击环数如右图,则A.盛李豪的平均射击环数超过10.6B.黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65C.盛李豪射击环数

的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差D.黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差【答案】C【解析】盛李豪的射击环数只有两次是10.8环，5次10.6环，其余都是10.6环以下，所以盛李豪平均射击环数低于10.6，故A错误；由于140.811.2=，

故第80百分位数是从小到大排列的第12个数10.7，故B错误；由于黄雨婷的射击环数更分散，故标准差更大，故C正确；黄雨婷射击环数的极差为10.8-9.7=1.1，盛李豪的射击环数极差为10.8-10.3=0.5，

故D错误.故选C.3.已知0.10.6a=,0.6log0.3b=,0.6log0.4c=,则a,b,c的大小关系为A.bcaB.abcC.cbaD.acb【答案】A【解析】由于0.6logyx=在(0,)+单调递减，故0.6l

og0.61bc=，又因为1a，所以bca，故选A.4.已知实数a,b,c满足abc，且0abc++=，则下列说法正确的是A.22abcbB.222acca+C.||||abD.0abbc+【答案】C9.69.

79.89.91010.110.210.310.410.510.610.710.810.91234567891011121314射击成绩图盛李豪黄雨婷学科网（北京）股份有限公司【解析】由题，0,0ac，取1,0,1abc===−，则22abc

b=，故A错误；2522acca+=−，故B错误；0abbc+=，故D错误；因为22()()()0abababcab−=+−=−−，所以22ab，即||||ab，故C正确.故选C.5.“函数2()ln(2

2)fxxax=−+的值域为R”的一个充分不必要条件是A.[2,2]−B.(0,2C．(,2[2,)−+UD．[2,)+【答案】D【解析】因为函数2()ln(22)fxxax=−+的值域为R，所以在方程2220xax−+=中，0，即2480a−，解得2a或2a−，从而[2,

)+是“函数2()ln(22)fxxax=−+的值域为R”的充分不必要条件.故选D.6.核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性

同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡。已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的110000大约需要经过()年.（lg20.3010）A.155B.159C.162D.1

66【答案】B【解析】设氚含量变成初始量的110000大约需要经过t年，则1211()210000t=，121log1210000t=，即36159lg2t=，故选B.7.若函数()yfx=的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是A.(12)yfx=

−B.1(1)2yfx=−C.(12)yfx=−−D.1(1)2yfx=−−【答案】A【解析】由()yfx=的定义域为(1,)−+知，1(1)2yfx=−中111,42xx−−，不符合图2，故排除B，D；对于C，

当12x=时，(0)0yf=−，不满足图2，故C错误；将函数()yfx=的图关于y=轴对称，得到()yfx=−的图，向右平移1个单位得到(1)yfx=−的图，最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数(12)yfx=−的图可能为图2，故选A.8.已知函数11,0,()2221,

0.xxxfxx+=−,则方程()(3)2fxfx+−=的所有根之和为学科网（北京）股份有限公司A．0B．3C．6D．9【答案】C【解析】方程()(3)2fxfx+−=的根为函数()yfx=和2(3)yfx=−−的图象交点横坐标，由函数11,0,()2221,0.xxxf

xx+=−得，31,3,2(3)232,3,xxxyfxx−=−−=−如下图所示，两函数图象共有4个交点，且由于两个函数图象关于点3(,1)2中心对称，故方程()(3)2fxfx+−=的所有根之和为6，故选C.二、选择题:本

大题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分,。9．已知函数()fx的定义域为R,()()()22fxyfxfy+=+，则A．()00f=B．()11f=C．𝑓(𝑥)是奇函数D．𝑓(𝑥

)在R上单调递增【答案】AC【解析】由()()()22fxyfxfy+=+知，当0xy==时，()()300ff=，即()00f=，故A正确；若()fxx=−，则()fx满足条件()()()22fxyfxfy+=+，但()11f=−，且𝑓(𝑥)是在R上

单调递减，故B,D错误；当,xtyt=−=时，()()()2ftftft=−+，即()()fttf−=−，故C正确，故选AC.10．已知复数12z,z的共轭复数分别为21,zz，则下列命题为真命题的是A．1

212zzzz+=+B．1212zzzz=C．若12zz0−，则12zzD．若2221212zzzz=++，则2121zzzz0+=【答案】ABD【解析】设12i,izabzcd=+=+且,,,Rabcd，则12i,iabczzd=

−=−，12ii()izzabcdacbd+=+++=+++，12()iaczbdz+=+−+所以12()iaczbdz−=+++，所以1212zzzz+=+，故A正确；学科网（北京）股份有限公司12i)(i)()i(()zzabcdacbdbcad++=−−+=，12i)(i)()

i(()zzabcdacbdbcad−−=−−+=，故B正确；当1212i,2izz=+=时，满足1210zz−=，但不能得出12zz，故C错误；222121212121211221212121221()()()()zzzzzzzzzzzzzzzzz

zzzzzzz+++===++=++++++，故11220zzzz+=，故D正确，故选ABD.11.设函数()()()lnfxxaxb=++,则下面说法正确的是A.当0,1ab==时，函数()fx在定义域上仅有一个零点B.当0,0ab==时，函数()fx在(1,)+上单调递增C.若

函数()fx存在极值点,则abD.若()0fx,则22ab+的最小值为12【答案】ABD【解析】当0,1ab==时，()ln(1)fxxx=+，由()0fx=得，0x=，函数()fx在定义域上仅有一个零点，故A正确；当0ab==时，函数()lnfxxx=,当1x时，(

)ln10fxx=+，故函数()fx在(1,)+上单调递增，故B正确；()ln()ln()1xaabfxxbxbxbxb+−=++=+++++，当ab时，函数()fx在定义域上单调递增，且当xb→−时，()fx→−，当x→+时，()fx→+，此时函数()fx

存在零点0x，即函数函数()fx在0(,)bx−上单调递减，在0(,)x+上单调递递增，故此时函数()fx存在极值点，当ab时，()2212()()abxbafxxbxbxb−+−=−=+++，故函数()fx在(,2)bab−−上单

调递减，在(2,)ab−+上单调递递增，故()()2ln()2fxfabab−=−+，故当21ebab+时，函数()fx存在零点，函数()fx存在极值点,综上，当函数()fx存在极值点时，21ebab+或ab，故C

错误；对于D，()()ln0xaxb++恒成立,当()0fx=时，xa=−或1xb=−，当且仅当两个零点重合时,即1ab−=−，函数()fx在(1,)aa−−−上单调递学科网（北京）股份有限公司减，在(,)a−+上单调递增，满足()()ln0xaxb+

+,则22212212abbb+=−+,当12b=时取“=”，故D正确，故选ABD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.若函数2()23fxxkx=++在[1,2]上单调，则实数k的取

值范围为_____．【答案】8k−或4k−【解析】函数2()23fxxkx=++的对称轴为04kx=−，故当24k−或14k−时，函数()fx在[1,2]上单调，即8k−或4k−，故答案为8k−或4k−.

13.若()yfx=是定义在R上的奇函数，()(2)fxfx=−，(1)2f=，则(1)(2)(3)(2025)ffff+++=________．【答案】2【解析】因为()yfx=是定义在R上的奇函数，故()()fxfx−=−，又因为()(2)fxfx=−，所以(2)(

)fxfx−=−−,故(2)()fxfx+=−，所以，(4)(2)()fxfxfx+=−+=，即()yfx=的周期为4，由于()yfx=为定义在R上的奇函数，故(0)0f=，(2)(0)0ff==，(3)(1)(1)2fff=−=−=−，故(

1)(2)(3)(4)0ffff+++=，(1)(2)(3)(2025)ffff+++=506[(1)(2)(3)(4)](1)2fffff++++=，故答案为2.14.若过点1,)b（作曲线exyx=的切线有且仅有两条，则b的取值范围是．【答案】25[0

,){}ee−【解析】设切点为000(,)xxxe，()(1)xfxxe=+，故切线方程为00000(1)()xxyxexexx−=+−，将1,)b（代入切线方程得000200000(1)(1),(1)xxxbxexexbxxe−=+−=−+，令2()(1)xgxxxe

=−+，则2()(2)(1)(2)xxgxxxexxe=−−=−−+，故()gx的单调减区间(,2),(1,)−−+，增区间是(2,1)−.当x→−时，()0gx→，当x→+时，()gx→−，25(1),(2)gege=−=−，当yb=与()ygx=有且仅有两个交点时，25[0,)

{}bee−，故答案为25[0,){}ee−.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。学科网（北京）股份有限公司15.（13分）已知函数()1ln1kxfxx−=−为奇函数．(1)求实数k的值；(2)若函

数()()2xgxfxm=−+，且()gx在区间2,3上没有零点，求实数m的取值范围．【答案】(1)1−;(2)(,4ln3)(8ln2,)m−−−+【解析】（1）因为()1ln1kxfxx−=−是奇函数，所以()()fxfx−=−，·······

·········1分即111lnlnln111kxkxxkxxx+−=−−=−−−−，···························································3分所以1111kxxkxx+=−−−−，故222

11kxx−=−，则1k=，·······································5分当1k=时，111xx−=−−显然不成立;经验证：1k=−符合题意；所以1k=−；···········6分（2）由1()ln21xxgxmx+=−+−，22()2ln21xgx

x=−−−，··························8分当[2,3]x时，()0gx，故()gx在[2,3]上单调递减.································9分故()[ln28,ln34]gxmm−+−+.····················

········································10分因为()gx在区间2,3上没有零点，所以ln280m−+或ln340m−+········12分所以(,4ln3)(8ln2,)m−−−+·····················

···································13分16.（15分）已知三棱锥D-ABC，D在平面ABC上的射影为△ABC的重心O，15ACAB==，24BC=.(1)证明：BC⊥AD；(2)E为AD上靠近A的三等分

点，若三棱锥D-ABC的体积为432，求二面角ECOB−−的余弦值．【答案】（1）见解答；（2）43333−【解析】（1）如图所示，连结AO并延长交BC于M，因为O为△ABC的重心，所以M是BC的中点，·····

·············································1分又因为ACAB=，所以由等腰三角形三线合一可得AMBC⊥，········2分因为D在平面ABC上的射影为O，

所以OD⊥平面ABC，·············3分又BC平面ABC，所以ODBC⊥，·······································4分又,,AMODOAMOD=平面AMD，所以BC⊥平面AMD，·······5

分又AD平面AMD，所以BCAD⊥，···························································6分（2）由（1）知AMBC⊥，OD⊥面ABC，过M作

z轴平行于OD，则z轴垂直于面ABC，如图以,MAMB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，·····································7分ABCDOE学科网（北京）股份有限公司在ABC中，15ACAB==，24BC=由（1）知，AMBC⊥，故229AMABBM

=−=，11082ABCSAMBC==，8分所以三棱锥A-BCD的体积为1110843233ABCSODOD==，则12OD=因为O为△ABC的重心，故133OMAM==，··································9分则()()()()

()0,12,0,0,12,0,3,0,0,9,0,0,3,0,12CBOAD−，()()()6,0,0,6,0,12,3,12,0OAADOC==−=−−因为E为AD上靠近A的三等分点，所以()12,0,43AEAD==−，故()14,0,43

OEOAAD=+=··································································10分设(),,nxyz=为平面ECO的一个法向量，则4403120nOE

xznOCxy=+==−−=，取4x=，则1,4yz=−=−，故()4,1,4n=−−，·········································12分易得()0,0,1m=是平面COB的一个法向量，

·················································13分设二面角ECOB−−的平面角为，则为钝角，所以4433coscos,33116116mnmnmn=−=−=−=−++，所以二面角ECOB−−的余弦值为4

3333−.··················································15分17.（15分）某小区有3000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占%a.为减轻工作量，随机地按n人一组分组，然后将各组n个人的血样

混合在一起化验.若混合血样呈阴性，说明这n个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次。（1）若0.2,20,an==试估算该小区化验的总次数；（2）若0.9a=，且每人单独化验一次花费10元，n人混合化验一次花费9n+元，求当n为何值时，

每个居民化验的平均费用最少.注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当00.01p时，(1)1npnp−−.【答案】(1)270;(2)10【解析】（1）设每组需要检验的次数为X，若混合血样为阴性，则X=1，若混合血样呈阳性，则X=21，1分zxyMABC

DOE学科网（北京）股份有限公司所以20(1)(10.002)PX==−，20(21)1(10.002)PX==−−，························3分所以202020()1(10.002)21[1(10.002)]2120(10.00

2)EX=−+−−=−−2120(1200.002)1.8−−=·······································································5分一共有3000201

50=组，故估计该小区化验的总次数是1.8150270=.··········7分（2）设每组n人总费用为Y元，若混合血样呈阴性，则Y=n+9；若混合血样呈阳性，则Y=11n+9,8分故(9)(10.009)nPYn=+=−，(119)1(10.009)nPYn=+=−−········

·············10分()(9)0.991(119)(10.991)11100.9919nnnEYnnnn=+++−=−+············12分每位居民的化验费用为()11100.99199911100.9911110(10.009)nn

EYnnnnnnn−+==−+−−+=9911100.09120.092.8nnnn−+++=元·······14分当且仅当90.09nn=，即10n=时取等号，故n=10时，每个居民化验的平均费用最少.15分18.（17分）在平面直角坐标系xOy

中，已知()1,1A，()1,1B−，动点P满足OPmOAnOB=+，且1mn=.设动点P形成的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点()2,2T的直线l与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在

直线l，使得A，B，M，N四点共圆.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）22144xy−=；（2）不存在【解析】（1）设(),Pxy，则(),OPxy=uuur，()1,1OA=，()1,1OB=−，·········

··········1分因为OPmOAnOB=+，所以()()()(),1,11,1,xymnmnmn=+−=+−，·················2分所以xmn=+，ymn=−，所以2xym+=，2xyn−=，····························

·······3分又因为122xyxymn+−==，整理得22144xy−=，···········································4分所以曲线C的方程为22144xy−=；················

···············································5分（2）易知当l的斜率不存在时，直线l与曲线C没有两个交点，所以直线l的斜率存在，6分设l：()22ykx=−+，将直线l与曲线C联立，得22(2)21

44ykxxy=−+−=，消去y，整理得()22212(22)4880kxkkxkk−−−−+−=，··································7分学科网（北京）股份有限公司因为()()22224(22)414883

2(1)0kkkkkk=−−−−+−=−且210k−，所以1k且1k−，·················································································8分

设()11,Mxy，()22,Nxy，则1241kxxk+=+，21224881kkxxk−+=−，所以MN的中点22,11kHkk++，且()222121212141xxkxMxxxkN=−+=+−+，9

分将1241kxxk+=+，21224881kkxxk−+=−代入上式，整理得()22142(1)(1)kkkMN+=+−，····························································10分当0k时，线段M

N的中垂线方程为1l：12214111kyxxkkkkk=−−+=−++++，11分令y＝0，解得41kxk=+，即1l与x轴的交点坐标为4,01kQk+，·······················

·12分当k＝0时，线段MN的中垂线为y轴，与x轴交于原点，符合Q点坐标，·········13分因为AB的中垂线为x轴，所以若A，B，M，N共圆，则圆心为4,01kQk+，所以2222224MNQAQMQHHMQH==+=+，················

························14分所以()2222281442211111(1)(1)kkkkkkkkk+−−+=++++++−，·······························15分整理得32622100kkk−++

=，即()22(1)3450kkk+−+=，······························16分因为1k且1k−，所以上述方程无解，即不存在直线l符合题意.········································

······17分19.（17分）在高等数学中，我们将()yfx=在0xx=处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：()()()()()()()()()200000002!!nnfxfxfxfxfxxxxxxxn=+−+−++−+（其中()()nfx表示()fx

的n次导数*3,nnN），以上公式我们称为函数()fx在0xx=处的泰勒展开式.当00x=时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如ex在0x=处的麦克劳林公式为：22111e12!3!xnxxxxn=+++++

+！，由此当0x时，可以非常容易得到不等式2231111,1,1,226xxxexexxexxx++++++请利用上述公式和所学知识完成下列问题：(1)写出sinx在0x=处的泰勒展开式.(2)若30,2x

，sine1axx+恒成立，求a的范围;（参考数据5ln0.92）学科网（北京）股份有限公司(3)估计5ln3的近似值（精确到0.001）【答案】（1）1352111(1)sin3!5!(21)!nnxxxxxn−−+−=−+++−；（2）1a

；（3）0.511【解析】(1)sinx在0x=处的泰勒展开式为：1352111(1)sin3!5!(21)!nnxxxxxn−−+−=−+++−，·············································2分（2）因为1352111(1)

sin3!5!(21)!nnxxxxxn−−+−=−+++−由sinx在0x=处的泰勒展开式，先证3310,,sin26xxxx−，令3211()sin,()cos1,()sin62fxxxxfxxxfxxx=−+=−+

=−，······················3分()1cosfxx=−，易知()0fx，所以()fx在30,2上单调递增，所以()(0)0fxf=，所以()fx在30,2上单调递增，所以()(0)0fxf=，

·····4分所以()fx在30,2上单调递增，所以()(0)0fxf=，再令31()ln(1)6gxxxx=−−+，30,2x，易得1(1)(2)2()1xxxgxx−−+=+，所以

()gx在(0,1)上单调递增，在31,2上单调递减，·······································6分而3155(0)0ln02162,gg==−，所以30,,()02xgx恒

成立，··················7分当1a时，31sinsinln(1)6axxxxx−+，所以sine1axx+成立，·············8分当1a时，令()sinln(1)hxaxx=−+，30,2x

，易求得(0)10ha=−，所以必存在一个区间(0,)m，使得()hx在(0,)m上单调递减，所以(0,)xm时，()(0)0hxh=，不符合题意.······································

······10分综上所述，1a.··················································································

····11分（3）因为1154lnln,1314+=−转化研究1ln1xx+−的结构···············································12分23456ln(1)23456xxxxxxx+=−+−+−+·····················

·····························13分23456ln(1)23456xxxxxxx−=−−−−−−−················································14

分两式相减得35122ln2135xxxxx+=+++−···················································15分学科网（北京）股份有限公司取1,4x=得35512121ln2()()0.5108343454=

+++所以估计5ln3的近似值为0.511（精确到0.001）.·······································17分