【文档说明】山西省大同市2023届高三阶段性模拟（2月联考）数学试题（A卷） 含解析.docx，共(28)页，1.845 MB，由小赞的店铺上传

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大同市高三年级阶段性模拟测试A卷数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择

题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设1iz=+，则2iz−=（）A.i

B.i−C.1D.1−【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法可求运算结果.【详解】()22i1iiiz−=+−=,故选：A2.设集合22,3,23Aaa=−−，0,3B=，2,Ca=．若BA，{}2AC?，则=

a（）A.3−B.1−C.1D.3【答案】B【解析】【分析】根据包含关系结合交集的结果可求a的值.【详解】因为BA，故2230aa−−=，故1a=−或3a=，若1a=−，则2,3,0A=，2,1C=−，此时{}2AC?，符合；若3a=，

则2,3,0A=，2,3C=，此时2,3AC=，不符合；故选：B3.甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（）A.16B.14C.13D.12【答案】A【解析】【分析】利用组合可求基本事件的总数，再根据排列可求随机事件

含有的基本事件的总数，从而可求对应的概率.【详解】设“甲、乙在同一组”事件A，教师随机分成三组，每组至少一人的分法为24C6=，而甲、乙在同一组的分法有1，故()16PA=，故选：A.4.平面向量a与b相互垂直，已知()6,8a=−，5b=，且b与向量()1,0的夹角是钝角，则b=（）A.

()3,4−−B.()4,3C.()4,3−D.()4,3−−【答案】D【解析】【分析】设(),bxy=，则由题意得2268025xyxy−=+=，解出方程，检验即可.【详解】设(),bxy=，则由题意得2205abxy=+=，即2268025xyxy−=+=

，解得43xy==或43xy=−=−，设()1,0c=，当()4,3b=时，此时4cos,05bcbcbc==，又因为向量夹角范围为0,π，故此时夹角为锐角，舍去；当()4,3b=−−时，此时4cos,05bcbcbc==−，故此时夹角为钝角，

故选：D.5.已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若ABC是正三角形，则D的离心率是（）A.12B.23C.63D.32为【答案】C【解析】【分析】首先由题得到222bab=+，结合222abc=+，即可求得e.【详解】无论椭圆焦点位于x轴或y轴，根据点A,B,C为椭圆D的三个顶点,若ABC

是正三角形,则222bab=+，即223ab=，即()2223aac=−，即有2223ac=，则223e=，解得63e=.故选：C.6.三棱锥ABCD−中，AC⊥平面BCD，BDCD⊥．若3AB=，1BD=，则该三棱锥体积的最大值为（）A.2B.43C.1D.23【答案】D【解析】【分析】

先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得BD⊥平面ACD、BDAD⊥与ACCD⊥，从而利用基本不等式求得2ACDS，进而得到23ABCDBACDVV−−=，由此得解.【详解】因为AC⊥平面BCD，BD平面BCD，所以ACBD⊥，又BDCD⊥，ACCDC=，,ACCD平面ACD

，所以BD⊥平面ACD，因为AD平面ACD，所以BDAD⊥，在Rt△ABD中，3AB=，1BD=，则2222ADABBD=−=，因为AC⊥平面BCD，CD平面BCD，所以ACCD⊥，在RtACD△中，不妨设(),0,0

ACaCDbab==，则由222ACCDAD+=得228ab+=，所以()221111222244ACDSACCDababab===+=，当且仅当ab=且228ab+=，即2ab==时，等号成立，所以11221333ABCDBACDACDVVSBD−−===

，所以该三棱锥体积的最大值为23.故选：D..7.设函数()fx，()gx在R上的导函数存在，且()()fxgx，则当(),xab时（）A.()()fxgxB.()()fxgxC.()()()()fxgagxfa++D.()()()()fxgbgxfb++【答案

】C【解析】【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD，构造函数()()()hxfxgx=−，利用导数与函数单调性的关系证得()hx在R上单调递减，从而得以判断.【详解】对于AB，不妨设()2fxx=−，()1gx=，则()2fx=−，()0gx=

，满足题意，若()1,xab=−，则()()21fxgx==，故A错误，若()0,xab=，则()()01fxgx==，故B错误；对于CD，因为()fx，()gx在R上的导函数存在，且()()fxgx，令()()()hxfxgx=−，则()()()0hxfxgx−=，

所以()hx在R上单调递减，因为(),xab，即axb，所以()()()hbhxha，由()()hxha得()()()()fxgxfaga−−，则()()()()fxgagxfa++，故C正确；由()()hbhx得()()()()

fbgbfxgx−−，则()()()()fxgbgxfb++，故D错误.故选：C.8.已知a，b，c满足()5log23bba=+，()3log52bbc=−，则（）A.acbc−−，abbc−−B.acbc−−，abbc−−C.acbc

−−，abbc−−D.acbc−−，abbc−−【答案】B【解析】【分析】构造函数23()55xxfx=+，利用其单调性，分1b，1b=，1b讨论即可.【详解】由题意得520bb−，即52bb，则

2015b，则0b，令23(),(1)155xxfxf=+=，根据减函数加减函数为减函数的结论知：()fx在R上单调递减，当1b时，可得23155bb+，235bbb+，两边同取以5为底的对数得()55log2og

53lbbbba=+=，对235bbb+通过移项得523bbb−，两边同取以3为底的对数得()3log52bbbc=−，所以cba，所以ba−−，所以cbca−−，且0,0cbca−−，故此时，acbc−−，故C,D选项错误，2b=时，533371log

13log21log212log,132accb==−=−=，，，552512log13log0,,132bacbba−=−=−−，且0,0cbca−−，故A错误,下面严

格证明当1b时，0bacb−−，()55551log23loglog232355bbbbbbbbab−=−+==++，()3352log52log33bbbbcbb

−=−−=−根据函数()5233xxhx=−在R上单调递增，且()11h=，则当1b时，有52133bb−，230155bb+，112355bb

+，下面证明：552233bbbbbb−+，1b要证：552233bbbbbb−+，即证：()()152352bbbbb+−，等价于证明4610bbb+，即证：23155bb+，此式开头已证明，对552233bbbbbb−+，左边

同除分子分母同除5b，右边分子分母同除3b得152332355bbbb−+，则553152520logloglog33332355bbbbbbbacb

−=−−=−+故当1b时，0bacb−−，则abbc−−当01b时，可得23155bb+，235bbb+，两边同取以5为底对数得

()55log2og53lbbbba=+=，对235bbb+通过移项得523bbb−，两边同取以3为底的对数得()3log52bbbc=−，所以cba，所以ba−−，所以cbca−−，且0,0cbca−−，故0bcac−−，故此

时，acbc−−，下面严格证明当01b时，0cbba−−，当01b时，根据函数23(),(1)155xxfxf=+=，且其在R上单调递减，可知的23155bb+，则5

1log02355bbba−=+，则1012355bb+，根据函数函数()5233xxhx=−在R上单调递增，且()11h=，则当01b时，520133bb

−，下面证明：552,(1)233bbbbbbb−+，要证：552233bbbbbb−+即证：()()152352bbbbb+−，等价于证4610bbb+，即证：23155bb+，此式已证明，

对552233bbbbbb−+，左边同除分子分母同除5b，右边分子分母同除3b得152332355bbbb−+，则35552521logloglog033332355bbbbbbcbba

−=−−−=+，故01b时，0cbba−−，则abbc−−当1b=时，53log51,log31ac====，则||||acbc−=−

，||||abbc−=−，综上||||acbc−−，abbc−−，故选：B.【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数23()55xxfx=+，利用其单调性及(1)1f=，从而得到,,abc之间的大小关系，同时需要先求出b的范围，然后再对b进行分类讨论.二、选择题：本题

共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()fx是定义在R上的偶函数，()gx是定义在R上的奇函数，且()fx，()gx在(,0−单调递减，则（）A.()()()()12f

fffB.()()()()12fgfgC.()()()()12gfgfD.()()()()12gggg【答案】BD【解析】【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合()()12ff，()()()0012ggg=

逐项判断即可.【详解】因为()fx是定义在R上的偶函数，()gx是定义在R上的奇函数，且两函数在(,0−上单调递减，所以()fx在)0,+上单调递增，()gx在)0,+上单调递减，()gx在R上单调递减，所以()()1

2ff，()()()0012ggg=，所以()()()()12fgfg，()()()()12gfgf，()()()()12gggg，所以BD正确，C错误；若()()12ff，则()()()()12ffff，A错

误.故选：BD10.已知平面平面l=，B，D是l上两点，直线AB且ABlB=，直线CD且CDlD=．下列结论中，错误的有（）A.若ABl⊥，CDl⊥，且ABCD=，则ABCD是平行四边形B.若

M是AB中点，N是CD中点，则MNAC∥C.若⊥，ABl⊥，ACl⊥，则CD在上的射影是BDD.直线AB，CD所成角的大小与二面角l−−的大小相等【答案】ABD【解析】【分析】由空间中线线、线面及面面关系逐项判断即可得解.【详解】对于A，由题意，AB，CD为异面直线，所以四边

形ABCD为空间四边形，不能为平行四边形，故A错误；对于B，取BC的中点H,连接HM,则HM是ABC的中位线，所以//HMAC，因为HM与MN相交，所以MN与AC不平行，B错误；对于C，若,ABlACl⊥⊥，所以由线面垂直判定可得l⊥平面ABC，所以lBC⊥，由⊥结合面面垂直的性质可得

BC⊥，所以点C在平面内的投影为点D,所以CD在平面内的投影为BD，故C正确；对于D,由二面角的定义可得当且仅当,ABlCDl⊥⊥时，直线AB，CD所成的角或其补角才为二面角的大小，故D错误.故选：ABD.11.质点P和Q在以坐标原点

O为圆心，半径为1的O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2rad/s，起点为O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5rad/s，起点为射线()30yxx=−与O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以

为（）A.22cos,sin99B.55cos,sin99−−C.cos,sin99−D.cos,sin99−【答案】ABD【解析】【分析】确定点Q的初始位置

，由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得Q点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.【详解】由题意，点Q的初始位置1Q的坐标为13,22−，锐角1π3QOP=，的设t时刻两点重合，则()π522π,N3ttkk−=+,即()π2π,N93ktk=+

，此时点ππcos5,sin533Qtt−+−+，即()2π102π10cosπ,sinπ,N9393kkQk++，当0k=时，2π2πcos,sin99Q

，故A正确；当1k=时，32π32πcos,sin99Q，即5π5πcos,sin99Q−−，故B正确；当2k=时，62π62πcos,sin99Q，即cos,sin99Q−，

故D正确.由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合.故选：ABD.12.下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的AB，AC，BD，CD都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其

中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，MNOB⊥，KNOB⊥．记AOB=，AOC=，BOD=，COD=，则（）A.sinsincos=B.coscoscos=C.sinsinc

os=D.coscoscoscos=【答案】ACD【解析】【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得CMOD⊥，CKOA⊥，结合条件中MNOB⊥，KNOB⊥，从而在各直角三角形中得到,,,的正余弦表示，对选项逐一分析判断即

可.【详解】因为在矩形MNKC中，KNMN⊥，又KNOB⊥，MNOBN=，,MNOB面BOD，所以KN⊥面BOD，又OD面BOD，所以KNOD⊥，因为在矩形MNKC中，//CMKN，所以CMOD⊥，即CMMO⊥，因为MNOB⊥，KNMN⊥，K

NOBN=，,KNOB面OAB，所以MN⊥面OAB，又在矩形MNKC中，//MNCK，所以CK⊥面OAB，又OA面OAB，所以CKOA⊥，同时，易知在矩形MNKC中，,CMKNCKMN==，对于A，在RtCKO中，sinCKOC=，在

RtMNO△中，sinMNOM=，在RtCMO△中，cosOMOC=，所以sincossinMNOMMNCKOMOCOCOC====，故A正确；对于B，在RtCKO中，cosOKOC=，在RtMNO△中，cosONOM=，又cosOM

OC=，且在RtKNO中，OK为RtKNO的斜边，则ONOK，所以coscoscosONOMONOKOMOCOCOC===，故B错误；对于C，在RtKNO中，sinKNOK=，在RtCMO△中，sinCMOC=，又c

os0OKOC=，所以sinsincosCMOCCMKNOCOKOKOK====，故C正确；对于D，在RtKNO中，cosONOK=，又cos0OKOC=，cosONOM=，cosOMOC

=，所以coscos,coscosONOKONONOMONOKOCOCOMOCOC====，所以coscoscoscos=，即coscoscoscos=，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题的突

破口是利用线面垂直的判定定理与性质定理证得CMOD⊥，CKOA⊥，从而得到,,,的正余弦表示，由此得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布()2100,N

．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得至多为________．(若()2,XN，则()20.9545PX−)【答案】12##0.5【解析】【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，1002X−的解集()()1

002,100299,101A=−+，即可根据集合的包含关系列出不等式组，从而得解．【详解】依题可知，100=，再根据题意以及正态曲线的特征可知，1002X−的解集()99,101A，由1002X−可得，10021002X−+，所以10

02991002101−+，解得：12，故σ至多为12．故答案为：12．14.若P，Q分别是抛物线2xy=与圆()2231xy−+=上的点，则PQ的最小值为________．【答案】51−##15−+【解析】【分析】设点()200,Pxx，圆心()3,0C，PQ的最小值即为CP的

最小值减去圆的半径，求出CP的最小值即可得解．【详解】依题可设()200,Pxx，圆心()3,0C，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，PQ的最小值即为CP的最小值减去半径．因为()()222242000003069CPxxxxx=−

+−=+−+，xR，设()4269fxxxx=+−+，()()()3242621223fxxxxxx=+−=−++，由于22152232022xxx++=++恒成立，所以函数()fx在(),1−上递减，在()1,+上递增，即()min15ff

==，所以min51CP=，即PQ的最小值为51−．故答案为：51−．15.数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”227与“密率”355113．它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率．由34π11，取3为弱率，4为强率，

得1711234a==++，故1a为强率，与上一次的弱率3计算得23710123a+==+，故2a为强率，继续计算，……．若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值

，依此类推，已知227ma=，则m=________；8a=________．【答案】①.6②.4715【解析】【分析】根据题意不断计算即可解出．【详解】因为2a为强率，由310π13可得，373101331.3124

4159a+==+，即3a为强率；由313π14可得，473131631.41254159a+==+，即4a为强率；由316π15可得，573161931.51264159a+==+，即5a

强率；由319π16可得，673192231.61274159a+==+，即6a为强率，所以6m=；由322π17可得，763222531.1252183.41597a+===+，即7a为弱率；由2522π87可得，825+2247=8+715a=．故答案为

：6；4715．16.图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻为的开关改变状态．例如，按()2,2将导致()1,2，()2,1，()2,2，()2,3，()3,2改变状态．如果要求只改

变()1,1的状态，则需按开关的最少次数为________．()1,1()1,2()1,3()2,1()2,2()2,3()3,1()3,2()3,3【答案】5【解析】【分析】方法一：根据题意可知，如果要求只改变()1,1的状态，只有在()1,1以及

周边按动开关才可以使按开关的次数最少，利用表格即可分析求出．【详解】方法一：根据题意可知，只有在()1,1以及周边按动开关才可以使按开关的次数最少.具体原因如下：假设开始按动前所有开关闭合，要只改变()1,1的状态，在按动（1,1）后，（1,2），（2,1）也改变，下一步可同时恢复或逐一恢复，同时

恢复需按动（2,2），但会导致周边的（2,3），（3,2）也改变，因此会按动开关更多的次数，所以接下来逐一恢复，则至少按开关3次，这样沿着周边的开关再按动，可以实现最少的开关次数，即按动5次可以满足要求．如下表所

示：（按顺时针方向开关，逆时针也可以）()1,1()1,2()1,3()2,1()2,2()2,3()3,1()3,2()3,3按动()1,1开开关开关关关关关按动()1,3开关开开关开关关关按动()2,3开关关开开关关关开按

动开关关开开关开开关()3,2按动()3,1开关关关关关关关关方法二：要满足题意，按动开关次数必须为奇数，且连续两次按一个方格等于无操作，按开关顺序无影响，由对称性按表格顺序可设各方格按动次数为abcbdecef方格()1,1改变状态

的次数为奇数，其它方格改变状态的次数为偶数，所以，对()1,1：a+2b为奇数；对()1,2或()2,1：a+b+c+d为偶数；对()1,3：b+c+e为偶数；对()2,2：2b+2e+d为偶数；对()2,3或()3

,2：c+d+e+f为偶数；对()3,3：2e+f为偶数，根据以上情况，为使开关次数最少，1a=，0f=，0d=，即1+b+c为偶数，b+c+e为偶数，c+e为偶数，所以可取0b=，1e=，即各方格开关次数如下：

101001110具体开闭状态可参照方法一，故按开关的最少次数为5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查学生运用所学知识解决知识迁移问题的综合能力，利用表格分析法简单清晰直观．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，四边形ABC

D是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，ABAD=，60BAD=．（1）记圆柱的体积为1V，四棱锥PABCD−的体积为2V，求12VV；（2）设点F在线段AP上，4,4PAPFPCC

E==，求二面角FCDP−−的余弦值．【答案】（1）3π（2）23913【解析】【分析】（1）利用平面几何的知识推得ACBD⊥，进而得到23BDEC=与4ACEC=，从而利用柱体与锥体的体积公式求得12,VV关于,ECPC的表达式，由此得解；（2）根据题意建

立空间直角坐标系，设1CE=，结合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐标表示，从而求得平面FCD与平面PCD的法向量n与m，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】因为ABD与ACD

是底面圆弧AD所对的圆周角，所以ABDACD=，因为ABAD=，所以在等腰ABD△中，ABDADE=，所以ADEACD=，因为AC是圆柱底面直径，所以90ADC=，则90CADACD+=，所以90CADADE+=，则9

0AED=，即ACBD⊥，所以在等腰ABD△，BEDE=，AC平分BAD，则1302CADBAD==，所以60ADE=，则30=CDE，故在RtCED中，2CDEC=，3DEEC=，则223BDDEEC==，在RtACD△

中，24ACCDEC==，的因为PC是圆柱的母线，所以PC⊥面ABCD，所以()22211ππ24π2VACCPECPCECPC===，22111434233263VACBDPCECECPCECPC===，所以123πVV=．【小问2

详解】以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz−，不妨设1CE=，则44ACEC==，33DEEC==，44PCCE==，则()()()()0,0,0,4,0,0,1,3,0,0,0,4CADP，所以()1,3,0CD=，

()0,0,4CP=，()4,0,4PA=−，因为4PAPF=，所以()11,0,14PFPA==−，则()()01,0,1(1,0,3,0,4)CFCPPF==+=−+，设平面FCD的法向量(,,)nxyz=，则00nCFnC

D==，即3030xzxy+=+=，令3x=−，则3,1yz==，故(3,3,1)n=−，设平面PCD的法向量(,,)mpqr=，则00mCPmCD==，即4030rpq=+

=，令3p=−，则3,0qr==，故(3,3,0)m=−，设二面角FCDP−−的平面角为，易知π02，所以93239coscos,13||||93193nmnmnm+====+++，因此

二面角FCDP−−的余弦值为23913．18.已知函数()sin()fxx=+在区间ππ,62单调，其中为正整数，π||2，且π2π23ff=．（1）求()yfx=图像的一条对称轴；（2

）若π362f=，求．【答案】（1）712x=（2）π3=【解析】【分析】（1）由函数在区间上的单调性确定最小正周期的范围，再由函数值相等即可确定对称轴；（2）根据对称轴及函数值确定x+的表达式，再

结合最小正周期确定的可能取值，即可得解.【小问1详解】因为函数()sin()fxx=+在区间ππ,62单调，所以函数()fx的最小正周期ππ2π2263T−=，又因为π2π

23ff=，所以直线1π2π223x=+即7π12x=为()yfx=图象的一条对称轴；【小问2详解】由（1）知2π3T，故2π3T=，由N，得1,2=或3．由7π12x=为()sin()fxx=+的一条对称轴，所以117πππ,

122kk+=+Z．因为π362f=，所以2ππ2π63k+=+或323π2π2π,,63kkk+=+Z，若2ππ2π63k+=+，则()125ππ2π126kk=+−，即()12212255kk=+−，不存在整数12

,kk，使得1,2=或3；若3π2π2π63k+=+，则()135ππ2π126kk=−+−，即()13212255kk=−+−，不存在整数13,kk，使得1=或3．当1321kk=+时，2=．此时3π2π3k=+，由π||2，得π3=．

19.记数列na的前n项和为nT，且111,(2)nnaaTn−==．（1）求数列na的通项公式；（2）设m为整数，且对任意*nN，1212nnmaaa+++，求m的最小值．【答案】（1）21,1,2,2.nnnan−==

（2）7【解析】【分析】（1）由数列na与nT的关系可得()122nnaan+=，再结合等比数列的通项可得解；（2）利用错位相减法求出1212nnaaa+++，结合范围即可得解.【小问1详解】因为111,(2)nnaaTn−==，所以211aa==，当2n时，112nnnnnaTTaa

+−+===，故()222222nnnaan−−==，且11a=不满足上式，故数列na的通项公式为21,1,2,2.nnnan−==【小问2详解】设1212nnnSaaa=+++，则11S=，

当2n时，102122322nnSn−−=++++，故112112232222nnSn−−−=++++，于是()122115222222nnnSn−−−−=++++−()121121252212nnn−−−−−=+−−．整理可得27(2)2nnSn−=−

+，所以7nS，又54968S=，所以符合题设条件的m的最小值为7．20.一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．（1）若5

000N=，求X的数学期望；（2）已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得(15)PX=最大的N的值作为N的估计值）．【答案】（1）20（2）6666【解析】【分析】（1）首先求出标鱼占总体的比例，再分析其符合超几何分布，根据超几何分布期望的计算公式即可得到

答案.（2）首先计算出当685N时，(15)0PX==，当685N时，15485200200500C(15)CNNCPX−==，记15485200200500CC()CNNaN−=，计算(1)()a

NaN+，从而得到()aN的单调性，最后得到其最大值.【小问1详解】依题意X服从超几何分布，且5000,200,500NMn===，故200()500205000MEXNn===．【小问2详解】当68

5N时，(15)0PX==，当685N时，15485200200500C(15)CNNCPX−==，记15485200200500CC()CNNaN−=，则48550012005004851200(1)CC()CC

NNNNaNaN+−+−+=(1500)(1200)(1)(1200485)NNNN+−+−=++−−(499)(199)(1)(684)NNNN−−=+−22698499199683684NNNN−+=−−．由2

2698499199683684NNNN−+−−，当且仅当4991996846665.715N+，则可知当6856665N时，(1)()aNaN+；当6666N时，(1)()aNaN+，故6666N=

时，()aN最大，所以N的估计值为6666．21.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=过点(42,3)A，且焦距为10．（1）求C的方程；（2）已知点(42,3),(22,0)BD−，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：||||||||GDHDGEHE=．【

答案】（1）221169xy−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意列方程组求出,ab，即可得出C的方程；（2）根据,,,DEHG四点共线，要证||||||||GDHDGEHE=即证HEGEGH

DD=，设出直线:(22)22tDEyx=−，()()1122,,,GxyHxy，(42,)Et，联立直线方程与椭圆方程得出1212,xxxx+，将其代入GGHEEDHD−，计算结果为零，即证出．【小问1详解】由题意可得22223291,210abab−=+=，故4,3

ab==，所以C的方程为221169xy−=．【小问2详解】设(42,)Et，()()1122,,,GxyHxy，当42x=时，即2321169y−=，解得3=y，则||3t，双曲线的渐近线方程为34yx=?，故当直线DE与渐近线平行时，此时和双曲线仅有

一个交点，此时直线DE方程为()3224yx=−，令42x=，则322y=，故32||2t．则直线:(22)22tDEyx=−．由22(22)221169tyxxy=−−=得()22229282161

440txtxt−+−−=，所以21228229txxt+=−，21221614429txxt+=−．()()()()1122112222,42,42,22,GHEGEDHxyxtxDytyxy−=−−−

−−−−−()()12121212226232xxyyxxtyy=+−+−++()22212123226243244txxtxxt=+−++++()()()222222248943244322929ttttttt+++=−++−−0=．所以HEGEGH

DD=，所以cos0cos0HEGGEDDH=即||||||||GDHDGEHE=．【点睛】关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设(42,)Et，从而得到直线DE方程，再使用

经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明0HEGEGDDH−=即可.22.椭圆曲线加密算法运用于区块链．椭圆曲线2332(,),4270Cxyyxaxbab==+++∣．PC关于x轴的对称点记为P%．C在点(,)(0)Pxyy处的切线是指曲线3yx

axb=++在点P处的切线．定义“”运算满足：①若,PCQC，且直线PQ与C有第三个交点R，则PQR=；②若,PCQC，且PQ为C的切线，切点为P，则PQP=；③若PC，规定*0PP=，且**00PPP==．（1）当324270ab+=时，讨论函数3()hxx

axb=++零点的个数；（2）已知“”运算满足交换律、结合律，若,PCQC，且PQ为C的切线，切点为P，证明：PPQ=；（3）已知()()1122,,,PxyCQxyC，且直线PQ与C有第三个交点，求PQ的坐标．参考公式：()3322()mnmnmmnn−=−++【答案】（1

）见解析（2）证明见解析（3）2212121212121121212,2yyyyyyxxxxyxxxxxx−−−−−−++−−−−【解析】【分析】（1）利用导数讨论函数的单调性后求出极值，从而可判断零点的个数.

（2）利用“”运算的性质计算PPQQ后可得证明.（3）设直线PQ的斜率1212yyxx−=−，利用点在曲线上结合因式分解可求第三个点的坐标.【小问1详解】由题设可知0a，有2()3hxxa=+，若0a=，则0b=，则3()hxx=

，此时()hx仅有一个零点；若a<0，令()0hx=，解得12,33aaxx=−−=−．当3ax<--或3ax>-时，()0hx，当33aax--<<-时，()0hx，故()hx在,3a−−−，,3a−+

上为单调递增；在,33aa−−−上()hx单调递减.因为324270ab+=，若0b，则3422733aaab=−−=−，此时2()0333333aaaaaahabb−−=−−−−−+=−−=

，而()03ah−故此时()hx有2个零点；若0b，则3422733aaab=−=−−，此时2()0333333aaaaaahabb−=−−+−+=+−=，而()03ah−−故此时()hx有2个零点；综上，

当()20,0bhx=，所以()hx有2个零点．当()10,0bhx=，所以()hx有2个零点．当0a=，有0b=，则()hx有1个零点．【小问2详解】因为PQ为C在点P处的切线，且QC，所以PQP=，故()0PPQPP==，故()()0PPQQQQ==，因为“

”运算满足交换律、结合律，故()()()()()0PPQQPPQQPPPP===，故PPQ=.【小问3详解】直线PQ的斜率1212yyxx−=−，设PQ与C的第三个交点为()33,xy，则()3311yxxy=−+，代入23333yxaxb=++

得()()2223311311332xxyxxyxaxb−+−+=++，而23111yxaxb=++，故()()22333113111332xxyxxxaxbxaxb−+−+++=++，整理得到：()()()22333113131312xxyxxx

xaxx+−−−−=+，故()32213231112xxyxxaxx−++=++即()222231311120xxxxxya+−++−+=，同理可得()222232322220xxxxxya+−++−+=，两式相减得：()()()2221

2312121220xxxxxxxyy−+−+−−=−，故()()1223121202yyxxxxx−+++−=−，所以()2231202xxx+−+=+，故2312xxx=−−，故21231212yyxxxxx−

=−−−，所以21212312112122yyyyyxxyxxxx−−−=−−+−，因此PQ的坐标为：2212121212121121212,2yyyyyyxxxxyxxxxxx−−−−−−++−−−−

．【点睛】思路点睛：函数新运算问题，需根据运算的性质选择合理的计算顺序来处理等式，而三次函数的零点问题，注意结合极值的符号处理零点的个数.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com