【文档说明】北京市通州区2024届高三上学期期末摸底考试数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，1.800 MB，由小赞的店铺上传

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通州区2023—2024学年高三年级摸底考试数学试卷2024年1月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题

共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合0,1,2,3,{|12}ABxx==−Z，则AB=（）A.0,1B.1,2,3C.0,1,2,3D.

1,0,1,2,3−【答案】D【解析】【分析】应用集合的并运算求集合.【详解】由题得1,0,1B=−，所以AB=0,1,2,31,0,11,0,1,2,3−=−.故选：D2.已知复数z满足()1i13

iz−=−，则复数z=（）A.3B.5C.22D.10【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算结合模长公式进行求解.【详解】由题意得()()()()13i1i13i=2i1i1i1iz−+−==−−−+，所以22

2(1)5z=+−=，故选：B.3.已知双曲线的左､右焦点分别为()()123,0,3,0,FFP−为双曲线上一点，且212PFPF−=，则双曲线的标准方程为（）A.2218yx−=B.22110yx−=C.2218yx−=D.22110yx−=【答案】A【解析】【分析】由题意可设双

曲线标准方程为22221,(0,0)xyabab−=，进而确定,ac的值，求得2b，即得答案.【详解】由题意可设双曲线标准方程为22221,(0,0)xyabab−=，焦距为2c，则由双曲线的左､右焦点分别为()()12,,,0330FF−，可知3c=，由212PFPF−=，

知22,1aa==，故2228bca=−=，故双曲线的标准方程为2218yx−=，故选：A4.下列函数中，是偶函数且在区间()0,+上单调递减的是（）A.()1fxx=B.()2logfxx=−C.()12xfx=D.()cosfxx=【答案】C【解析】【分析】由函数奇偶性以及

单调性定义对选项逐个判断即可.【详解】对于A，()1fxx=的定义域为0xx，()()1fxfxx−=−=−，故()1fxx=为奇函数，故A错误；对于B，()2logfxx=−的定义域为0xx，不关于原点对称，故()2logfxx

=−是非奇非偶函数，故B错误；对于C，()12xfx=的定义域为R，()()1122xxfxfx−−===，故()12xfx=为偶函数，当0x时，()12xfx=，在区间()0,+上单调递减，故C正

确；对于D，()cosfxx=的图象如下图，故D错.故选：C.5.如图，已知某圆锥形容器的轴截面PAB为等边三角形，其边长为4，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱上底面的所在平面与圆锥底面的所在平面重合.若圆柱的高是圆锥的高的12，则圆柱的体积为（）A.33πB.23π3

C.3πD.23π【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出轴截面图，求出正三角形的高，再结合题意得圆柱的底面半径和高，进而计算体积即可.【详解】根据题意，轴截面如图：在等边三角形PAB中，高2223PCPAAC=−=，因为圆柱的高是圆锥的高的12，所以圆柱的高1233

2DE==,又DEPC且12DEPC=，所以D是AC的中点，即1CD=，于是该圆柱的底面半径为1，高为3，则体积为2π133πV==.故选：C.6.已知函数()()22fxxxcc=−+R，则“(),0xfxR”是“3c”的（）A.充分

而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出(),0xfxR时c的范围，然后根据充分条件及必要条件的概念即可得出结论.【详解】由题意，在()()22fxxxcc=−+R中，对称轴2121x−=−=，∴当()

,0xfxR时，()()min1120fxfc==−+，解得：1c，∴“(),0xfxR”是“3c”的充分而不必要条件.故选：A.7.如图，在平面直角坐标系xOy中，角和的顶点都与原点重合，始边都与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于,A

B两点.若()43π,,1,0,553ACBOC−=，则()cos−=（）A.43310−−B.43310−C.43310−+D.43310+【答案】C【解析】【分析】由题意并根据π3BOC=可得()2π2π3kk=+Z，由三角函数定义知34sin,cos55

==，然后应用差角余弦公式计算求值即可.【详解】由题意，设()π2π2ππ2π33kkk=+−=+Z，由已知A的坐标并结合三角函数的定义得34sin,cos55==，则()1433433coscoscossinsin252

510−+−=+=−+=故选：C8.现有12个圆，圆心在同一条直线上，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，从左到右它们的半径的长依次构成首项为16，公比为12的等比数列，前3个圆如图所示.若点,PQ分别为第3个圆和第10

个圆上任意一点，则PQ的最大值为（）A.25532B.25516C.1278D.2558【答案】B【解析】【分析】由题意可知，PQ的最大值为这8个圆的直径之和23491111322222

++++，然后利用等比数列求和公式可求得结果【详解】由题意可知，这12个圆的半径的长依次构成首项为16，公比为12的等比数列，所以11162nna−=

，PQ的最大值为这8个圆的直径之和23491111322222++++，由等比数列前n项和公式可得，PQ的最大值为811142255255321612561612

−==−..故选：B.9.在菱形ABCD中，2,60,ABBADE==是BC的中点，F是CD上一点（不与C，D重合），DE与AF交于G，则AGDG的取值范围是（）A.20,3

B.40,3C.()0,2D.()0,3【答案】B【解析】【分析】由图可求得23(0,)3DG，根据向量积即可知24(0,)3AGDGDG=.【详解】如图所示：当点F与点C重合时，此时DG最长，易知ADGCEG∽，且相似比为2:1，60BADDCB

==，在DCE△中，由余弦定理得：2222cos603DEDCCEDCCE=+−=，所以3DE=，此时满足222DECEDC+=，所以DECE⊥，所以90ADE=，此时22333DGDE==，由图可知，23(0,)3DG，则224()(0,)3AGDGADDGDGADDGD

GDG=+=+=.故选：B.10.已知函数()2log,021,0xxfxxx=+，实数,,abm满足amb.若对任意的m，总有不等式()3fmm+成立，则ba−的最大值为（）A.83B.103C.4D.6【答案】D【解析】【分析】由分段函数的定

义域对m进行分类讨论可得m的范围，即可得ba−的最大值.【详解】当0m时，有2log3mm+，由2logmm+随m增大而增大，且()22log223f=+=，故02m，当0m时，有213mm++，即213mm+−，即2244169mmmm++−+，整理得

231080mm+−，即()()3240mm−+，故243m−，又0m，故40m−，综上所述，42m−，则()246ba−−−=，当且仅当2b=、4a=−时等号成立，故ba−的最大值为6.故选：D.第二部分（非选择题共1

10分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数()()22log3xfxx=++，则()2f−=__________.【答案】14##0.25【解析】【分析】利用函数表达式即可求出()

2f−的值.【详解】由题意，在()()22log3xfxx=++中，()()22112log230442f−+−+===−+，故答案为：14.12.在821xx−的展开式中，x的系数为__________

.【答案】56−【解析】【分析】由展开式的通项求解即可.【详解】821xx−的展开式的通项为()()1388286C11Ckkkkkkxxx−−=−−，令1631k−=，解得5k=，所以x的系数为()558C156−=−，故答案为：-56.13.在ABC中，角,,ABC所

对的边分别为,,abc，且3cossin3abCcB=+，则B=__________；若ABC的面积3,5ABCSac=+=，则b=__________.【答案】①.π3##60②.13【解析】【分析】由正弦定理化简已知式可得tan3B=，即可求出B；再由

三角形的面积公式和余弦定理可求出b.【详解】因为()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+，由正弦定理可得coscosabCcB=+，所以由3cossin3abCcB=+可得：3cossin3cBcB=，则tan3B=，所以π3B=；11333sin2224ABCSacB

acac====，解得：4ac=，因为5ac+=，所以由余弦定理可得：()22222cos3251213bacacBacac=+−=+−=−=，则13b=.故答案为：π3；13.14.已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，点(),Pmn为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FP为半径的圆交C的准

线于,AB两点.若4n=，则圆F的方程为__________；若PAAB⊥，则m=__________.【答案】①.22(1)25−+=xy②.3【解析】【分析】先根据点P的纵坐标代入抛物线方程求出其横坐标，再

求得圆心和半径即得圆F的方程；根据PAAB⊥可判断得到正三角形APF，利用其高长与边长的关系列方程解得.【详解】如图，当4n=时，把4yn==代入24yx=中，解得：4x=，因点P在第一象限,故得(4,

4)P，依题意，圆心为(1,0)F，圆的半径为22||(41)45FP=−+=,故圆F的方程为：22(1)25−+=xy.当PAAB⊥时，依题，||||||PAPFAF==，即APF为正三角形，因(,2)Pmm，则||1PFm=+，由2(1)sin6

0mm=+解得：3m=或13m=.因当13m=时，4||23PF=,此时，以点F为圆心，FP为半径的圆与准线不相交，不合题意舍去，而3m=显然满足题意.故3m=.故答案为：22(1)25−+=xy；3.15.已知数列na的前n项和为nS，且()232nnSa

=−，数列nb是公差不为0的等差数列，且满足1141,2bab=是1b和12b的等比中项.给出下列四个结论：①数列na的通项公式为23nna=；②数列11nnbb+前21项的和为1445；③数列nb中各项先后顺序不变，在mb与()*

1mbm+N之间插入2m个2，使它们和原数列的项构成一个新数列，则新数列的前100项和为236；④设数列nc的通项公式1,2,2knkkncan==，则数列1nc−的前100项和为2178.其中所有正确结论的序号是_____

_____.【答案】①④【解析】【分析】利用()12nnnaSSn−=−求出na可判断①；设数列nb的构成为()0dd，根据4b是1b和12b的等比中项求出d可得nb，再利用裂项相消求和可判断

②；求出构成的新数列，再求和可判断③；求出数列nc的前100项再求1nc−的前100项和可判断④.【详解】1n=时，()11232aa=−，得16a=，2n时，()()()11132323222nnnnnnnaaaaaSS−−−−−−=−=−=，可得13n

naa−=，所以na是以首项为6公比为3的等比数列，所以16323nnna−==，故①正确；设数列nb的构成为()0dd，11312==ba，因为4b是1b和12b的等比中项，所以24112=bbb，可得()(

)23413311dd+−=+，解得53d=，所以()55431333nbnn=+−=+，()()119911545955459nnbbnnnn+==−++++，所以数列前21项的和9111111911591414195214521959114S=

−+−++−=−++738=，故②错误；数列nb中各项先后顺序不变，在mb与()*1mbm+N之间插入2m个2，使它们和原数列的项构成一个新数列，则1m=时，即在13b=与2143=b之间插入122=个

2，为143,2,2,3，2m=时，即在2143=b与3193=b之间插入224=个2，为1419,2,2,2,2,33，3m=时，即在3193=b与4243=b之间插入328=个2，为821924,2,,2,33个，

4m=时，即在4243=b与5293=b之间插入4216=个2，为1622429,2,,2,33个，5m=时，即在5293=b与6343=b之间插入5232=个2，为3222934,2,,2,33个，6

m=时，即在6343=b与7393=b之间插入6264=个2，为32234,2,,23个，所以新数列的前100项和为1419242934329423133333++++++=，故③错误；因为1,2,2knkkncan==，即数列nc的前100

项为123456711513113611,,1,,1,1,1,,11,,11,11,,11个个个个，，，，，，，，，aaaaaa，所以1nc−的前100项和123456111111−+−+−+−+−+−aaaaaa()66136217813−=−=−，故④正确.故选：①④.【

点睛】关键点睛：③④解题的关键点是求出构成的新数列，再求和可判断.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数()2223sincossincosfxxxxx=+−.（1）求()fx的最小正周期及单调递增区间；

（2）若()01fx=，且0ππ,22x−，求0x的值.【答案】（1）πT=，单调递增区间为πππ,π,63kkk−++Z（2）π6【解析】【分析】（1）由二倍角公式以及两角和与差化简可得()π2sin26fxx=−，再求最小正周期和单调区间即可；（2）由(

)01fx=得0π1sin262x−=，则0x的值可求.【小问1详解】因为()2223sincossincosfxxxxx=+−，所以()π3sin2cos22sin26fxxxx=−=−.所以()fx的最小正周期

2ππ2T==.令πππ2π22π262kxk−+−+，得ππππ,63kxkk−++Z.所以()fx的单调递增区间为πππ,π,63kkk−++Z.【小问2详解】因为0ππ22x−，所以07ππ5π2666x−−.因为()01fx=，所以0π1sin2

62x−=.所以0ππ266x−=.所以0π6x=.所以0x的值为π6.17.如图，在多面体ABCDE中，ABC为等边三角形，AD∥CE，,2ACCEACCEAD⊥==2=.点F为BC的中点，再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.（1）求证：AF⊥平面BCE；

（2）设点G为BE上一点，且23BGBE=，求直线AC与平面AFG所成角的正弦值.条件①：平面ACED⊥平面ABC；条件②：22BE=.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析

（2）21717【解析】【分析】（1）选条件①，根据面面垂直的性质推出CE⊥平面ABC，继而推出AFCE⊥，再结合题意，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；选条件②，根据勾股定理逆定理证明BCCE⊥，可得C

E⊥平面ABC，继而推出AFCE⊥，再结合题意，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）由（1）可得CE⊥平面ABC，则可得AD⊥平面ABC，由此建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面AFG的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】选条件

①：平面ACED⊥平面ABC，因为平面ACED⊥平面,ABCACCE⊥，平面ACED平面,ABCACCE=平面ACED，所以CE⊥平面ABC，因为AF平面ABC，所以AFCE⊥.因为ABC为等边三角形，点F为BC的中点，所以AFBC⊥，因为CE平面

,BCEBC平面,BCECEBCC=，所以AF⊥平面BCE.选条件②：22BE=因为22ACCEAD===，ABC为等边三角形，所以2BCCE==，因为22BE=，则222BCCEBE+=，所以ABC为直角三角形，所以BCCE⊥，因为,,,ACCEACBCCA

CBC⊥=平面ABC，所以CE⊥平面ABC，因为AF平面ABC，所以AFCE⊥，因为ABC为等边三角形，点F为BC的中点，所以AFBC⊥，因为CE平面,BCEBC平面,BCECEBCC=，所以AF⊥平面BCE.【

小问2详解】因为ADCE，由（1）知CE⊥平面ABC，所以AD⊥平面ABC.如图，以点A为原点，过点A在平面ABC内作AC的垂线作为x轴，分别以,ACAD所在直线为y轴､z轴建立空间直角坐标系Axyz−，所以()()()()330,0,0,3,1,0,0,

2,2,,,0,0,2,022ABEFC，所以()()330,2,0,,,0,3,1,222ACAFBE===−.因为点G为BE上一点，设(),,Gxyz，所以()3,1,BGxy

z=−−.因为23BGBE=，则23BGBE=，所以()()23,1,3,1,23xyz−−=−，所以354,,333xyz===，所以354,,333G，所以354,,333AG=.设平面AFG的法向量为(),,

nxyz=，所以00AFnAGn==，所以330223540333xyxyz+=++=，令1y=−，得13,2xz==，所以13,1,2n=−.设直线AC与平面AFG所成角为，π[0

]2,，所以2217sin|cos,|1712314ACn===++，所以直线AC与平面AFG所成角的正弦值为21717.18.民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报

名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为312,,

,1433.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞.（1）估计每位报名学生被确认为有效招飞申请概率；（2）求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；（3）根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩

能被招飞院校录取的概率分别为233,,355，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）16（2）2572（3）分布列见解析，()1445=EX【解析】【分析】

（1）由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得；（2）可看成3次独立重复试验模型求解概率；（3）分别计算出甲、乙、丙能被招飞院校录取的概率，按步骤求出离散型随机变量的分布列.【小问1详解】因为每位报名学生通过前4项流

程的概率依次约为312,,,1433，且能否通过相互独立，所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率312114336P==.【小问2详解】因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为16，所以甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概

率2131125C16672P=−=.【小问3详解】因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为16，且预估甲､乙､丙三人的高考成绩能被招飞院校录取的的概率分别为233,,355，所以甲能被招飞院校录取的概率1121639P==，乙能被招飞院校录取的概率21

316510P==，丙能被招飞院校录取概率31316510P==.依题意X的可能取值为0,1,2,3，所以()1111801119101025PX==−−−=，()111111111121191010109104PX

==−−+−−=，()1111111322119101091010450PX==−+−=，()1111391010900PX===.所以X的

分布列为：X0123P182514134501900所以()18113114012325445090045EX=+++=.19.已知函数()()2exfxx=−.（1）求曲线()yfx=在点()()0,0f处切线方程；（2）设

函数()()224(0)gxfxaxaxa=−+.①若()gx在1x=处取得极大值，求()gx的单调区间；②若()gx恰有三个零点，求a的取值范围.【答案】（1）20xy++=（2）①单调递减区间为()1,ln4a，单调递增区间为(),1−和()ln4,a+；②22

eee,,244+【解析】的【分析】（1）由导数的几何意义计算即可得；（2）①对()gx求导后，令()0gx=，结合()gx在1x=处取得极大值可得a的范围，即可得()gx的单调区间；②由()()22e24xgxxaxax=−−

+，可得2x=是()gx的一个零点，故e20xax−=有两个不为2实数根，即方程12exxa=有两个不为2实数根，构造函数()exxhx=，利用导数讨论函数()hx的单调性后计算即可得.【小问1详解】因为()()2exfx

x=−，所以()()()e2e1exxxfxxx=+−=−，所以()()02,01ff=−=−，所以曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程为2yx+=−，即20xy++=；【小问2详解】①因函数()()224gxfxaxax=−+，所

以()()22e24xgxxaxax=−−+，所以()()()()1e441e4xxgxxaxaxa=−−+=−−，令()0gx=，得1x=，或ln4xa=，（i）当ln41a时，即e04a时，令()0gx，得ln41ax；令()0gx，得ln4xa

，或1x，所以()gx在区间()ln4,1a上单调递减，在区间(),ln4a−和()1,+上单调递增，所以()gx在1x=处取得极小值，此时不符合题意，（ii）当ln41a=时，即e4a=时，()()()1e40xgxxa=−−，所以()gx在区间R上单调递增，

所以()gx在1x=处不取极值，此时不符合题意，为（iii）当ln41a时，即e4a时，令()0gx，得1ln4xa；令()0gx，得1x，或ln4xa，所以()gx在区间()1,ln4a上

单调递减，在区间(),1−和()ln4,a+上单调递增，所以()gx在1x=处取得极大值，此时符合题意，综上所述，()gx的单调递减区间为()1,ln4a，单调递增区间为(),1−和()ln4,a+；②因为()()22e24xgxxaxax=−−+，所以()()()2e2

xgxxax=−−，所以2x=是()gx的一个零点，因为()gx恰有三个零点，所以方程e20xax−=有两个不为2实数根，即方程12exxa=有两个不为2实数根，令()exxhx=，所以()1exxhx−=，令()0hx，得1x，令()0hx，得1x，所以

()hx在区间(),1−上单调递增，在区间()1,+上单调递减，当(,1x−时，()hx的值域为1,e−；当()1,x+时，()hx的值域为10,e，所以1102ea，且2122ea，所以2ea，且2e4a，所以a的

取值范围是22eee,,244+.【点睛】关键点睛：本体最后一问关键在于对函数()gx因式分解，可得一零点，再研究另一因式，结合方程与函数的关系参变分离构造新函数，结合导数研究新函数的单调性即可得.20.已知椭圆2

222:1(0)xyEabab+=的短轴长为2，且离心率为32.（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的上､下顶点分别为点,AB，过点()0,2M的直线l与椭圆E交于不同两点()()1122,,,PxyQxy，且12yy，直线AP与直线BQ交于点N，求证：点N在一条定直线

上.【答案】（1）2214xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由短轴长及离心率和,,abc之间的关系求出,ab的值，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得,AB的坐标，设直线l的方程，与椭圆联立得到韦达定理，求出直线,APBQ，再求两条直线的交点N的坐标；【小问1详解】因为椭圆E的短轴长

为2，所以22b=.所以1b=.因为离心率为32，所以32ca=.所以2222314caaa−==，解得24a=所以椭圆E的方程为2214xy+=.【小问2详解】①若直线l的斜率不存在，不符合题意.②若直线l的斜率存在，设为k，所以直线l的方程为2yk

x=+.联立方程组222,1,4ykxxy=++=消去y，化简得()224116120kxkx+++=.所以()2Δ16430k=−，得32k−，或32k.因为()()1122,,,PxyQxy，且12yy，所以121

2221612,4141kxxxxkk−+==++..直线AP的方程为1111yyxx−−=，即1111yyxx−=+.直线BQ的方程为2211yyxx++=，即2211yyxx+=−.因为直线AP与直线BQ交于点N，所以点N的纵坐标()()()()122112211

111Nxyxyyxyxy++−=+−−.所以()()()()1221121212211221212321213Nxkxxkxkxxxxyxkxxkxxx++++−++==++−+−−()1212121

22212121211224323243164141333kxxxxkxxxxkkxxxxxx−+++++++++===−−−12123112232xxxx−==−.所以点N在直线12y=上.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线

问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；②利用0求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线.21.已知数列12:,,,nAaaaL为有穷正整数数列.若

数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：①12naaam+++=；②对于1ijn，使得ijaa的正整数对(,)ij有k个.（1）写出所有4的1减数列；（2）若存在m的6减数列，证明：6m；（3）若存在2024的k减数列，求k的最大值.【答案】（1

）数列1,2,1和数列3，1（2）证明见解析（3）k的最大值为512072【解析】【分析】（1）根据k减数列的定义，即可写出答案；（2）根据存在m的6减数列，可得2C6n，即4n，继而分类讨论n的取值，说明每种情况下都有6m，即可证明结论；（3）分类讨论数列中的项的情况，结

合题意确定数列A为2,2,,2,1,1,,1的形式，从而结合设其中有x项为2，有y项为1，=kxy进行求解，即可得答案.【小问1详解】由题意得124naaa+++=，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.【小问2详

解】因为对于1ijn，使得ijaa的正整数对(),ij有k个，且存在m的6减数列，所以2C6n，得4n.①当4n=时，因为存在m的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m+++=.②当5n=时，因为存在m的6减数列，所以数列各项中必有不

同的项，所以6m.若6m=，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k，不符合题意，所以6m.③当6n时，因为存在m的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m.综上所述，若存在m的6减数列，则6m.【小问3详解】若数列中的每一项都相等，则

0k=，若0k，所以数列A存在大于1的项，若末项1na，将na拆分成na个1后k变大，所以此时k不是最大值，所以1na=.当1,2,,1in=−时，若1iiaa+，交换1,iiaa+的顺序后k变为1k+，所以此时k不是最大值，所以1iiaa+.若10,1iiaa+−

，所以12iiaa++，所以将ia改为1ia−，并在数列末尾添加一项1，所以k变大，所以此时k不是最大值，所以10,1iiaa+−.若数列A中存在相邻的两项13,2iiaa+=，设此时A中有x项为2，将ia改为2，并在数列末尾添加2ia−项1后，k的值至少变为11kxxk++

−=+，所以此时k不是最大值，所以数列A的各项只能为2或1，所以数列A为2,2,,2,1,1,,1的形式.设其中有x项为2，有y项为1，因为存在2024的k减数列，所以22024xy+=，所以()2220242220242(506)512072kxyxxxxx==−=−+=−−+，所以，当且仅当

506,1012xy==时，k取最大值为512072.所以，若存在2024的k减数列，k的最大值为512072.【点睛】难点点睛：本题考查数列新定义问题，解答时要理解新定义的含义，并由此依据定义去解答问题，难点在于第3问中求参数的最大值问题，要分类讨论，确定数列A为2,2,,2,1,1

,,1的形式，从而结合设其中有x项为2，有y项为1，=kxy进行求解.