【文档说明】上海市上海中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题 含解析.docx，共(15)页，762.844 KB，由小赞的店铺上传

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上海市上海中学2021-2022学年高二下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.直线3320xy−+=的倾斜角的大小为____．【答案】π3##60°．【解析】【分析】根据直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再由

tank=得直线的倾斜角.【详解】由3320xy−+=得2333yx=+，所以直线的斜率3k=，设直线的倾斜角为且0π，由tan3k==，解得π3=.故答案为：π3．2.圆心为(1,2)且与直线51270xy−−=相切的圆的方程为_____________．【答案】22

(1)(2)4xy−+−=【解析】【分析】利用点到直线距离公式求出半径即可.【详解】因为圆与直线51270xy−−=相切，所以圆心(1,2)到直线51270xy−−=的距离等于半径，即511227213rd−

−===，所以圆心为(1,2)且与直线51270xy−−=相切的圆的方程为22(1)(2)4xy−+−=，故答案为：22(1)(2)4xy−+−=【点睛】本题主要考查利用直线与圆的位置关系求圆的方程，属于基础题.3.由数字0，1，2，3，4可组成无

重复数字的两位数的个数是__．【答案】16【解析】【分析】分两位数不含0和含0两种情况，进行求解.【详解】当两位数不含0时，有2412P=种；当这个两位数含有0时，只有4种情况，总的个数为12416+=．故答案为：164.直线1:10lxa

y−−=与直线2:330lxy+−=垂直，则=a__．【答案】3【解析】【分析】根据直线一般式垂直的充要条件列方程求解即可得a的值.【详解】解：因为直线1:10lxay−−=与直线2:330lxy+−=垂直

，所以()1310a+−=，解得3a=．故答案为：3.5.对任意实数m，圆2236920xymxmym+−−+−=恒过定点，则定点坐标为__．【答案】()1,1或17,55【解析】【分析】由已知得222(369)0xyxym+−−+−=，

从而22203690xyxy+−=+−=，由此能求出定点的坐标．【详解】解：2236920xymxmym+−−+−=，即222(369)0xyxym+−−+−=，令22203690xyxy+−=+−=，解得1x=，1y=，或

15x=，75y=，所以定点的坐标是()1,1或17,55．故答案为：()1,1或17,55.6.用“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”这六个字可以组成__种不同的六字短语（不考虑短语的含义）.【答案】360【解析】【分析】先将六个字全排列，

再除以2即可.【详解】先将六个字进行排列，有66A720=种选择，由于六个字中有两个相同的“墩”，故均重复计算了一次，所以共有7202360=种不同的六字短语.故答案为：3607.在3月举行的“SBG”篮球

赛中，8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是__．【答案】37【解析】【分析】分2个强队都分在A组和都分在B组两种情况讨论，结合古典概型运算求解.【详解】2个强队分在同一组，包括互斥的两种情况：2个强队都分在A组和都分在

B组2个强队都分在A组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为2648CC；2个强队都分在B组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为2648CC．因此，2个

强队分在同一个组的概率为22664488CC3CC7P=+=．故答案为：37.8.某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为110，若记取出3个球中黑球的个数为X，则[]DX=__．【答案】925##

0.36【解析】【分析】黑球的个数为n，通过从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为110，求出n，然后求解记取出3个球中黑球的个数为X，的概率得到分布列，然后求解期望与方差即可．【详解】解：设黑球的个数为n，由335C1C

10np==得3n=，记取出3个球中黑球的个数为X，X的取值可以为1，2，3；2123353(1)10CCPXC===，12233563(2)105CCPXC====，032335CC1(3)C10PX===，则X分布列如下：X123P31035110所以3319[]123105105

EX=++=，则2223939199[]1231055510525DX=−+−+−=．故答案为：925.9.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为__．【答案】576【解析】【分

析】先将甲丁捆绑，后与剩余3人排列，最后将乙丙插空排入不与甲相邻的位置，计算得到每步的方法，用分步计数原理相乘即可得出结果.【详解】可以分步完成：①甲丁捆绑后排序有22P212==种方法，②捆绑后的甲丁与另外的3人（不包含乙丙）排序，有44P432124==种方法，③第②步完成后，有5

个空位，去掉与甲相邻1个空位，将乙丙用插空法排入四个空位中，有24P4312==种方法.由分步乘法计数原理，共有22412576=种方法．故答案为：576.10.已知圆22:(4)(3)4Cxy−+−=和两点(,?0),?(,?

0)(0)AmBmm−，若圆C上至少存在一点P，使得90APB=，则m的取值范围是________．【答案】[3?7]，；【解析】【详解】由于AB、两点在以原点为圆心，m为半径的圆上，若圆C上至少存在一点P，使得90APB=，则两圆有公

共点，设圆心距为d，5d=，则22dmd−+，则3m7，则m的取值范围是[3,7].11.盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是_________．【答案】bab+##bba+【解析

】【分析】根据BABAB=+，由全概率公式计算可得结果.的【详解】记事件A：第一次抽取是黑球；事件B：第二次抽取的是黑球；则BABAB=+；()bPAab=+，()bcPBAabc+=++；()aPAab=+，()bPBAabc=++，()()

()()()bbcabPBPAPBAPAPBAababcababc+=+=+++++++()()()()()()bbcabbabcbababcababcab++++===+++++++.故答案为：

bab+.12.在平面直角坐标系xOy中，已知圆22:(3)(33)9Axy−+−=和圆222:()0Oxyrr+=，且圆A和圆O相交于,PQ两点，若在直线PQ上存在一点R，使得0RORA，则r的取值范围是__．【答案

】(3,35]【解析】【分析】求出两圆的圆心、半径.根据已知，可得,OA在直线PQ两侧或A在直线PQ上，进而即可得出r的取值范围.【详解】由已知可得，圆22:(3)(33)9Axy−+−=的圆心()3,33A，半径13r=；圆222:()0Oxyrr+=的圆心为()0,0O，半径2rr=.所以

，223(33)6OA=+=.因为两圆相交，所以|3|3rOAr−+，所以39r.若直线PQ上存在一点R，使得0RORA，所以,OA在直线PQ两侧或A在直线PQ上.当,OA在直线PQ两侧时，显然有0RORA成立.的在如图1，只需OPA

POA+，即36r+，所以3r，当A在直线PQ上时，如图2.此时由OAPQ⊥，可知22223635rOPAPOA==+=+=，显然此时r值最大.从而r的取值范围是(3,35]．故答案为：(3,35]．二、选择题（本大题共有4小题，满分

20分，每题5分）13.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A=“第一次取到的是奇数”，B=“第二次取到的是奇数”，则()PBA=（）A.15B.310C.25D.12【答案】D【解析

】【分析】根据题意分别求得5()9=PA，5()18PAB=，结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，事件A=“第一次取到的是奇数”，B=“第二次取到的是奇数”，可得5()9=PA，545()9818PAB==，根据条件概

率的计算公式，可得()41()()82PABPBAPA===.故选：D.14.设0,,1abc，随机变量的分布列是012Pabc若45(),()39ED==，则（）A.11,46ab==B.11,63ab==C.11,43ab==D.11,62ab==【答案】B【解析】

【分析】直接根据分布列、期望、方差的定义列方程组，即可求出a、b、c.【详解】由分布列可知：1abc++=.4()0123Eabc=++=，2224445()0123339Dabc=−+−+−=，即16

45abc++=所以联立方程组得：1401231645abcabcabc++=++=++=，解得：161312abc===故选：B【点睛】在离散型随机变量的分布列中，概率和为1.15

.已知直线1xyab+=(a、b为非零常数）与圆22100xy+=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）条A.66B.60C.52D.50【答案】B【解析】【分析】由已知求出圆上的整数点，然后分别分析直线

与圆相切以及直线与圆相交两种情况，求出满足条件的直线条数，即可得出答案.【详解】由已知可得，直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点.而圆22100xy+=上的整数点共有12个，分别为(6,8)，(6,8)−，(8,6)，(8,6)−，(10,0)，(0,10).当

直线与圆相切时，显然切点为(10,0)或(0,10)时，不满足题意，此时满足条件的有8条；当直线与相交时，则可知过任意两点，构成2121211C662==条直线，其中垂直于x轴直线的有4条，垂直于y轴直线的有4条，根据圆上点的对称性，知过原点的直线有6条.故满足题设

的直线有6644652−−−=条．综上，满足题设的直线共有52860+=条.故选:B．16.已知方程210cotcosxx+−=有两个不等实根a和b，那么过点2(,)Aaa、2(,)Bbb的直线与圆222xy+=的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.随值变化【答案】A【解

析】【分析】由根与系数的关系得到ab+和ab，根据两点的坐标求出直线方程，再根据圆心到直线的距离求出距离与圆的半径大小进行比较可得答案.【详解】由a和b为方程210cotcosxx+−=的两个不等的实根，得1cotab+=−，1co

sab=−，又2(,)Aaa、2(,)Bbb，得到直线AB的斜率22abkabab−==+−，线段AB的中点坐标为22(,)22abab++，所以直线22:()()22ABabablyabx++=+−+，即()0abxyab+−−=，由圆222xy+=，得圆心坐标为(0,0)，半径2r=

，则圆心到直线AB的距离：222222111coscocscos11111ccosos()sin1otabdrab−=====++++，所以直线AB与圆位置关系是相交．故选：A．三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知直线l经过点(3,3)P−，并且与直

线0:310lxy−+=的夹角为π3，求直线l的方程．【答案】3x=−或30xy+=．【解析】【分析】先求出0l的倾斜角，根据两直线的夹角，求得l的倾斜角，结合直线过点P，可求得直线方程.【详解】由于直线0:310lxy−+=的斜率为33，故它的倾斜角为π6，由于直线l和直线0:

320lxy−+=的夹角为3，故直线l的倾斜角为π2或5π6，故直线l的斜率不存在或斜率为33−．再根据直线l经过点(3,3)P−，得直线l的方程为3x=−或33(3)3yx−=−+，即3x=−或30xy+=．18.现有一些小球和盒子，完成下面

的问题．（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中（允许有空盒子），一共有多少种不同的放法？（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？【答案】（1）256；（2）14

4.【解析】【分析】（1）根据题意分析将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，由分步计数原理计算即可得出答案；的（2）根据题意，分两步进行，①将4个小球分为3组，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，根据分步计数原

理计算即可得出答案；【小问1详解】4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，则4个小球有4444256=种不同的放法；【小问2详解】①将4个小球分为3组，有24C6=种分组方法，②在4个盒子中任选

3个，放入三组小球，有3343CA24=种情况，则624144=种不同的放法．19.在核酸检测中，“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人

的检测结果都为阴性，检测结束；如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束．现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．（1）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用

“10合1”混采核酸检测．①如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：②已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为111．设X是检测的总次数，求X的分布和期望[]EX．（2）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合

1”混采核酸检测．设Y是检测的总次数，求Y的分布和期望[]EY，并比较[]EY与（1）中[]EX的大小．【答案】（1）①20次；②分布列见解析，32011（2）分布列见解析，2950[]99EY=，[][]EXEY【解析】【分析

】（1）①分析得到先检验10次，再由两名患者在同一组，检验10次，共20次；②求出X的可能取值及对应的概率，得到分布列；（2）得到Y的可能取值及对应的概率，得到分布列，计算出期望，方法一：与[]EX直接比较出大小即可；方法二：先设“10合1”和“5合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的

概率分别为1p，2p，则12pp，得到1[]3010EXp=−和2[]305EYp=−，从而比较出大小关系.此时有111[]2030(1)3010EXppp=+−=−；而22211[]2530(1)30530530

10[]EYpppppEX=+−=−−−=，所以[][]EXEY．【小问1详解】①若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；又两名患者在同一组，需要再检查10次，因此一共需要检查20次．②由题意得X的可能取值为20，30

．当20X=时，两名患者在同一组，故1(20)11PX==，当30X=时，两名患者不在同一组，故110(30)11111PX==−=，从而得到分布列如下：X2030P1111011期望110320[]2030111111EX=+=．【小问2详解】由题意得：采用“5合1”混采核酸检测，先检测2

0次，若两名感染患者在同一组，此时25Y=，若两名感染患者不在同一组，则30Y=．232985100CC4(25)20C99PY===，495(30)19999PY==−=．得分布列为Y2530P4999599故期望4952950[]2530999999EY=+=

，法一：因为29502880320999911=，所以[][]EXEY．法二：设“10合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为1p，“5合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为2p，则12pp，此时有111[]2030(1)3010E

Xppp=+−=−；而22211[]2530(1)3053053010[]EYpppppEX=+−=−−−=，所以[][]EXEY．20.设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一批彩电.（1）假设100

台彩电中有10台次品，现采用不放回抽样从中依次抽取3次，每次抽1台，求第3次才抽到合格品的概率；（2）若甲、乙、丙3个车间产量依次占全厂的45%、35%、20%，且各车间的次品率分别为4%、2%、5%，.现从一批产品中检查出1个次品，求该次品来

自甲、乙、丙车间的概率分别是多少?【答案】（1）91078；（2）甲车间1835，乙车间15，丙车间27．【解析】【分析】（1）根据分步乘法计数原理，可直接求解；（2）求出各种产量的数量，然后根据全概率公式求出次品率，然后根据条件概率求解即可.【小问1详解】第

3次才抽到合格品的概率10990910099981078P==.【小问2详解】设B=“从一批产品中检查出1个次品”，1A=“零件为甲车间加工”，2A=“零件为乙车间加工”，3A=“零件为丙车间加工”.则123AAA=，且123,,AAA两两互斥.由题意可知，()10.45PA=，()20

.35PA=，()30.2PA=，()1|0.04PBA=，()2|0.02PBA=，()3|0.05PBA=.由全概率公式可得，()()()()()()()112233|||PAPBAAPBAAPBABPPP=

++0.450.040.350.020.20.050.035=++=.则该次品来自甲车间的概率()()()11|PABPABPB=()()()11|PBAPAPB=0.450.04180.3535==，该次品来自乙车间的概率()()()(

)()()2222|0.350.021|0.355PABPBAPAPABPBPB====，该次品来自丙车间的概率的()()()()()()3333|0.20.052|0.357PABPBAPAPABPBPB====.21.

已知直线:43100lxy++=，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方．（1）求圆C的方程；（2）过点()1,0M的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22

4xy+=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设出圆心，根据相切求出圆心即可得出方程；（2）设出直线方程，与圆方程联立，根据ANBNkk=−建立关系可求出.【小问1详解】设圆心5(,0)2Caa−，由题可得圆心到直线的距离|410|2

5a+=，解得0a=或5a=−（舍去），所以圆的方程为224xy+=；【小问2详解】当直线ABx⊥轴，则x轴必平分ANB，此时N可以为x轴上任一点，当直线AB与x轴不垂直时，设直线方程为(1),(0)ykxk=−，设(

)()1122(,0),,,,NtAxyBxy，由224(1)xyykx+==−，可得()22221240kxkxk+−+−=，经检验Δ0，所以2212122224,11kkxxxxkk−+==++，若x轴平分ANB，则

ANBNkk=−，即()()1212110kxkxxtxt−−+=−−，整理得()12122(1)20xxtxxt−+++=，即()2222242(1)2011kkttkk−+−+=++，解得4t=，综上，存在点(4,0)N，

使得x轴平分ANB.