【文档说明】北京市顺义区第一中学2023-2024学年高二上学期10月考试数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.633 MB，由小赞的店铺上传

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顺义一中2023-2024学年度第一学期高二年级10月考试数学试卷本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一.单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知向量()1,2

,1a=，()1,0,4b=−，则2ab+=（）A.()1,2,9−B.()1,4,5−C.()1,2,7−D.()1,4,9【答案】A【解析】【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示求解.【详解】∵()1,2,1a=，()1,0,4b=−∴()21,2,9ab+=−故选：A.2.空间四边形ABCD

中，ABa=，BCb=，ADc=uuurr，则CD等于（）A.abc+−B.cab−−C.abc−−D.bac−+【答案】B【解析】【分析】根据向量的三角形法则，即可求解.【详解】如图所示，根据向量的运算，可得()CDBDBCADABBCabc=−=−−=−−+.故选：B.3.已知空间向量(,1

,2),(,1,1)ab=−=，则“1=”是“ab⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当1=时，(1,1,2),(1,1,1)ab

=−=，所以0ab=，即ab⊥，故充分；当ab⊥时，0ab=，即2120+−=解得1=，故不必要；故选：A【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及空间向量的数量积运算，属于基础题.4.已知向量(1,2,1),(3,,)abxy=−=，且//ab，那么||b=（）A.36B

.6C.9D.18【答案】A【解析】【分析】根据题意，设bka=，即(3，x，)(1yk=−，2，1)，分析可得x、y的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．【详解】根据题意，向量(1a=−，2，1)，(3b=，x，)y，且//ab，则设bka=，即(3，

x，)(1yk=−，2，1)，则有3k=−，则6x=−，3y=−，则(3b=，6−，3)−，故||936936b=++=；故选：A．5.已知,,abc是空间的一个基底，在下列向量中，与向量ab+，ab−一定可以构成空间的另一个

基底的是（）A.aB.bC.cD.23ab−【答案】C【解析】【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可.【详解】解：对于A选项，()()1122aabab=++−，故不能构成空间的另一个基底；对于B选项，()

()1122babab=+−−，故不能构成空间的另一个基底；对于C选项，不存在,Rxy使得()()cxabyab=++−成立，故能构成空间的另一个基底；对于D选项，假设存在,Rxy使得()()23abxabyab−=++−，则23xyxy+=−=−，解得1252xy=−

=，故()()152322ababab−=−++−，故不能构成空间的另一个基底；故选：C6.在空间直角坐标系中，点(2,1,3)A−关于平面xOz的对称点为B，则OAOB=A.10−B.10C.12−

D.12【答案】D【解析】【分析】由题意，根据点(2,1,3)A−关于平面xOz的对称点(2,1,3)B，求得,OAOB的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解.【详解】由题意，空间直角坐标系中，点(2,1,3)A−关于平面xOz的对称点(2,1,3)B，所以=(2,1,3),(2,1,

3)OAOB−=,则22(1)13312OAOB=+−+=，故选D.【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，

属于基础题.7.已知两点()A3,4−，()B3,2，过点()P1,0的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是()A.()1,1−B.()(),11,−−+C.1,1−D.(),11,−−+【答案】D【解析】【详解】分析：根据两点间的斜率

公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥kPB或k≤kPA，∵PA的斜率为4031−−−=﹣1，PB的斜率为2031−−=1，

∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1，故选D．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.8.

正方体不在同一表面上的两顶点()1,2,1A−−，()3,2,3B−，则正方体的体积是（）A.4B.43C.64D.1923【答案】C【解析】【分析】先根据题意可知AB是正方体的体对角线，利用空间两点的距离公式求出AB，再根据正方体的棱长求出体积．

【详解】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点()1,2,1A−−，()3,2,3B−，∴AB是正方体的体对角线，16161643AB=++=，∴正方体的棱长为4，正方体的体积为64．故选：C．9.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，已知PAa=，PBb=，PCc=

，12PEPD=，则BE=（）A131222abc−+B.111222abc++C.131222abc−−+D.113222abc−−+【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，PAa=，PBb

=，PCc=，12PEPD=，所以()()111222BEBPBDPBBABC=+=−++()()111111222222PBBABCPBPAPBPCPB=−++=−+−+−131131222222PAPBPCabc=−+=−+．故选：A．10.在正方体1111ABCDABCD−中，O为线段A

C的中点，点E在线段11AC上，则直线OE与平面11ABC所成角的正弦值的范围是（）A.33,43B.23,33C.11,43D.11,32.【答案】B【解析】【分析】设正方体

边长为2，如图，以D为原点建立空间直角坐标系，后由空间向量知识可得OE与平面11ABC所成角的正弦值的表达式，即可得答案.【详解】设正方体边长为2，如图，以D为原点建立空间直角坐标系.则()()()()()110,0,0,2,0,2,0,2,2,2,2,0,1,1,0DAC

BO.因点E在线段11AC上，设111AEAC=，0,1.则()()()()11112,0,2,2,2,0,0,2,2,1,1,0DAACABDO==−=−=，()1111122,2,2DEDAAEDAAC=+=+=−，()

12,21,2OE=−−.设平面11ABC法向量为(),,nxyz=，则111220220nACxynAByz=−+==−=，取()1,1,1n=.设OE与平面11ABC所成角为，则()()222sinc

os,312214OEn===−+−+2613443−+.注意到()221443422f=−+=−+，则()()()1max0,12ffff()232,3sin,33f.故选：

B二.填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.与向量()1,2,2a=−方向相同的单位向量是______．【答案】122,,333−【解析】【分析】由与a方向相同的单位向量是aa可计算求得结果.【详解】()2221223a=++−=，122,,333aa=

−，即与向量()1,2,2a=−方向相同单位向量是122,,333−.故答案为：122,,333−.12.如图，以长方体1111ABCDABCD−的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB的坐标为(4,3,2)

，则1AC的坐标为________【答案】(4,3,2)−【解析】【详解】如图所示，以长方体1111ABCDABCD−的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为1DB的坐标为(4,3,2)，所以()()14,0,0,0,3,2AC,所以1(4

,3,2)AC=−.的13.若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________．【答案】(－2,1)【解析】【详解】试题分析：由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式

求出实数a的取值范围．解：∵过点P（1-a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，∴直线的斜率小于0，210(1)(2)02131aaaaaa−−−+−−+，故答案为21a−考点：直线的斜率公式点评：本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关

系．14.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，则点B到直线1AC的距离为_________．【答案】63【解析】【分析】连接1AC，过B作1BHAC⊥，则BH即为所求，由三角形等面积计算求解.【详解】解：如图，连接1AC，过B作1BHAC⊥，则BH即为点B到直线1AC的距离，在正方体1

111ABCDABCD−中，AB⊥平面1BC，1ABBC⊥，在直角1ABC中，11=ABBCACBH，且11=1,=2,=3ABBCAC，所以6=3BH，点B到直线1AC的距离为63.故答案为：63.

15.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点M和N分别是正方形ABCD和11BBCC的中心，点P为正方体表面上及内部的点，若点P满足DPmDAnDMkDN=++，其中m、n、kR，且1mnk++=，则满足条件的所有点P构成的图形的面积是______．【答案】32【

解析】【分析】因为点P满足DPmDAnDMkDN=++，其中m、n、kR，且1mnk++=，所以点A，M，N三点共面，只需要找到平面AMN与正方体表面的交线即可．【详解】因为点P满足DPmDAnDMkDN=++，其中m、n、kR，且1mnk++=，所以点A

，M，N三点共面，又因为M和N分别是矩形ABCD和11BBCC的中心，所以1CNBN=，AMMC=，连接MN，1AB，则1//MNAB，所以1ABCV即为经过A，M，N三点的平面与正方体的截面，故P点可以是正方体表面上线段1AB，1BC，AC上的点．所以所有点P构成的图形

的面积为1322sin6022=．故答案为：32．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知直线l1过点A(1，1)，B(3，a)，直线l2过点M(2，2)，N(3+a，4).（1）若l1//l2，求a的值

；（2）若l1⊥l2，求a的值.【答案】（1）5；（2）0a=.【解析】【分析】（1）由直线平行知斜率相等，建立等量关系得解.（2）由直线垂直知斜率积为-1，建立等量关系得解.【详解】解：设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.（1）因为111312aak−−==−，所以2k存在且2

422321kaa−==+−+.因为12ll//，所以12kk=，即1221aa−=+，解得5a=.当5a=时，AMBMkk=，所以A，B，M不共线，则5a=符合题意.（2）112ak−=，①当1a=时，12120,1,0kkkk===，不符

合题意；②当1a时，10k，因为12ll⊥，所以2k存在且()2211kaa=−+，则121kk=−，即12121aa−=−+，解得0a=.17.如图，在平行六面体.1111,ABCDABCD−中11,ABADAA===1160AABAADBAD===，设向量1,,.AB

aADbAAc===（1）用abc、、表示向量1,;DBAC（2）求1.AC【答案】（1）DBab=−，1ACabc=+−（2）12AC=【解析】【分析】（1）利用空间向量基本定理与空间向量的线性运算可得出1AC关于a

bc、、的表达式；（2）由（1）知1ACabc=+−，利用空间向量数量积的运算可求得.【小问1详解】DBABADab=−=−，的111ACACAAABADAAabc=−=+−=+−；【小问2详解】由（1）知1ACabc=+−，由已知可得1abc===，211cos602ab

bcca====所以()222212222ACabcabcabbcca=+−=+++−−=.18.已知四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，1PDAB==，E是PB的中点.（1）求直线BD与直线PC所成角的余弦值；（2）求证：PC⊥平面ADE（3）

求点B到平面ADE的距离.【答案】（1）12（2）证明见解析（3）22【解析】【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值；（2）利用数量积坐标运算得线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直；（3）利用点到平面距离向量公

式直接计算即可.【小问1详解】以点D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系.由题意()0,0,0D，()1,0,0A，()1,1,0B，()0,1,0C，()0,0,1P，111,,222E，设直线BD与直线P

C所成的角为，因为(1,1,0)BD=−−，(0,1,1)PC=−，所以11cos222BDPCBDPC===，所以直线BD与直线PC所成角的余弦值为12；【小问2详解】因为(1,0,0)DA=，(0,1,1)PC=−，111(,,)222DE

=，所以10010(1)0DAPC=++−=，11101(1)0222DEPC=++−=，所以,PCDAPCDE⊥⊥，又,,DADEDDADE=平面ADE，所以PC⊥平面ADE；【小问3详解】由（2）知，(0,1,1)PC=−为平面ADE的一

个法向量，设点B到平面ADE的距离为d，则d为向量DB在向量(0,1,1)PC=−上的投影的绝对值，由(1,1,0)DB=，得1222DBPCdPC===，所以点B到平面ADE的距离为22.19.在三棱柱111ABCABC-中，侧面11BCCB为矩形，

AC⊥平面11BCCB，D，E分别是棱11,AABB的中点.（1）求证：//AE平面11BCD；（2）若12ACBCAA===，求直线AB与平面11BCD所成角的正弦值.【答案】（1）答案见详解（2）1010【解析】【分析】（1）由棱柱的性质证得四边形1AEBD是平行四边形，从而利用线面平行的

判定定理可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求直线AB与平面11BCD所成角的正弦值.【小问1详解】在三棱柱111ABCABC-中，11//AABB，且11AABB=，因为D，E分别是棱11,AABB的中点，所以1//ADBE，且1ADBE=,所

以四边形1AEBD是平行四边形，所以1//AEDB,又AE平面11BCD，1DB平面11BCD，所以//AE平面11BCD.【小问2详解】分别以1,,CACBCC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz−，由题意得()()()12,0,

0,0,2,0,0,2,2ABB，()()10,0,2,2,0,1CD，所以()2,2,0AB=−，()110,2,0CB=，()12,0,1CD=−，设平面11BCD的法向量为(,,)nxyz=，则11100nC

BnCD==，即2020yxz=−=，令1x=，则0y=，2z=，于是(1,0,2)n=，所以()210cos,10522nABnABnAB−===−，所以直线AB与平面11BCD所成角的正弦值101

0.20.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．(1)求证：A1

C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．【答案】（1）略（2）4(3)见解析【考点定位】此题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答．第三问的创新式问法，难

度非常大【解析】【详解】试题分析：（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；是（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量，=

（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，C

D∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE又A1C⊥CD，CD∩DE=D∴A1C⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），

E（﹣2，2，0）∴，设平面A1BE法向量为则∴∴∴又∵M（﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）∴∴CM与平面A1BE所成角的大小45°（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3

]∴，设平面A1DP法向量为则∴为∴假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2∵0≤a≤3∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的

夹角．21.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，,,60ACADABBCBCA⊥⊥=，2APADAC===，E为CD的中点，M在AB上，且2AMMB=，（1）求证：//EM平面PAD；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；（3）点F是

线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角为45，求AF的长．【答案】（1）证明见解析（2）217（3）2【解析】【分析】（1）由已知可得,,ADACAP两两垂直，所以以A为坐标原点，以,,ADACAP所在的直线分别为,,xyz

轴建立空间直角坐标系，通过向量证明线线平行，再证明线面平行即可；（2）分别求出相关平面的法向量后，再运用夹角公式计算即可；（3）根据已知条件求出点F的坐标，再计算长度即可．【小问1详解】证明：因为PA⊥平面ABC

D，,ADAC平面ABCD，所以,PAADPAAC⊥⊥，因为ACAD⊥，所以,,ADACAP两两垂直，所以以A为坐标原点，以,,ADACAP所在的直线分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为,,60ACADABBCBCA⊥⊥=，2APA

DAC===，E为CD的中点，M在AB上，且2AMMB=，所以333(0,0,0),(0,2,0),(,,0),(,1,0),223ACBM−−(0,0,2),(1,1,0),(2,0,0)PED．所以3(1,

0,0),(0,2,0),3EMAC=−−=所以0EMAC=，所以ACEM⊥，又ACAD⊥，所以//EMAD，又EM平面PAD，AD平面PAD，所以//EM平面PAD．【小问2详解】33(0,2,2),(,,2)22P

CPB=−=−−．设平面PBC的法向量为(,,)nxyz=，则有22003320022yzPCnxyzPBn−==−+−==，可取3,1,1)3(n−=，由题意，平面PAD的一个法向量可取(0,1,0)m=，设平面PA

D与平面PBC所成锐二面角为，则121cos|cos,|711113mn===++，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为217．【小问3详解】设000(,,)Fxyz，PFPD=(01)，即000(,,2)(2,0,2)xyz−=−，可得(2,0,22)F

−，所以(21,1,22)EF=−−−，又(0,2,0)AC=，由题意有22222cos,22(21)(1)(22)EFAC==−+−+−，化简得22310−+=，解得12=或1=（舍），所以(1,0,1)F，所以222||(10)(00)(10)2AF=−+−+−=.