【文档说明】四川省遂宁市射洪县射洪中学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(18)页，1.332 MB，由小赞的店铺上传

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四川省射洪中学校高2018级高二（下）半期考试数学（理科）试题一、选择题1.已知复数z=2+i，则zz=A.3B.5C.3D.5【答案】D【解析】【分析】题先求得z，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】∵z2i,zz(2i)(2i)5=+=+−=故选D.

【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..2.若:p“01b”，:q“21b”，则p是q的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A

【解析】【分析】根据2111bb−，由充分不必要条件的概念分析可得答案.【详解】因为2111bb−，所以p是q的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，属于基础题.3.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨

辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()A.5B.4C.6D.9【答案】C【解析】【分析】由杨辉三角形中，各数值等于其“肩数”之和，求得答案.【详解】杨辉三角形中，各数值等于其“肩数”之和，所以a=3+3=6.故选：C

【点睛】本题考查杨辉三角中数据的特征，属于基础题.4.已知双曲线22122:1xyCab−=(0,0)ab以椭圆222:143xyC+=的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则1C的渐近线方程为()A.30xy=B.30xy=C.230xy=D.320xy=【答案】A【解析】【分析】根据已

知条件求出,ab值，即可求解.【详解】由题意知1C的焦点坐标为(20)?，顶点为(1,0)，故渐近线方程为30xy=.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及简单的几何性质，属于基础题.5.在某

项测试中，测量结果与服从正态分布()()21,0N，若()010.4P=，则()02P=（）A.0.4B.0.8C.0.6D.0.21【答案】B【解析】【分析】根据已知条件,求出正态分布曲线的对称轴为1x=

,根据对称性可求出()12P的值,进而可求()02P【详解】解:测量结果与服从正态分布()()21,0N正态分布曲线的对称轴为1x=()010.4P=()()12010.4PP==()

()()0201120.40.40.8PPP=+=+=故选:B.【点睛】本题考查了正态分布中概率问题的求解.在解此类问题时,结合正态分布曲线图像进行求解,其关键是找到曲线的对称轴.6.如图是函数()yfx=的导函数()yfx=的图象，则下面判

断正确的是()A.在区间()2,1−内，()yfx=是增函数B.在()1,3内，()yfx=是减函数C.在()4,5内，()yfx=是增函数D.在2x=时，()yfx=取到极小值【答案】C【解析】【分析】根据导数大

于零，函数递增；导数小于零，函数递减；先增后减，函数有极大值；先减后增，函数有极小值，对选项逐一进行判断即得答案.【详解】解：由图象知当32−＜x＜2或x＞4时，()0yfx=，函数为增函数，当332x−−或2＜x＜4

时，()0yfx=，函数为减函数，则当x32=−或x＝4函数取得极小值，在x＝2时函数取得极大值，故ABD错误，正确的是C，故选：C.【点睛】本题考查了导函数的正负和原函数单调性关系，以及极大值极小值的判断，考查学生对于图像的理解和判断，基础题.7.在200件产品中有3件次品，现从中任意

抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A.233197CC种B.()5142003197CCC−种C.233198CC种D.()233231973197CCCC+种【答案】D【解析】分析：据题意，“至少

有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．详解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品

”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选D．点睛：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最多”“最少”等情况的分类讨论．8.二项式51xxx−展开式中的常数项为A.10B.10−C.5D.5−【答案】B【解析

】展开式的通项为()()11552151rrrrTCx−+=−，令()115502r−=得3r=，所以展开式中的常数项为3510C−=−，故选B.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属

于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1CrnrrrnTab−+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.9

.过抛物线24yx=的焦点，且斜率为3的直线交抛物线于,AB两点，则AB=（）A.133B.143C.5D.163【答案】D【解析】【分析】求得过焦点，且斜率为3的直线方程，联立方程组，由根与系数的关系，求得12xx+，结合抛物线的定义，即可求解.【详解】由题意，抛物线24yx=，可得24p=，即

2p=，所以焦点坐标为(1,0)F，则过抛物线24yx=的焦点，且斜率为3的直线方程3(1)yx=−，联立方程组23(1)4yxyx=−=，整理得231030xx−+=，可得12103xx+=，又由抛物线的定义，可得12101623

3ABxxp=++=+=.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，以及焦点弦长的求解，其中解答中将直线与抛物线联立，合理利用根与系数的关系，结合抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.10.10名同学中，有7名个人

获得了全国数学联赛一等奖，3人没有获得.现在从中任选2名同学，已知其中1名同学获得全国一等奖，则另外一名同学也获得全国一等奖的概率为（）A.23B.12C.13D.1415【答案】B【解析】【分析】先求从中任选2名同学，其中至少1名同学获得全国

一等奖的概率，再求从中任选2名同学，其中2名同学都获得全国一等奖的概率，最后根据条件概率公式求结果.【详解】从中任选2名同学，其中至少1名同学获得全国一等奖的概率为2321014115CC−=;从中任选2名同学，

其中2名同学都获得全国一等奖的概率为27210715CC=；因此从中任选2名同学，已知其中1名同学获得全国一等奖，则另外一名同学也获得全国一等奖的概率为7115=14215故选：B【点睛】本题考查条件概率，考查基本分析求解能力，属基础题.11.已知()3fxxx=+

是定义在R上的函数，且对于任意()0x，，不等式()()sin1cos0fxxfxa−+−≤恒成立，则整数a的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】利用()3fxxx=+的单调性和奇偶性，将抽象不等式转化

为具体不等式，然后将恒成立问题转化成最值问题，借助导数知识，即可解决问题．【详解】()3fxxx=+，可知()()fxfx−=−，且单调递增，()()sin1cos0fxxfxa−+−≤可以变为()()sin1cosfxxfxa−−−≤，即()()sin1cosfxxfax−−≤，

∴sin1cosxxax−−≤，可知1sincosaxxx++≥，设()sincoshxxxx=+，则()sincossincoshxxxxxxx=+−=，当2x=时，()0hx=，当02x，时，()

()0hxhx，单调递增；当2x，时，()()0hxhx，单调递减，可知()max22hhx==，∴1122aa+−，厖，∵aZ，∴整数a的最小值为1.故选A.【点睛】本题主要考查了函数的性质、抽象

不等式的解法、以及恒成立问题的一般解法，意在考查学生综合运用所学知识的的能力．12.已知函数()2312xexfxx=−+，若xR时，恒有()2'3fxxaxb++，则abb+的最大值为()A.eB.2eC.2eD.e【答案】C【解析】【分析】对函数

()fx求导并带入已知不等式中，将不等式恒成立问题由构造新函数()xgxexax=−−并借助导数利用分类讨论求最小值即可求出ab的不等式关系，进而表示()()()()22111ln1baaaa++−++，再

令1ta=+并构造()22lnhtttt=−，利用导数求得最大值即可.【详解】因为函数()2312xexfxx=−+，则()23xexfxx=−+，由题可知，对xR，恒有22330xxexxxaxbexaxb−+++−−−成立，令()xgxexax=−

−，则()1xgxea=−−，当1a−时，函数()gx在R上单调递增，且x→−时，()gx→−，不符合题意；当1a=−时，0abb+=，当1a−时，令()()10ln1xgxeaxa=−−+，所以函数()gx在()()l

n1,a++上单调递增，且在()(),ln1a−+上单调递减；所以()()()()()()()()ln1minln1ln1ln111ln1agxgaeaaaaaa+=+=−+−+=+−++，故()()()()()()()2211ln10111ln1aaabbaaaa+−++−

++−++，令10ta=+，则()22lnhtttt=−，且()()()22ln12lnhttttttt=−+=−，当()0,te时，()0ht，函数()ht单调递增；当(),te+时，()0ht，函

数()ht单调递减，所以()()()()22maxln2ehtheeee==−=，故()12eba+，综上所述，abb+的最大值为2e.故选：C【点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，还考查了利用分类讨论求参数的最值，属于难

题.二、填空题13.甲、乙两人单独解出某数学题的概率为13，12，则两人都不能解出该数学的概率为______.【答案】13【解析】【分析】根据乙两人单独解出某数学题的概率为13，12，得到甲、乙各自不单独解

出某数学题的概率，然后利用独立事件的概率求解.【详解】因为甲、乙两人单独解出某数学题的概率为13，12，所以甲不单独解出某数学题的概率为12133p=−=，乙不单独解出某数学题的概率为11122p=−=，所以两人都不能解出该数学的概率为211323p==故答案为：13【点睛】本题主

要考查独立事件的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.函数()lnfxaxx=−的图象在1x=处的切线方程为2yx=−，则a=______.【答案】2【解析】【分析】利用导数和斜率的关系列方程，由此求

得a的值.【详解】依题意()'1afxx=−，由于函数()lnfxaxx=−的图象在1x=处的切线方程为2yx=−，直线2yx=−的斜率为1，所以()'111121afaa=−=−==.故答案为：2【点睛】本小题主要考

查根据切线方程求参数，属于基础题.15.设椭圆()2222:10xyCabab+=的左右焦点为12FF，，作2F作x轴的垂线与C交于AB，两点，1FB与y轴交于点D，若1ADFB⊥，则椭圆C的离心率等于________.【答案】33【解析】试题分析：因为O

D平行于2FB，所以D为1FB中点，又1ADFB⊥，所以122,AFABAF==设2,AFm=则1122,3,AFmFFm==因此1212233.223FFccmeaaAFAFmm=====++考点：椭圆的离心率16.已知函数2()(3)x

fxxe=−，现给出下列结论：①()fx有极小值，但无最小值②()fx有极大值，但无最大值③若方程()fxb=恰有一个实数根，则36be−④若方程()fxb=恰有三个不同实数根，则306be−其中所有正确结论的序号为

_________【答案】②④【解析】2()(23)013xfxxxex=+−==−或所以当3x−时，3()0,()(0,6)fxfxe−；当31x−时，3()0,()(2,6)fxf

xee−−；当1x时，()0,()(2,)fxfxe−+；因此()fx有极小值()1f，也有最小值()1f，有极大值()3f−，但无最大值；若方程()fxb=恰有一个实数根，则36be−

或2be=−;若方程()fxb=恰有三个不同实数根，则306be−,即正确结论的序号为②④点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函

数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题17.已知:10pm+，:qxR，210xmx++.()1写出命题q的否定q；()2若pq为真命题，求实数m的取值范围.

【答案】()1:qxR，210xmx++；()2()1,2−.【解析】【分析】()1利用全称命题的否定的定义即可得出结论；()2由题意知命题p和命题q都为真，进而列式得出结论.【详解】解：()1:qxR，210

xmx++.()2若pq为真命题，则命题p和命题q都为真，p为真时，1m−，q为真时，，即240m−，22m−()1,2m−.【点睛】本题考查命题真假的判断方法，不等式的性质

及其解法，考查推理能力与计算能力，属于基础题.18.（1）3本不同的书分给甲、乙两人，每人至少一本，共有多少种不同分法？（2）()102100121021...xaaxaxax−=++++，求下列各式的值：①01210..

.aaaa++++；②0210...aaa+++.【答案】（1）6；（2）①1；②10132+【解析】【分析】(1)先把书分成两堆，再分给甲乙两人可得.(2)①赋值令1x=可得，②赋值令1x=−，两式相加可得【详解】（1

）第一步先把书分成两堆有13C种，第二步再分给甲乙两人有22A种，则12326CA=（2）（1）令1x=，则0110...1aaa+++=①（2）令1x=−，则10012310...3aaaaa−+−++=②①+②得：10021013...2a

aa++++=【点睛】二项展开式中系数和的问题(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．19.已知函数322()fx

xaxbxa=+++在1x=处有极值10.（1）求()fx的解析式.（2）求函数()fx在0,2上的最值.【答案】(1)32()41116fxxxx=+−+(2)最大值为(2)18,f=最小值为1(1)0f=【

解析】分析：（1）先求出函数()fx的导数，根据()()'10,110ff==，联立方程组解出ab、的值，即可得到()fx的解析式；（2）求出()'fx，分别令()'0fx求得x的范围，可得函数()fx增区间，()'0fx

求得x的范围，可得函数()fx的减区间，利用单调性可得函数的极值，然后求出()()1,2ff的值，与极值比较大小即可求得函数的最值.详解：（1）由题意：()232+fxxaxb=+，又()()10,1

10ff==由此得：43{113aabb==−=−=或经验证：411ab==−∴()3241116fxxxx=+−+（2）由（1）知()23811fxxx=+−()()()0,2,0,11,2xfx在上单减，在上单增，又()()()110,016,218ff

f===所以最大值为()218,f=最小值为()110f=点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于中档题.求函数()fx极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数()fx；(3)解方程()0,fx=求出函数定义域内

的所有根；(4)列表检查()fx在()0fx=的根0x左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()fx在0x处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()fx在0x处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最

值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.20.空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：050为优；51100为良；100151为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300为严重污

染.一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如下.（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为，求的概率分布列和数学期望.【答案】（1）18；（2）分布列见解析，1.

8.【解析】【分析】（1）茎叶图显示，10天中共有6天是优良的，故一个月有6301810=天优良；（2）相当于三次独立重复实验，故满足二项分布33,5B，根据二项分布的计算公式计算分布

列和数学期望.【详解】（1）茎叶图显示，10天中共有6天是优良的，故一个月优良天数330185=（2）由（1）估计某天气质量优良的概率为35，的所有可能取值为0，1，2，3．()()32132832360,1512555125PPC

======()()232332543272,3551255125PCP======，故的分布列为：0134P8125361255412527125显然333,,31.8

55BE==考点：古典概型，二项分布.21.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为13，短半轴为22.（1）求椭圆C的方程；（2）若过定点()0,2N的直线l交椭圆C于不同的两点,AB，求弦

长AB的最大值.【答案】（1）22198xy+=；（2）42【解析】【分析】（1）根据离心率公式以及短半轴概念列方程组，解得ab，，即得结果；（2）先考虑斜率不存在的情况，与椭圆方程联立求出,AB坐标，再根据两点间距离公式求AB；然后考虑斜率存在的情况，与椭圆方程联立，

利用韦达定理，结合弦长公式求AB，再换元利用二次函数性质求AB取值范围，最后确定最大值.【详解】（1）由已知有2222113bcbeaa===−=得：3a=，22b=∴椭圆方程为22198xy+=（2）当直线l斜率不存在时，()0,22A，()0,22B−或()0,22A−，()

0,22B，此时弦长42AB=当直线l斜率存在时，设l的方程为：2ykx=+，由222198ykxxy=++=消去y得：()228936360kxkx++−=，此时恒成立，设()11,Axy、()22,Bxy，可得

：1223689kxxk+=−+，1223689xxk−=+，()()22222122224299943636114898989kkkABkxxkkkk++=+−=+−+=+++令289kt+=，则

8t，()()2222242999434114214243189kkABktttt++==−−=−−++，因为110,8t，所以42AB.综上，弦长AB的最大值为42.【点睛】本题考查椭圆方程、直线与椭圆的弦长问题、利用二次函数

求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.22.设函数()()21xfxxekx=−−(其中kR).(Ⅰ)当1k=时,求函数()fx的单调区间；(Ⅱ)当1,12k时,求函数()fx在0,k上的最大值M.【答案】(Ⅰ)函数()fx的递减区间为()0,ln2,递增区间为

(),0−,()ln2,+.(Ⅱ)函数()fx在0,k上的最大值()31kMkek=−−.【解析】【详解】（1）当1k=时,()()21xfxxex=−−,()()()1222xxxxfxexe

xxexxe=+−−=−=−令()0fx=,得10x=,2ln2x=当x变化时,()(),fxfx的变化如下表:x(),0−0()0,ln2ln2()ln2,+()fx+0−0+()fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增右表可知,函数()fx的递减区间为()0,ln2,递增区间为()

,0−,()ln2,+.（2）()()()1222xxxxfxexekxxekxxek=+−−=−=−,令()0fx=,得10x=,()2ln2xk=，令()()ln2gkkk=−，则()1110kgkkk−=−=，所以()gk在1,12

上递增，所以()ln21ln2ln0gke−=−,从而()ln2kk,所以ln2[0,]kk，所以当()()0,ln2xk时,()0fx;当()()ln2,xkk时,()0fx；所以()()()3ma

x0,max1,1kMffkkek==−−−令()()311khkkek=−−+，则()()3khkkek=−，令()3kkek=−，则()330kkee=−−()k在1,12上递减，而()()1313022ee=−−

所以存在01,12x使得()00x=，且当01,2kx时，()0k,当()0,1kx时，()0k所以()hk在01,2x上单调递增，在()0,1x上单调递减.因为117

0,(1)0228heh=−+=，所以()0hk在1,12上恒成立，当且仅当1k=时取等号，所以()311kkek−−−，综上，函数()fx在0,k上的最大值()31kMkek=−−.考点：1、导数在研究函数性质中的综合应用；2、等价转化的思想.