【文档说明】安徽省多校联考2025届高三上学期开学质量检测数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.354 MB，由小赞的店铺上传

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2025届高三第一学期开学质量检测数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自已的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域

内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.1.已知集合26,3,2,0,1,4AxxB==−−∣，则AB=（）A.3,0,1−B.3,4−C.3,2,4−−D.3,0,1,4−【答案】B【解析】【

分析】解不等式化简集合A，再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，{|6Axx=−或6}x，而3,2,0,1,4B=−−，所以3,4AB=−.故选：B2.已知复数(1i)(3i)iz++=，则复数z的虚部为（）A.2−B.2i−C.4D.2i【答案】A【解析】【分析】利用利用复数的乘

除运算求出复数z即可得解.【详解】依题意，复数24i42iiz+==−，所以复数z的虚部为2−.故选：A3.已知函数2()lnfxxax=−的图象在点(1,(1))f处的切线方程为yx=，则a=（）A.2−B.1−C.12D.1【答案】D【解析】【分析】求出函数()fx的导数，再利用导数的

几何意义求解即得.【详解】函数2()lnfxxax=−，求导得()2afxxx=−，依题意，(1)21fa=−=，所以1a=.故选：D4.已知aR，则“1a”是“过点(),0Pa有两条直线与圆22:1Cxy+=相切”的（）A.充分

不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】若过点(),0Pa有两条直线与圆22:1Cxy+=相切，可知点(),0Pa在圆22:1Cxy+=外，即可得a的取值范围，根据充分、必要条件结合包含关系分析判断.【详

解】若过点(),0Pa有两条直线与圆22:1Cxy+=相切，可知点(),0Pa在圆22:1Cxy+=外，则2201a+，解得1a或1a−，显然()1,+是()(),11,−−+的真子集，所以“1a”是“过点(),0Pa有两

条直线与圆22:1Cxy+=相切”的充分不必要条件.故选：A.5.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（）A.44πB.46πC.48πD.50π【答案】C【解析】【分析

】分析该陀螺表面结构，结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解.【详解】由题意可知：该陀螺的表面有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面，且圆锥的母线长为22345+=，所以该陀螺的表面积为2π32π34π3548π++

=.故选：C.6.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，在所组成的五位数中任选一个，则这个五位数中数字1,2,3按从小到大的顺序排列的概率为（）A.23B.13C.16D.12【答案】C【解析】【分析】根据题意可得组成没有

重复数字五位数有55A120=，根据定序法可得符合题意的五位数个数，结合古典概型运算求解.【详解】由题意可知：组成没有重复数字的五位数有55A120=个；若这个五位数中数字1,2,3按从小到大的顺序，所以符合题意的五位数

有3312020A=个，所以所求的概率为2011206P==.故选：C.7.如图，在正三棱柱111ABCABC−中，2AB=，直线1AC与平面11ABBA所成角的正切值为33，则正的的三棱柱111ABCABC−的外接球的半径为（）A.2B.3C.102D.303【答案】D【解析

】【分析】根据给定条件，利用线面角的正切求出1AA，再求出正三棱柱的外接球半径.【详解】在正三棱柱111ABCABC−中，取11AB的中点D，连接1,ADCD，则111CDAB⊥，由1AA⊥平面111ABC，1CD平面111ABC，得11AACD⊥，又1111AA

ABA=，111,AAAB平面11ABBA，因此1CD⊥平面11ABBA，1CAD是直线1AC与平面11ABBA所成的角，则133tanCAD=，由2AB=，得13CD=，而11tanCDADCAD=，则3AD=，122

AA=，因此正三棱柱111ABCABC−的外接球球心到平面111ABC的距离1122dAA==，而111ABC△的外接圆半径233r=，所以正三棱柱111ABCABC−的外接球的半径22303Rdr=+=.故选：D8.若锐角满足tan223cos=

，数列na的前n项和为()1110,1,cos419nnnSanana+==++，则使得3562325nnnS+成立的n的最大值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】根据题意结合三角恒等变换可得3sin3=，7cos49=−，分析可知数列na

n是以首项111a=，公比为13的等比数列，即可得13nnna−=，利用裂项相消法求nS，代入运算求解即可.【详解】因为tan223cos=，且2sin22sincostan2cos212sin==−，即2

2sincos23cos12sin=−，且π0,2，则cos0，可得2sin312sin=−，整理可得223sinsin30+−=，解得3sin3=或3sin2=−（舍去

），则21cos212sin3=−=，27cos42cos219=−=−，可得()()110cos431191nnnnanana+=+++=，则1113nnaann+=+，且110a=，可知数列nan是

以首项111a=，公比为13的等比数列，则113nnan−=，可得1133392424333nnnnnnna−−++==−，所以21915152133399394444242421333334

23nnnnnnnS−+++=−+−++−=−，则2391562344325nnnnS−+=−，整理可得2325n−，则22n−，解得4n，所以n的最大值为4.故选：C.点睛】思路点睛：1.利用三角恒等变换求cos4；2.根据递推公式分析可知数列nan

是以首项111a=，公比为13的等比数列，进而可得na；3.利用裂项相消法求nS，代入解不等式即可.【二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数(

)2(sincos)1fxxx=+−，则（）A.函数()fx的最小正周期为πB.函数()fx的图象关于直线π4x=对称C.函数()fx的图象关于点π,06−对称D.函数()fx在区间ππ,612−上的值域为31,22−【

答案】ABD【解析】【分析】由题意可得：()sin2fxx=，根据正弦函数周期公式判断A；代入检验，结合对称性的性质判断BC；以2x为整体，结合正弦函数的性质求值域.【详解】因为()2(sincos)112sincos1sin2fxxxxxx=+−=+−=，对于

选项A：因为函数()fx的最小正周期为2ππ2T==，故A正确；对于选项B：因为ππsin142f==为最大值，所以函数()fx的图象关于直线π4x=对称，故B正确；对于选项C：因为ππ3sin632f−=−=−

不为0，所以函数()fx的图象不关于点π,06−对称，故C错误；对于选项D：因为ππ,612x−，则ππ2,36x−，可得31sin2,22x−，即()31,22fx=−，所以函数()fx在区间π

π,612−上的值域为31,22−，故D正确；故选：ABD.10.设12,FF分别为椭圆22:142xyC+=的左､右焦点，P为椭圆上任意一点，则（）A.存在四个点P，使得12PFPF⊥B.若点P不在x轴上，直线1PF的斜率是直线2PF的斜率的3−倍，则点P的横坐标

为22−C.存在点P，使得121PFPF=D.22211249PFPFPFPF+的最小值为14【答案】BC【解析】【分析】由题意P在以12FF为直径的圆上，求得2,2,2abc===可判断A；设(,)Pmn，若存在这样的

点P，则23002nnmm−−+−=，求解可判断B；设(,)(22)Pmnn−，2122PFPFn=−，可判断C；22212112124949214PFPFPFPFPFPFPFPF+==，可判断等号不成立可判断D.【详解】由椭圆22:142xyC+=，可得224,2a

b==，所以2,2,2abc===，对于A：若12PFPF⊥，则P在以12FF为直径的圆上，因为2,2bc==，所以在椭圆上存在2个点P，使得12PFPF⊥，故A错误；对于B：设(,)Pmn，若存在点P使直线1PF的斜率是直线2PF的斜率的-3倍，则00322nnmm−−=−+−，解

得22m=−，又22m−，所以存在这样的点P，故B正确；对于C：设(,)(22)Pmnn−，22212(2)(2)()()22PFPFmmnnmnn=−−−+−−=+−=−，当1n=时，121PFPF=，所以存在点P，使得121PFPF=，故C正确；对于D：222

12121121212494949214PFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPF+=+=，当且仅当211249PFPFPFPF=，即127PFPF=时取等号，又124PFPF+=，则2122

2PF=−，故等号不成立，故D错误.故选：BC.11.已知函数()22lnfxxx=−，则下列选项中正确的是（）A.函数()fx的极小值点为1x=B.()3eeffC.若函数()()gxfxt=−有4个零点，则()1,t+D.若()()()121

2fxfxxx=，则122xx+【答案】AC【解析】【分析】求导，利用导数判断()fx的单调性和最值，可得()fx的图象，进而可以判断A；对于B：根据()fx的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当0x时，()yfx=与yt=有2个交点，结合()fx的图象分析求解

；对于D：构建()()()()2,0,1gxfxfxx=−−，结合导数可得()()()2,0,1fxfxx−，结合极值点偏移分析证明.【详解】由题意可知：()fx的定义域为()0,+，且()()2

2122xfxxxx−=−=，令()0fx，解得1x；令()0fx，解得01x；可知()fx在()0,1内单调递减，在()1,+内单调递增，则()()11fxf=，且当x趋近于0或+

时，()fx趋近于+，可得函数()fx的图象，如图所示：对于选项A：可知函数()fx的极小值点为1x=，故A正确；对于选项B：因为31ee，且()fx在()1,+内单调递增，所以()3eeff，故B错误；对于选项C：令()()0gxfxt=−=，可得()fxt=，可

知函数()()gxfxt=−有4个零点，即()yfx=与yt=有4个交点，且()yfx=的定义域为()(),00,−+，且()()fxfx−=，可知()yfx=为偶函数，且当0x时，()()yfxfx==原题意等价于当0x时，()yfx=与yt=有2个交点，由题意可知：2t

，故C正确；对于选项D：设()()()()()22ln2ln244,0,1gxfxfxxxxx=−−=−−+−，则()()()241224022xgxxxxx−=+−=−−，可知()ygx=在()0,1内单调递增，则()()10gxg=，即()()()2,0,1fxfxx−，若()(

)()1212fxfxxx=，不妨设1201xx，则()()()1122fxfxfx−=，且1221,1xx−，且()fx在()1,+内单调递增，则122xx−，所以122xx+，故D错误；故选：AC.【

点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()hx；（3）利用导数研究()hx的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．三､填

空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()()1,1,2,1axxb=−+=−，若//ab，则实数x=________．【答案】【解析】【详解】试题分析：()()1,1,1,2,1,1220,3abaxxbxxx=−+=−−++==−．考点：平面向量的坐

标运算；共线向量13.定义在R上的函数()fx满足(1)(1)fxfx−=+，当[1,)x+时，21()ln2fxxxx=−，则不等式(31)(0)fxf−的解集为__________.【答案】1(,][1,)3−+【解析

】【分析】根据给定条件，可得函数()fx的图象关于直线1x=对称，再利用导数求出()fx在[1,)+上的单调性，再借助性质解不等式.【详解】依题意，函数()fx的图象关于直线1x=对称，当[1,)x+时，()ln1fxxx

=−−，令ln1,1yxxx=−−，求导得110yx=−，函数()fx在[1,)+上单调递增，()(1)0fxf=，函数()fx在[1,)+上单调递增，不等式(31)(0)fxf−化为|311||01|x−−−，解得13x或1x，所以不等式(31)(

0)fxf−的解集为1(,][1,)3−+.故答案为：1(,][1,)3−+14.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的左､右焦点分别为12,FF，离心率为2，过点1F的直线l交E的左支于,AB两点.1OBOF=（O为坐标原点），记点O到直线l的距离为d，则da=

__________.【答案】172+【解析】【分析】根据给定条件，作出图形，结合三角形中位线性质可得21BFBF⊥，再利用双曲线定义及勾股定理求解即得.【详解】令双曲线E的半焦距为c，由离心率为2，得2ca=，

取1FB的中点D，连接OD，由1OBOF=，得1ODFB⊥，则||ODd=，连接2FB，由O为12FF的中点，得22//,||2BFODBFd=，21BFBF⊥，1||22FBda=−，因此2222112||||||BFBFFF+=，即222(2)(22)(4

)ddaa+−=，整理得23()02ddaa−−=，而0da，所以172da+=.故答案为：172+四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.在ABCV中，内角,,ABC所对的边分别为,,,sinsin2bca

bcBC=.（1）求C；（2）若2c=，求ABCV的面积的最大值.【答案】（1）π3C=（2）3【解析】【分析】（1）根据题意利用倍角公式以及正弦定理即可得结果；（2）利用余弦定理结合基本不等式可得4ab，即可得面积最大值.【小问1详解】因为sinsin22sincosbccBCCC=

=，由正弦定理可得sinsinsin2sincosBCBCC=，则1cos2C=，且()0,πC，所以π3C=.【小问2详解】由余弦定理可得2222coscababC=+−，即224abab=+−，可得224

2ababab+=+≥，即4ab，当且仅当2ab==时，等号成立，所以ABCV的面积的最大值为134322=.16.已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布()2220,20N.其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V240V之间；③超过240V.

在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.4,0.5,0.6.（1）求该机器生产的零件为合格品的概率；（2）为了检测零件是否合格，在一批零件中任意抽取4件，记这4件中合格品有X个，求X的分布列､数学期望和方差.附：若()2,ZN，则()0.68,(22)0.

95PZPZ−+=−+=【答案】（1）0.5（2）分布列见解析，数学期望为2，方差为1【解析】【分析】（1）根据题意，由正态分布的概率公式代入计算，再由全概率公式，即可得到结果；（2）根据二项分布求解分布列，代入期望和方差公式求解即可.【小问1

详解】记电压“不超过200V”、“在200V240V之间”、“超过240V”分别为事件,,ABC，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D．因为()2220,20UN，所以110.68()(20)0)0.2(162PPZAPU−−−=

===+，()(200240)()0.68PBPUPZ=+=−=，110.68()(24)0)0.2(162PPZCPU−−−====+．所以()()(|)()(|)()(|)0.40.160.50.680.60.160.5

PDPAPDAPBPDBPCPDC=++=++=，所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.5．【小问2详解】从该机器生产的零件中随机抽取4件，设不合格品件数为(4,0.5)XB，则00441(0)C0.5(

10.5)16PX==−=，11341(1)C0.5(10.5)4PX==−=，22243(2)C0.5(10.5)8PX==−=，33141(3)C0.5(10.5)4PX==−=，44

041(4)C0.5(10.5)16PX==−=，所以X的分布列为X01234P116143814116所以X的数学期望为()40.52EX==，X的方差为()40.5(10.5)1DX=−=.17.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平

面,ABCDAD∥,,BCABBCE⊥为PD的中点.（1）若EAEC=，证明：CD⊥平面ACP；（2）已知224ADPABC===，平面ACE和平面PCD的夹角的余弦值为79，求AB.【答案】（1）证明见详解（2）1AB=【解析】【分析】（1）根据题意可得PACD⊥，PCCD⊥，结合线面垂

直的判定定理分析证明；（2）建系标点，设0ABa=，分别为平面ACE、平面PCD的法向量，利用空间向量结合面面夹角运算求解.【小问1详解】因为PA⊥平面,,ABCDADAP平面ABCD，可知,PAADPACD⊥⊥，且E为PD的中点，则12E

APD=，若EAEC=，即12ECPD=，则PCCD⊥，且=PAPCP，,PAPC平面平面ACP，所以CD⊥平面ACP.【小问2详解】由题意可知：PA⊥平面ABCD，ABAD⊥，以A坐标原点，,,ABADAP为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，因为224ADPA

BC===，设0ABa=，则()()()()()0,0,0,,2,0,0,4,0,0,0,2,0,2,1ACaDPE，可得()()()()0,2,1,,2,0,0,4,2,,2,0AEACaPDCDa===−=−，设平面ACE的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥1,�

�1,𝑧1)，则11112020mAEyzmACaxy=+==+=，令12x=，则11,2yaza=−=，可得()2,,2maa=−；为设平面PCD的法向量为𝑛⃗=(𝑥2,𝑦2,�

�2)，则222242020nPDyznCDaxy=−==−+=，令22x=，则11,2yaza==，可得()2,,2naa=；由题意可得：222437cos,94545mnamnmnaa+===++，解得

1a=（舍负），所以1AB=.18.已知函数()e2axfxax−=+−.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若()0fx，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见详解（2）()1,+【解析】【分析】

（1）求得可得()eaxfxa−=−+，分0a和0a两种情况，利用导数判断原函数单调性；（2）根据题意结合（1）中单调性分析可得()2ln20fxaaaa+−−，构建()2ln2,0gaaaaaa=+−−，利用导数判断其单调性，进而解不等式.【小问1详解】

因为()fx的定义域为R，且()eaxfxa−=−+，若0a，则()0fx，可知()fx在定义域R内单调递减；若0a，令()e0axfxa−=−+=，解得lnxaa=−，当lnxaa−，()0fx；当lnxaa−，()0fx；可知()fx在

()ln,aa−+内单调递增，在(),lnaa−−内单调递减；综上所述：若0a，()fx在定义域R内单调递减；若0a，()fx在()ln,aa−+内单调递增，在(),lnaa−−内单调递减.【小问2详解】因为()0fx，若0a，()fx定义域R内单调递减，在且()0e21210

af=−−=−，不合题意；若0a，()fx在()ln,aa−+内单调递增，在(),lnaa−−内单调递减.则()()()2lnln2ln20fxfaaaaaaaaaa−=+−−=+−−，令()2ln2,0gaaaaaa=+−−，则()()211ln2lngaaaaa=+

−+=−，令()(),0hagaa=，则()1212ahaaa−=−=，令()0ha，解得12a；令()0ha，解得102a；可知()ha在10,2内单调递减，在1,2+内单调递增，则()111l

n1ln2022hah=−=+，即()0ga，可知()ga在()0,+内单调递增，且()10g=，则()0ga，可得1a，所以实数a的取值范围为()1,+.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分

离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．19.已知点()1,1Ptt+在抛物线2:4Cyx=上，按照如

下方法依次构造点()2,3,4,nPn=，过点1nP−作斜率为1−的直线与抛物线C交于另一点1nQ−，令nP为1nQ−关于x轴的对称点，记nP的坐标为(),nnxy.（1）求t的值；（2）分别求数列,nnxy的通项公式；（3）求()*12nnnPPPn++N的面积.

【答案】（1）1t=（2）42nyn=−，()221nxn=−（3）16【解析】【分析】（1）将点()1,1Ptt+代入抛物线运算即可；（2）可得21111:4nnnnyPQyyx−−−−−=−−，联立直线方程和

抛物线方程解得14nnyy−=+，（3）分析可知数列ny是以首项为2，公差为4的等差数列，即可得结果；由（2）可得点12,,nnnPPP++的坐标，即可得面积.【小问1详解】因为点()1,1Ptt+在抛物线2:4Cyx=上，则()214tt+=，解得1

t=.【小问2详解】由（1）可知：()11,2P，即111,2xy==，因为点(),nnnPxy在抛物线2:4Cyx=上，则24nnyx=，且(),nnnQxy−，过2111,,24nnnyPyn−−−，且斜率为1−的直线21111:4nnnnyPQyyx−−−−−=−−

，联立方程211244nnyyyxyx−−−=−−=，消去x可得2211440nnyyyy−−−−=+，解得1nyy−=或14nyy−=−−，即14nnyy−−=−−，可得14nn

yy−=+，可知数列ny是以首项为2，公差为4的等差数列，所以()24142nynn=+−=−，()()222422144nnnyxn−===−.【小问3详解】由（2）题意可知：()()()()()()2221221,42,21,42,23,46nnnPnnPnnP

nn++−−++++，如图所示：梯形11nnnnTPPT++的面积为：()1111112nnnnTPPTnnnnnnSTTTPPT+++++=+()()()222121214242322nnnnn=+−−−++=，即11232nnnnTPP

TSn++=，同理可得()11222321nnnnTPPTSn++++=+，梯形22nnnnTPPT++的面积为：()2222212nnnnTPPTnnnnnnSTTTPPT+++++=+()()()

()22212321424616212nnnnn=+−−−++=+，即()2221621nnnnTPPTSn++=+，则()*12nnnPPPn++N的面积为：()()121111222222232321162116nnnnnnnnnnn

nnnnPPPTPPTTPPTTPPTSSSSnnn++++++++++=+−=++−+=.【点睛】关键点点睛：设出直线方程21111:4nnnnyPQyyx−−−−−=−−，联立抛物线方程后，结合方

程必有一根nxx=，由韦达定理求出另一个根，结合对称性得到nx，ny，从而利用等差数列的定义证明出结论.