【文档说明】广东省新高考普通高中学科综合素养评价2022-2023学年高三下学期开学调研考试数学试卷答案和解析.pdf，共(12)页，540.812 KB，由小赞的店铺上传

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学科网（北京）股份有限公司1广东省新高考普通高中学科综合素养评价高三年级春学期开学调研考试数学参考答案与解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号

12345678答案DCAAACCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．题号9101112答案ACABBCABC三、填空题：本题共4

小题，每小题5分，共20分．13.404514.2403，15.3516.56；21323nn详细解答一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】D因为{|6+30}Ζ，Axxxx，2,0,

1,2B，则2,0,1,2AB．故选D．2.【答案】C(1i)1iz，1i(1i)(1i)i1i(1i)(1i)z，iz，z的实部为0．故选C．3.【

答案】A若直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行，则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，经检验λ＝1或λ＝－3时两直线平行．故选A．4.【答案】A根据正弦定理有sinsinBCACA

B，则32sin23sin212BCBACA．故选A．5.【答案】A因为直线AB过焦点F，所以111||||AFBF，学科网（北京）股份有限公司2所以112||||||2||(||2||)()3322||||||||BFAFAFBFAFBFAFBFAFBF

，当且仅当2||||||||BFAFAFBF时，等号成立．故选A．6.【答案】C由题意知讲座A只能安排在第一或最后一场，有122种结果，讲座B和C必须相邻，共有424248种结

果，根据分步计数原理知共有24896种结果．故选C．7.【答案】C设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为123,,AAA，从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为B，则112233()()(|)()(|)()(|)PBPAPBAPA

PBAPAPBA21241321355656565(6)12xxxxxx，解得6x，则x的最大值为6．故选C．8.【答案】D根据题意，正实数a，b满足ab且lnln0ab，则有1ab或01ba，依次分析选项

：对于A，无论1ab或01ba，都有log01ab，所以A错误；对于B，111()()abababababbaabab，当01ba时，11+0abba，即11abba，

所以B错误；对于C，因为1(1)(1)0ababab，所以1abab，所以133abab，即C错误；对于D，由11baab，两边取自然对数，得(1)ln(1)lnbaab，因为(1)(1)0ab，所以lnln11abab，设ln()1

xfxx，0,11,x，则211ln()(1)xxfxx，设1()1lngxxx，0,11,x，则22111()xgxxxx，当(0,1)x时，()0gx，()gx单调递增，当(1,)

x时，()0gx，()gx单调递减，所以()gxg(1)0，所以()0fx，则()fx在(0,1)和(1,)上都是单调减函数，所以f(a)f(b)，即选项D正确．学科网（北京）股份有限公司3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给

出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.【答案】AC选项A：将3，3，8，4，2，7，10，18由小到大排列为2，3，3，4，7，8，10，18，第50百分位数

即为中位数，这组数的中位数为12×(4＋7)＝5.5．选项B：由数据1x，2x，…的平均数为2，方差为3，则数据121x，221x，…的平均数为2×2＋1＝5，方差为22×3＝12．C正确．选项D中，样本的相关系数应满足－1≤r≤1，故D错误．

10.【答案】ABA选项，解法一：由(1,1)A，(4,2)B，则其中点为)23,25(M，所以21012312522MAr，则圆M的标准方程为22535222xy，化为一般式方程为225360xyxy①，又圆

C的一般式方程为2282130xyxy②，①－②得370xy为两圆相交弦所在的直线方程．解法二：以(1,1)A，(4,2)B为直径的圆的方程为02)1)((4)1)((yyxx，即225360xyxy

①，又圆C的一般式方程为2282130xyxy②，①－②得370xy为两圆相交弦所在的直线方程．B选项，解法一：由图可得BPAC，所以23312121ACBPSABP．解法二：由直线AB的方程为023yx，则点P到直线AB的距离1010310294

d，2321dABSPAB△．对于C选项，由图可知设过点B且与圆C相内切的圆心为Q，且切点为D，则12BCRCDQCQDQCQB满足椭圆定义，故圆心Q的轨迹为椭圆．对于D选项，设P(x,y)，52

3252241122222222yxyxyxPBPA，则222325yx可转化为圆C上动点P(x,y)到定点2325,的距离的平方，全科试题免费下载公众号《高中

僧课堂》学科网（北京）股份有限公司4所以222325yx的最小值为10221321022mind，故1041851022132min22PBPA．11.【答案】BC函数3sin26

fxx的图象向右平移6个单位长度后，所得图象对应的函数为3sin26ygxx，对于A：当x时，g＝23，故A错误；对于B：当x＝12时，g12＝0，故B正确；对于C：当52424

x,时，2644x,，故函数在该区间上单调递增，故C正确；对于D：令2x－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，解得x＝kπ2＋π3(k∈Z)，当k＝0，1，2，3时，x＝π3，5π6，4π3，11π6，正好有4个

极值点，故D错误．12.【答案】ABC对于A，若MQ平面AEMH，因为MH平面AEMH，所以MQMH，又因为△MQH为等边三角形，所以60QMH，所以A正确；对于B，因为//BCAD，所以异面直线BC和EA所成的角即为直线AD和EA所成的角，设角EAD

，在正六边形ADGPNE中，可得120，所以异面直线BC和EA所成角为60，所以B正确；对于C，补全八个角构成一个棱长为22的一个正方体，则该正方体的体积为3(22)162V，其中每个小三棱锥的体积为

1112222323V，所以该二十四面体的体积为2402162833，所以C正确；对于D，取正方形ACPM对角线的交点为O，即为该二十四面体的外接球的球心，其半径为222211(22)(22)222RACAM，所以该二十四面体的外接球的表面积为2244216SR

，所以D不正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.【答案】4045由题意可知，直线l的方向向量为(1,1)a，所以直线:2lyx所以12nnaa，所以2023320

2024045aa．学科网（北京）股份有限公司514.【答案】2403，依题意得－1≤x≤1，设P(x，y)，所以AO→＝(－6,0)，AP→＝(x－6，y)，所以AO→·AP→＝(－6,0)×(x－6，y

)＝－6x＋36，所以当x＝－1时，AO→·AP→有最大值42；当x＝1时，AO→·AP→有最小值30．所以取值范围为2403，．15.【答案】35解法一：0PAPB，∴点P的轨迹为222xyb，又点P是以

OF为直径的圆上的点，点P为圆222xyb与圆222()24ccxy的交点，tan2PFO又，∴在直角三角形OPF中，||OFc，2||5OPc，1||5PFc，又||POb，25cb，222

45cac，53cea．解法二：0PAPB，∴点P的轨迹为222xyb，又点P是以OF为直径的圆上的点，点P为圆222xyb与圆222()24ccxy的交点，过点P作PHOF，tan2PFO又，∴||OFc，2||5OPc，1||5

PFc，42(,)55Pcc，代入圆222xyb中，得2222242()()55ccbac，53cea．16.【答案】56；21323nn由题意知，第5堆中，第1层1个球，第2层3个球，第3层6个球，第4层10个球，第5层15个球，故35151063

15S.则在第2nn堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第(n－1)层的球的个数多n，记第n层球的个数为na，则)2(1nnaann，得)1(21...321)(...)()(123

121nnnaaaaaaaannn，其中11a也适合上式，则)(21)1(212nnnnan在第n堆中，nna...aaaS321n...n..

.3213212122221211216121nnnnn2161nnn，学科网（北京）股份有限公司6BCOPNQMDEFAzyx所以6=56S，则

2111132161nnnnnnnSn，2132321121321111321211311nnnnnnnnSnkk.四

、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解：（1）因为22223sinsinsinsinsinsin3ABCABC，所以由正弦定理得2223sincos32acbBBac，..................................

....1分tan3B，...................................................................................................2分又(0,)B，.....

............................................................................................3分3B．......................................

.....................................................................4分（2）在△ABC中，由余弦定理得2222cos7bacacB，所以=7b，.............................

..........................................................................6分又因为2221cos227abcCab，.................................

.................................8分所以由余弦定理可得27=7CD，....................................................................9分所以577AD．.............

....................................................................................10分18.（1）证明：过点P作PEAB，交AB于点E，作PFCD，交CD于点F，连结EF，

则PFAB，又3PAPD，6PBPC，90APBCPD，则△△PABPCD，2PEPF，222PEPFEF，...................................

3分PEPF，而PEABE，PF平面PAB.又PF平面PCD，所以平面PAB平面PCD....................................................

.......5分（2）解：取EF的中点为O，连结OP，则OPEF，1OP，则以O为原点，OM，OF，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,1)P，(2,1,0)C，(1,1,0)D，(2,0,0)M，111(,,)222N，(2,1,1)

PC，(1,1,1)PD，511(,,)222MN，.............8分设平面PCD的一个法向量(,,)nxyz，则200nPCxyznPDxyz，取1z，得(0,1,1)n，..

.............10分设直线MN与平面PCD所成角为，学科网（北京）股份有限公司7||16sin9||||3322则，nMNnMN直线MN与平面PCD所成角的正弦值为69．.......................

12分19.解：（1）由题设可得52132a，71232b，所以1222ba..........................2分又因为nnnnbaa)1(31，nnnnabb)

1(31，故121223nnnbaa，121223nnnabb，2222123nnnbaa，2212123nnnabb所以1212224nnnnbaba，2222121

22nnnnbaba，得2222228nnnnbaba，所以数列nnba22是首项为12，公比为8的等比数列，故122812nnnba................................

.........................................................5分（2）由题意得111ba，又因为nnnnbaa)1(31，nnnnabb)1(31，故)(4)3()3(22222222

22221212nnnnnnnnbaabbaba，)(2)3()3(3232323232322222nnnnnnnnbaabbaba，得323212128nnnnbaba，所以数列1212

nnba是首项为－1，公比为8的等比数列，故11121288)21(nnnnba，.................................................................8分因为nncccT2212..

.nnnnbaba...baba2212122211nnnnba...bababa...baba22442212123311所以7)18(117)81(

1181)81(1281)81(12nnnnnT．................................12分20.解：（1）由题意可知，每个人选择项目A的概率为1526C1C3，则每个人不选择项目A的概率为23，故

甲、乙、丙、丁这4个人中至少有一人选择项目A的概率为42651()381........2分（2）由（1）可知，每个人选择项目A的概率为1526C1C3，且每个人是否选择项目A相互独立，故X服从二项分布：1~(4,)3X

B，所以4411()()(1)(0,1,2,34)3C,3kkkPXkk，学科网（北京）股份有限公司84216(0)()381PX，11341132(1)()(1)31C38PX，22241124(2)()(1)31C38P

X，3314118(3)()(1)3381CPX，411(4)()381PX，则X的概率分布列为：X0124P168132812481181X的数学期望14()=4=33EX．.........................................

...................................6分（3）设选择项目A的人数最有可能为k人，则()(1)()(1)PXkPXkPXkPXk，212()33CC3

knkknkknnnPXkQ，111122332233CCCCknkknknnnnknkknknnnn，即112CCC2Ckknnkknn，即2!!!()!(1)!(1)!!2!!(

)!(1)!(1)!nnknkknknnknkknk，即2(1)12knknkk，解得2133nnk，...........................................

.....................9分又kNQ，所以当32nm，Nm时，km或1km，选择项目A的人数为23n与+13n的概率相同且最大，即当n被3除余2时，选择项目A的人数最有可能是23n人和+13n人；同

理，当31nm，Nm，2m时，km，即当n被3除余1时，选择项目A的人数最有可能是13n人；当3nm，Nm，2m时，km，即当n被3整除时，选择项目A的人数最有可能是3n人．................

.....................................................................................12分21.解：（1）设yxP,，由题意可知4BPAP

kk，即411xyxy1x，………….....................................................…………2分整理得点P的轨迹方程为1422yx1x，……………………………………………

………4分学科网（北京）股份有限公司9（2）解法一：由题意可设l的方程为2121mmyx，联立142122yxmyx，消x整理得0341422myym，设2211,,yxDyxC，，则012462m，即163

2m，由韦达定理有143144221221myymmyy，……………………………………………………………………6分又直线AC的方程为1111xxyy，直线BD的方程为1122xxyy，……………………8分联立11

112211xxyyxxyy，解得21122121122121122121122121212121yyymyymyyyymyymyyyyxyxyyyxyxx…

…………9分22121222212222231441322224124141222131422224141mmmyymyyyymmmmmyyyymm，…………11分解得2x，

所以存在定直线，其方程为2x．……………………………………………………………………12分解法二：由题意可设l的方程为2121mmyx，联立142122yxmy

x，消x整理得0341422myym，设2211,,yxDyxC，，则012462m，即1632m，由韦达定理有143144221221myymmyy，……………………………………………………………………6分又直线AC的方程为

1111xxyy，直线BD的方程为1122xxyy，……………………8分学科网（北京）股份有限公司10联立11112211xxyyxxyy，又1212322myyyy，则2

1122121122121122121122121212121yyymyymyyyymyymyyyyxyxyyyxyxx……………9分121212121212121213313232222221313

13222222myyyyyyyyyyyyyyyy，……………11分解得2x，所以存在定直线，其方程为2x．解法三：由题意可设l的方程为2121mmyx，联立142122yxmyx

，消x整理得0341422myym，设2211,,yxDyxC，，则012462m，即1632m，由韦达定理有143144221221myymmyy，…………

…………………………………………………………6分又直线AC的方程为1111xxyy，直线BD的方程为1122xxyy，……………………8分联立11112211xxyyxxyy，得

3214323432114323143212321231111121221122212122121122112yyyyyyymmymmyymyyymymyymy

yxyxyxx，………………………………………………………………………………………11分解得2x，所以存在定直线，其方程为2x．………………………………………………12分学科网（北京）股份有限公司1122.证明：（1）函数f(x)＝alnx＋x＋2x＋2a的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝

ax＋1－2x2＝x2＋ax－2x2．……1分对于方程x2＋ax－2＝0，Δ＝a2＋8>0．解方程x2＋ax－2＝0，可得x1＝－a－a2＋82<0，x2＝－a＋a2＋82>0，........................................

..2分当0<x<－a＋a2＋82时，f′(x)<0；当x>－a＋a2＋82时，f′(x)>0，.....................4分所以函数f(x)在2802aa,上单调递减，在282

aa,上单调递增．所以函数f(x)有唯一极小值点．...............................................................5分（2）要证明

f(x)<x＋ex＋2x，即证x＋alnx＋2x＋2a<x＋ex＋2x，即证a(lnx＋2)<xxe，即证xxa)2(ln<2exx．..........................................6分令g(x)＝exx2，其中x>0，则g′(x)＝3)2(ex

xx，当0<x<2时，g′(x)<0，此时函数g(x)单调递减；当x>2时，g′(x)>0，此时函数g(x)单调递增．所以g(x)min＝g(2)＝e24．.…………8分构造函数h(x)＝xxa)2(ln，其中0<a<e4，x>0，则h′(x)＝－2

1lnxxa.当0<x<1e时，h′(x)>0，此时函数h(x)单调递增；当x>1e时，h′(x)<0，此时函数h(x)单调递减．..........................................10分

所以h(x)max＝h(e1)＝ae<4e2，则h(x)max<g(x)min，所以xxa)2(ln<2exx．故原不等式得证．..............................................

......................................12分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com