【文档说明】第一章 特殊平行四边形测试卷测试卷-简单数学之2020-2021学年九年级上册同步讲练（解析版）（北师大版）.docx，共(26)页，619.214 KB，由管理员店铺上传

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1第一章特殊平行四边形测试卷一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2019·河南伊川初二期末）有以下4个命题，其中正确的命题有（）①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是菱形；③两条对角线互相垂直的四边

形是正方形；④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】解：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①是真命题；两条对角线垂直平分的四边形是菱形，故②是假命题；两条对角

线互相垂直、相等且平分的四边形是正方形，故③和④都是假命题；综上，正确的命题只有①，共1个．故选：A．2．（2019·河南伊川初二期末）如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AB、CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连结BO．若∠DAC=38°，则∠OBC的度

数为（）A．38B．52C．62D．64【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，∵AM=CN，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，即∠BOC＝90°，2∵BC∥AD，∠D

AC＝38°，∴∠BCA＝∠DAC＝38°，∴∠OBC＝90°﹣38°＝52°，故选：B．3．（2019·河南宜阳初二期末）若菱形的对角线AC=BD=22cm，则这个菱形的周长和面积分别为（）A．4cm，

4cm2B．8cm，4cm2C．8cm，8cm2D．42cm，8cm2【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD，∵AC=BD=22cm，∴AD=2cm，S菱形

ABCD=12AC•BD=4cm2，∴菱形的周长为8cm；故选：B．4．（2020·山西交城初二期中）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组

对角是否都为直角D．测量三个角是否为直角【答案】D【解析】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形，而不能判定矩形；B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，而不能判定矩形；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；D、四边形其中的三个角是否都为直角，能判定矩形，故选D．5．（

2020·北京市第二中学分校初二期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（）3A．20cmB．30cmC．40cmD．202cm【答案】D【

解析】解：如图1，图2中，连接AC．图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝20cm，在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝

2AB＝202cm；故选：D．6．（2020·德惠市第九中学初三其他）如已知：线段AB，BC，∠ABC="90°."求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：4对于两人的作业，下列说法正确的是A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对【答案】

A【解析】对于甲：由两组对边分别相等的四边形是平行四边形及∠B=90°，得四边形ABCD是矩形，正确；对于乙：对角线互相平分的四边形是平行四边形及∠B=90°，得四边形ABCD是矩形，，正确．因此，对于两人的作业，两人

都对．故选A．7．（2020·四川遂宁�初二期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，点E在AD上，且AE＝4cm，连接EC，将矩形ABCD沿直线BE翻折，点A恰好落在EC上的点A处，则BC的值为（）A．8cmB．6cmC．12cmD．10cm【答案】D【解析】∵四边形

ABCD是矩形∴8ABCDcm==，90AD==o，//ADBC，ADBC=∴'DECACB=5由折叠的性质得：'8ABABcm==，'90BAEA==o∴'ABCD=，'90BACD==o在'ABCV和DCEV中，BACDACBDECABCD===

∴'ABCDCE△≌△∴'ACDE=设'ACxcm=，则4BCADDEAEx==+=+在'RtABC△中，2'2'2BCABAC=+即222(4)8xx+=+解得：6x=，∴'6ACcm=，BC10cm=故选

：D．8．（2020·湖北孝南初三学业考试）如图，将斜边为4，且一个角为30°的直角三角形AOB放在直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重合，D为斜边的中点，现将三角形AOB绕O点顺时针旋转120°得到三角形EOC，则点D对应的点的坐标为（）A

．（1，﹣3）B．（3，1）C．（23，﹣2）D．（2，﹣23）【答案】A【解析】解：根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△A′OB′，连接OD，OD′，过D′作DM⊥y轴，6∴∠DOD′＝120°，∵D为斜边AB的中点，∴AD＝OD＝12AB＝2，∴∠BAO＝∠DOA＝30

°，∴∠MOD′＝30°，在Rt△OMD′中，OD′＝OD＝2，∴MD′＝1，OM＝22ODMD−=3，则D的对应点D′的坐标为（1，﹣3），故选：A.9．（2020·山东济南初二期末）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，

点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（）A．25B．42C．342D．853【答案】C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△BAE和△ADF中，7ABDABAEADFAEDF===，∴△BAE≌△ADF（SAS

），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝90°，∴∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝12BF，又∵BC＝CD＝5，DF＝2，∠C＝90°，∴CF＝3，∴BF＝22BCCF+＝2253+＝34，∴GH＝342

，故选：C．10．（2019·山东罗庄初二期中）如图，正方形ABCD的边长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG=()A．4B．8C．82D．42【答案】D【解析】解：如图，连接0

E，8∵四边形ABCD是正方形，边长为8，∴AC=BD=82,∴OA=OB=42,又∵S△ABO=S△AEO+S△EBO，∴111222OAOBOAEFOBEG=+即11424242()22EFEG=+∴EF+EG=42故答案为：D11

．（2020·陕西渭滨初二期末）如图，已知点P是∠AOB平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm．若点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）cm．A．7B．6C．5D．4【答案】D【解析】∵点P是∠AO

B平分线上的一点，60AOB=∴1302AOPAOB==∵PD⊥OA，M是OP的中点，4DMcm=∴28OPDMcm==∴142PDOPcm==∵点C是OB上一个动点∴当PCOB⊥时，PC的值最小9∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PCOB⊥∴PC最小值4PDcm

==，故选：D．12．（2020·山东滨州初三学业考试）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A处，得到折痕BM，BM与FF相交于点N．若直线BA’交直线CD于点O，BC＝5，

EN＝1，则OD的长为（）A．132B．133C．134D．135【答案】B【解析】解：∵EN=1，∴由中位线定理得AM=2，由折叠的性质可得A′M=2，∵AD∥EF，∴∠AMB=∠A′NM，∵∠AMB=∠A′MB，∴∠A′NM=∠A′MB，∴

A′N=2，∴A′E=3，A′F=2过M点作MG⊥EF于G，10∴NG=EN=1，∴A′G=1，由勾股定理得MG=22213−=，∴BE=DF=MG=3，∴OF：BE=2：3，解得OF=233，∴OD=3-233=33．故选：B．13．（2020·河北宁晋东城实

验学校初三开学考试）在分割矩形的课外实践活动中，甲、乙两人进行如下操作：甲：将矩形按图1所示分割成四个三角形，然后将四个三角形分别沿矩形的边向外翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的菱形；乙：将矩形按图2所示分割成四个三角形，然后将四个三角形分别沿矩

形的边向外翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的矩形．对于这两人的操作，以下判断正确的是（）A．甲、乙都正确B．甲、乙都不正确C．甲不正确、乙正确D．甲正确、乙不正确【答案】A【解析】解：如图，11∵四边形ABCD是矩形，∴AO=

BO=CO=DO，∠BAD=90°，∵将四个三角形分别沿矩形的边向外翻折，∴AG=AO=AH，DO=DH=DE，CO=CE=CF，BO=BF=BG，∠OAD=∠HAD,∠OAB=∠GAB,S四边形GHEF=2S四边形ABCD，∴

∠GAH=2∠BAD=180°,∴G、A、H三点共线，同理E、D、H三点共线，E、C、F三点共线，G、B、F三点共线，∴GH=HE=GF=EF，∴四边形GHEF是菱形，故甲的操作正确；如图，∵AM⊥BD，CN⊥BD

，∴∠AMB=∠AMD=∠BNC=∠DNC=90°，同上可证G、A、H三点共线，E、D、H三点共线，E、C、F三点共线，G、B、F三点共线，∵将四个三角形分别沿矩形的边向外翻折，∴∠G=∠AMB=90°，∠H=∠AMD=90°，∠F=∠BNC=90°，∠E=∠CND=90°，S

四边形GHEF=2S四边形ABCD，∴四边形GHEF是矩形，故乙的操作正确，故选：A．1214．（2020·内蒙古武川初二期末）如图，已知正方形ABCD边长为1，45EAF=，AEAF=，则有下列结论：

①1222.5==；②点C到EF的距离是2-1；③ECF△的周长为2；④BEDFEF+，其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°，在Rt△ABE和Rt

△ADF中，AEAFABAD＝＝，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴∠1=∠2，∵∠EAF=45°，∴∠1=∠2=∠22.5°，所以①正确；连接EF、AC，它们相交于点H，如图，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴BE=DF，而BC=D

C，∴CE=CF，∵AE=AF，∴AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，13∴EB=EH，FD=FH，∴BE+DF=EH+HF=EF，所以④错误；∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CE+BE+CF+DF=CB+CD=1+1

=2，所以③正确；设BE=x，则EF=2x，CE=1-x，∵△CEF为等腰直角三角形，∴EF=2CE，即2x=2（1-x），解得x=2-1，∴BE=2-1，Rt△ECF中，EH=FH，∴CH=12EF=EH=BE=2-1，∵C

H⊥EF，∴点C到EF的距离是2-1，所以②错误；本题正确的有：①③；故选：C．二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．（2020·河南罗山初二期末）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=2，BC=6，

则OB的长为______．【答案】13【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，∴OM是△ADC的中位线，∵OM=2，∴DC=4，14∵AD=BC=6

，∴AC=22ADCD+=213，∴BO=12AC=13，故答案为：1316．（2020·江苏鼓楼初二期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝3，将矩形纸片折叠，边AD、边BC与对角线BD重合，点A与

点C恰好落在同一点处，则矩形纸片ABCD的周长是______．【答案】6＋23【解析】解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,AD=BC=3,AB=CD,由翻折的性质可知,BD=2AD=23,∴在RtDABV中,AB=CD=22BDAD−=()()22233−=3,∴四边形ABCD的周

长为6+23,故答案为6+23．17．（2020·山东济南初二期末）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为()12,5，直线14yxb=+恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b=___

___．【答案】1【解析】解：∵将矩形OABC分成面积相等的两部分，∴直线经过矩形的中心，15∵B点坐标为B（12，5），∴矩形中心的坐标为（6，52），∴14×6+b=52，解得b=1．故答案为：1．18．（20

19·河南汝阳初二期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则AE的取值范围是_______．【答案】1063

AE≤≤【解析】解：如图：当F、D重合时，BP的值最小，对应的AE的值最大，根据折叠的性质知：AF=PF=10；在Rt△PFC中，PF=10，FC=6，则PC=8；∴BP=10-8=2，设BE=x，则AE=EP=6-

x，在Rt△BEP中，由勾股定理有：BE²+BP²=EP²，代入数据：16即：x²+2²=(6-x)²，解得x=83，故AE=EP=6-x=103；②当E、B重合时，BP的值最大；根据折叠的性质即可得到EP=BP=AB=6

，即AE的最大值为6．故答案为：1063AE≤≤．三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2019·河南伊川初二期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AC=6cm．求该菱形的周长和面积．【答案】菱形的周长=

24cm，菱形的面积=183cm2．【解析】解：连接BD交AC于点O，如图，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AC⊥BD，AO=OC=3cm，BO=DO，∠BAO=60°，∴∠ABO=30°，则在Rt△ABO中，AB=6cm，BO=22226333ABA

O−=−=cm，∴BD=2BO=63cm，∴菱形的周长=6×4=24cm，菱形的面积=1166318322ACBD==cm2．20．（2020·北京密云初二期末）下面是小明设计的作矩形ABCD的尺规作图过程．已知：Rt△ABC中，∠ABC=90°求作：矩形ABCD．17作

法：如图，1．以点A为圆心，BC长为半径作弧；2．以点C为圆心，AB长为半径作弧；3．两弧交于点D．点B和点D在AC异侧；4．连接AD，CD．所以四边形ABCD是矩形．(1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：∵AB=①_____

___，BC=②_________，∴四边形ABCD是平行四边形(③________________________________)(填推理的依据)又∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形．(④_________________________

_______)(填推理的依据)【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求作矩形；（2）证明：∵AB=①CD，BC=②AD，∴四边形ABCD是平行四边形(③两组对边分

别相等的四边形是平行四边形)，又∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形．(④有一个角是直角的平行四边形是矩形)故答案为：①CD，②AD，③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，④有一个角是直角的平行四边形是矩形．1821．（2020·江苏南通田家炳中学初二月考）如图，在四边形ABCD中，∠A

BC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】（1）在

△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，且MN=12AD，在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM=12AC，又∵AC=AD，∴MN=BM；（2）∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=12AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠

ABM=2∠BAM=60°．∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴222BNBMMN=+，而由（1）知，MN=BM=12AC=12×2=1，∴BN=2．22．（2020·

山东济南初二期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关

系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．19（1）延长CB到点G，使BG＝，连接AG；（2）证明：EF＝BE＋DF【答案】（1）DF；（2）见解析【解析】解：（1）根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法：延长CB到点G，使BG=D

F，连接AG；（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，在△ADF和△ABG中ADABADFABGDFBG===∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AF=AG，∠DAF=∠GAB，∵∠

EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠GAB+∠EAB=45°，∴∠GAE=∠EAF=45°，在△AGE和△AFE中0AGAFGAEFAEAEAE===∴△ADF≌△ABG（SAS），

∴GE=EF，∴EF＝GE=BE+GB=BE＋DF23．（2019·河南伊川初二期末）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，

连接MD，AN.20（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．【答案】（1）见解析（2）①1；②2【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE=∠MAE，∠

DNE=∠AME，又∵点E是AD边的中点，∴DE=AE，∴△NDE≌△MAE，∴ND=MA，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵AM=1=12AD，∴∠ADM=30°∵∠DAM=60°，∴∠AMD=90°

，∴平行四边形AMDN是矩形；②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：∵AM=2，∴AM=AD=2，∴△AMD是等边三角形，∴AM=DM，∴平行四边形AMDN是菱形，24．（2020·山东平阴初二期末）如图1，在矩形

纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在21边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动．①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；②

如果限定P、Q分别在线段BA、BC上移动，直接写出菱形BFEP面积的变化范围．【答案】（1）证明过程见解析；（2）①边长为53cm，②225cmS9cm3．【解析】解：（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF

＝∠EPF，又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四边形BFEP为菱形；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，

∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5cm，在Rt△CDE中，DE＝22CE-CD＝4cm，∴AE＝AD﹣DE＝5cm-4cm＝1cm；在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3-PB＝3﹣PE，22∴222EP=1(3-EP)+，解得：EP＝53

cm，∴菱形BFEP的边长为53cm；②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm，BP=53cm，2BFEP5S=BPAE=cm3四边形，当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，A

E＝AB＝3cm，2ABQEBFEPS=S=9cm正方形四边形，∴菱形的面积范围：225cmS9cm3．25．（2020·北京朝阳初一期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣5，0），B（﹣1，0），M（0，5），N（5

，0），连接MN，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD．（1）直接写出C，D两点的坐标；23（2）将正方形ABCD向右平移t个单位长度，得到正方形A′B′C′D′．①当点C′落在线段MN上时，结合图形直接写出此

时t的值；②横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记正方形A′B′C′D′和三角形OMN重叠的区域（不含边界）为W，若区域W内恰有3个整点，直接写出t的取值范围．【答案】（1）点C（﹣1，4），点D（﹣5，4）；（2）①t＝2；②2＜t≤3或6≤t＜7【解析】解：（1）∵点A（﹣

5，0），点B（﹣1，0），∴AB＝4，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，AB∥CD，AD∥BC，∴点C（﹣1，4），点D（﹣5，4）；（2）①如图，设C'D'与y轴交于点H，∵M（0，5），N（5，0），∴OM＝ON，∴∠ONM＝∠OMN＝45°，∵CD∥AB，∴C

D⊥y轴，∵将正方形ABCD向右平移t个单位长度，∴C'D'⊥y轴，OH＝4，CC'＝t，∴∠HMC'＝∠HC'M＝45°，∴MH＝C'H＝5﹣4＝1，∴点C'（1，4），∴CC'＝1﹣（﹣1）＝2，24∴t＝2；②如图，∵将正方形ABCD向右平移

t个单位长度，∴点A（﹣5+t，0），点B'（-1+t，0）∵区域W内恰有3个整点，∴﹣1﹣5+t＜2或1＜-1+t2∴2＜t≤3或6≤t＜7．26．（2020·山东济南初二期末）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在射线BC上，且四边形

DEFG是正方形，连接CG．(1)求证：AE＝CG．(2)求证：∠ACG=90°．(3)若AB＝22，当点E在AC上移动时，AE2+CE2是否有最小值？若有最小值，求出最小值．(4)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2

）证明见解析；（3）有最小值，最小值为8；（4）120°或30°．【解析】（1）证明：如图1∵四边形ABCD、四边形DEFG都是正方形∴DA=DC，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°∵∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC

25∴∠ADE=∠CDG，在△ADE和△CDGAD=CD，∠ADE=∠CDG，DE=DG∴△ADE≌△CDG（SAS）∴AE=CG；（2）证明：如图1∵四边形ABCD是正方形∴∠DAC=∠ACD=45°∵.△ADE≌△CDG∴∠DAE=∠DCG=45°∴∠ACG=∠ACD+

∠DCG=90°；（3）解：有最小值如图1：连接EG∵∠ACG=90°∴△ECG是直角三角形，AE=CG∴AE2+EC2=EC2+CG2=EG2，∵四边形DEFG是正方形，∴EG=2DE，∴DE的值最小时，EG的值最小，∴当DE⊥AC，DE

=12AC=22AB=2,AE2+CE2时的值最小，AE2+EC2=EG2=(2DE)2=(22)2=8；（4）如图2，当∠ADE=30°时∵∠CED=∠EAD+∠ADE=45°+30°=75°,∠DEF=90°∴∠CEF=90°-75°=1

5°∴∠EFC=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-15°=120°；如图3，当∠CDE=30°时∴∠DEC=180°-30°-45°=105°∵∠DEF=90°∴∠CEF=15°∴∠EFC=∠ACB-∠CEF=45°-15°=30°；26综上，满足题意得∠EFC的

值为120°或30°．