【文档说明】湖北部分名校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，1.204 MB，由小赞的店铺上传

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2024年湖北部分名校高二期中联考高二数学试卷命题学校：郧阳中学命题教师：王俊燕张辉庆赵燕敏审题学校：鄂州高中考试时间：2024年11月12日下午15:00-17:00试卷满分：150分注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条

形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上

对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数2024i1iz=+（i为虚数单位），则zz−=（）A.0B.2024

C.2024i−D.2024i【答案】D【解析】【分析】根据除法运算求得10121012iz=+，进而可得z和zz−.【详解】因为()()()2024i1i2024i10121012i1i1i1iz−===+++−，则10121012iz

=−，所以2024izz−=.故选：D.2.已知直线1l：()2220axya−+−=，直线2l：810xy−+=，若12ll∥，则a=（）A.2或2−B.4−C.4或4−D.4【答案】B【解析】【分析】根据直线平行列式求得4a=，并代入检验即

可.【详解】若12ll∥，则216a−=−，解得4a=，当4a=时，直线1l：810xy−+=，直线2l：810xy−+=，两直线重合，不合题意；当4a=−时，直线1l：830xy−−=，直线2l：810xy−

+=，两直线平行，符合题意；综上所述：4a=−.故选：B.3.已知圆()()22223xyr−+−=经过点(4,5)P，则圆在点P处的切线方程为（）A.90xy−−=B.0xy+=C.0xy−=D.90xy+

−=【答案】D【解析】【分析】求出圆心坐标，利用圆的切线性质求出切线的斜率即可得切线方程.【详解】圆()()22223xyr−+−=的圆心(2,3)C，直线CP的斜率53142CPk−==−，因此圆在点P处的切线方程为5(4

)yx−=−−，即90xy+−=.故选：D4.已知圆1C：()223121xy++=和2C：()2231xy−+=，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（）A.221369xy+=B.2213627xy+=C.221

3616xy+=D.221169xy+=【答案】B【解析】【分析】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断M点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程.【详解】圆1C：()223121xy++=圆心1(3,0)C−，半径111r=，圆2C：()2231xy−+=的圆心2(3,0)C，

半径21r=，由1212610CCrr==−，得圆2C内含于圆1C内，设动圆半径为R,的依题意，22CPrR=+，11CPrR=−，则121212126PCPCrrCC+=+==，因此M点的轨迹为以12,CC为焦点的椭圆，其

中212,26ac==，222236,27abac==−=，所以M方程为2213627xy+=.故选：B5.某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、1200人、800人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30

人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm、168cm、171cm，估计该校学生的平均身高是（）A.166.4cmB.167.2cmC.167.8cmD.170.0cm【答案】C【解析】【分析】求出样本中高一、高二及高三年级的学生

数，再利用分层抽样的平均数公式计算即得.【详解】依题意，容量为30人的样本中，高一年级的学生数为1000301010001200800=++，高二年级的学生数为1200301210001200800=++，高三年级的学生数为80030810001200800=++，所以该校学生的平

均身高大约为10165121688171167.8cm30++=.故选：C6.已知向量3(0,)2a=，(3,)bx=，若(4)⊥−bba，则x=（）A.3B.1−C.1D.3−【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量

表示、数量积的坐标表示列式计算即得.【详解】由向量3(0,)2a=，(3,)bx=，得2239,2bxabx=+=，由(4)⊥−bba，得222(4)496(3)0bbababxxx−=−=+−=−=，所以3x=.故选：A7.已知点)6,10(,1Q−

，平面{|0}PnPQ==，其中(2,1,2)n=，则点(1,0,1)A−到平面的距离是（）的A.103B.2C.203D.3【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量求出点到平面的距离.【详解】由平面{|0}PnPQ==，得(2,1,2)n=是平面的法向量，点)6,

10(,1Q−在平面内，(7,10,2)AQ=−，所以点(1,0,1)A−到平面的距离是222|||721102(2)|203||212AQnn++−==++.故选：C8.如图，焦点在x轴上的椭圆222136xya+=（0a）的左、右焦点分别为1F，2F，P是椭圆

上位于第一象限内的一点，且直线2FP与y轴的正半轴交于A点，1APF△的内切圆在边1PF上的切点为Q，若1||8FQ=，则该椭圆的离心率为（）A.74B.12C.14D.134【答案】A【解析】【分析】运用椭圆的定义

，结合圆的相切性质列式求出a，进而求出椭圆的离心率.【详解】令12,AFAF与圆相切的切点分别为,ST，由椭圆定义得12||||2PFPFa+=，即12|||||2|QFQPPFa++=，由||||PTPQ=，得12|||||2|QFTPPFa++=，即21|2|8|2|TFaQFa=−

=−，由对称性得211||8||||TFSFQF===，即288a−=，解得8a=，所以该椭圆的离心率为226436784abea−−===.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错

的得0分．9.下列说法中，正确的有（）A.直线2ykx=−在y轴的截距是2B.直线330xy−−=的倾斜角为30C.直线l沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直

线l的斜率为13−D.点00(,)Pxy在直线l：0AxByC++=上，直线l的方程可化为00()()0AxxByy−+−=．【答案】BCD【解析】【分析】利用直线的一般式方程的有关概念。逐项分析判断

即得.【详解】对于A，直线2ykx=−在y轴的截距是2−，A错误；对于B，直线330xy−−=的斜率为33k=，其倾斜角为30，B正确；对于C，设直线l的方程为220(0)axbycab++=+，则变换后的直线方程为(3

)(1)0axbyc++−+=，依题意，3abcc−+=，解得3ba=，直线l的斜率为13ab−=−，C正确；对于D，由点00(,)Pxy在直线l：0AxByC++=上，得00CAxBy=−−，因此该直线方程为00()()0AxxByy−+−=，D正确.故选：BCD10.在空间直角坐标系Ox

yz−中，已知(1,3,5)A−，(2,1,1)B−，下列结论正确的有（）A.7AB=B.4OAOB=C.若(4,2,)nt=，且nAB⊥，则83t=D.若(1,1,)mk=且//mAB，则3k=−【答案】AC【解析】【分析】利用空间向量的坐标表示，再结合空

间向量的坐标运算逐项分析判断得解.【详解】由(1,3,5)A−，(2,1,1)B−，得(3,2,6)AB=−−，对于A，222||(3)(2)67AB=−+−+=，A正确；对于B，1(2)13(5)14OAOB=

−++−=−，B错误；对于C，由(4,2,)nt=，nAB⊥，得12460nABt=−−+=，解得83t=，C正确；对于D，由(1,1,)mk=且//mAB，得11326k==−−，无解，D错误.故选：AC11.四叶草也叫幸运草，四片叶子分别

象征着：成功，幸福，平安，健康，表达了人们对美好生活的向往，梵客雅宝公司在设计四叶草吊坠时，利用了曲线Ω：22xyxy+=+，进行绘制，点(),Pab在曲线Ω上，点()2,0Q，则下列结论正确的是（）A.曲线Ω围成的图形面积为π2+B.3a

b++的最小值是2C.直线PQ的斜率的最大值为1D.PQ的取值范围为102262,22−+【答案】ACD【解析】【分析】对A：根据曲线与圆的关系，结合面积公式，直接求解即可；对B：将问题转化为求P到直线30xy++=的距离的最小值问题，数形结合解决问题；对C：根据直线和圆的位置关系

，数形结合，求解问题；对D：根据圆外一点到圆上一点距离的最值求解方法，数形结合，求解即可.【详解】对曲线方程：22xyxy+=+，当0,0xy时，可化为220xxyy−+−=，即22111222xy−+−=，故曲线Ω在第一象限是圆心为11,22A

，半径为22的圆上的一段圆弧；根据对称性可知，该曲线关于x轴，y轴，以及坐标原点均对称，故其曲线绘制如下：对A：记点()()0,1,1,0BC，显然,BC均在曲线Ω上，如下所示：因为1ABBCkk==−，故,,ABC

三点共线，则该曲线在第一象限内的面积为一个半圆的面积和△BOC面积之和；故曲线Ω围成的图形面积21214π11π2222S=+=+，故A正确；对B：设点(),Pab到直线30xy++=距

离为d，则3ab++2d=，根据对称性可知，曲线Ω在第三象限内的部分是在圆心为11,22−−，半径为22的圆上；的数形结合可知，点(),Pab到直线30xy++=的距离最小值为1132222222222−−+−=−=，故3ab++的最小值为2212=，

故B错误；对C：根据题意，作图如下：数形结合可知，当且仅当PQ为过Q且与曲线Ω在第四象限内的圆弧相切时，其斜率取得最大值；根据对称性，曲线Ω在第四象限的部分是在圆心为11,22−，半径为22的圆弧，其方

程为22111,0,0222xyxy−++=，设过点Q，且斜率存在的直线为()2ykx=−，故可得23122221kk−+=+，整理得：27610kk−−=，()()7110kk+−=，解得17k=−（舍去）或𝑘=1，故PQ斜率的最

大值为1，故C正确；对D：记曲线Ω在第一和第二象限圆弧的圆心分别为,AB，显然1111,,,2222AB−，如下所示：根据圆上一点到圆外一点距离的最值求解，数形结合可知：当点P在第

一，第四象限时，PQ可以取到最小值；当点P在第二，第三象限时，可取到最大值；为方便，只讨论第一，第二象限的情况；当点P在第一象限时，PQ的最小值为22211210210222222222AQ−−=−+−=−=；当点P在第二象限时，PQ的最大值为222112262

26222222222BQ++=−−+−+=+=；故PQ的取值范围为：102262,22−+，故D正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是能够合理转化曲线方程，将其和圆建立关系；二是，借鉴处理圆中问题的方法，进而处

理本题中遇到的问题，属综合困难题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.椭圆221416xy+=的长轴长为________．【答案】8【解析】【分析】根据椭圆长轴长的定义可求.【详解】根据椭圆方程可知222212

4xy+=，24所以长轴长为248=，故答案为：813.甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为23；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为12．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲执黑子

先下，则甲、乙各胜一局的概率为________．【答案】59【解析】【分析】分第一局甲胜，第二局乙胜和第一局乙胜，第二局甲胜两种情况，利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式计算即得.【详解】第一局甲胜，第二局乙胜：甲胜第一局的概率为23，第二局乙执黑子先下，则

乙胜的概率为12，因此第一局甲胜，第二局乙胜的概率为1231123p==；第一局乙胜，第二局甲胜：乙胜第一局的概率为13，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为23，因此第一局乙胜，第二局甲胜的概率为2122339p==；所以甲、乙各胜一局的概率为12539

9+=.故答案为：59.14.我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多的代数问题都可以通过转化为几何问题加以解决，例如，与22()()xayb−+−相关的代数问题，可

以转化为点(),xy与点(),ab之间的距离的几何问题．已知点11(,)Mxy在直线1l：2yx=+上，点22(,)Nxy在直线2l：yx=上，且1MNl⊥，结合上述观点，22221122(4)(3)xyxy+−+−+的最小值为________．【答案】13【解析】【分析】根据两点距离公

式将目标函数转化为点()11,Mxy到点()0,4A的距离与点()22,Nxy到点()3,0B的距离和，过点A作1ACl⊥，垂足为C，证明AMCN=，由CNNBCB+求目标函数最小值.【详解】由已知()22114xy+−表示点()1

1,Mxy到点()0,4A的距离，()22223xy−+表示点()22,Nxy到点()3,0B的距离，所以()()2222112243xyxyMANB+−+−+=+，过点A作1ACl⊥，垂足为C，因为直线1l的方程为20xy−+=，()0,4A，则042211AC−+==+，又直线1:2ly

x=+与直线2:lyx=平行，1MNl⊥，则20211MN−==+，可得//,MNACMNAC=，则四边形AMNC为平行四边形，所以AMCN=，可得22221122(4)(3)xyxyMANBCNNB+−+−+=+=+

，且CNNBCB+，当且仅当,,CNB三点共线时等号成立，所以当点N为线段CB与直线2l的交点时，22221122(4)(3)xyxy+−+−+取最小值，最小值为CB，因为过点()0,4A与直线1l垂直的直线的方程为4yx=−+，联立42yxyx=−+=+，可得13xy==，即点C

的坐标为()1,3，可得()()22310313CB=−+−=，所以22221122(4)(3)xyxy+−+−+的最小值为13.故答案为：13.【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题.四、解答题：本

大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知ABCV的顶点()(3,0),2,0BC−，BAC的平分线AD交BC于点D，且AD所在直线方程为310xy−−=，记ABD△，ACD的面积分别为ABD

S，ACDS．（1）求:ABDACDSS△△；（2）求顶点A坐标．【答案】（1）2:1（2）()1,2【解析】【分析】（1）根据题意可得1,03D，进而可得面积之比；（2）求(2,0)C关于直线310xy−−=对称的点为(

1,1)C−，再求直线,ADBC的交点即可.【小问1详解】由题意可知：直线:0BCy=，对于直线310xy−−=，令0y=，可得13x=，即1,03D，可得105,33BDCD==，所以::2:1ABDACDSSBDCD==.【小问2详解】设(2,0

)C关于直线310xy−−=对称的点为(,)Cab，则123231022baab=−−+−−=，解得11ab=−=，即(1,1)C−，可知直线03:1013yxBC−+=−−+，即230xy−+=，联立方程230310xyxy−+=−−=，解得12

xy==，所以顶点A坐标为()1,2.16.图1是边长为2正方形ABCD，将ACD沿AC折起得到如图2所示的三棱锥PABC−，且2PB=．（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）点M是棱PA上的点，且13AMAP=，求平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值．【答案】

（1）证明见详解（2）79【解析】【分析】（1）取AC中点为O，连接,POBO，利用勾股定理证明POBO⊥，再结合POAC⊥，即可由线线垂直证明线面垂直；（2）根据（1）中所证，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得M的坐标，以及两个平面的法向量，利用

空间向量求面面夹角.【小问1详解】由于正方形ABCD的边长为2，所以2AC=，取AC的中点O，连接PO，BO，的由题意，得112POBOAC===，再由2PB=，可得222POBOPB+=，即POBO⊥．由题易知PO

AC⊥，又ACBOO=，,BOAC面ABC，所以⊥PO平面ABC，又PO平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC．【小问2详解】由（1）可知POOB⊥，POOC⊥，且OBAC⊥，故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系

．则()1,0,0C，()0,1,0B，()1,0,0A−，()0,0,1P．所以()1,0,1AP=，()1,1,0BC=−，()1,0,1PC=−，由题意知111,0,333AMAP==，则21,0,33M−．可得51,0,33MC=−．设平面MBC的法

向量为m()111,,xyz=，则1111051033mBCxymMCxz=−==−=，令11x=，则11,15yz==，可得m()1,1,5=；设平面PBC的法向量为()222,,nxyz=，则222200nBCxynPCxz=−==−=

，令21x=，则221yz==，可得()1,1,1n=；则cos,nmnmnm=779327==，所以平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值79.17.“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋

时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．（1）任选一道灯谜，求甲

，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为97100，求n的值．【答案】（1）1120（2）16【解析】【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；（2）利用对立

事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求n.【小问1详解】设A=“任选一道灯谜甲猜对”，B=“任选一道灯谜乙猜对”，C=“任选一道灯谜丙猜对”.则153()204PA==，82()205PB==，()20=nPC，可得1()4PA=，3()5PB=，()120=−nPC.“甲，乙两位同

学恰有一个人猜对”ABAB=，且AB与AB互斥.每位同学独立竞猜，故A，B互相独立，则A与B，A与B，A与B均相互独立.所以331211()()()()()()()454520PABABPABPABPAPBPAPB=+=+=+=U，所以甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为1120.

【小问2详解】设D=“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则DABC=.所以1397()1()1()()()114520100nPDPDPAPBPC=−=−=−−=，解得16n=，所以n的值16.18.已知圆E：2212

02xmxym−+−=，直线l：20xy−+=．（1）讨论l与圆E的位置关系；（2）若l与圆E相交于M，N两点，圆心E到l的距离为2，另有一圆C的圆心在线段MN上，且圆C与圆E相切，切点在劣弧MN上，求圆C

的半径的最大值．【答案】（1）答案见解析.（2）142−.【解析】【分析】（1）通过圆的方程解出圆心和半径，比较圆心到直线的距离与半径的大小，即可得到直线与圆的位置关系.（2）由点到线的距离得出参数m的值，从而得到

圆的方程，通过内切圆的关系得到半径2r的范围，由此得出最大值.【小问1详解】圆E：2221()2xmymm−+=+的圆心(m,0)E，且2102mm+，即12m−或𝑚>0，圆E的半径212rmm=+，设圆心E到l的距离为d，则22md+

=，若dr>，则222|2|1()()22mmm++，解得14−m，则当112m−−或04m时，直线l与圆E相离；若dr=，则当1m=−或4m=，直线l与圆E相切；若dr，则当1m−或4m，直线l与圆E相交.【小问2详解】由（1）知222m+=，解得4m=−或0m=，则4

m=−，圆22:(4)14Exy++=，圆心()4,0E−，半径114r=，依题意，圆C的圆心C在圆E内且两圆内切，记圆C的半径为2r，由切点在劣弧MN上，知12ECrr=−，21rrEC=−，又点C在线段MN上，则2EC，当且仅当圆心C与线段MN的中点重合时，2r最大，

且2max()142r=−.所以圆C的半径的最大值为142−.19.如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，60DAB=，244BCPQAB===，M为BC的中点，PQBC∥，PDDC⊥，QBMD⊥．（1）证明：90ABQ=；（2）若平面PCD与

平面QAB夹角的余弦值为31010，求多面体ABCDPQ的体积．【答案】（1）证明见详解（2）152【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解3DM=，即可求证DMDC⊥，进而根据线线垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直；（2）设PMh=，建立空间直角坐标系

，利用空间向量结合面面夹角可得33h=，根据体积公式，结合棱柱与棱锥体积关系求体积即可.【小问1详解】在DCM△中，由余弦定理可得222cos603DMDCMCDCMC=+−=o，所以222DMDCCM+=，所以90MDC=，所以DMDC⊥．又因为DCPD⊥，

,,DMPDDDMDP=平面PDM,的所以DC⊥平面PDM,PM平面PDM．所以DCPM⊥．由于//,2PQBMPQBM==,所以四边形PQBM为平行四边形，所以PMQB∥．又ABDC，所以ABBQ⊥，所以90ABQ=．【小问2详解】

因为QBMD⊥，所以PMMD⊥，又PMCD⊥，,,DCMDDDCMD=平面ABCD，所以PM⊥平面ABCD．取AD中点E，连接PE，设PMh=．建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()3,2,0,3,1,0,3

,1,0ABC−−−，()()()3,0,0,0,0,,3,1,DPhQh−．则()()()()0,1,0,0,0,,0,1,0,3,0,BABQhCDPDh====−，则平面QAB的一个法向量𝑛⃗=(

𝑥,𝑦,𝑧)．则00nBAynBQhz====，令1x=，则0yz==，可得()1,0,0n=；设平面PCD的一个法向量(),,mabc=，则030mCDbmPDahc===−=，令ah=，则0,3bc=

=，可得(),0,3mh=；则2310cos,103mnhnmmnh===+，解得33h=，设多面体ABCDPQ的体积为V，则33PCDEMAPEMPCDEMPAEMPCDEMABQPEMVVVVVVV−−−−−−=+=+=+三棱柱四棱锥四棱锥四棱锥1351233AE

MAEMAEMAEMCDEMShShShShSh=+=+=△△△△四边形12π1521si25n323h==，所以多面体ABCDPQ的体积152.