【文档说明】广东省梅州市梅雁中学2025届高三上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.512 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高三数学月考试题（九月）本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若21Axx=，()2ln2Bxyxx==−+

，则AB=（）A.()1,2−B.)0,1C.()0,1D.()1,0−【答案】C【解析】【分析】结合对数函数定义域，解不等式得到,AB，根据交集概念得到答案.【详解】2111Axxxx==−，由对数函数定义域可知22002Bxxx

xx=−+=，故01ABxx=故选：C2.复数2(12)2izi+=−+，则z的虚部是（）A.1B.iC.2−D.1−【答案】A【解析】【分析】运用复数运算法则及虚部概念即可.【详解】()()()()2342(12)10

522225iiiiziiii−+++−+====−+−+−+,虚部为1，故选:A3.下列函数中，值域为R且区间()0,+上单调递增的是（）A.3yx=−B.()2yxx=−C.yx=D.lgyx=【答案】D【解析】【分析】对于A，可以说明它在(0,+∞)上不是单调递增，从而即可判

断；对于BC，可以说明它们的值域并不是𝑅，从而判断；对于D，由对数函数性质即可判断.【详解】对于A，若3yx=−，由()0,x+，则230yx=−，所以3yx=−在(0,+∞)上单调递减，故A错误；对于B，

二次函数()()2211yxxx=−=−−的最小值为1−，值域并不是𝑅，故B错误；对于C，幂函数yx=在(0,+∞)上单调递增，但是它的值域是)0,+，并不是𝑅，故C错误，对于D，当0x时，lglgyxx==，由对数函数性质可知lgyx=在(0,+∞)上单调递增，且值域为𝑅，故D正

确.故选：D.4.设()0.61.31,tan130,log0.43abc−==−=，则,,abc的大小关系为（）A.bacB.acbC.cbaD.abc【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单

调性、对数函数的单调性以及正切函数的单调性分别判断出,,abc的取值范围，从而可得结果.【详解】0.60.6133a−==，又指数函数3xy=是单调递增函数，0.60.5333=，即3a，函数tanyx=在,22−上单调递增，()()tan130tan180

50tan50b=−=−−=，所以tan45tan50tan60，即13b.对数函数1.3logyx=是单调递增函数，1.31.3log0.4log10c==，即0ccba，故选：C．【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见

思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,−+）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，

赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2DFAF=，

则（）A.291313ADACAB=+B.21927ADACAB=+C.391313ADACAB=+D.261313ADACAB=+【答案】C【解析】【分析】由题意知3ADAF=，3CFCE=，3BEBD=，从3A

DAF=出发逐步化简即可用ACAB、表示出AD.【详解】由题意知3ADAF=，3CFCE=，3BEBD=，则33()39399ADAFACCFACCEACCBBE==+=+=++39()27ACABACBD=+−+6927()

ACABADAB=−++−61827ACABAD=−++,所以391313ADACAB=+.故选：C【点睛】本题考查向量的加减法，属于基础题.6.设ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且2

22ababc++=，若角C的内角平分线2CM=，则ACCB的最小值为（）A.8B.4C.16D.12【答案】A【解析】【分析】先根据222ababc++=，结合余弦定理求C，再根据ABCACMBCMSSS=+，结合面积公式得到

2()4abbaab=+，进而求出ab的最小值，再根据数量积定义求ACCB.【详解】因为222ababc++=，所以2221cos22abcCab+−==−，而C为三角形内角，所以2π3C=，由ABCACMBCMSS

S=+，所以12π1π1πsinsinsin232323abbCMaCM=+，化简得到22abba=+，所以2()4abbaab=+，则16ab，当且仅当4ab==时，等号成立，所以π1cos832ACCBACCBab==，所以ACCB的最小值为8.故选：A．7

.已知函数()π2cos6fxx=+（0），若()fx在区间)0,π内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（）A.1710,63B.1723,66C.1710,63D.710,33

【答案】A【解析】【分析】利用整体换元法，结合余弦函数的性质即可求解.【详解】函数()π2cos6fxx=+(0)．当)0,πx时，令π6tx=+，则ππ66,πt+，若()fx在)0,π有且仅有3个零点和3条对称轴，则2cosyt=在ππ

66,πt+有且仅有3个零点和3条对称轴，则π73πππ62+，解得171063.故选：A．8.设函数()fx在R上存在导函数()fx，对于任意的实数x，都有2()6()f

xxfx=−−，当(,0)x−时，2()112fxx+，若2(2)(2)12129fmfmmm+−++−，则实数m的取值范围是A.2,3−+B.1,2−+C.[1,)−+D.[2,)−+【答案】A【解析】【分析】记()()2132gxfxx

x=−+，由()()26fxxfx=−−可得()()gxgx=−−，所以()gx为奇函数，又当(),0x−时，()2112fxx+，结合奇函数性质，可得()gx在R上单调递减，处理()()2221

2129fmfmmm+−++−，得()()22gmgm+−，所以22mm+−，可得出m范围.【详解】解：因为()()26fxxfx=−−，所以()()()()22113322fxxxfxxx−+=−−−−+−记()()2132gxfxxx=−+，则(

)()gxgx=−−所以()gx为奇函数，且()()1''62gxfxx=−+的又因为当(),0x−时，()2112fxx+，即()1602fxx+−所以当(),0x−时，()'0gx，()g

x单调递减又因为()gx为奇函数，所以()gx在R上单调递减若()()22212129fmfmmm+−++−则()()()()()()22112322232222fmmmfmmm+−+++−−−+−即()()22gmgm+−所以22mm

+−所以23m−故选A.【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的综合运用，利用导数研究函数的单调性，构造函数法解决抽象函数问题，观察结构特点巧妙构造函数是关键.二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.已知函数()()πsin0,0,2fxAxA=+的部分图象如图所示，图象与y轴交于点M，与x轴交于点C，点N在()fx的图象上，且点M与点N关于点C对

称，则下列说法其中正确的是（）A.2=B.()5π03fxfx++−=C.()fx2π,03−上单调递增在D.将函数()fx的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称【答案】AB【解析】【分析】对于A，由三角函数图象的对称性可知π,03C

，易知周期πT=，即可得2=；对于B，结合图象和参数的范围可得()πsin23fxAx=+，显然()fx的图象关于5π,06对称，即满足()5π03fxfx++−=；对于C，利用整体代换法可得()fx在2π,03−上不是单

调递增的；对于D，利用图象平移规则可知平移后的图象不关于y轴对称.【详解】根据题意，由点M与点N关于点C对称，由图象横坐标可得π,03C，设函数()fx的最小正周期为T，由图可得πππ236

2T=−−=，即2ππT==，计算可得2=，即A正确；所以()()sin2fxAx=+，又06fπ−=，即πsin03−+=，又π2可得π3=，所以可得()πsin23fxAx=+

；易知5πsin2π06fA==，故函数()fx的图象关于5π,06对称，则满足()5π03fxfx++−=，故B正确；当2π,03x−时，则,2πππ33x−+，易知函数sinyx=在

ππ,2−−上单调递减，在ππ,23−上单调递增，故函数()fx在2π,03−上不是单调递增的，即C错误；将函数()fx的图象向左平移π6个单位长度后得到ππ2πsin2sin263

3yAxAx=++=+，显然当0x=时取不到最值，故不是偶函数，得到的函数图象不关于y轴对称，即D错误.故选：AB.10.在ABCV中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若0ABACBCABAC+=，且1

2ABACABAC=，则ABCV为直角三角形B.若23a=，4b=，A=，要使满足条件的三角形有且只有两个，则π0,3C.若ABCV平面内有一点O满足：0OAOBOC++=，且OAOBOC=

=，则ABCV为等边三角形D.若tantantan0ABC++，则ABCV为钝角三角形【答案】BC【解析】【分析】A：由已知确定A的角平分线与BC垂直，所以ABAC=，所以BC=，再利用向量夹角的余弦得出π3A=

，最后得出ABCV是等边三角形，判断A错；由正弦函数值确定角的范围判断B正确；由向量模长关系得到角的大小，再用全等关系得出等边三角形判断C正确；D利用弦切互化，三角恒等变换和两角和与差的正余弦展开式判断D错误.【详解】对于选

项A，因为0ABACBCABAC+=，||ABAB，||ACAC分别为单位向量，所以A的角平分线与BC垂直，所以ABAC=，所以BC=.又因为12||||ABACABAC=，即1cos2A=，因为0πA，所以π3A=，所以π3BC

A===，所以ABCV为等边三角形，故选项A错误；对于选项B，要使满足条件的三角形有且只有两个，则sinbAab，因为23a=，4b=，所以4sin23A，即3πsin0,22AA，，所以π03A，故选项B正确；对于C，因为0OAOBOC++=，故22||||OAO

BOC+=−，即222||||2||OAOBOAOBOC++=，又||||||OAOBOC==，所以2||2||||OAOAOB+cos0AOB=，故1cos2AOB=−，由于0,πAOB，故2π3AOB=，同理可得2π3AOCBOC==，结合||||||OAOBOC==，故

AOBAOCCOB△≌△≌△，可得||||||ABACBC==，故ABCV为等边三角形，C正确；对于D.tantantanABC++sincoscossinsinsin()sinsinsinsincoscoscoscoscoscoscoscoscosABA

BCABCCCCABCABCABC++=+=+=+=coscoscoscoscoscos()sinsinsinsincoscoscoscoscoscoscoscoscosCABABABABCCABCABCABC+−+==t

antantan0ABC=，而,,(0,π)ABC，所以A，B，C都为锐角，D错误；故选：BC.11.已知函数()fx的定义域为(),1fx−R为奇函数，()1fx+为偶函数，当(1,1x−时，()21fxx=−，则下列结论正确的是（）A.()fx为周期函数且最小正周期为8B.

7324f=C.()fx在()6,8上为增函数D.方程()lg0fxx+=有且仅有7个实数解【答案】ABD【解析】【分析】由条件得函数的对称性，进而得到函数的周期性，然后利用数形结合结合条件逐项分析即得.【详解】因为()1fx−为奇函

数，所以()()11fxfx−−=−−，即()fx关于点()1,0−对称；因为()1fx+为偶函数，所以()()11fxfx−+=+，即()fx关于直线1x=对称；则()()()()()()()112314fxfxfxfxfx=−+=−+=−−−=−−，所以()()

8fxfx=−，故()fx的周期为8，结合条件可得函数的大致图象，进而可得A正确；2755111131111122222224ffffff=+=−+=−−=−−=−−=−−−=，

B正确；由于()fx在()1,0−上单调递减，且()fx关于点()1,0−对称，故()fx在()2,0−上单调递减，又()fx的周期为8，则()fx在()6,8上也为减函数，C错误；作出函数()fx的图象和函数lgyx=−的

大致图象，函数()yfx=的图象与函数lgyx=−的图象恰有7个交点，故D正确.故选：ABD.【点睛】通过函数()fx图象具有中心对称性和轴对称性，推断函数的周期性，由()1,1x−上的解析式，可得函数的大致图象进而可得其他区间上函数的性质.三、

填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知非零向量a，b满足()3,1b=，π,3ab=，若()aba−⊥，则向量a在向量b方向上的投影向量的坐标为______．【答案】31,44【解析】【分析】根据已知求出2b=.结合已知

推得1a=，求出1ab=，然后即可根据投影向量得出答案.【详解】由已知可得，()22312b=+=.因为()aba−⊥，所以()2abaaab−=−22πcos03aabaa=−=−=，解得1a=或0a=（舍去），所以，πcos13abab==，所以，向量a在向量b方向上投影向量为14

abbbbb=，坐标为31,44.的故答案为：31,44.13.在ABCV中，M为BC上一点且满足2BMMC=，120AMC=，2AM=，若33ABMS=−△，则ABCV的外接圆半径为_____

_______【答案】33−【解析】【分析】设MCx=，则2BMx=，又60AMB=°，由三角形面积公式得到方程，求出31x=−，在AMC和AMB中，利用余弦定理得到6AC=，326AB=−，在ABCV中，由余弦定理得π3BAC=，利用正弦定理

求出外接圆半径.【详解】设MCx=，则2BMx=，因为120AMC=，所以60AMB=°，由三角形面积公式得11sin22sin603322AMMBAMBx==−，解得31x=−，在AMC中，由余弦定理得2222cos120ACAMMCAMMC=+−()()214

31223162=+−−−−=，故6AC=，在AMB中，由余弦定理得2222cos60ABAMMBAMMB=+−()()21443122231241232=+−−−=−，故()241

236423631326AB=−=−=−=−，在ABCV中，由余弦定理得()()22222412363331cos2223266ABACBCBACABAC−+−−+−===−，故π3BAC=，则ABCV的外接圆半径为333332sin322BC

BAC−==−.故答案为：33−.14.函数()()2cosfxx=+（0，ππ2）的部分图象如图所示，直线ym=（0m）与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为123,,xxx，

则()123sin2xxx+−=______.【答案】22−##122−【解析】【分析】由图象求得参数，根据余弦函数的对称性，结合()()123122322xxxxxxx+−=+−+即可求值.【详解】由图知5π5π2cos144f

=+=，5π5π2cos088f=+=，且点5π,08位于减区间内，点5π,14位于增区间内，所以5ππ2π825π7π2π440ππ2kk

+=++=+，解得()1625kk=+N，3π4φ=-，故()3π2cos24fxx=−.而5π35π,2848TT，故81255,2=,则()3π02cos14f=−=−，()fx最小正周期为2ππ2=.直线

()0ymm=与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为123,,xxx，则由图可知125ππ3π2848xx+=-=，235ππ7π2848xx+=+=.∴()()()()1231223sin2sin2xxx

xxxx+−=+−+12π14πππ2sinsinsin88442=−=−=−=−.故答案为：22−四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知a，b，c分别是ABCV三个内角A，B，C的对边，且3sincos0aCcAc−−=．（1）求A；（2）若2a=，ABCV的面积为32，求b，c．【答案】（1）π3A=（2）2bc==【解析】【分析】（1）根据正弦定

理，结合辅助角公式进行求解即可；（2）根据余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.【小问1详解】根据正弦定理，3sincos0aCcAc−−=，即为3sinsinsincossin0ACCAC−−=．因为在ABCV中，sin0C，所以3sincos10AA--=，即π1s

in62A−=，因为0πA，π1sin062A−=，所以π5π066A−，所以ππ66A−=，即π3A=；【小问2详解】由π3A=，13sin22SbcA==，得2bc=．由余弦定理，得()22222cos22cosabcbcAbcbcbcA=+−=+−−，因为

2a=，所以()2π2222cos23bc+−−=，即22bc+=，又2bc=，所以2bc==．16.已知函数()fx的图象是由函数()cosgxx=的图象经如下变换得到：先将()gx图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.x

02ππ6x+y（1）求函数()()yfxgx=+的解析式，并用“五点法”列表，作出该函数在0,2π上的图象；（2）已知关于x方程()()fxgxm+=在0,2π内恰有两个不同的解，.（i）求实

数m的取值范围；（ii）证明：()2cos12m−=−.【答案】（1）答案见解析（2）（i）()()2,11,2−；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）根据平移法则可得函数()fx的解析式，从

而得出函数()()yfxgx=+的解析式，即π2sin6yx=+，分别令πππ3π11π,,π,,2π,66226x+=，即可得到“五点”，再描点连线即可得到函数在0,2π上的图象；（2）（i）根据方程()()f

xgxm+=在0,2π内恰有两个不同的解，，等价于π2sin6yx=+在0,2π上的图象与直线ym=有两个交点，即可解出；的（ii）根据函数π2sin6yx=+图象的对称性可知，当12m

时，2π3+=，当21m−时，8π3+=，再结合二倍角公式即可证出．【小问1详解】先将()cosgxx=图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到函数3cosyx=的图象，再将

其向右平移π2个单位长度，得到函数()π3cos3sin2fxxx=−=的图象，所以()()3sincos2sin6ygxxxfxx=++=+=．x0π35π64π311π62ππ6x+π6π2π3π22π11

π6y1202−01图象如下：【小问2详解】（i）依题意，2sin6xm+=在区间0,2π内恰有两个不同的解,，等价于π2sin6yx=+在0,2π上的图象与直线ym=有两个交点，由图可知，故m的取值范围是()()2,11,2−.（ii）因为,是方程π2s

in6xm+=在区间0,2π内有两个不同的解，根据函数π2sin6yx=+图象的对称性可知，当12m时，2π3+=，且πsin62m+=，所以()2222πππcoscos22cos12sin113362m

−=−=−−=+−=−，当21m−时，8π3+=，且πsin62m+=，所以()2228π4ππcoscos22cosπ12sin113362m−=−=−−=+−=−.综上，()2cos12m−=−．

17.在ABCV中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足,2ABBDBD⊥=，且223cos3aSabC=−+.（1）求角B；（2）求21ADCD+的取值范围.【答案】（1）2π

3（2）3,12【解析】【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得tan3B=−，进而求解即可；（2）在BCD△中由正弦定理可得1sinDCC=，在RtABD△中，可得2sinADA=，进而

得到21sinsinACADCD+=+，结合三角恒等变化公式化简可得21πsin3CADCD+=+，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.【小问1详解】223cos3aSabC=−+，23sincos3aabCabC=−

+，即3sincos3abCbC=−+，由正弦定理得，3sinsinsinsincos3ABCBC=−+，()3sinsinsinsincos3BCBCBC+=−+，3cossinsinsin3BC

BC=−，sin0C，tan3B=−，由0πB，得2π3B=.【小问2详解】由（1）知，2π3B=，因为ABBD⊥，所以π2ABD=，π6DBC=，在BCD△中，由正弦定理得sinsinDCBDDBCC=，即π2sin16sinsinDCCC==，在RtAB

D△中，2sinsinADABDA==，sinsin21sinsi22n11ACCCAADD++=+=，2π3ABC=，π3AC+=,21ππππsinsinsinsinsincoscossinsinsin3333ACCCCCC

CADCD+=+=−+=−+=+，π03C，ππ2π,333C+，π3sin,132C+，所以21ADCD+的取值范围为3,12.18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABC

D是矩形，PD⊥底面ABCD，且2PDAD==，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F.（1）证明：F为PD的中点；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值.条件①：三角形BCF的面积为

10；条件②：三棱锥PBCF−的体积为1.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）32929【解析】【分析】（1）由线面平行的判定证//AB面PCD，再由线面平行的性质可证//ABEF，进而有△PC

D中EF为中位线，即可证结论；（2）由线面垂直的性质、判定证,,PDDADC两两垂直，且⊥BC面PCD，构建空间直角坐标系，根据所选条件求得3CD=，进而求直线方向向量和面PAD的法向量，利用线面角夹角的向量求法求其正弦值.【小问1详解】由底面ABCD

是矩形，则//ABCD，而AB面PCD，CD面PCD，所以//AB面PCD，又E是PC的中点，面ABE与线段PD交于点F，即面ABE面PCDEF=，而AB面ABE，则//ABEF，故//CDEF，△PCD中EF为中位线，故F为PD的中点

；【小问2详解】由PD⊥底面ABCD，BC面ABCD，则PDBC⊥，又CDBC⊥，由PDCDD=，,PDCD面PCD，则⊥BC面PCD，由CF面PCD，故BCCF⊥，即△BCF为直角三角形，且2BC=；由PD面PAD，则面PAD

⊥面ABCD，同理有面PCD⊥面ABCD；又,DADC面ABCD，故,PDDAPDDC⊥⊥，又DADC⊥，所以,,PDDADC两两垂直，可构建如下空间直角坐标系，选①，则1102BCFSCFBC==，故10CF=，而223CDCFFD=−=，选②，由11132PBCFBPCFVVBCCDPF−

−===，而2,1BCPF==，所以3CD=；此时，3(0,,1)2E，(2,3,0)B，则3(2,,1)2EB=−，又(0,1,0)m=是面PAD的一个法向量，若直线BE与平面PAD所成角为，所以33292sin||29||||9414EBmE

Bm===++.19.已知函数()()21ln,R2fxxxaxxa=+−+．（1）当1a=时，讨论函数()fx的单调性；（2）若函数()fx有最小值()ga，证明：()2112gaa−+．【答案】（1）在(0,1)上单调递减，在(1,)+单调递增（2

）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的正负即可判断函数的单调性；（2）求出函数的导数，分类讨论；0a时取最小值；当0a时，根据导数的正负判断函数单调性，求出函数()fx有最小值()ga，结合要证明的不等式，再构造函数，利

用导数求得其最大值为1，即可证明结论.【小问1详解】当1a=时，()21ln2fxxx=−，其定义域为(0,)+，则()211xfxxxx=−=−，由于0x，故令()0fx，解得01x，令()0fx，解得1x

，故()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)+单调递增；【小问2详解】由于()()21ln,(0)2fxxxaxxx=+−+，故()()()1111xxafxxaxx+−=+−+=，当0a时，()0fx，()f

x在(0,)+上单调递增，无最小值；当0a时，令()0fx，解得0xa，即()fx在(0,)a上单调递减，令()0fx，解得xa，即()fx在(,)a+上单调递增，故()fx在xa=是取极小值也是最小值，即(

)()()2211lnln22gafaaaaaaaaaa==+−+=−−，令()ln,0haaaaa=−，则()ln,0haaa=−，当01a时，()0ha，()ha(0,1)上单调递增，当1a时，()0ha，()ha

在(1,)+上单调递减，故max()(1)1hah==，即1(n)lahaaa=−，所以()22111ln22gaaaaaa=−−+−，即()2112gaa−+.【点睛】方法点睛：本题第二问是利用导数证明不等式问题，解答时利用导数判断函数的单调性

，从而可求出函数的最小值()ga的表达式，结合要证明的不等式，构造函数，将问题转化为求解函数的最大值为在1，即可解决问题.