【文档说明】上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高三考前模拟数学试题 含解析.docx，共(17)页，1.077 MB，由小赞的店铺上传

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华师大二附中2022届高三年级考前数学训练卷（考试时间：120分钟满分：150分）一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1计算：9527=__________.【答案】53【解析】【分

析】根据二阶行列式的运算法则求解即可.【详解】9597525327=−=，故答案为：532.已知集合()0,2A=，()1,3B=，则AB=__________.【答案】()0,3【解析】【分析】直接根据并集定义求解即可.【详解】因为()0,2A=，()1

,3B=，所以()0,3AB=，故答案为：()0,33.直线2380axy−+=与直线10xy−−=垂直，则=a______．【答案】32−##1.5−【解析】分析】根据两直线垂直得230a+=，即可求出答案.【详解】由直线2380a

xy−+=与直线10xy−−=垂直得，32302aa+==−.故答案为：32−.4.方程()()22lg2lg6xxxx--=--的解为__________.【答案】2x=−【解析】【分析】由题意知()()22lg2lg6xxxx--=

--，可求出x的值，再结合真数大于零进行检验，从而可求.【出最终的解.【详解】由()()22lg2lg6xxxx--=--，得2226xxxx--=--，所以2x=，又因为220xx−−且260xx−−，所以2x=−；故答案为：2x=−.5.已知函数

()yfx=周期为1，且当01x时，()fxx=，则32f=__________.【答案】22【解析】【分析】根据函数的周期性，将x=32转换到(0,1内即可.【详解】由题意，函数()fx的周期为1，31112122222fff=+

===；故答案为：22.6.若圆柱的主视图是半径为1的圆，且左视图的面积为6，则该圆柱的体积为________【答案】3【解析】【分析】先设圆柱的底面圆半径为r，高为h，由题意，列出方程组求解，再由圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解

】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，由题意可得：126rrh==，解得13rh==，所以该圆柱的体积为23==Vrh.故答案为3【点睛】本题主要考查求圆柱体积，熟记体积公式即可，属于基础题型.7.在622xx−的展开式中，常数项为______．【答案】

60【解析】的【分析】由二项式定理可得二项式展开式的通项公式，令630r−=，运算即可得解.【详解】解：二项式622xx−的展开式的通项公式为()6361662212rrrrrrrrCxCxTx−+−=−=−，令630r−=，解得2r=，所以622xx−的二

项展开式中，常数项为()222612=60C−.故答案为：60.8.若实数,xy满足约束条件102310yxxxy++−，则目标函数3zxy=+的取值范围是__________.【答案】44,5−【解析】【分析】作出可行域，平移直线3zxy=+，找出

使得目标函数3zxy=+在y轴上截距最值时对应的最优解，代入目标函数即可得解.【详解】作出不等式组102310yxxxy++−所表示的可行域如下图所示：联立10xxy+==，解得11xy=−=−

，即点()1,1A−−，联立2310yxxy=+−=，解得1515xy==，即点155,1B，平移直线3zxy=+，当该直线经过可行域的顶点A时，直线3zxy=+在y轴上的截距最小，此时z取最小值，即()()min3114z=−+−=−；

平移直线3zxy=+，当该直线经过可行域的顶点B时，直线3zxy=+在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即max1143555z=+=；所以目标函数3zxy=+的取值范围是44,5−故答案为：44,5−.9.若函数()2,12,1xmxxfxx−+=单

调递增，则实数m的最大值是__________.【答案】22log3【解析】【分析】由题意列不等式132m−，直接解出m的范围.【详解】因为2yx=+在(),1−上单调递增，2xmy−=在()1,+上单调递增，所以要使函数()2,12,1xmxxfxx−

+=单调递增，只需1122m−+，解得：22log3m.即实数m的最大值是22log3.故答案为：22log310.5个同学报名参加志愿者活动，每人可从3项活动中任选一项参加.则其中恰有2项活动有同学报名的概率是__________.【答案】1027【解析】【分析】运用计数原理，

分别算出基本事件的样本空间和所求事件的种数，按照古典概型计算即可.【详解】全部可能的报名情况数为53243=种，恰有2项活动有人报名可以看作先从3个项目中选出2个，有23C=3种选法，然后再让5名同学参加，则共有5232=种方法，但必

须减去5名同学都参加其中一个这种情况，32230−=，故恰有2项活动有同学参加有33090=种情况，其概率为901024327=；故答案为：1027.11.已知边长为1的正三角形ABC的边BC上有2m（*mN）个

点122,,,mPPP，使得11212kkmBPPPPPPC+=====（*kN，121km−）.则2limmmmAPAP→=__________.【答案】34##0.75【解析】【分析】建立坐标系，利用向量的坐标运算求解2mmAPAP，然后再求极限.【

详解】设BC边的中点为M，以MC为x轴正方向，MA为y轴正方向建立平面直角坐标系.则kP的坐标为1,0212km−+.故13,2122mmAPm=−−+，2213,2122mmAPm=

−−+，得21213133limlim02122124244mmmmmmAPAPmm→→=−−+=+=++.故答案为：34.12.已知数列na满足11a=，1,,nnnnnanan

aanan+−=+（*nN）.设nb为12,,,naaa中取值为1的项的个数，则122022bbb+++=__________.【答案】12525【解析】【分析】设1ma=，根据1,,nnnnnananaanan+−=+（*nN）依此类推归纳得到311ma

+=，从而得到()3log21nbn=+求解.【详解】解：当1m时，若1ma=，则11mam+=+，()211mamm+=+++，依此类推，可归纳证得212mkamk+−=+−，221mkamk+=++（1km），

从而311ma+=.因此，1na=，当且仅当312kn−=（*kN），从而()3log21nbn=+，故恰有3k个nbk=.则122022bbb+++，()26651323637202233312525=++++−−−−=，故答案：12525二.选择题（本大题共4题，每题

5分，共20分）13.已知Cz，则“z为纯虚数”是“0zz+=”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】根据纯虚数的定义判断充分性，再举反例判断必要性即可【详解】由题意，z为纯虚数则设(

)i,0zbbb=R，则ii0zzbb+=−=；当0zz+=时，可取0zz==，则z为纯虚数不成立.故“z为纯虚数”是“0zz+=”的充分非必要条件故选：A14.若ab，Rc，则下列不等式中一定正确的是（）A.22abB.22abC.22loglogabD.

22acbc【答案】B【解析】【分析】举例判断A；结合指数函数单调性判断B；结合对数函数定义域判断C；利用0c=判断D.【详解】当1a=−，2b=−时，ab，但2214ab==，故A错误；因为()2xfx=在R是单

调递增函数，所以当ab，则22ab，故B正确；因为()2logfxx=的定义域为()0,+，所以当0ab时，不存在2loga与2logb，故C错误；当0c=时，22acbc=，故D错误.故选：B15.已知平面直角坐标系中的直线12:lyx

=、2:2=−lyx.设到1l、2l距离之和为12c的点的轨迹是曲线1C，到1l、2l距离平方和为22c的点的轨迹是曲线2C，其中12,0cc.则1C、2C公共点的个数不可能为（）A0个B.4个C.8个D.12个为.【答案】D【解析】【分析】由题意结合点

到直线距离公式，整理等式，可判断曲线1C为矩形，曲线2C为椭圆，则由图形的对称性即可得到结果.【详解】由题意，直线1l与直线2l相互垂直，设曲线1C上的点为(),xy，满足122255xyxyc−++=，即12225x

yxyc−++=，则当20xy−，20xy+时，152xc=；当20xy−，20xy+时，15yc=−；当20−xy，20xy+时，15yc=；当20−xy，20xy+时，152xc=−，所以曲线1C是以115,52cc

、115,52cc−、115,52cc−−、115,52cc−为顶点的矩形，设曲线2C上的点为(),xy，满足22222255xyxyc−++=，即2225

44yxc+=，所以2C是椭圆222544yxc+=，所以二者公共点的个数只可能是0、4、8个，故选：D16.已知,xyR，则表达式()22coscoscosxyxy+-（）A.既有最大值，也有最小值B.

有最大值，无最小值C.无最大值，有最小值D.既无最大值，也无最小值【答案】D【解析】【分析】结合余弦函数，可分别得到2cosx，2cosy，()cosxy的范围，再确定端点值是否可以同时取等，即可判断.【详解】由22cos,cos0,1xy，()cos1,1xy−

，易知()[]22coscoscos1,3xyxy+-?.同时，由于是无理数，因此当coscos0xy==时，()cos1xy¹；当22coscos1xy==时，()cos0xy¹，故两端均不能取得

等号.补充证明：二元表达式()22coscoscosxyxy+-（,xyÎR）可以取到任意接近1−和3的值，从而该式无最值.①取x=，ynp=（*nN），则()()222coscoscos2cosxyxynp+-=-.

对任意0，由抽屉原理，存在*NÎN，使得22NNpdpe轾犏=-<犏臌.再考虑*kN，使得1kkddd<<+（由的无理性，两头都不取等）.则nkN=时，212122NNkkNkppdp轾轾犏犏+-<<+犏犏臌臌，从而()

()2cos1,coskNpdp?-，()()22coscoscos2cos,3xyxydp+-?，即证.②取2x=，2ynpp=+（*nN），则()22221coscoscoscos4nxyxyp骣+÷ç+-=-÷ç÷÷ç桫.对任意0，由抽屉原理，存在*NÎN，使得224NNpdp

e轾犏=-<犏臌.再考虑kZ，使得4kkpddd<-<+（不取等的理由同上）.则nkN=时，2244244NkNNkkpppdpp轾轾犏犏--<<-犏犏臌臌，从而()221coscos,14kNpdp骣

+÷çÎ÷ç÷÷ç桫，()()22coscoscos1,cosxyxydp+-?-，即证.故选：D【点睛】易错点点睛：2cosx，2cosy，()cosxy均有最值，但三者加和后，需确定能否同时取得最值.三.解答题（本大题共5题，共14+14

+14+16+18=76分）17.如图，已知正三棱柱111ABCABC-中，12ABAA==.D是棱11AC上一点.（1）若1113ACAD=，求直线BD与平面ABC所成角的大小；（2）若D是11AC中点，求点A到平面BCD的距离.【答案】（1）37arctan7（2）45719【

解析】【分析】（1）在侧面11ACCA内作1DEAA∥，交棱AC于点E，证明DBE为所求线面角，结合余弦定理计算得解.（2）在BCD△中，由余弦定理得4os35cBDC?，从而19sin35BDC?.因此，所以11

9sin22BCDSBDCDBDCV=鬃?，利用等体积转化计算得解.【小问1详解】在侧面11ACCA内作1DEAA∥，交棱AC于点E.因111ABCABC-是正三棱柱，故1AA⊥平面ABC，从而DE⊥平面ABC.联结BE，则DBE为所求线面角.另一

方面，由1DEAA∥且1DEAA=得1111233AEADAC===，故在ABE中，由余弦定理得，222282cos39BEABAEABAE=+-鬃=.因为DE⊥平面ABC，而BEÜ平面ABC，所以DEBE⊥.于是137tan7AADED

BEBEBE?==.故直线BD与平面ABC所成角的大小为37arctan7.【小问2详解】设所求距离为d，则3ABCDBCDVdS-=.而2111323223343ABCDDABCABCVVAASV--==?创?，故23BCDdS=.由题意得，5CD=

，7BD=，故在BCD△中，由余弦定理得2224235cosBDCDBCBDCBDCD+-?=×，从而19sin35BDC?.因此，119sin22BCDSBDCDBDCV=鬃?.故点A到平面BCD的距离45719d=.18.设()2sincoscos4fxxxx=−

+，0,x.（1）求()fx的单调递增区间；（2）在锐角ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若02Af=，1a=，求ABC面积的最大值.【答案】（1）0,4和3,4（2）234+【解析】【分析】（1）化简()1sin22fx

x=−，结合0x与正弦函数的单调性令022x或3222x，求解即可；（2）结合锐角三角形及02Af=可得6A=，利用余弦定理可得2231bcbc+−=，再根据基本不等式求得bc的范围，进而由三角形面积公式求解.【小

问1详解】由题意，()111sin2cos21sin22222fxxxx=−++=−，因为0x，所以022x，由正弦函数的单调性可知，当022x或3222x，即04x或34x时，函数1sin22

yx=−递增，所以()fx的单调递增区间是0,4和3,4.【小问2详解】由题意，1sin022AfA=−=，所以1sin2A=，因为锐角ABC，则0,2A，故6A=，由余

弦定理，2222cosbcbcAa+−=，故2231bcbc+−=，由基本不等式，222bcbc+，故23bc+，当b=c时等号成立因此，123sin24ABCSbcA+=V，当bc=时，ABC面积取得最大值234+.19.某工厂去年12月试生产新工艺消

毒剂1050升，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款消毒剂.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月产量的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%.（1）求今年该消毒剂的年产量（精确到1升）；

（2）从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内？【答案】（1）16173升（2）第13个月【解析】【分析】（1）设今年第n个月生产了na升消毒剂，再根据()115%1.05nnnaaa+=+=，结合等比数列的求和公式求解即可；（2）设第n

个月生产的消毒剂中不合格的量为nb升，由题意()10001.050.1040.004nnbn=−，再分析nb的单调性，结合1213100.610098.1bb求解即可【小问1详解】设今年第n个月生产了na升消毒剂，

则11050a=，()115%1.05nnnaaa+=+=()*111,nnN，从而所求年产量为12121211.0510501617311.05aaa−+=−++（升）.故今年消毒剂的年产量为16173升.【小问2详解】设第n个月生产的消毒剂中

不合格的量为nb升.由题意，()()()10%0.4%110001.050.1040.004nnnbann=−−=−，()*nN.则10.10.00421251.050.1040.0042026nnbnnbnn+−−==−−，故当6n时，1nnbb+.而1213100.610098

.1bb，故从第13个月起，不合格的量将始终小于100升.故从第13个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内.20.已知0p，函数2,02,0xxypxx=−的图象为曲线.A、B是上的两点，A在第一象限，B在第二象限.设

点()11,0F、2,02pF−.（1）若B到2F和到直线2x=的距离相等，求p的值；（2）已知12//FAFB，证明：OAOB为定值，并求出此定值（用p表示）；（3）设2p=，且直线OA、OB的斜率之和为1−.求原点O到直线AB距离的取值范围.【答案】（1）4p=（

2）证明见解析，32p（3）04d【解析】【分析】（1）根据函数表达式可设(),2Bxpx−，结合两点间距离公式可得2222pxpxx+−=−，整理即可求解；（2）设()11,2Axx，()22,2Bxpx−，则可得到1FAuuur，

2FB，由平行关系可得()()1212220pxxxxp+−−−=，整理即可证明；（3）设直线OA、OB的斜率分别为k、1k−−（0k），代入函数表达式可得A，B的坐标，即可得到直线AB的表达式，利用点到直线距离公式，进而求解.【小问1详解】设(),2Bxpx−（0x），由题意，2222p

xpxx+−=−.而22222ppxpxx+−=−，由0x知，22pxx−=−，故4p=.【小问2详解】设()11,2Axx，()22,2Bxpx−（1>0x，20x），则()1111,2FAxx=−，222,22pFBxpx=+−

，故由12//FAFB，得()12121222pxpxxx−−=+，即()()1212220pxxxxp+−−−=，由于1220pxx+−，故122pxx=−，所以12123222OAOBxxpxxp=+−=为定值.【小问3详解】由题，设直线OA、OB的斜率分别为k、1k

−−（0k），则244,Akk，()244,11Bkk−++，故直线AB的方程为22244221kkyxkkkk+−=−++，设20ukk=+，则()()21840uxuyk−+++=，所以O到直线AB距离为2

284414541541kuduuuu++==++++，当0u时，()22541511,4141uuuuu++=++++，故04d.21.已知定义域为D的函数()yfx=.当aD时，若()()()fxfagxxa−=−（xD，xa）是增

函数，则称()fx是一个“()Ta函数”.（1）判断函数222yxx=++（xR）是否为()1T函数，并说明理由；（2）若定义域为)0,+的()0T函数()ysx=满足()00s=，解关于的不等式()()22ss；（3）设P是满足下列条件的定义域

为R的函数()yWx=组成的集合：①对任意uR，()Wx都是()Tu函数；②()()022WW==，()()133WW−==.若()Wxm对一切()WxP和所有xR成立，求实数m的最大值.【答案】（1）是，理由见解析（2）()0,1（3）1m=【解析】【分析】（1）

将1x=代入解析式，根据()()()fxfagxxa−=−整理表达式，判断是否为增函数即可；（2）由()0T函数可知()()sxgxx=是()0,+上的增函数，()2s有意义，需满足0λ，显然0=时不等式不成立，设0，转化不等式为()()2

222ss，结合单调性即可判断；（3）由题可知()Wx是()0T函数，也是()2T函数，结合已知函数值及函数单调性，可得当0x，或当2x时，()2Wx，再讨论当02x，结合()()133WW−==可判断()max,2111Wxxxx−=+−，

即满足当1m£时，()Wxm对一切xR成立.另证明任意1m均不满足要求：任意(1,2M，定义函数()2173111442MMMMWxxx−−+=−+−+满足条件②，满足条件①时符合()1MWM，即可证明.【小问1详解】是，理由：由题，()()()22222112231xxg

xxx++−++==+−（xR，1x）为增函数，故222yxx=++（xR）是()1T函数.【小问2详解】因为()ysx=是()0T函数，且()00s=，所以()()sxgxx=是)0,+上的增函数，因为()2s有意义，所以0λ，显然，0=时不等式不成立

，下设0，此时()()22ss等价于()()2222ss，由()gx的单调性得，22，即所求不等式的解集为()0,1.【小问3详解】由题意，()Wx是()0T函数，故()2Wxyx−=是增函数，从而当0x时，

()()22202WxWx−−=，即()2Wx；而()Wx是()2T函数，故()22Wxyx−=−是增函数，从而当2x时，()()2020202WxWx−−=−−，即()2Wx，当02x时，同理可得，()()21211WxWx−−−=−−且()()2321232WxWx−−=−

−，故()2Wxx−且()Wxx，故()max,2111Wxxxx−=+−.因此，当1m£时，()Wxm对一切xR成立.下证，任意1m均不满足要求，由条件②知，2m.另一方面，对任意(1,2M，定义函数()217311144

2MMMMWxxx−−+=−+−+，容易验证条件②成立.对条件①，任取uR，有()()()11173244MMxuWxWuMMxuxuxu−−−−−−=+−+−−，注意到2yxu=+−是增函数，而对()11xuhxxu−−−=−，当1u时，()1,1,,221,1xxuhxuxxu−

=−−−；当1u≥时，()221,1,1,1,uxhxxuxxu−−−=−，均单调不减.因为173,044MM−−，所以条件①成立.从而()MWxP.此时，()112MMWM+=，故mM，从而1m=为所求最大值.【点睛】关键点点睛：灵活利

用已知函数值构造函数，借助函数的单调性来处理不等式问题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com