【文档说明】吉林省通化市梅河口市第五中学2023届高三下学期第七次模拟考试数学试题 含解析.docx，共(26)页，1.974 MB，由小赞的店铺上传

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梅河口市第五中学2020级高三下学期第七次模拟考试数学试题说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把

答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要

求的，请仔细审题，认真做答1.若复数z满足()23i32iz+=−，其中i为虚数单位，则z=（）A.0B.-1C.13D.1【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得iz=−，得到i

z=，即可求解.【详解】由()23i32iz+=−，可得()()()()32i23i32ii23i23i23iz−−−===−++−，则iz=，所以1z=.故选：D.2已知集合23Axx=−，{|ln(3)}Bxyx==+，则AB=（）A.(1,)−+B.[3,)−+C.(3

,1)−−D.[3,1)−【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，B的具体区间，再按照交集的运算规则计算.【详解】由题意：1Axx=−，3Bxx=−，所以()3,1AB=−−；故选：C..3.

设非零向量,mn满足||4,||2,||3mnmn==+=，则m在n上的投影向量为（）A.118m−B.114m−C.114n−D.118n−【答案】D【解析】【分析】利用性质22aa=结合已知求出mn，然后可得投影向

量.【详解】因为||4,||2,||3mnmn==+=，所以222()29mnmmnn+=++=，解得112mn=−，所以m在n上的投影向量为211||8mnnnn=−.故选：D4.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，若取出的2个数互质，则

取出两个数都是奇数的概率为（）A.314B.514C.17D.47【答案】A【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式即可求解.【详解】从2至8的7个整数中任取两个数其中互质的有：23,25,27,34,35

,37，38,45,47,56,57,58,67,78，共14种，互质且为奇数的有：35,37,57故所求概率为314.故选：A.5.在平面直角坐标系xOy中，直线()0ykxk=与双曲线22221xyab−=（0a，0b）交于A，B两点，F是该双曲线的焦点，且满足2AB

OF=，若ABF△的面积为224a，则双曲线的离心率为（）A.3B.5C.22D.5【答案】D【解析】【分析】不妨设F是该双曲线的右焦点，设双曲线的左焦点为1F，则可得四边形1AFBF为矩形，由双曲线的定义和勾股定理结合三角形面积可得222(2)(2)16aca=−，即可求出离心率

.【详解】不妨设F是该双曲线的右焦点，设左焦点为1F，则F，1F在以AB为直径的圆上，根据双曲线和圆的对称性，圆过双曲线的左右焦点，如图，连接11,AFBF，则四边形1AFBF为矩形，则可得12AFAFa−=，()2222112AFAFFFc

+==，所以()222211111||22AFAFAFAFAFAFFFAFAF−=−+=−，又因为1211242ABFAFFSSAFAFa===，所以222(2)(2)96aca=−，得5ca=，所以5cea==.故选：D.6.若球O是正三棱锥ABCD−的外接球，3,23BC

AB==，点E在线段BA上，3BABE=，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（）A.8π3B.2πC.4π3D.π【答案】A【解析】【分析】设O是球心，O是等边三角形BCD的中

心，在三角形ODO中，有222OODOOD+=，可求得2ROD==，再利用222rROE=−可得过E且垂直OE的截面圆最小即可.【详解】如图所示，其中O是球心，O是等边三角形BCD的中心，可得333OBODBC===，223AOABOB=−=，设球的半径为R，在三角

形ODO中，由222OODOOD+=，即()()22233RR−+=，解得2R=，即2AO=，所以3OAOO=，因为在ABO△中，3OAOO=，3BABE=，所以，//OEOB，22333OEOB==，由题知，

截面中面积最小时，截面圆与OE垂直，设过E且垂直OE的截面圆的半径为r，则22248433rROE=−=−=，所以，最小的截面面积为28ππ3r=.故选：A7.若函数21()ln2fxxxax=++有两个极值点12,xx，且()()125fxfx+−，则（）

A.42aB.22aC.22a−D.42a−【答案】C【解析】【分析】由极值点定义确定12,,xxa的关系，化简()()125fxfx+−，由此求a的范围.【详解】因为函数21()ln2fxxxax=++有两个极值点12,xx，又函数21()ln2

fxxxax=++的定义域为()0,+，导函数为21()xaxfxx++=，所以方程210xax++=由两个不同的正根，且12,xx为其根，所以240aa−，120xxa+=−，121=xx，所以a<0，则()()22211122212121212111lnlnln

222xxaxxxaxxxxxxxaxx+++++=++−++22211ln11122aaa=+−−=−−，又()()125fxfx+−，即21152a−−−，可得280a−，所以22a−或22a−（舍去），故选：C.8.已知1.01e1,1.0

1e,eabc=+==，则（）A.abcB.acbC.cbaD.c<a<b【答案】A【解析】【分析】构造函数()eexfxx=−，利用导数研究单调性，利用单调性可比较b、c，构造函数()231gxxx=−+，利用单调性可比较a、b，然后可得答案.【详解】令()eexfxx=−，则

()eexfx=−,但()1,x+时()0fx¢>，则()yfx=在()1,+上单调递增,所以()()1.0110ff=，则cb.因为1.01ee,e1ba==+，所以，比较,ab的大小可以比较e1−与e，即比较2(e1)−与e，设()231gxxx=−+，可知()gx在3,2x

+上单调递增，因为3e2.72，且()22.72.732.710.19g=−+=，所以()()e2.70gg，则()2e1e−，故ba.所以abc.故选：A.二､多选题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是等合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，请仔细审题，认真皕答9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《励智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来

英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,,Rabc，则下列说法不成立的是（）A.若0ab且ab，则11abB.若01a，则3aaC.若0ab，则11bbaa++D.若cba且0ac，则22

cbab【答案】ACD【解析】【分析】A项，通过设出a和b的值，即可得出结论；B项，通过作差后与0比较，即可得出结论；C项，通过作差后与0比较，即可得出结论；D项，通过分析已知条件得出a和c与0的关系，讨论b的取值，即可得出结论.【详解】由题意，A项，当2a=−，1b=

时，满足ab，但11ab，∴A错误，B项，∵01a，∴()()()321110aaaaaaa−=−=+−，∴3aa，∴B正确，C项，∵0ab，∴()1011bbabaaaa+−−=++，∴C错误，D项，∵cba，0ac，∴0a，0

c，bR，当0b=时，则22cbab=，∴D错误，故选：ACD.10.若函数()()πsin0,02fxMMxMM=+−同时满足以下条件：①12,xx是函数()fx的零点，且12min2π3xx−=；②x

R，有()π9fxfx+=−，则（）A.()π3sin333fxx=+−B.将()fx的图象向左平移π6个单位长度得到的图象解析式为π3cos333yx=+−C.()fx在ππ,163上单调递减D.直线

5π18x=是曲线()yfx=的一条对称轴【答案】ABC【解析】【分析】由条件先得出()π3sin333fxx=+−，再利用三角函数的图象与性质逐项分析正误即可.【详解】函数()fx的零点，即方程()sin1+=Mx的解，所以2π2π3TM=

=，3M=，由②知π18x=是函数()fx的一条对称轴，则有π02ππ3π,Z182kk+=+，解得π3=，所以()π3sin333fxx=+−.故A正确；将()fx的图象向左平移π6个单位长度得到函数π

3cos333yx=+−.故B正确；令ππ3π3,322x+，即π7π,1818x时函数单调递减，πππ7π,,1631818，故C正确；5π18x=时，π7π336x+=，显然不是函数的对

称轴，故D错误；故选：ABC11.已知点F是抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点，O为坐标原点，直线l与抛物线交于AB､两点，抛物线C的准线与x轴交于点P，下列说法正确的是（）A.若l过抛物线C的焦点F，则直线,OAOB斜率之积

为定值B.若抛物线上的点()2,Et到点F的距离为4，则抛物线的方程为24yx=C.以AB为直径的圆与准线相切D.直线m过点P且交C于不同的MN､两点，则2MFNFPF+【答案】AD【解析】【分析】设:2plxmy=+，联立方程组求得221212,4pyypxx=−=，结合斜率公式，

可判定A正确；由抛物线的定义得到242P+=，求得抛物线的方程，可判定B不正确；设E为AB的中点，结合直线过焦点和不过焦点，利用抛物线的定义，可判定C不正确；设2pykx+=，联立方程组，由Δ0，求得21k，结合抛物线的定义得到222pMFNFpk+=，可判定D正确.【详解】

对于A中，设:2plxmy=+且()()1122,,,AxyBxy，联立方程组222pxmyypx=+=，可得2220ypmyp−−=，则2222121212,224yypyypxxpp=−==则12124OAOByykkxx==−，故A正确；对于B中，若抛物线上一点

()2,Et到焦点F的距离等于4，由抛物线的定义可得242P+=，解得4p=，则抛物线的方程为28yx=，故B不正确；对于C中，如图所示，当l过抛物线C的焦点F时，设E为AB的中点，分布过点,,ABE作11,,AAlBBlE

El⊥⊥⊥，垂足分别为11,,ABE，可得111()2EEAABB=+，由抛物线的定义，可得11AABBAFBFAB+=+=，所以12EEAB=，此时以AB为直径的圆与准线相切，当直线l不过抛

物线C的焦点F时，此时11111()()222EEAABBAFBFAB=+=+，此时以AB为直径的圆与准线不相切，综上可得，以AB为直径的圆与准线不一定相切，所以C不正确；对于D中，如图所示，设:2pmykx=+且()()3344,,,MxyNxy，联立方程组222py

kxypx=+=，整理得22222204kpkxkpxpx+−+=，则23422pkpxxk−=，且()22222Δ2404kpkppk=−−，可得21k，由抛物线的定义，可得34222pMFNFxxppk+=++=即2MFNFPF+成立，故D正

确.故选：AD.12.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为4,O为空间中任一点，则下列结论中正确的是（）A.若O为线段AC上任一点，则1AO与BC所成角的余弦值范围为30,3B.若O为正方形11ADDA的中心，则三棱锥OABD−外接球的体积为642π3

C.若O在正方形11DCCD内部，且26OB=，则点O轨迹的长度为2πD.若三棱锥1OBDC−的体积为132π,36ODC=恒成立，点O轨迹的为圆的一部分【答案】ABC【解析】【分析】对于A：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式计算分析判断

；对于B：根据题意分析可得AC与BD的交点M即为三棱锥OABD−的外接球的球心，结合球体的体积公式计算；对于C：分析可得22OC=，结合圆的周长分析计算；对于D：根据题意结合圆锥的截面分析判断.【详解】对于A：以点D为坐标原点，直线1,,DADCDD分别为,,xyz轴建立

空间直角坐标系，则1(4,0,4),(4,4,0),(0,4,0)ABC，由题意设(,4,0),04Ottt−，1(4,4,4),(4,0,0)AOttBC=−−−=−，设1AO与BC所成角为，则()()

()1122214(4)4coscos,444162416AOBCttAOBCAOBCttt−−−====−+−+−+，当4t=时，cos0=；当04t时，40t−，()()2241cos16241624ttt−==−++−，因,04

404tt−，得211(4)16t−，则21623(4)t+−，0=t时取等号，则3cos0,3，综上，3cos0,3，故A正确．对于B：设AC与BD的交点M，连接OM，1DC，因为O，M分别是1AD与AC的中点，则MO＝

112DC＝22，又MA＝MB＝MD＝22，所以点M为三棱锥OABD−的外接球的球心，半径22R=，此外接球的体积34642π(22)π33V==，故B正确．对于C：由题意可知：BC⊥平面11,DCCDCO平面11DCCD，则BCCO⊥，点O在侧面11DCCD内，满

足2222OCOBBC=−=，故点O的轨迹是以点C为圆心，半径为22的四分之一圆弧，所以点O的轨迹的长度为()12π×222π4=，故C正确．为对于D：设三棱锥1OBDC−的高为h，由三棱锥1OBDC−的体积为1133242423223h=，解得433h=，即点O到平面

1BDC的距离为433．对于三棱锥1CBDC−，设高为1h，由体积可得111311424244432232h=，解得1433h=，即点C到平面1BDC的距离为433，点1A到平面11BDA的距离为433，平面11BDA与

平面1BDC的距离为433，故点O在平面11BDA或为点C，若1π6ODC=，空间点O的轨迹为以1DC为轴的圆锥侧面，显然点C不满足题意，设1DC与平面11BDA所成的角为，则83613sin3242==，故平面11BD

A与圆锥侧面相交，且平面11BDA与1DC不垂直，故平面11BDA与圆锥的截面为椭圆，显然点1D不合题意，所以点M的轨迹为椭圆的一部分，故D错误．故选：ABC．【点睛】方法点睛：在立体几何中，某些点、线、面按照一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与探求平

面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．注意轨迹的纯粹性与完备性．三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请仔细审题

，认真做答13.()226()xyxy++展开式中，53xy的系数为____．【答案】26【解析】【分析】由题意依次求出6()xy+展开式中33xy，5xy项的系数，求和即可求得53xy的系数.【详解】因为233321553

66CC26xxyyxyxy+=，所以53xy的系数为26．故答案为：2614.由直线60xy++=上一点P向圆()()22:354Cxy−++=引切线，则切线长的最小值为______．【答案】2【解析】【分析】设过点P的切线与圆C相切于点E，分析可知当PC与直线60xy++=垂

直时，PC取最小值，再利用勾股定理可求得切线长的最小值.【详解】设过点P的切线与圆C相切于点E，连接CE，则PECE⊥，圆C的圆心为()3,5C−，半径为2r=，则22PEPCr=−，当PC与直线60xy++=垂直时，PC取最小值，

且最小值为356222−+=，所以，22842PEPCr=−−=，即切线长的最小值为2.故答案为：2.15.已知函数()()()ln21fxmxnx=−++在区间24e,e上存在零点，则22m

n+的最小值为__________.【答案】66e1e+【解析】的【分析】设函数的零点为t，则()ln20tmtnt+−+=，则点(),mn在直线()ln20xtytt−++=上，然后将问题转化为点到直线的距离的最值问题，构造函数，利用导数求解可得.【详解】设函数的零点为t，则()

ln20tmtnt+−+=，则点(),mn在直线()ln20xtytt−++=上.因为22mn+表示0,0（）与,mn（）的距离，所以则22mn+的最小值即为原点到直线()ln20xtytt−++=的距离的最小值平方，即22222min(ln2)tmntt+−+

，令2242221,e,e(ln2)ln21tyttttt==−+−+，令()()2ln23ln,ttgtgttt−−==，当()23e,ex时，()()0,gtgt单调递增，当()34e,ex时，()()0,gtgt单调递减，

所以当3et=时，max31()egt=，6min661e11e1ey==++所以622226e,1emnmn+++的最小值为66e1e+.故答案为：66e1e+16.如图，将一个边长为1的正三角形分成

四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基三角形.设nA是第n次挖去的小三角形面积之和（如1A是第1次挖去的中间小三角形面积，2A是第2次挖去的三

个小三角形面积之和），则nA=__________；若操作n次后剩余部分面积不大于原图面积的一半，则n的最小值为__________.【答案】①.133164n−②.3【解析】【分析】本题要逐步观察，每一次挖去的三角形都是前一次三角形的14，每一次挖去13n

−个三角形，从而可得每次挖去的小三角形面积之和构成一个以316为首项，以34为公比的等比数列，写出等比数列的通项公式可得nA，利用等比数列的求和公式计算nS，根据题意列不等式求解n的范围，即可得n的最小值.【详解】原正三角形的

面积为1311sin6024A==，由题意可知，第一次挖去的三角形面积和为1611334441AA===，第二次挖去的三角形面积和为2113334416AA==，第三次挖去的三角形面积和为2223613413334AA==，……所以，第一

次只挖去1个三角形，面积1163A=；第二次挖去3个三角形，面积和为263341A=；第三次挖去23个三角形，面积和为2316334A=；……第n次挖去13n−个三角形，且每次挖去的小三角形面积之和构成一个以316为首项，以34为公比的等比数列，所以13

3164nnA−=，由等比数列的求和公式可得：前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为31333413164414nnnS−==−−为操作n次后剩余部

分面积不大于原图面积的一半，即333314448n−−即3142n，解得3n，则n的最小值为3.故答案为：133164n−；3四､解答题：本大题共6小题，共70分，请仔细

审题，认真做答17.如图所示，在直角三角形ABC中，90ABC=，//DEBC，24BDAD==，1DE=，将ADEV沿DE折起到PDE△的位置，使平面PDE⊥平面BCED，点M满足2CMMP=.（1）证明：BCME⊥；（2）求二面角EPBC−−的余弦值.【答

案】（1）证明见解析（2）10521【解析】【分析】（1）证明出DE⊥平面PBD，在BC上取一点F，使得2CFBF=，连接EF、MF，证明出平面//PBD平面MEF，可得出BC⊥平面MEF，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）推

导出PD⊥平面BCED，然后以点以D为坐标原点，DB、DE、DP的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角EPBC−−的余弦值.【小问1详解】证明：在直角三角形ABC中，因为//DEBC，ABBC⊥，所以DEAB⊥，即在四棱锥−PDBCE中，D

EPD⊥，DEBD⊥，又因为PDBDD=，PD、BD平面PBD，所以，DE⊥平面PBD，所以，BC⊥平面PBD，如图，在BC上取一点F，使得2CFBF=，连接EF、MF.因为2BDAD=，所以33BCDE==，所以1BFDE==，又因为//BFDE，

所以四边形BFED是矩形，所以//BDEF.因为BD平面MEF，EF平面MEF，所以，//BD平面MEF，在PBC中，2CMMP=，2CFBF=，所以//MFPB，因为PB平面MEF，MF平面MEF，所以//PB平面MEF，因为PBBDB=，PB、

BD平面PBD，所以，平面//PBD平面MEF，所以BC⊥平面MEF，因为ME平面MEF，故BCME⊥.【小问2详解】解：因为平面PDE⊥平面BCED，平面PDE平面BCEDDE=，PDDE⊥，PD平面PDE，所以PD⊥平面B

CED，故以D为坐标原点，DB、DE、DP的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz−，则()4,0,0B、()002P,,、()0,1,0E、()4,3,0C，所以()0,1,2PE=−，()4,0,2P

B=−.设平面PBE的法向量为(),,nxyz=，则2020nPEyznPBxz=−==−=，令2z=，得()1,4,2n=.设平面PBC的法向量为(),,mabc=，()4,0,2BP=−，()0,3,0BC=，则42030mBPa

cmBCb=−+===，取1a=，则()1,0,2m=，所以22222110422105cos,21102142mnmnmn++===++++，由图可知，二面角EPBC−−为锐角，故二面角EPBC−

−的余弦值为10521.18.记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，分别以,,abc为边长的三个正三角形的面积依次为123,,SSS，已知12353,sin5SSSC+−==.（1）求ABC的

面积；（2）若5sinsin3AB=，求c.【答案】（1）12（2）155【解析】【分析】（1）根据面积公式及余弦定理得到cos2abC=，再求出cosC，即可求出ab，最后由面积公式计算可得；（2）由正弦定理求出sincC，即可得解.【小问1详解】由题意得221133224Saa=

=，2234Sb=，2334Sc=，则2221233333444SSSabc+−=+−=，即2224acb−+=，由余弦定理得222cos2abcCab+−=，整理得cos2abC=，则cos0C，又5sin5C=，则2525cos155C

=−=，所以25cosabC==，则11sin22ABCSabC==；【小问2详解】由正弦定理得sinsinsinbacBAC==，所以2253sinsinsinsinsin53cababCABAB====，则3sincC=或3sincC=（舍去

），所以153sin5cC==.19.nS为数列na的前n项和，已知2634nnnSaa=+−，且0na.（1）求数列na的通项公式na；（2）数列nb依次为：23456789101234,3,,3,3,,3,3,3,,3,3,3,3aaaa，规律是在ka和1

ka+中间插入()*Nkk项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列nb的前100项的和.【答案】（1）31nan=+（2）8835692+【解析】【分析】（1）利用项与和的关系即可求解

；（2）先确定数列nb的前100项中含有na的前13项，含有3n中的前87项，再利用分组求和的方法即可求解.【小问1详解】当1n=时，211116634Saaa==+−，解得14a=（11a=−舍去），由2634nnn

Saa=+−得2n时，()2111634nnnSaa−−−=+−，两式相减得()()221111633,30nnnnnnnnnaaaaaaaaa−−−−=−+−+−−=，因为0na，所以13nnaa−−=，所以na是等差数列，首项为4，公差

为3，所以()43131nann=+−=+；【小问2详解】由于12345678910111278,7812100+++++++++++=+，1234567891011121391,9113104+++++++++++

+=+因此数列nb的前100项中含有na的前13项，含有3n中的前87项，所求和为()87883131312356941332132S−+=++=−.20.某学校三年级开学之初增加早自习，早饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了

一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是14，择餐厅乙就餐的概率为34，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是12，选择餐厅甲就餐的概率也为12，如此往复

.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是12，选择餐厅乙就餐的概率是12，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为nP.（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求()EX；（2）请写出()*nPnN的通项公式；【答案

】（1）分布列见解析，98（2）11121045nnP−=−+【解析】【分析】（1）先求某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得概率分布，利用二项分布期望公式可得期望；（2）根据题意先求nP与1nP+的关系，然后利用构造法

可得通项.【小问1详解】某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率1111324228AP=+=，某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率1311524228BP=+=，所以3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为X，则33,8XB.()()3335C,0,1,2,3

88kkkPXkk−===X的分布列为X0123P12551222551213551227512故()39388EX==【小问2详解】依题意，()111142nnnPPP+=+−，即()*111N42nnPPn+=−+.由（1）知()*111N42nnPPn+=−

+，则()*1212N545nnPPn+−=−−当1n=时，可得121510P−=，数列25nP−是首项为110公比为14−的等比数列.11121045nnP−=−+21.已知椭圆2

222:1(0)xyEabab+=的一个顶点为(01)，，焦距为23．椭圆E的左、右顶点分别为AB，，P为椭圆E上异于AB，的动点，PB交直线4x=于点T，AT与椭圆E的另一个交点为Q．（1）求椭

圆E的标准方程；（2）直线PQ是否过x轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．【答案】（1）2214xy+=（2）经过定点，定点为(1,0)【解析】【分析】（1）根据椭圆的基本性质求解a、b、c即可；（2）使用直线与椭圆交于两点，直线与椭圆方程联立，利

用韦达定理求出另一点的坐标，得到P、Q两点的坐标，求出其方程，化简为直线的点斜式方程即可得到定点坐标.【小问1详解】椭圆()2222:10xyCabab+=的一个顶点为(01)，，焦距为23，13bc==，解得132a=+=，椭圆C的方程为2214xy+=.【小问2详解】T在直

线:4lx=上，则点(4,)Tt，(2,0),(2,0)AB−()():2,:262ttATyxBTyx=+=−由2214(2)6xytyx+==+，得2221826,99ttQtt

−++，由()221422xytyx+==−,得222222,11ttPtt−−++，223PQtkt=−，22222222:131tttPQyxttt−+=−+−+，22222222223311ttttyxtttt−

=−−−−++()()()()22222222232313tttttyxttt−+−=−−+−222233ttyxtt=−−−，22:(1)3tPQyxt=−−，直线PQ过定点(1,0).【点睛】（1）利用椭圆的基本性质，结

合椭圆的定量关系222abc=+可求得所要的椭圆方程；（2）直线经过定点问题，使用直线与椭圆交于两点，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出另一点的坐标，这样得到直线PQ上两点，写出直线方程，化为00()yykxx−=−点斜式的方程，可得到直线所过的

定点.22已知0a且1a，函数()(0)axxfxxa=.（1）讨论()fx的单调区间；.（2）若曲线()yfx=与直线1y=恰有一个交点，求a取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()0,1e【解析】【分析】（1）求导，分1a和01a讨论即可得单调区间；

（2）将问题转化为lnlnxaxa=只有一个实数解，构造函数()lnxgxx=，利用导数讨论其单调性，结合图象可解.【小问1详解】()(0)axxfxxa=，则()()112lnlnaaxaxxxxaxaaxaxaafxaa−−−−==当1a时当0lnaxa时，()

0fx¢>；当lnaxa时，()0fx.函数()fx在0,lnaa上单调递增；在,lnaa+上单调递减.当01a时，ln0a，所以ln0axa−，所以()0fx¢>恒成立.所以函数()fx在()0,+上单调递增.【小问2详

解】()lnln1lnlnaxaxxxafxaxxaaxaxa=====，设函数()lnxgxx=，则()21lnxgxx−=，令()0gx=，得ex=，在()0,e内()()0,gxgx单调递增；在()e,+上()()0,gxgx单调递减；()max1()eeg

xg==，又()10g=，当x趋近于+时，()gx趋近于0，当x从右边趋近于0时，()gx趋近于−，作()gx图象如图，所以曲线()yfx=与直线1y=恰有有1个交点，即ln0aa或ln1eaa=，这即是()0ga或()()egag=，所以a的取值范围是(

)0,1e.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com