【文档说明】湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期3月联考数学试题 含解析.docx，共(13)页，598.321 KB，由管理员店铺上传

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湖南省娄底市涟源市2024年上学期高二3月月考数学试题（考试时间：120分钟满分150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从某班所有同学中

随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是（）A.9B.8C.7D.4【答案】D【解析】【分析】借助众数定义即可得.【详解】由数据可知，其中服务次数为4的个数最多，故众数为4

.故选：D.2.已知向量,ab满足1,1aab==−，则()aab−的值为（）A.4B.3C.2D.0【答案】C【解析】【分析】由题意，根据平面向量数量积的运算律即可求解.【详解】由题意知，2()1(1)2aabaab−=−=−−=.故选

：C3.若函数()323fxaxxb=++在2x=处取得极值1，则ab−=（）A.-4B.-3C.-2D.2【答案】D【解析】【分析】通过对函数求导，得出a和b的参数值，即可求出ab−的值.【详解】由题意，xR，()323fxaxxb=++中，()236fxa

xx=+，在2x=处取得极值1，在∴()()32222321232620fabfa=++==+=，解得：13ab=−=−，经经验满足题意，∴()132ab−=−−−=，故选：D.4.若2x=−是函数21()(1)ex

fxxax−=+−的极值点，则()fx的极小值为．A.1−B.32e−−C.35e−D.1【答案】A【解析】【详解】由题可得()()()()121212121xxxfxxaexaxexaxae−−−=+++−=+++−，因为()20f−=，所以

1a=−，()()211xfxxxe−=−−，故()()212xfxxxe−−=+，令()0fx，解得2x−或1x，所以()fx在()(),2,1,−−+上单调递增，在()2,1−上单调递减

，所以()fx的极小值为()()1111111fe−=−−=−，故选A．【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f

(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．5.将甲、乙、丙等7名志愿者分到,,ABC三个地区，每个地区至少分配2人，则甲、乙、丙分到同一个地区的概率为（）A.148B.124C.170D.135【答案】D【解析】【分析】先求出将甲、乙、丙等7名志愿

者分到,,ABC三个地区，每个地区至少分配2人共有多少种分法，再求出甲、乙、丙分到同一个地区的分法数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】将甲、乙、丙等7名志愿者分到,,ABC三个地区，每个地区至少分配2人，则有3人分到一个地区，分配方法

共有32374322CCAA种，其中甲、乙、丙分到同一个地区的分配方法有234322CAA，故所求的概率为2343223233747322CAA11CCC35AA==，故选：D6.下列命题为真命题的是（）A.大于90的角都是钝角B.锐角一定是

第一象限角C.第二象限角大于第一象限角D.若cos0，则是第二或第三象限的角【答案】B【解析】【分析】根据象限角的定义即可判断ABC，根据象限角与余弦值的关系即可判断D.【详解】对A，∵18090，但18

0°不是钝角，∴A是假命题，故A错误；对B，∵锐角范围是π0,2，是第一象限角，B是真命题，故B正确；对C，210−是第二象限角，30是第一象限角，21030−，∴C是假命题，故C错误；对D，当π=时，cos1=−，π=不是

第二或第三象限的角，∴D是假命题，故D错误.故选：B.7.已知数列{}na为等差数列，且23691010aaaaa++++=，则48aa+的值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质即可得解.【详解】因为数列{}na为等差数列，又23691010aaaa

a++++=，所以6510a=，则62a=，所以48624aaa+==.故选：B.的8.已知正数数列na是公比不等于1的等比数列，且120231aa=，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若()241fxx=+，则()()()122023fafafa+++=（）A.202

2B.4044C.2023D.4046【答案】D【解析】【分析】先得到1()4+=fxfx，再用倒序相加法即可求解.【详解】因为正数数列na是公比不等于1的等比数列，且120231aa=，所以222311202322012020

211aaaaaaa=====L，又∵函数24()1fxx=+，∴222214444()41111++=+==+++xfxfxxxx，令122023()()()Tfafafa=+++，则202320181()()()T

fafafa=+++，∴()()()()()()120232201820231242023Tfafafafafafa=++++++=，∴4046T=.故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知集合21

2{|N,N},{|67}1AxxBxxxx==−+，则（）A.1,2,3,5AB=B.()1,711AB=−C.12,xyxAyB−∣D.()2,lg9RaAyyxax=−+=∣【答案】BCD【解析】【分

析】求出集合,AB，根据集合的运算即可判断A，B；结合12xy−，可判断C；由()2lg9Ryyxax=−+=∣，结合判别式，可求得a的范围，即可判断D.【详解】由题意得212{|N,N}{0,1,2,3,5,11},{|67}(1,7)1AxxBxxxx

===−=−+，故0,1,2,3,5AB=，()1,711AB=−，A错误，B正确；由于,xAyB，故11(1)12xy−−−=，则12,xyxAyB−∣，C正确；若()2lg9Ryyxax=−+=∣，则

29xax−+能取到所有的正数，即2360a−，则6a或6a−，即()2,lg9RaAyyxax=−+=∣，D正确，故选：BCD10.已知数列na的前n项和公式为1nnSn=+，则下列说法正确的是（）

A.数列na的首项为112a=B.数列na的通项公式为()11nann=+C.数列na为递减数列D.数列na为递增数列【答案】ABC【解析】【分析】利用,nnaS的关系式，分类讨论1n=与2n两种情

况，求得na，从而得解.【详解】对于A，因为1nnSn=+，所以当1n=时，1112aS==，知A正确；对于B，当2n时，()11111nnnnnaSSnnnn−−=−=−=++，当1n=时，也满足上式，故数列na

的通项公式为()11nann=+，故B正确；对于CD，()()()()()1112021112nnaannnnnnn−−=−=−+++++，所以数列na为递减数列，故C正确，D错误.故选：ABC.11.下列求导正确的是（）A.()1

ln1010=B.22112xxxx−=+C.()()e1exxxx=+D.()cos3sin3xx=−【答案】BC【解析】【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则计算即可.【详解】()ln100=，22112xxxx−=+，()()ee

e1exxxxxxx=+=+，()cos33sin3xx=−.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、

茶文化、酒文化．这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”．假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为______．【答案】14##0.25【解析】【分析

】根据元素相邻关系进行捆绑并结合排列问题得出结果.【详解】服务员随机上这八道菜有88A种排法，“沙葱牛肉”，“北京烤鸭”相邻有2727AA种排法，所以所求概率272788AA1A4P==．故答案为：14.13.曲线3l

nyx=在点在1x=时切线斜率为______.【答案】3【解析】【分析】求导，将1x=代入导函数即可求解.的【详解】3yx=，当1x=时，331y==，故曲线3lnyx=在点在1x=时的切线斜率为3.故答案为：314.若,AB分别

是曲线exy=与圆22(1)1xy−+=上的点，则AB的最小值为__________.【答案】21−【解析】【分析】根据题意转化为求曲线上一点到圆心距离的最小值，找出取得最小值时候满足的条件，结合导数计算法

则列式求解答案即可.【详解】设圆22(1)1xy−+=圆心为M，如下图所示，由题意可知，AB取得最小值时，1AMrAM−=−取得最小值，当AM垂直于曲线exy=在点A处的切线时，AM最小，设()11,exAx，则对exy=求导得

exy=，所以111e0e11xxx−=−−，即121e10xx+−=，由于10x=时满足上式，且2e1xyx=+−在(),−+单调递增，所以121e10xx+−=有唯一解10x=，所以()0,1A，此时min2AM=，所以minmin121ABAM=−=−故答案为：21−四、解

答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列na满足()1122122nnaanan++++=−+.（1）求na的通项公式；（2）设211nnnbaa=+，证明：1243nbbb+++.【答案】（1

）2nna=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据数列递推式，采用两式相减的方法，即可求得答案；（2）由（1）的结果可得211nnnbaa=+的表达式，利用分组求和法，即可证明结论.【小问1详解】由题意可知，当1n=时，12a=；当2n时，由()1122122nnaanan++

++=−+得，()()1221222nnaanan+++−=−+，两式作差可得，()()112222,2nnnnnnnannna+=−−−==，12a=也适合该式，故2nna=；【小问2详解】证明：由题意知2111124nnnnnbaa=+=+，故121111112

244111124nnnbbb−−+++=+−−1111411123343234nnnn=−+−=−+，由于nN，则110234nn+，故411432343nn−+，即1243n

bbb+++.16.已知函数()()321,,,3fxxaxbabfx=++R在2x=处取到极小值23．（1）求,ab的值；（2）求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程．【答案】（1）1,2ab=−=（2）3370xy+−=【解析】【分析】（1）根据极小值列出方程

组即可得解；（2）求出切点处导数可得切线斜率，据此写出切线方程即可【小问1详解】因为()22fxxax=+，则()()440201822242333afababf+===−=++==，即1,2ab=−=，当1,2ab=−=时，2()2fxx

x=−，02x时，()0fx，2x时，()0fx，故()fx在2x=处取到极小值，所以1,2ab=−=满足题意.【小问2详解】由（1）知，()()3212,23fxxxfxxx=−+=−，则()()41113

,ff==−，故切线方程为：()()()()411113yfxfx=−+=−−+，即3370xy+−=.17.在OAB中，设,OAaOBb==，若11,42OCaODb==，AD与BC交于点M，.（1）用,ab表示OM；（2）在线段AC，BD上分别取,EF，使EF过M

点，设,OEpOAOFqOB==，求pq+的最小值.【答案】（1）1377ab+（2）4237+【解析】【分析】（1）利用三点共线的结论以及平面向量基本定理可求出结果；（2）利用三点共线的结论得到13177pq+=，再根据基本不等式可求出结

果.【小问1详解】因为,,CMB三点共线，所以可设1(1)(1)4OMxOCxOBxOAxOB=+−=+−，因为,,AMD三点共线，所以可设1(1)(1)2OMyOAyODyOAyOB=+−=+−，根据平面向量基本定理可得()141112xyxy=−=−，解得4717xy

==，所以13137777OMOAOBab=+=+.【小问2详解】因为13137777OMabOEOFpq=+=+，且,,EMF三点共线，所以13177pq+=，依题意知0,0pq，所以13()()77pqpqpq

+=++1313()777qppq=+++42377+，当且仅当137p+=，337q+=时，取得等号，所以pq+的最小值为42377+.18.如图，在三棱锥−PABC中，平面PAC⊥平面ABC，且PAPC=，PAAB⊥．（1）证明：AB⊥平面PAC；（2

）若2PAABAC===，点M满足3PBPM=，求二面角PACM−−大小．【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理得证线面垂直后可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明结论成立；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【小

问1详解】过P作PDAC⊥于点D，平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC平面ABCAC=，PD平面APC，故PD⊥平面ABC．又AB平面PAC，PDAB⊥．又PAAB⊥，PAPDP=，PD平面PAC，AB平面PAC，所以AB

⊥平面PAC，【小问2详解】由（1）AB⊥平面PAC，AC平面PAC,故ABAC⊥,以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，则(0A,0,0)，(2,0,0)B，(0P,1,3)，(0,2,0)C，故(2,1,3)PB=−−，1213(,,)3333PMPB==

−−,所以2223(,,)333M,()0,2,0AC=，2223(,,)333AM=设平面ACM的法向量(,,)mxyz=，则2022230333mACymAMxyz===++=，令1z=有，故(3,

0,1)m=−，平面PAC的法向量()2,0,0AB=，的则233cos,222mABmABmAB===，又二面角PACM−−所成角为锐角，二面角PACM−−所成角的余弦值为32，角的大小为π6．19.已知曲线()lnfxxx=．（1）求曲线在(e,

(e))f处的切线方程；（2）若曲线()fx在(1,0)处的切线与曲线2(3)1yaxax=+++相切，求a的取值．【答案】（1）2eyx=−（2）2【解析】【分析】（1）由导数的几何意义，求出在e处的导数值，即直线的斜率，由

点斜式方程可得；（2）先求切线方程，再联立直线与曲线方程，最后由Δ0=解出a.【小问1详解】因为()ln1fxx=+，又()eef=，()e2f=，故曲线在()()e,ef处的切线方程：()e2eyx−=−，即2eyx=−.【小问2详解】因为()11f=，则曲线()fx在()

1,0处的切线方程为：1yx=−，又直线1yx=−与曲线()231yaxax=+++相切，联立方程()2131yxyaxax=−=+++消y得：()2220axax+++=，由题意有Δ0=，即22(2)8(2)0aaa+−=−=，解得：2a=.