【文档说明】广东省珠海市2020届高三下学期普通高中学生学业质量监测数学（文）试题含答案.doc，共(12)页，1.956 MB，由小赞的店铺上传

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珠海市2020届第二学期普通高中学生学业质量监测数学（文科）第I卷（选择题)一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合21,0,1,21AB

xx，，则AB()A．1,0,1B．1,2C．1,1D．1,1,22．已知复数Z在复平面上对应的点为1,1，则()A．1Z是实数B．1Z是纯虚数C．Zi是实数D．Zi是纯虚数3．不等式1xx的解集为()A．|1xxB．|1

10xxx且C．|1xxD．|1xx或10x4．某同学用如下方式估算圆周率，他向图中的正方形中随机撒豆子100次，其中落入正方形的内切圆内有68次，则他估算的圆周率约为()A．3.

15B．2.72C．1.47D．3.845．函数()sinfxxx的零点个数为()A．1B．2C．3D．46．设11111++++2612(1)Snn，则S()A．211nnB．21nnC．1nnD

．21nn7．已知点2,2P和圆22:420Cxyxyk，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是()A．05kB．20kC．5kD．205k8．如图，正方体1111ABCDABCD，点P为对角线11AC上的

点，当点P由点1A向点1C运动过程中，下列说法正确的是()A．BPD的面积始终不变B．BPD始终是等腰三角形C．BPD在面11ABBA内的投影的面积先变小再变大第4题图第8题图D．点A到面BPD的距离一直变大9．函数2cos()ln(2)x

fxx=+的图象可能是()A．B．C．D．10．已知F是双曲线22:2Cxy-=的一个焦点，点P在C上，过点P作FP的垂线与x轴交于点Q，若FPQ△为等腰直角三角形，则FPQ△的面积为()A．14B．54C．2D．311．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天

干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干

由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”……依此类推．19

11年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命,这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”．1949新中国成立，请推算新中国成立的年份为()A．己丑年B．己酉年C．丙寅年D．甲寅年12．设函数22()xeefxxax.若只存在唯一非负整数0x，使得00fx

，则实数a取值范围为()A．2,0eeB．2,1eC．,0D．2,eee第II卷（非选择题)二、填空题（本大题共４小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数ln(

)1xfxx在1x处的切线方程为____________．14．在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，ABC△是边长为2的正三角形，PAB△是以AB为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．15．已知正项等比数列na的前n项和为nS，639

SS，23a，则5a＝_______．16．等腰直角三角形ABC，2ABAC，90BAC．E，F分别为边AB，AC上的动点，设AEmAB，AFnAC，其中,(0,1)mnÎ，且满足221mn+=，M，N分别

是EF，BC的中点，则||MN的最小值为_____．三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．(本题12分)随机调查某城市80名有子女在读小学的成年人，以研究

晚上八点至十点时间段辅导子女作业与性别的关系，得到下面的数据表：是否辅导性别辅导不辅导合计男2560女合计4080（1）请将表中数据补充完整；（2）用样本的频率估计总体的概率，估计这个城市有子女在读小学的成人女性晚上八点至十点辅

导子女作业的概率；（3）根据以上数据，能否有99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导子女作业与性别有关？”．参考公式：22nadbcKabcdacbd，其中nabcd．参考数据：20PKk0.150.100.050.0250.

0100.0050k2.0722.7063.8415.0246.6357.87918．(本题12分)如图所示，在ABD中，点C在线段AB上，3AD，1BC，14BD，2cos3DAB．（1）求sinABD的值；（2）判断ACD是否为等腰

三角形．第18题图19．(本题12分)如图所示，梯形ABCD中，//ADBC，平面CDEF平面ABCD，且四边形CDEF为矩形，22BCAD，23CF，13AB，26BE．(1)求证：AD平面

BDE；(2)求点D到平面BEF的距离．20．(本题12分)已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为y轴，其准线为1y．(1)求抛物线C的方程；(2)设直线:lykxn，对任意的kR抛物线C上都存在四个点到直线l的距

离为4，求n的取值范围．21．(本题12分)设函数()(1)xfxeax．（1）求函数()fx的单调区间和极值；（2）若存在,mnR满足mneeamn，证明2lnmna成立．（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所

做的第一题计分．22．(本题10分)在平面直角坐标内，直线l过点2,3P，且倾斜角6=．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为=4sin．(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设直线l与

圆C交于AB，两点，求PAPB的值．23．(本题10分)已知函数()1fxx．（1）解不等式()(1)4fxfx；（2）当0x，xR时，证明：1()()2fxfx.第19题图数学（文科）参考答案第I卷（选择题)一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题

列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合21,0,1,21ABxx，，则AB（）A．1,0,1B．1,2C．1,1D．1,1,2【答案】D由11Bxxx或，所以AB1,1,

22．已知复数Z在复平面上对应的点为1,1，则()A．1Z是实数B．1Z是纯虚数C．Zi是实数D．Zi是纯虚数【答案】Ｃ由题意可知z＝1－i,所以z＋i是实数，故选C.3．不等式1xx的解集为（）A．|1xxB．|110xxx且C．|1xxD．|1

xx或10x【答案】D不等式1xx221100100xxxxxxx且得解集|1xx或10x4．某同学用如下方式估算圆周率，他向图中的正方形中随机撒豆子100次，其中落入正

方形的内切圆内有68次，则他估算的圆周率约为（）A．3.15B．2.72C．1.47D．3.84【答案】B根据几何概型226844100SrSr圆正得2.725．函数()sinfxxx的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A由()si

nfxxx的零点转化为方程sinxx的根，由yx与sinyx的图象只有一个交点，可得()sinfxxx只有一个零点6．设11111++++2612(1)Snn，则S（）A．211nnB．21nnC．1nnD．21nn【答案】A由111

11++++2612(1)Snn得11111++++122334(1)Snn111111112111++++222334111nSnnnn----7．已知点2,2P和圆22:420Cxyxyk，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是()A．05k

B．20kC．5kD．205k【答案】D由22:420Cxyxyk得22:+2+15Cxyk，则50k得5k，要使过P作C的切线有两条，则点P在圆外，从而5PCk

得20k，所以205k.8．如图，正方体1111ABCDABCD，点P为对角线11AC上的点，当点P由点1A向点1C运动过程中，下列说法正确的是（）A．BPD的面积始终不变B．BPD始终是等腰三角形C．BPD在面11ABBA内的投影的面积先变小再变大D．点A到面BPD

的距离一直变大【答案】BBPD的面积始终不变先变小再变大，Ａ不对；由于=BPDP，BPD始终是等腰三角形所以Ｂ正确；BPD在面11ABBA内投影的面积不变，所以Ｃ不对；点A到面BPD的距离先变大再变小，所以Ｄ不对。9．函数2cos()ln(2)xfxx=+的

图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C函数2cos()ln(2)xfxx=+为偶函数且02f，排除Ａ、Ｂ，而101,2ln2f，所以选Ｃ10．已知F是双曲线22:2Cxy-=的一个

焦点，点P在C上，O为坐标原点，过点P作FP的垂线与x轴交于点Q，若FPQ△为等腰直角三角形，则FPQ△的面积为（）A．14B．54C．2D．3【答案】A取点F为左焦点，P在第一象限，如图可设,2Px

x，代入双曲线得()22:22Cxx--=解得：32x=，得31,22P1111224FPQS△11．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、

辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙

寅”……依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”……依此类推．1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命,这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”．1949新中国成立，请推算新中国成立的年份为（）

A．己丑年B．己酉年C．丙寅年D．甲寅年【答案】Ａ根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则38=310+8

，则1949年的天干为己，38=123+2，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年.12．设函数22()xeefxxax.若只存在唯一非负整数0x，使得00fx，则实数a取值范围为()A．2,0eeB．2,1eC．,0D．2,eee【答案】A

令22()xgxeex，()hxax，则()()()fxgxhx，22()xgxeex，令()=0gx，解得=0x或=2x，2x，时有()0gx02x，时有()0gx0x，时有()0gx，可以描绘出22()xgxeex的草图()hxax为

过点0,0的直线如图可知：当0a不成立当0a时，01x，所以(1)0f，得2aee所2,0xee．第II卷（非选择题)二、填空题（本大题共４小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．函数ln()1xfxx在1x处的切线方程为____________．【答案】210xy（方程其它形式均可得分）求导得21(1)ln1xxxyx，得11|2xky，切点

为1,0所以1(1)2yx．14．在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，ABC△是边长为2的正三角形，PAB△是以AB为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】163由题意可知ABC△的中心O就是

圆心，可知算得233ROC，所以可得外接球的表面积为16315．已知正项等比数列na的前n项和为nS，639SS，23a，则5a＝_______．【答案】24∵na为等比数列，639SS，∴1234561239()aaaaaaaaa，∴

4561238(+)aaaaaa，38q，此时3523824aaq，16．等腰直角三角形ABC，2ABAC，90BAC．E，F分别为边AB，AC上的动点，设AEmAB，AFnAC，其中(),0,1mnÎ，且满足221mn+=

，M，N分别是EF，BC的中点，则||MN的最小值为_____．【答案】21本题如图建坐标系，0,2Em，2,0Fn，得,Mnm，又221mn+=，可知点M在单位圆上，所以最小||MN的最小值为||21ANAM

．三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．(本题12分)随机调查某城市80名有子女在读小学的成年人，以研究晚上八点至十点时间段辅导孩子作业与性别的关系，得到下面

的数据表：是否辅导性别辅导不辅导合计男2560女合计4080（1）请将表中数据补充完整；（2）用样本的频率估计总体的概率，估计在这个城市所有成人女性晚上八点至十点辅导孩子作业的概率；（3）根据以上数据，能否有99%以上的把握认

为“晚上八点至十点时间段是否辅导孩子作业与性别有关？”参考公式：22nadbcKabcdacbd，其中nabcd.参考数据：20PKk0.150.100.050.0250.0100.0050k2.0722.7

063.8415.0246.6357.879解（1）辅导不辅导合计男253560女15520合计404080-----------------------------------------------

---4分(答任意对２个得2分)（2）在样本中有20位女士，其中有15位辅导孩子作业，其频率为150.7520P所以估计成人女士晚上八点至十点辅导孩子作业的概率为0.75；---------7分（3）22

8025515356.676.63540402060K>---------11分可知有99%的把握认为“晚上八点至十点时间是否段辅导孩子作业与性别有关”------------------12

分18．(本题12分)如图所示，在ABD中，点C在线段AB上，3AD，1BC，14BD，2cos3DAB.（1）求sinABD的值；（2）判断ACD是否为等腰三角形．解：（1）因为2cos3DAB，所以25sin1

33DAB--------------------2分在ABD中，由正弦定理得：sinsinADBDABDBAD，即：314sin53ABD解得70sin14ABD．----------------

----5分（2）在ABD中因为BDAD，所以2ABD所以314cos14ABD--------------------7分2222cosCDBDBCBDBCCBD314141214149------

11分得3BC，------11分所以梯形ABCD是为等腰梯形．--------------------12分19．如图所示，梯形ABCD中，//ADBC，平面DCFE平面ABCD，且四边形CDEF为矩形，22BCAD，23CF，13AB，26BE．(

1)求证：AD平面BDE；(2)求点D到平面BEF的距离．解：（1）EDCD又平面EDCF平面ABCD，且平面EDCF平面ABCDCD＝，ED面EDCFED面ABCD-------------

-------2分又平面ADBD，平面ABCD，EDBD，ADED--------------------3分在RtBDE，23ED，26BE．23BD在ABD中，23BD，1AD，13AB222ABADBDADBD------------------

--5分又EDBDD＝，EDBD，面BDEAD面BDE--------------------6分第18题图第19题图(2)由(1)可知BCD为Rt，且23BD，2BC4CD作BHCD于H

，则3BH由已知平面EDCF平面ABCD，且平面EDCF平面ABCDCD＝，BHABCD面BHCDEF面143BDEFDEFVSBH－--------------------8分在BEF中，224BFBCCF，4EFCD

，26BE22126462152BEFS--------------------10分设点D到平面BEF的距离为h，则12BEFBDEFShV，解得：2155h所以点D到平面BEF的距离为2155------

--------------12分20．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为y轴，其准线为1y.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线:lykxn，对任意的kR，抛物线C上都存在四个点到直线l的距离为4，求n的取值范围．解：(1

)由题意可设：22xpy，则12p得2p，所以24xy----------2分(2)设与直线l平行的直线:mykxb，要满足题设条件“对任意的kR抛物线C上都有四个点到直线l的距离为4”，则有当m与抛物线C相切时，kR

点0,n到:mykxb距离大于4恒成立，24ykxbxy得：2440xkxb---------------------------------------5分24440kb得20k

b点0,n到:mykxb距离21nbk所以kR不等式241nbk恒成立，代入2bk得整理得：422(216)160knkn-------------------------------------9分①0得22(216)4160nn－，求

得5n-------------------------------------10分②221602160nn－得8n-------------------------------------11分所以5n

-------------------------------------12分21．设函数()(1)xfxeax.（1）求函数()fx的单调区间和极值；（2）若存在,mnR满足mneeamn

，证明2lnmna成立.解：解：（1）由()(1)xfxeax得()xfxea当0a时，()0fx从而得()fx在R上单调递增没有极值；-------------------------1分

当0a时，()0fx得lnxa；()0fx得lnxa；()0fx得lnxa；()fx在ln,a上单调递增，()fx在,lna上单调递减，此时有极小值ln2lnfaaa．-----------------------------

--------4分（2）由mneeamn得：mneamean，从而得fmfn由(1)知当0a时，()0fx从而得()fx在R上单调递增，所以此时不成立------5分可知此时0a，由于fx的极小值点为lnxa，可设lnman设

2ln()()(2ln)(1)(2ln1)axxFxfxfaxeaxeaax2ln22lnaxxeeaxaa222lnxxaeaxaae---------------------------------

----7分22()2220xxxxaaFxeaeaee，仅当lnxa时取得“”所以()Fx在ln,a为单调递增函数且(ln)0Fa----------------------------

---------9分当lnma，时有()()(2ln)0Fmfmfam，即()(2ln)fmfam又由fmfn，所以()(2ln)fnfam------------------------

-------------11分又由(1)知()fx在,lna上单调递减，且2ln,lnama，,lnna所以2lnnam从而得证2lnmna成立。----------------------

---------------12分（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标内，直线l过点2,3P，且倾斜角6=以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为=4sin．(1)求圆C的直角

坐标方程；(2)设直线l与圆C交于AB，两点，求PAPB的值．解：（1）由=4sin得2=4sin，…………………2分从而有224xyy即：2224xy…………………4分（2）由题意设直线l的参数方程为3cos62sin6x

tyt即：322122xtyt…………………5分代入圆的方程得22313422tt…………………7分整理得：23350tt1233tt

，125tt由120tt且120tt…………………9分可知121233PAPBtttt…………………10分23．已知函数()1fxx.（1）解不等式()(1)4fxfx；（2）当0x，xR时，证明：1()()2fxfx.解：

（1）由()(1)4fxfx得14xx当1x时，得214x即：52x；…………………2分当01x时，得14即：32x；…………………4分（2）由1()()fxfx111xx…………………5分由绝对值不等式得1111xx

xx…………………7分又因为1,xx同号，所以11xxxx…………………8分由基本不等式得：12xx…………………9分所以1()()2fxfx…………………10分