【文档说明】2023年高考真题——数学（天津卷） 含解析.docx，共(24)页，3.987 MB，由管理员店铺上传

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2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合1,2,3,4,5,1,3,1,2,4UAB===，则UBA=ð（）A.1,3,5B.1,3C.1,2,4D.1

,2,4,5【答案】A【解析】【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；【详解】由{3,5}UB=ð，而{1,3}A=，所以{1,3,5}UBA=ð.故选：A2.“22ab=”是“222abab+=”的（）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由22ab=，则ab=，当0ab=−时222abab+=不成立，充分性不成立；由222abab+=，则2()

0ab−=，即ab=，显然22ab=成立，必要性成立；所以22ab=是222abab+=的必要不充分条件.故选：B3.若0.50.60.51.01,1.01,0.6abc===，则,,abc的大小关系为（）A.

cabB.cbaC.abcD.bac【答案】D【解析】【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由1.01xy=在R上递增，则0.50.61.011.01ab==，由0.5yx=在[0,)+上递增，则0

.50.51.010.6ac==.所以bac.故选：D4.函数()fx的图象如下图所示，则()fx的解析式可能为（）A.()25ee2xxx−−+B.25sin1xx+C.()25ee2xxx−++D.2

5cos1xx+【答案】D【解析】【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在(0,)+上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且

(2)(2)0ff−=，由225sin()5sin()11xxxx−=−−++且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当0x时25(ee)02xxx−−+、25(ee)02xxx−++，即A、C中(0,)+上函数值为正，排除；故选：D5.已知函数()fx的一条对称轴为直线2x=，

一个周期为4，则()fx的解析式可能为（）A.sin2xB.cos2xC.sin4xD.cos4x【答案】B【解析】【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在2x=处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数

的解析式考查函数的最小周期性：A选项中242T==，B选项中242T==，C选项中284T==，D选项中284T==，排除选项CD，对于A选项，当2x=时，函数值sin202=，故()2,0是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当2x=时，函数值cos212

=−，故2x=是函数的一条对称轴，故选：B.6.已知na为等比数列，nS为数列na的前n项和，122nnaS+=+，则4a的值为（）A.3B.18C.54D.152【答案】C【

解析】【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得4a的值.【详解】由题意可得：当1n=时，2122aa=+，即1122aqa=+，①当2n=时，()31222aaa=++，即()211122aqaaq=++，

②联立①②可得12,3aq==，则34154aaq==.故选：C.7.调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数0.8245r=，下列说法正确的是（）A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度

和花萼长度呈现负相关C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245【答案】C【解析】【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项.【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度

有相关性，A选项错误散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；由于0.8245r=是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.8245，D选项错误故选：C

8.在三棱锥−PABC中，线段PC上的点M满足13PMPC=，线段PB上的点N满足23PNPB=，则三棱锥PAMN−和三棱锥−PABC的体积之比为（）A.19B.29C.13D.49【答案】B【解析】【分析】分别过,MC作,MMPACCPA⊥⊥,垂足分

别为,MC.过B作BB⊥平面PAC，垂足为B，连接PB,过N作NNPB⊥,垂足为N.先证NN⊥平面PAC，则可得到//BBNN，再证//MMCC.由三角形相似得到13MMCC=，'2'3NNBB=，再由PAMNNPAMPABCBPACVVVV−−−−

=即可求出体积比.【详解】如图，分别过,MC作,MMPACCPA⊥⊥,垂足分别为,MC.过B作BB⊥平面PAC，垂足为B，连接PB,过N作NNPB⊥,垂足为N.因为BB⊥平面PAC，BB平面PBB，所以平面PBB⊥平面PAC.又因为平面PBB平面PA

CPB=，NNPB⊥，NN平面PBB，所以NN⊥平面PAC，且//BBNN.在PCC△中，因为,MMPACCPA⊥⊥，所以//MMCC，所以13PMMMPCCC==，在PBB

△中，因为//BBNN，所以23PNNNPBBB==，所以11123231119332PAMPAMNNPAMPABCBPACPACPAMMNNSNNVVVVSBBPACCBB−−−−====.故选：B9.双

曲线2222(0,0)xyabab−的左、右焦点分别为12FF、．过2F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知22PF=，直线1PF的斜率为24，则双曲线的方程为（）A.22184xy−=B.22148xy−=C.22142xy−=D.22124

xy−=【答案】D【解析】【分析】先由点到直线的距离公式求出b，设2POF=，由tanbbOPa==得到OPa=，2OFc=.再由三角形的面积公式得到Py，从而得到Px，则可得到2224aa=+，解出a，代入双曲线的方程即可得到答案.【详解】如图，因为()2

,0Fc，不妨设渐近线方程为byxa=，即0bxay−=，所以222bcbcPFbcab===+，所以2b=.设2POF=,则2tanPFbbOPOPa===，所以OPa=，所以2OFc=.因为1122Pabcy=

,所以Pabyc=，所以tanPPPabybcxxa===，所以2Paxc=，所以2,aabPcc，因为()1,0Fc−，所以122222222424PFababaackaacaaacc=====+++++，所以()2224a

a+=，解得2a=，所以双曲线的方程为22124xy−=故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.已知i是虚数单位，化简514i23i++的结果为_________．【答案】4i

+##i4+【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以23i−，然后计算其运算结果即可.【详解】由题意可得()()()()514i23i514i5213i4i23i23i23i13+−++===+++−.故答

案为：4i+.11.在6312xx−的展开式中，2x项的系数为_________．【答案】60【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式()61841612kkkkkTCx−−+=−

，令1842k−=确定k的值，然后计算2x项的系数即可.【详解】展开式的通项公式()()6361841661C212CkkkkkkkkTxxx−−−+=−=−，令1842k−=可得，4k=，则2

x项的系数为()4644612C41560−−==.故答案为：60.12.过原点的一条直线与圆22:(2)3Cxy++=相切，交曲线22(0)ypxp=于点P，若8OP=，则p的值为_____

____．【答案】6【解析】【分析】根据圆()2223xy++=和曲线22ypx=关于x轴对称，不妨设切线方程为ykx=，0k，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．【详解】易知圆()2223xy++=和曲线22ypx=关于x轴对称，不妨设切线方程为ykx=，0k，所以223

1kk=+，解得：3k=，由232yxypx==解得：00xy==或23233pxpy==，所以2222348333pppOP=+==，解得：6p=．当3k=−时，同理可得．故答案为：6．13.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白

球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．【答案】①.0.05②.35##0.6【解析】【分析】先根据题意

求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；根据古典概型的概率公式可求出第二个空．【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6nnn，所以总数为15n，所以甲盒中黑球个数为40%52nn=，白球个数为3n；甲盒

中黑球个数为25%4nn=，白球个数为3n；甲盒中黑球个数为50%63nn=，白球个数为3n；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以，()0.40.250.50.05PA==；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B，黑球总共有236nnnn++=个，白球共

有9n个，所以，()93155nPBn==．故答案为：0.05；35．14.在ABC中，60A=，1BC=，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设,ABaACb==，则AE可用,ab表示为_________；若13BFBC=，则AEAF

的最大值为_________．【答案】①.1142ab+②.1324【解析】【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用,ab表示出AF，结合上一空答案，于是AEAF可由,ab表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】空1：因为E为CD的中点，则0EDEC

+=，可得AEEDADAEECAC+=+=，两式相加，可得到2AEADAC=+，即122AEab=+，则1142AEab=+；空2：因为13BFBC=，则20FBFC+=，可得AFFCACAFFBAB+=+=，得到()22AFFCAFFBACAB+++=+，即3

2AFab=+，即2133AFab=+.于是()2211211252423312abaFbaAEAabb++=++=.记,ABxACy==，则()()222222111525225cos602221212122Axxya

abbxyyxyEAF++=++=++=，在ABC中，根据余弦定理：222222cos601BCxyxyxyxy=+−=+−=，于是1519222122122AExyxxyAFy++=+=，由221+−=xyxy和基本不等式，2

212xyxyxyxyxy+−=−=，故1xy，当且仅当1xy==取得等号，则1xy==时，AEAF有最大值1324.故答案为：1142ab+；1324.15.若函数()2221fxaxxxax=−−−+有且仅有两个零点，

则a的取值范围为_________．【答案】()()(),00,11,−+【解析】【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a的取值范围．【详解】（1）当210xax−+时，()0fx=

()()21210axax−+−−=，即()()1110axx−−+=，若1a=时，=1x−，此时210xax−+成立；若1a时，11xa=−或=1x−，若方程有一根为=1x−，则110a++，即2a−且1a；若方程有一根为11xa=−，则2111011aaa

−+−−，解得：2a且1a；若111xa==−−时，0a=，此时110a++成立．（2）当210xax−+时，()0fx=()()21210axax+−++=，即()()1110axx+−−=，若1a=−时，1x=，显然2

10xax−+不成立；若1a−时，1x=或11xa=+，若方程有一根为1x=，则110a−+，即2a；若方程有一根为11xa=+，则2111011aaa−+++，解得：2a−；若111xa==+时，0a=，显然210xax−+

不成立；综上，当2a−时，零点为11a+，11a−；当20a−时，零点为11a−，1−；当0a=时，只有一个零点1−；当01a时，零点为11a−，1−；当1a=时，只有一个零点1−；当12a时，零点为11a−，1−

；当2a时，零点为1,1−．所以，当函数有两个零点时，0a且1a．故答案为：()()(),00,11,−+．【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围

，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC中，角,,ABC所对的边分別是,,abc．已知39,2,120abA===．（1）求sinB的值；（2）求c的值；（3）求()sinBC−．【

答案】（1）1313（2）5（3）7326−【解析】【分析】（1）根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出sinC，再由平方关系求出cos,cosBC，即可由两角差的正弦公式求出．【小问1详解】由正弦定理可得，sinsinabAB=，即392sin120sin

B=，解得：13sin13B=；【小问2详解】由余弦定理可得，2222sinabcbcA=+−，即21394222cc=+−−，解得：5c=或7c=−（舍去）．【小问3详解】由正弦定理可得，s

insinacAC=，即395sin120sinC=，解得：513sin26C=，而120A=o，所以,BC都为锐角，因此25339cos15226C=−=，1239cos11313B=−=，故()1333923951373sinsi

ncoscossin1326132626BCBCBC−=−=−=−．17.三棱台111ABCABC-中，若1AA⊥面111,,2,1ABCABACABACAAAC⊥====，,MN分别是,BCBA中点.（1）求证：1A

N//平面1CMA；（2）求平面1CMA与平面11ACCA所成夹角的余弦值；（3）求点C到平面1CMA的距离．【答案】（1）证明见解析（2）23（3）43【解析】【分析】（1）先证明四边形11MNAC是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；（

3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解【小问1详解】连接1,MNCA.由,MN分别是,BCBA的中点，根据中位线性质，MN//AC，且12ACMN==，由棱台性质，11AC//AC，于是MN

//11AC，由111MNAC==可知，四边形11MNAC是平行四边形，则1AN//1MC，又1AN平面1CMA，1MC平面1CMA，于是1AN//平面1CMA.【小问2详解】过M作MEAC⊥，垂足为E，过E作1E

FAC⊥，垂足为F,连接1,MFCE.由ME面ABC，1AA⊥面ABC，故1AAME⊥，又MEAC⊥，1ACAAA=∩，1,ACAA平面11ACCA，则ME⊥平面11ACCA.由1AC平面11A

CCA，故1MEAC⊥，又1EFAC⊥，MEEFE=，,MEEF平面MEF，于是1AC⊥平面MEF，由MF平面MEF，故1ACMF⊥.于是平面1CMA与平面11ACCA所成角即MFE.又12ABME==，11cos5CAC=，则12

sin5CAC=，故121sin5EFCAC==，在RtMEF中，90MEF=，则43155MF=+=，于是2cos3EFMFEMF==【小问3详解】[方法一：几何法]过1C作1CPAC⊥，

垂足为P，作1CQAM⊥，垂足为Q，连接,PQPM，过P作1PRCQ⊥，垂足为R.由题干数据可得，115CACC==，22115CMCPPM=+=，根据勾股定理，21232522CQ=−=，由1CP⊥平面AMC，AM

平面AMC，则1CPAM⊥，又1CQAM⊥，111CQCPC=，11,CQCP平面1CPQ，于是AM⊥平面1CPQ.又PR平面1CPQ，则PRAM⊥，又1PRCQ⊥，1CQAMQ=，1,CQAM平面1CMA，故PR⊥平面1CMA.在1RtC

PQ中，1122223322PCPQPRQC===，又2CAPA=，故点C到平面1CMA的距离是P到平面1CMA的距离的两倍，即点C到平面1CMA的距离是43.[方法二：等体积法]辅助线同方法一.设点C到平面1CMA的距离为h.()121111222

3323CAMCAMCVCPS−===，1111132233222CCMAAMChVhSh−===.由11223CAMCCCMAhVV−−==，即43h=.18.设椭圆22221(0)x

yabab+=的左右顶点分别为12,AA，右焦点为F，已知123,1AFAF==．（1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线2AP交y轴于点Q，若三角形1APQ的面积是三角形2AFP面积的二倍，求直线2AP的方程．【

答案】（1）椭圆的方程为22143xy+=，离心率为12e=.（2）()622yx=−.【解析】【分析】（1）由31acac+=−=解得2,1ac==，从而求出3b=，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.（2）先设直线2AP的

方程，与椭圆方程联立，消去y，再由韦达定理可得2APxx，从而得到P点和Q点坐标.由211122122AQAAPQAAPAPFAAPSSSSS=+=+得23QPyy=，即可得到关于k的方程，解出k，代入直线2AP的方

程即可得到答案.【小问1详解】如图，由题意得31acac+=−=，解得2,1ac==，所以22213b=−=，所以椭圆的方程为22143xy+=，离心率为12cea==.【小问2详解】由题意得，直线2AP斜率存在，由椭圆的方程为22143xy+=可得()22,0A，设直线

2AP的方程为()2ykx=−，联立方程组()221432xyykx+==−，消去y整理得：()2222341616120kxkxk+−+−=，由韦达定理得222161234APkxxk−=+，所以228

634Pkxk−=+，所以2228612,3434kkPkk−−−++，()0,2Qk−.所以21142AQAQSy=,2112APFPSy=,12142AAPPSy=，所以211122122AQAAPQAAPAPFAAPSSSSS=+=+，所以23QPyy=，即

21222334kkk−=−+，解得62k=，所以直线2AP的方程为()622yx=−.19.已知na是等差数列，255316,4aaaa+=−=．（1）求na的通项公式和1212nniia−−=．（2）已知nb为等比数列，对于任

意*Nk，若1221kkn−−，则1knkbab+，（Ⅰ）当2k时，求证：2121kkkb−+；（Ⅱ）求nb的通项公式及其前n项和．【答案】（1）21nan=+，12121232nnniia−−−==；（2）(Ⅰ)证明

见解析；(Ⅱ)2nnb=，前n项和为122n+−.【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得13,2ad==，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前n项和公式计算可得1212

1232nnniia−−−==.(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当1221kkn−−时，knba，取12kn−=，当21221kkn−−−时，nkab，取121kn−=−，即可证得题中的不等式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结

论猜想2nnb=，然后分别排除2q和2q两种情况即可确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前n项和公式即可计算其前n项和.【小问1详解】由题意可得2515325624aaadaad+=+=−==，解得132ad==，则数列

na的通项公式为()1121naandn=+−=+，注意到11222121nnna−−=+=+，从12na−到21na−共有1121212nnn−−−−+=项，故()()11121121122121222122122222322nnnnnnnnnnniia−−−−−−−−−−=−=++=++

−=.【小问2详解】(Ⅰ)由题意可知，当1221kkn−−时，knba，取12kn−=，则11222121kkkkba−−=+=+，即21kkb+，当21221kkn−−−时，nkab，取121kn−=−，此时()1121221121kkknaa−−−==−

+=−，据此可得21kkb−，综上可得：2121kkkb−+.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：123413,35,79,1517bbbb，据此猜测2nnb=，否则，若数列的公比2q，则1111122nnnnbbqb−−−=，注意到(

)1122112nnn−−−−=−，则()12210nn−−−不恒成立，即1221nn−−不恒成立，此时无法保证21nnb−，若数列的公比2q，则11111232nnnnbbqb−−−=，注意到()113221

21nnn−−−+=−，则1210n−−不恒成立，即13221nn−+不恒成立，此时无法保证21nnb+，综上，数列的公比为2，则数列的通项公式为2nnb=，其前n项和为：()12122212nnnS+−==−−.【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，

求解数列通项公式和前n项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.20.已知函数()()11ln12fxxx=++

．（1）求曲线()yfx=在2x=处切线的斜率；（2）当0x时，证明：()1fx；（3）证明：()()51ln!ln162nnnn−++．【答案】（1）1ln334−（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几

何意义求斜率；（2）问题化为0x时()2ln12xxx++，构造()2()ln12xgxxx=+−+，利用导数研究单调性，即可证结论；（3）构造()()1()ln!ln2hnnnnn=−++，*Nn

，作差法研究函数单调性可得()(1)1hnh=，再构造(5)(1)()ln42xxxxx+−=−+且0x，应用导数研究其单调性得到(5)(1)ln42xxxx+−+恒成立，对()(1)hnhn−+

作放缩处理，结合累加得到311(1)()ln212126hhn−−+，即可证结论.【小问1详解】ln(1)ln(1)()2xxfxx++=+，则211ln(1)()(1)2(1)xfxxxxx+=+−++，所以1ln3(2

)34f=−，故2x=处的切线斜率为1ln334−；【小问2详解】要证0x时()()11ln112fxxx=++，即证()2ln12xxx++，令()2()ln12xgxxx=+−+且0x，则22

214()01(2)(1)(2)xgxxxxx=−=++++，所以()gx在(0,)+上递增，则()(0)0gxg=，即()2ln12xxx++.所以0x时()1fx.【小问3详解】设()()1()ln!ln2hnnnnn=−++，*Nn，则()()

1111(1)()1()ln()ln11()ln(1)222hnhnnnnnnn+−=++−++=−++，由（2）知：1xn=(0,1]，则111()()ln(1)12fnnn=++，所以(1)()0hnhn+−，故()hn在*Nn上递减，故()(1)1hnh=；下证15ln

(!)()ln()26nnnn−++，令(5)(1)()ln42xxxxx+−=−+且0x，则22(1)(1)()(21)xxxxx−−=+，当01x时()0x，()x递增，当1x时()0x，()x递减，所以()(

1)0x=，故在()0,x+上(5)(1)ln42xxxx+−+恒成立，则11(6)()1111111()(1)()ln(1)1()1()2224(32)1212(3)nnhnhnnnnnnnnn+−+=+

+−+−=−+−+，所以11(2)(3)(1)122hh−−，111(3)(4)()1223hh−−，…，111(1)()()121hnhnnn−−−−，累加得：11(2)()(1)12hhnn−−，而3(2)2ln22h

=−，则113()(1)2ln2122hnn−−−+，所以311311(1)()ln21(1)ln212122126hhnn−−+−−+，故5()6hn；综上，5()16hn，即()()51ln!ln162

nnnn−++.【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究()()1()ln!ln2hnnnnn=−++单调性证右侧不等关系，再构造(5)(1)()ln42xxxxx+−=−+且0x，导数研究其函数符号得(5)(1)ln42xxxx+−

+恒成立，结合放缩、累加得到311(1)()ln21(1)212hhnn−−+−为关键.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com