【文档说明】2023年高考真题——数学（天津卷） 含解析.pdf，共(23)页，1.619 MB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-a05858f4cb55ebbaa64394c028a38eb0.html

以下为本文档部分文字说明：

2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合1,2,3,4,5,1,3,1,2,4UAB，则UBAð（）A.1,3,5B.1,3C.1,2,4

D.1,2,4,5【答案】A【解析】【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；【详解】由{3,5}UBð，而{1,3}A，所以{1,3,5}UBAð.故选：A2.“22ab”是“222abab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分

又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由22ab，则ab，当0ab时222abab不成立，充分性不成立；由222abab，则2()0ab，即ab，显然22ab成立，必要性成立；所以22ab是222aba

b的必要不充分条件.故选：B3.若0.50.60.51.01,1.01,0.6abc，则,,abc的大小关系为（）A.cabB.cbaC.abcD.bac【答案】D【解析】【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由1.01xy在R上递增，则0

.50.61.011.01ab，由0.5yx在[0,)上递增，则0.50.51.010.6ac.所以bac.故选：D4.函数fx的图象如下图所示，则fx的解析式可能为（）A.25ee2xxxB.25sin1xxC.25ee2xxxD.25

cos1xx【答案】D【解析】【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在(0,)上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且(2)(2)0f

f，由225sin()5sin()11xxxx且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当0x时25(ee)02xxx、25(ee)02xxx，即A、C中(0,)上函数值为正，排除；故选：D5.已知函数fx的一条对称轴为直线2x

，一个周期为4，则fx的解析式可能为（）A.sin2xB.cos2xC.sin4xD.cos4x【答案】B【解析】【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在2x处的函数值，

排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中242T，B选项中242T，C选项中284T，D选项中284T，排除选项CD，对于A选项，当2x时，函数值sin202

，故2,0是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当2x时，函数值cos212，故2x是函数的一条对称轴，故选：B.6.已知na为等比数列，nS为数列na的前n项和，122nnaS，

则4a的值为（）A.3B.18C.54D.152【答案】C【解析】【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得4a的值.【详解】由题意可得：

当1n时，2122aa，即1122aqa，①当2n时，31222aaa，即211122aqaaq，②联立①②可得12,3aq，则34154aaq.故选：C.7.调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数0

.8245r，下列说法正确的是（）A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245【答案】C【

解析】【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项.【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；由于0.824

5r是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.8245，D选项错误故选：C8.在三棱锥PABC中，线段PC上的点M满足13PMPC，线段PB上的点N满足23PNPB，

则三棱锥PAMN和三棱锥PABC的体积之比为（）A.19B.29C.13D.49【答案】B【解析】【分析】分别过,MC作,MMPACCPA,垂足分别为,MC.过B作BB平面PAC，垂足为B，连接PB,过

N作NNPB,垂足为N.先证NN平面PAC，则可得到//BBNN，再证//MMCC.由三角形相似得到13MMCC，'2'3NNBB，再由PAMNNPAMPABCBPACVVVV即可求出体积比.【详解】

如图，分别过,MC作,MMPACCPA,垂足分别为,MC.过B作BB平面PAC，垂足为B，连接PB,过N作NNPB,垂足为N.因为BB平面PAC，BB平面PBB，所

以平面PBB平面PAC.又因为平面PBB平面PACPB，NNPB，NN平面PBB，所以NN平面PAC，且//BBNN.在PCC△中，因为,MMPACCPA，所以//MMCC，所以13PMMMPCCC，在PBB△中，因为//BBNN，所

以23PNNNPBBB，所以11123231119332PAMPAMNNPAMPABCBPACPACPAMMNNSNNVVVVSBBPACCBB

.故选：B9.双曲线2222(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12FF、．过2F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知22PF，直线1PF的斜率为24，则双曲线的方程为（）A.2218

4xyB.22148xyC.22142xyD.22124xy【答案】D【解析】【分析】先由点到直线的距离公式求出b，设2POF，由tanbbOPa得到OPa，2OFc.再由三角形的面积公式得到Py，从而得到Px，则可得到2224aa，解

出a，代入双曲线的方程即可得到答案.【详解】如图，因为2,0Fc，不妨设渐近线方程为byxa，即0bxay，所以222bcbcPFbcab，所以2b.设2POF,则2tanPFbbOPOPa，所以OP

a，所以2OFc.因为1122Pabcy,所以Pabyc，所以tanPPPabybcxxa，所以2Paxc，所以2,aabPcc，因为1,0Fc，所以122222222424PFababaackaacaaacc

，所以2224aa，解得2a，所以双曲线的方程为22124xy故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.已知i是虚数单位，化简514i23i的结

果为_________．【答案】4i##i4【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以23i，然后计算其运算结果即可.【详解】由题意可得514i23i514i5213i4

i23i23i23i13.故答案为：4i.11.在6312xx的展开式中，2x项的系数为_________．【答案】60【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式写

出其通项公式61841612kkkkkTCx，令1842k确定k的值，然后计算2x项的系数即可.【详解】展开式的通项公式6361841661C212CkkkkkkkkTxxx，令

1842k可得，4k，则2x项的系数为4644612C41560.故答案为：60.12.过原点的一条直线与圆22:(2)3Cxy相切，交曲线22(0)ypxp于点P，若8OP，则p的值为_______

__．【答案】6【解析】【分析】根据圆2223xy和曲线22ypx关于x轴对称，不妨设切线方程为ykx，0k，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．【详解】易知圆2223xy和曲线22y

px关于x轴对称，不妨设切线方程为ykx，0k，所以2231kk，解得：3k，由232yxypx解得：00xy或23233pxpy，所以2222348333pppOP

，解得：6p=．当3k时，同理可得．故答案为：6．13.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的

概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．【答案】①.0.05②.35##0.6【解析】【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；根据

古典概型的概率公式可求出第二个空．【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6nnn，所以总数为15n，所以甲盒中黑球个数为40%52nn，白球个数为3n；甲盒中黑球个数为25%4nn，白球个数为3n；甲盒中黑球个数为50%63nn，白球个数为3n；记“从三个盒子中

各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以，0.40.250.50.05PA；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B，黑球总共有236nnnn个，白球共有9n个，所以，93155nPBn．故答案为：0.05；35．14.在ABC中，60A，1

BC，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设,ABaACb，则AE可用,ab表示为_________；若13BFBC，则AEAF的最大值为_____

____．【答案】①.1142ab②.1324【解析】【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用,ab表示出AF，结合上一空答案，于是AEAF

可由,ab表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】空1：因为E为CD的中点，则0EDEC，可得AEEDADAEECAC，两式相加，可得到2AEADAC，

即122AEab，则1142AEab；空2：因为13BFBC，则20FBFC，可得AFFCACAFFBAB，得到22AFFCAFFBA

CAB，即32AFab，即2133AFab.于是2211211252423312abaFbaAEAabb

.记,ABxACy，则222222111525225cos602221212122AxxyaabbxyyxyEAF，在

ABC中，根据余弦定理：222222cos601BCxyxyxyxy，于是1519222122122AExyxxyAFy，由221xyxy和基本不等式，

2212xyxyxyxyxy，故1xy，当且仅当1xy取得等号，则1xy时，AEAF有最大值1324.故答案为：1142ab；1324.15.若函数2221fxaxxxax有且仅有两个零点，

则a的取值范围为_________．【答案】,00,11,【解析】【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a的取值范围．【详解】（1）当210xax时，0fx

21210axax，即1110axx，若1a时，=1x，此时210xax成立；若1a时，11xa或=1x，若方程有一根为=1x，则110a，即2a且1a；若方程有一根为11xa，则2111011aaa

，解得：2a且1a；若111xa时，0a，此时110a成立．（2）当210xax时，0fx21210axax，即1110axx，若1a时，1x，显然

210xax不成立；若1a时，1x或11xa，若方程有一根为1x，则110a，即2a；若方程有一根为11xa，则2111011aaa，解得：2a；若111xa时，0a，显然210xax不成立；综上，当2a时，零点为1

1a，11a；当20a时，零点为11a，1；当0a时，只有一个零点1；当01a时，零点为11a，1；当1a时，只有一个零点1；当12a时，零点为11a，1；当2a时，零点为1,1．所以，当函数有两个零点时，0a且1a．故

答案为：,00,11,．【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤．16.在ABC中，角,,ABC所对的边分別是,,abc．已知39,2,120abA．（1）求sinB的值；（2）求c的值；（3）求sinBC．【答案】（1）1313（2）5（3）7326【解析】【分析】（1）根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理即可解出；（3）由正弦

定理求出sinC，再由平方关系求出cos,cosBC，即可由两角差的正弦公式求出．【小问1详解】由正弦定理可得，sinsinabAB，即392sin120sinB，解得：13sin13B；【小问2详解】由余弦定理可得，2222sinabcbcA，即21394

222cc，解得：5c或7c（舍去）．【小问3详解】由正弦定理可得，sinsinacAC，即395sin120sinC，解得：513sin26C，而120Ao，

所以,BC都为锐角，因此25339cos15226C，1239cos11313B，故1333923951373sinsincoscossin1326132626BCBCBC．17.三棱台111ABCABC-中，若1AA面111,,2,1ABCABACAB

ACAAAC，,MN分别是,BCBA中点.（1）求证：1AN//平面1CMA；（2）求平面1CMA与平面11ACCA所成夹角的余弦值；（3）求点C到平面1CMA的距离．【答案】（1）证明见解析（2）23（3）43【解析】【分析】（1）先

证明四边形11MNAC是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解【小问1详解】连接1,MNCA.由,MN分别是

,BCBA的中点，根据中位线性质，MN//AC，且12ACMN，由棱台性质，11AC//AC，于是MN//11AC，由111MNAC可知，四边形11MNAC是平行四边形，则1AN//1MC，又1AN平面1CMA，1

MC平面1CMA，于是1AN//平面1CMA.【小问2详解】过M作MEAC，垂足为E，过E作1EFAC，垂足为F,连接1,MFCE.由ME面ABC，1AA面ABC，故1AAME，又MEAC，1ACAAA∩，1,AC

AA平面11ACCA，则ME平面11ACCA.由1AC平面11ACCA，故1MEAC，又1EFAC，MEEFE，,MEEF平面MEF，于是1AC平面MEF，由MF平面MEF，故1ACMF.于是平面1CMA与平面11ACCA所成角即M

FE.又12ABME，11cos5CAC，则12sin5CAC，故121sin5EFCAC，在RtMEF中，90MEF，则43155MF，于是2cos3EFMFEMF【小问3详解】[方法一：

几何法]过1C作1CPAC，垂足为P，作1CQAM，垂足为Q，连接,PQPM，过P作1PRCQ，垂足为R.由题干数据可得，115CACC，22115CMCPPM，根据勾股定理，21232522CQ，由1CP平面AMC，AM平

面AMC，则1CPAM，又1CQAM，111CQCPC，11,CQCP平面1CPQ，于是AM平面1CPQ.又PR平面1CPQ，则PRAM，又1PRCQ，1CQAMQ，1,CQAM平面1CMA

，故PR平面1CMA.在1RtCPQ中，1122223322PCPQPRQC，又2CAPA，故点C到平面1CMA的距离是P到平面1CMA的距离的两倍，即点C到平面1CMA的距离是43.[方法二：等体积法]辅助线同方法一.设点C到平面1CMA的距离为h.1211112223

323CAMCAMCVCPS，1111132233222CCMAAMChVhSh.由11223CAMCCCMAhVV，即43h.18.设椭圆22221(0)xyabab的左右顶点分别为12,AA，右焦点为F，已知123,1AF

AF．（1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线2AP交y轴于点Q，若三角形1APQ的面积是三角形2AFP面积的二倍，求直线2AP的方程．【答案】（1）椭圆的方程为22143xy，离心率为12e.（2）622yx.【解析】【分析】（1

）由31acac解得2,1ac，从而求出3b，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.（2）先设直线2AP的方程，与椭圆方程联立，消去y，再由韦达定理可得2APxx，从而得到P点和Q点坐标.由211122122AQAAPQAAPAPFAAPSSSSS

得23QPyy，即可得到关于k的方程，解出k，代入直线2AP的方程即可得到答案.【小问1详解】如图，由题意得31acac，解得2,1ac，所以22213b，所以椭圆的方程为22143xy，离心

率为12cea.【小问2详解】由题意得，直线2AP斜率存在，由椭圆的方程为22143xy可得22,0A，设直线2AP的方程为2ykx，联立方程组221432xyykx，消去y整理得：222234

1616120kxkxk，由韦达定理得222161234APkxxk，所以228634Pkxk，所以2228612,3434kkPkk，0,2Qk.所以21142AQAQSy,2112APFPSy

,12142AAPPSy，所以211122122AQAAPQAAPAPFAAPSSSSS，所以23QPyy，即21222334kkk，解得62k，所以直线2AP的方程为622yx.19.已知na

是等差数列，255316,4aaaa．（1）求na的通项公式和1212nniia．（2）已知nb为等比数列，对于任意*Nk，若1221kkn，则1knkbab，（Ⅰ）当2k时，求证：2121kkkb；（

Ⅱ）求nb的通项公式及其前n项和．【答案】（1）21nan，12121232nnniia；（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)2nnb，前n项和为122n.【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得13,2ad，据此可

求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前n项和公式计算可得12121232nnniia.(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当1221kkn时，knba，取12kn，当21221kkn时，n

kab，取121kn，即可证得题中的不等式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论猜想2nnb，然后分别排除2q和2q两种情况即可确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前n项和公式即可计算其前n项和.【小问1详解】由题意可得251532

5624aaadaad，解得132ad，则数列na的通项公式为1121naandn，注意到11222121nnna，从12na到21na共有1121212nnn项，故111211211221212221221

22222322nnnnnnnnnnniia.【小问2详解】(Ⅰ)由题意可知，当1221kkn时，knba，取12kn，则11222121kkkkba，即21kkb，当2122

1kkn时，nkab，取121kn，此时1121221121kkknaa，据此可得21kkb，综上可得：2121kkkb.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：123413,35,79

,1517bbbb，据此猜测2nnb，否则，若数列的公比2q，则1111122nnnnbbqb，注意到1122112nnn，则12210nn不恒成立，即1221nn不恒成立

，此时无法保证21nnb，若数列的公比2q，则11111232nnnnbbqb，注意到11322121nnn，则1210n不恒成立，即13221nn不恒成立，此时无

法保证21nnb，综上，数列的公比为2，则数列的通项公式为2nnb，其前n项和为：12122212nnnS.【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前n项和的核心是确定

数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.20.已知函数11ln12fxxx．（1）求曲线yfx在2x处切线的斜率；（2）当0x时，证明：1

fx；（3）证明：51ln!ln162nnnn．【答案】（1）1ln334（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率；（2）问题化为0x时2ln12xxx，构造2()ln12xgxxx，利用导数研究

单调性，即可证结论；（3）构造1()ln!ln2hnnnnn，*Nn，作差法研究函数单调性可得()(1)1hnh，再构造(5)(1)()ln42xxxxx且0x，应用导数研

究其单调性得到(5)(1)ln42xxxx恒成立，对()(1)hnhn作放缩处理，结合累加得到311(1)()ln212126hhn，即可证结论.【小问1详解】ln(1)ln(1)()2xxfxx，则211ln(1)()(1)2(1)xfxxxxx

，所以1ln3(2)34f，故2x处的切线斜率为1ln334；【小问2详解】要证0x时11ln112fxxx，即证2ln12xxx，令2()ln12xgxxx且0x，则22214()01(2)(1)(2)xg

xxxxx，所以()gx在(0,)上递增，则()(0)0gxg，即2ln12xxx.所以0x时1fx.【小问3详解】设1()ln!ln2hnnnnn，*Nn

，则1111(1)()1()ln()ln11()ln(1)222hnhnnnnnnn，由（2）知：1xn(0,1]，则111()()ln(1)12fnnn，所以(1)()0hnhn，故()hn在*

Nn上递减，故()(1)1hnh；下证15ln(!)()ln()26nnnn，令(5)(1)()ln42xxxxx且0x，则22(1)(1)()(21)xxxxx，当01x时()0x，

()x递增，当1x时()0x，()x递减，所以()(1)0x，故在0,x上(5)(1)ln42xxxx恒成立，则11(6)()1111111()(1)()ln(1)1(

)1()2224(32)1212(3)nnhnhnnnnnnnnn，所以11(2)(3)(1)122hh，111(3)(4)()1223hh，…，111(1)()()121hnhnnn，累加得：

11(2)()(1)12hhnn，而3(2)2ln22h，则113()(1)2ln2122hnn，所以311311(1)()ln21(1)ln212122126hhnn，故5()6hn；综上，5()16hn，即51ln!ln162nnnn

.【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究1()ln!ln2hnnnnn单调性证右侧不等关系，再构造(5)(1)()ln42xxxxx且0x，导数研究其函数符号得(5)(1)ln42xxxx恒成立，结合放缩、累加得到311(1

)()ln21(1)212hhnn为关键.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com