【文档说明】辽宁省葫芦岛市普通高中2020届高三上学期学业质量监测（期末考试）数学（理）试题【精准解析】.doc，共(24)页，2.214 MB，由小赞的店铺上传

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葫芦岛市普通高中2019～2020学年第一学期学业质量监测考试高三数学（供理科考生使用）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页.满分150分；考试时间：120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类

型用2B铅笔涂在答题卡上.3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上.4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60

分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.{|10}Axx=−，2|60Bxxx=−−，则AB=（）A.[2,1)−B.[2,3]−C.(1,3]D.[1,3)【答案】C【解析】【分析】

分别求出关于A、B的不等式，写出A、B的交集即可.【详解】由|10|1Axxxx=−=，2|60|23Bxxxxx=−−=−，所以|13ABxx=.故选：C.【点睛】本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，属

于基础题.2.已知i是虚数单位，复数52i=−（）A.i﹣2B.i+2C.﹣2D.2【答案】B【解析】【分析】直接利用复数代数形式的运算法则化简求值．【详解】解：()()()525222iiii+=−−+10524(1)ii+==+−−，故选：B．【

点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，属于基础题．3.在等比数列na中，4a，6a是方程2510xx++=的两根，则5a=（）A.1B.C.52D.52【答案】B【解析】【分析】根据等比数列中项的性质，利用根与系数的关

系，即可得出正确的结论.【详解】在等比数列na中，由题意知：465aa+=−，461aa=，所以40a，60a，所以25461aaa==，即51a=.故选：B.【点睛】本题考查了等比中项的性质的应用问题，也考查了根与系数关系的应用问题，属于基础题.4.设、ab均为单位向

量，则“22−=+abab”是“⊥ab”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据22||=aa，可化简22−=+abab为22224444+−=++abababab，又、ab均为单位向量，可得0=ab，即可分析

出结果.【详解】因为、ab均为单位向量，所以221,1==ab，由22−=+abab可得：()()2222−=+abab，即22224444+−=++abababab，所以5454−=+abab，即0=ab，所以⊥ab，因此“22−=+abab”是“⊥ab

”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的性质，以及单位向量的概念，属于中档题.5.2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要

求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后，学生将在高二年级将面临着312++的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学

内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结

论是不正确的（）A.样本中的女生数量多于男生数量B.样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C.样本中的男生偏爱物理D.样本中的女生偏爱历史【答案】D【解析】【分析】根据这两幅图中的信息，即可得出结论.【详解】由图1知，样本中的女生数量对于男生数量，样本中有学物理意愿的学

生数量多于有学历史意愿的学生数量，样本中的男生偏爱物理，女生也偏爱物理.故选：D.【点睛】本题考查等高堆积条形图，考查学生对图形的认识，属于基础题.6.函数()2eexxfxx−−=的图像大致为()A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：

20,()()()xxeexfxfxfxx−−−==−为奇函数，舍去A,1(1)0fee−=−舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0xxxxxxeexeexxexefxxfxxx−−−+−−−++==，所以舍去C；因此选B.

点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．7.在AB

C中，,,abc分别为,,ABC的对边，如果,,abc成等差数列，30B=，ABC的面积为32，那么b=（）A.132+B.13+C.223+D.23+【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得22222cos()22cosbaccBacacacB=+−=+−−，又面积1sin2ABCSac

B=13642acac===，因为abc，，成等差数列，所以2acb+=，代入上式可得2241263bb=−−，整理得2423b=+，解得13b=+，故选B．考点：余弦定理；三角形的面积公式．8.函数()2()ln3fxxax=

−−在(1,)+单调递增，求a的取值范围（）A.2aB.2aC.2a−D.2a−【答案】C【解析】【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.【详解】由题意，设()23gxxax=−−，则要使()

2()ln3fxxax=−−在区间()1,+上单调递增，则满足()1210ag，即220aa−−，解得2a−.故实数a的取值范围是2a−.故选：C.【点睛】本题主要考查复合函数单调性的应用，结合二次函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题.9

.若112ab，01c，则下列不等式不成立．．．的是（）A.loglogabccB.loglogbaacbcC.ccabbaD.ccab【答案】B【解析】【分析】根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可.

【详解】对于A：当112ab，01c，由对数函数的单调性知，0loglogabcc，故A正确；对于B：当112ab，01c，设函数logcyx=为减函数，则loglog0ccab，所以loglog0bacc

，因112ab，则logbac与logabc无法比较大小，故B不正确；对于C：当112ab，01c，则10c−，由指数函数的单调性知，11ccba−−，将不等式11ccba−−两边同乘ab，得ccabba，故C正确；对于

D：当112ab，01c，由不等式的基本性质知，ccab，故D正确.故选:B【点睛】本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题.10.已知角，(0,)，1tan()2+=，72c

os10=，则角2+=（）A.94B.34C.54D.4【答案】D【解析】【分析】通过，的范围求出tan，进一步求出tan，再求出()tan2+，结合角的范围求出角的大小即可.【详解】∵()0,，由72cos10=，则0,2

，∴2sin10=，1tan7=，又tantan1tan()1tantan2++==−，即1tan17121tan7+=−，解得1tan3=，∴0,4，∴()

()()11tantan23tan21111tantan123++++===−+−，又()()20,+，∴24+=.故选：D.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的正切函数的应用，

考查计算能力，注意角的范围是解题的关键，属于基础题.11.如图所示，已知球O为棱长为3的正方体1111ABCDABCD−的内切球，则平面1ACD截球O的截面面积为（）A.32B.3C.362D.33【答案】A【解析】【分析】根据正方体和球的结构特征，判断出平面1ACD是正三角形

，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积.【详解】根据题意知，平面1ACD是边长为32的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形1ACD三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，1ACD内切圆的半径是326tan

262r==，所以截面圆的面积是26322=.故选：A.【点睛】本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想，属于基础题.12.设函数2()()()

fxxxaxR=−−，当3a时，不等式()22(sin1)sinfkfk−−−−对任意的[1,0]k−恒成立，则的可能取值是（）A.3−B.43C.2−D.56【答案】D【解析】【分析】当3a

时，先利用导数求得函数()fx在(,1−上为减函数，再将不等式恒成立转化为22sinsin1kk−−+对任意的1,0k−恒成立，进而解得sin的范围.【详解】由()()2fxxxa=−−，得()()()3fx

xaxa=−−−，令()0fx=，得13ax=，2xa=，当3a时，3aa，所以()fx在区间,3a−，),a+上单调递减，在区间,3aa上单调递增，而当3a时，13a，则()fx在区间(

,1−上为减函数，又1,0k−，sin1,1−，则2sin11k−−−−，221sin1k−−，由题意，不等式()()22sin1sinfkfk−−−−对任意的1,0k−恒成立，即转化为22211sinsin124kk

k−−+=+−对任意的1,0k−恒成立，所以21sinsin14−−−恒成立，解得13sin22−，即1sin12−，结合选项知，的可能取值是56.故选：D.【点睛】本题考

查了利用导数研究函数的单调性、三角函数与二次函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.第Ⅱ卷（选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，第15题为两空题，第一空2分，第二空3分.）13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥

的体积为_______.【答案】16【解析】【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可.【详解】由题意可知该几何体是将边长为1的正方体截一只角的三棱锥图形，所以，该三棱锥的体积为111111326V=

=.故答案为：16.【点睛】本题考查三视图求解几何体的面积与体积，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题.14.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一，书中不仅记载了“天圆如张盖，地方如棋局”一说，更是记载了借助“外圆内方“的钱币及用统计概率得到圆周率的近似值

的方法，具体做法如下，现有“外圆内方”的钱币（如图），测得钱币“外圆”半径（即圆的半径）为2cm，“内方”（即钱币中间的正方形孔）的边长为1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取“内方”之外部分的概率是p,则圆周率的近似值为________.【答案】14(1)p−【解析】【分析】计

算圆形钱币的面积和正方形的面积，求出对应面积比得p，进而得的值.【详解】圆形钱币的半径为2cm，面积为224S==圆，正方形边长为1cm，面积为1S=正，由题意，在圆内随机取点，点取“内方”之外部分的概率114SSpS−==−正圆圆，即()141p=−.故答案为：()141p−.【

点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，属于基础题.15.()251(3)axx+−的展开式中7x系数为2，则a的值为_______，5x的系数为________.【答案】(1).2(2).181【解析】【分析】把()()2513axx+−按照二项式定理展开，再根据7x系数为2，即可

得到a的值，进而可得5x的系数.【详解】()()()()22545321311590270405243axxaxxxxxx+−+−+−+−=，所以展开式中含7x项的系数为a，则2a=，所以5x的系数为1180181+=.故答案为：2，181.【点睛】本题主要考查二项式定理的

应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.16.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左，右焦点分别为1F，2F，点P为双曲线C右支上异于顶点的一点，12PFF的内切圆与x轴切于点(2,0)，且直线2yx=−经过线段1PF的中点且垂

直于线段1PF，则双曲线C的方程为________________.【答案】221416xy−=【解析】【分析】设点P是双曲线右支上一点，由双曲线的定义，知122PFPFa−=，设三角形12PFF的内切圆与x轴的切点为()2,0

A，B、C分别为内切圆与1PF、2PF的切点，由同一点向圆引得两条切线相等知()()1212PFPFPBBFPCCF−=+−+，由此得到2a=，再利用直线2yx=−经过线段1PF的中点且垂直于线段1PF，设()Pmn,，运用直线的

斜率公式和中点在直线2yx=−上，化简整理得34,55Pcc，再利用双曲线的定义122PFPFa−=，得25c=，进而得到双曲线方程.【详解】点P是双曲线右支上一点，由双曲线的定义，知122PFPFa−=，若设三角

形12PFF的内切圆与x轴的切点为()2,0A，B、C分别为内切圆与1PF、2PF的切点，由同一点向圆引得两条切线相等知，且12AFc=+，22AFc=−则有()()121212122PFPFPBBFPCCFBFCFAFFAa−=+−+=−=−=，所以()()

222cca+−−=，即2a=，再设()Pmn,，()1,0Fc−，()2,0Fc，则1PF的中点坐标为,22mcn−，10PFnkmc−=+，由直线2yx=−经过线段1PF的中点且垂直于线段1PF，所以有222nmc−=−，()021nmc−−=−+，整理得

35mc=，45nc=，即34,55Pcc，所以1455PFc=，2255PFc=，又124PFPF−=，所以25c=，在双曲线中，22220416bca=−=−=，故双曲线方程为221416xy−=.故答案为：221416

xy−=.【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及直线的斜率公式的运用，切线的性质，考查运算能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）17.如

图，在四棱锥PABCD−中，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD、E为PD的中点，//ADBC，CDAD⊥，2BCCD==，4=AD.（1）求证：//CE平面PAB；（2）求二面角PACE−−的余弦值.【答案】（1）证

明见解析（2）368【解析】【分析】（1）取PA中点F，连结EF，BF，先证四边形EFBC为平行四边形，进而可得//CEBF，进而可得//CE平面PAB；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ACE和平面ACP的法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角PACE−−的余弦值.【详解】（1）如图，取P

A中点F，连结EF，BF.因为E为PD中点，4=AD，所以//EFAD，122EFAD==.又因为//BCAD，2BC=，所以//EFBC，EFBC=，所以四边形EFBC为平行四边形.所以//CEBF.又因为CE平面PAB，BF平面PAB，所以//CE平面PAB.（2）取AD中点O，

连结OP，OB.因为PAD为等边三角形，所以POOD⊥.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，所以PO⊥平面ABCD.因为//ODBC，2ODBC==，所以四边形BCDO为平行四边形.因为CDAD⊥，所以OB

OD⊥.如图建立空间直角坐标系Oxyz−，则0(0)2A−，，，()200B，，，()220C，，，()013E，，，00(23)P，，.所以(2,4,0)AC=，(0,3,3)AE=，(0,2,23)AP=设平面ACE的一个法向

量为()1111,,nxyz=，则1100nAEnAC==即1111240330xyyz+=+=令12x=−，则1(2,1,3)=−−n，显然，平面ACP的一个法向量为()2222,,nxyz=，则2200nAPnAC=

=即22222230240yzxy+=+=令21z=，则2(23,3,1)n=−，所以1212126336cos,8224nnnnnn−−===.由题知，二面角PACE−−为锐角，所以二面角PACE−−的余弦值为368.【点睛】本

题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，属于基础题.18.已知数列na其前n项和nS满足：()*112(1),0nnSnanNa+=−+=.（1）求数列na的通项公式；（2）当1n=时，11c=，当2n且*nN时，设12n

nncna+=，求nc的前n项和nT.【答案】（1）0,12,2(1)nnannn==−（2）15(2)2nnTn+=+−【解析】【分析】（1）当1n=时，得21a=，当2n时，由1nnnaSS−=−，得

111nnanan+−=+，进而利用累乘法即可得到结论；（2）由（1）得，当2n时，(1)2nncn=−，利用错位相减法即可.【详解】解：（1）当1n=时，112220aSa==−=，得21a=.当2n时

，11(1)nnnnnaSSnana−+=−=−+，即1(1)(1)nnnana++=−，因为20a，所以111nnanan+−=+，34223112222,34(1)(1)nnnnaaaanaaaaa

nnnnn−−====−−，综上所述，0,12,2(1)nnannn==−（2）当1n=时，11T=.当2n时，(1)2nncn=−,231222(1)2nnTn=++++−3

1222(2)2(1)2nnnTnn+=+++−+−31322(1)2nnnTn+−=++−−()32112123(1)25(2)212nnnnn−++−=+−−=−−−−15(2)2nnTn+=+−综上所述，15(2)2nnTn+=+−.【点睛】本题考查na与nS的

关系，考查利用累乘法求通项公式，考查利用错位相减法求前n项和，属于基础题.19.冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对

近期事故暴露出来的问题，强薄羽、补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定.据此，某网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在[15,65)的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%，现从参

与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方

图如图所示.（1）求这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较大的第4，5组中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行问卷调查，求第4组

恰好抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注交通道路安全的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.【答案】（1）平均数为41.5岁；中位数为42.1岁（2）1528（3）详见解析【解析】【分析】（1）由频率分布直

方图能求出a，由此能求出这100人年龄的样本平均数和中位数；（2）第4，5组抽取的人数分别为6人，2人，设第4组中恰好抽取2人的事件为A，利用排列组合能求出事件A的概率；（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注交通道路安全的概率为45P=，X的所有可能取值为0，1

，2，3，43,5XB，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.【详解】解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a++++=，得0.035a=，平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5++++=岁；设中位

数为x，则100.010100.015(35)0.0350.5++−=x，∴42.1x岁.（2）第4，5组抽取的人数分别为6人，2人.设第4组中恰好抽取2人的事件为A，则21623815()28CCPAC==.（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注交通道路安全的概率为45P=，X

的所有可能取值为0，1，2，3，∴30341(0)15125PxC==−=，12134412(1)155125PxC==−=，21234448(2)155125PxC==−=，333464(3

)5125PxC===，所以X的分布列为：X0123P1125121254812564125∵4~3,5XB，∴412()355EX==.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算

求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．20.椭圆2222:1(0)xyEabab+=的上顶点为A，点31,2B−在椭圆E上，1F，2F分别为E的左右焦点，12120FAF=.（1）求椭圆E的方程；（2）点M

在圆222xyb+=上，且M在第一象限，过M作222xyb+=的切线交椭圆于C，D两点，且C，2F，D不共线，问：2CFD的周长是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.【答案】（1）2214xy+=（2）周长为定值4，详见解析【解析】【分析】（1）由

题意得12ba=，将B点代入椭圆方程解得，即可得到椭圆方程；（2）由题意，设CD的方程为(0,0)ykxmkm=+，由CD与圆221xy+=相切，得221mk=+，再联立直线与椭圆方程，运用弦长公式以及两点之间的距离公式分

别表示出三角形的边长，进而即可得到结论.【详解】（1）由12120FAF=，得12ba=①，B点31,2−代入椭圆方程得2213144bb+=②，由①②得224,1ab==，所以椭圆E的方程为2214xy+

=.（2）由题意，设CD的方程为(0,0)ykxmkm=+，∵CD与圆221xy+=相切，∴2||11mk=+，即221mk=+，由2214ykxmxy=++=得()222148440,0kxkmxm−+++−=设()11,Cx

y，()22,Dxy，则122814kmxxk+=−+，21224414mxxk−=+.∴()222121212||114CDkxxkxxxx=+−=++−22222222844431431414141414kmmkkkmkkkkk−−+−=+−−=

=++++又()()()222222121111|3344|134xCFxyxx=−+=−+−=−，∴()211432CFx=−，同理()221|43|2DFx=−，∴()22122343||||44214kmCFDFxxk+=−+=++∴22||4CDCFDF++=.即2CFD

的周长为定值.【点睛】本题考查椭圆方程、两点间距离公式、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，属于中档题．21.已知函数()ln,f

xxxkxkR=+.（1）求()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（2）若不等式2()fxxx+恒成立，求k的取值范围；（3）求证：当*nN时，不等式()2212ln4121ninnin=−−+成立.【答案】（1）(1)1ykx=+−（2）k2（3）证明见解析【解

析】【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义即可得到切线方程；（2）由2lnxxkxxx++，即ln1xkx++，构造函数()ln1gxxxk=−+−，求导函数研究单调性，进而得()gx的最大

值，即得k的取值范围；（3）由（2）可知：当2k=时，ln1xx−恒成立，令2141xi=−−，整理得：()211ln41122121iii−−−−+，将两边不等式全相加即可得到结论.【详

解】（1）函数()yfx=的定义域为(0,)+，()1lnfxxk=++，(1)1fk=+，∵(1)fk=，∴函数()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为(1)(1)ykkx−=+−，即(1)1ykx=+−.（2）由2()fxxx+，()lnfxxx

kx=+，则2lnxxkxxx++，即ln1xkx++，设()ln1gxxxk=−+−，1()1gxx=−，()0,1x，()0gx，()gx单调递增，()1,x+，()0gx，()gx单调递减，∵不等

式2()fxxx+恒成立，且0x，∴ln10xxk−+−，∴max()(1)20gxgk==−即可，故k2.（3）由（2）可知：当2k=时，ln1xx−恒成立，令2141xi=−−，由于*iN，21041i−.故，2211ln14141ii−

−−，整理得：()221ln41141ii−−−，变形得：()21ln411(21)(21)iii−−+−，即：()211ln41122121iii−−−−+1,2,3,,in=时，11ln31123−−，11l

n51123−−……，()2111ln41122121nnn−−−−+两边同时相加得：()22211122ln4112212121ninnninnnn=−−−−=+++，所以不等式在*nN上恒

成立.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，构造函数，考查导数的应用，转化思想，考查不等式的证明，属于难题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时就写清题号.22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为002222xx

tyyt=−=−（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为25sin=.（1）求圆C的直角坐标方程及直线l的斜率；（2）直线l与圆C交于M，N两点，MN中点为Q，求Q点轨迹的直角坐

标方程.【答案】（1）圆C的直角坐标方程为22(5)5xy+−=，直线l的斜率为1（2）Q点的轨迹方程为50xy+−=，1010,22x−【解析】【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用中点的坐标公式化简得21212(2

25)0yyxyxx−+−=−，进而可得50xy+−=，再求得x的范围即可得到结论.【详解】（1）由25sin=得22250xyy+−=，即圆C的直角坐标方程为22(5)5xy+−=.由直线l的参数方程可得001yyxx−=−，故直线l的斜率为1.（2）设()11,Mxy，()22,Nxy，

中点(,)Qxy，将M，N代入圆方程得：22111250xyy+−=①，22222250xyy+−=②，①-②得：()()()()12121212250xxxxyyyy−++−+−=，化简得21212(225)0yyxyxx−+−=−因为直线2l的斜率

为1，所以上式可化为50xy+−=，代入圆的方程22250xyy+−=，解得102x=，所以Q点的轨迹方程为50xy+−=，1010,22x−.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式的应用，求轨迹方程的应用，主要

考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题.23.设a，b是正实数，求：（1）若21ab+=，求22ab+的最小值；（2）若2241ab+=，求32ab+的最大值.【答案】（1）最小值为15（2）最大值为2【解析】【分析】（1）法一：由

题意得102b，再将22222(12)541abbbbb+=−+=−+，利用二次函数求最值的方法即可；法二：利用柯西不等式；（2）法一：利用柯西不等式；法二：利用三角换元的方法，设cosa=，1sin2b=，进而即可得到结论.【详解】（1）法一：由1200

abb=−得，102b，于是22222(12)541abbbbb+=−+=−+，当25b=时，22ab+取得最小值为15.法二：()()2222212(2)1abab+++=，当且仅当2ba=时等号

成立，此时22ab+的最小值为15.（2）法一：22222(32)(2)(3)14abab+++=，当且仅当23ab=时等号成立，因为a，b是正实数，所以32ab+的最大值为2.法二：设cosa=，1sin2b=，02，323cossin2sin

3ab+=+=+，∵5336+，∴当32+=时，maxsin13+=，32ab+的最大值为2.【点睛】本题考查了不等式求最值，二次函数求最值，柯西不等式的应用，三角换元的方法，属于基础题.