【文档说明】四川省阆中中学2019-2020学年高二下学期第二次月考数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(21)页，1.712 MB，由小赞的店铺上传

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阆中中学校2020春高2018级第二次学段测试数学试题（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,xAyyexR==，

2,3B=−，则AB=（）A.()0,2B.(0,3C.2,3−D.2,3【答案】B【解析】【分析】求得集合A，利用交集的定义可求得集合AB.【详解】(),0,xAyyexR===+，2,3B=−，因此，(0,3AB=I.故选：B.【点睛】本题考查交集的计算，同时

也考查了指数函数值域的求解，考查计算能力，属于基础题.2.已知i为虚数单位，复数52i−的共轭复数为（）A.2i+B.2i−C.2i−−D.2i−【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法可将复数52i−表示为一般形式，利用共轭复数的定义可得出结果.【详解】()()(

)5252222iiiii−−==−−−−+−−，因此，复数52i−的共轭复数为2i−+.故选：B.【点睛】本题考查共轭复数的计算，解答的关键就是利用复数的除法运算将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.3.某工厂为了对新研发的一

种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单位（元）456789销量（件）908483807568由表中数据，求得线性回归方程4yxa=−+，则a=（）A.100B.104C.106D.108【答案】C【解析】【分析】计算出x和y的值，再将

样本的中心点(),xy代入回归直线方程，可求得实数a的值.【详解】由表格中的数据可得4567896.56x+++++==，908483807568806y+++++==，所以，回归直线过点()6.5,80，则有46.580a−+=，解得106a

=.故选：C.【点睛】本题考查利用回归直线过样本的中心点求参数，考查计算能力，属于基础题.4.已知()~,XBnp，且()2EX=，()43DX=，则n=（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】∵~(,)XBnp，∴()2EX=，4()3DX=，∴2np=，且4(1)3npp−=

，解得613np==，∴6n=，故选B．5.已知满足1cos23+=−，则cos2=（）A.79B.712C.79−D.718−【答案】A【解析】【分析】由题意结合诱导公式可得1sin3=，再由余弦的二倍角公式即可得解.【详解】由题

意1cossin23+=−=−，所以1sin3=，所以2217cos212sin1239=−=−=.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数诱导公式与三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力

，属于基础题.6.方程()22420xyxy−−−−=表示的曲线的大致形状是（图中实线部分）（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依题意可知，方程表示的曲线为直线20xy−−=或双曲线22144xy−=位于直线20xy

−−=的下方的图象，由此得解．【详解】依题意可知，20xy−−=或224020xyxy−−=−−，而2240xy−−=表示双曲线22144xy−=，且满足在直线20xy−−=的下方，结合选项可知，只有选

项B符合题意．故选：B【点睛】本题考查的是曲线与方程，考查了数形结合思想，解题的关键是要注意当2240xy−−=时必须满足20xy−−，属于基础题．7.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A.2aB.

273aC.2113aD.25a【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图：则其外接球的半径为222722sin6012oaaRa=+=球的

表面积为22774123aSa==球；故选B．8.对于R上可导的任意函数()fx，若满足10'()xfx−，则必有（）A.(0)(2)2(1)fff+B.(0)(2)2(1)fff+C.(0)(2)2(1)fff+D.(0

)(2)2(1)fff+【答案】A【解析】试题分析：由题意1x时，'()0fx，()fx递减，1x时，'()0fx，()fx递增，因此(0)(1)ff，(2)(1)ff，所以(0)(2)2(1)fff+．故选A．考点：导数与函数的单调性．9.已知椭圆

2222:1(0)xyCabab+=的左焦点为F，直线3yx=与椭圆C相交于A，B两点，且AFBF⊥，则椭圆C的离心率为（）A.212−B.21−C.312−D.31−【答案】D【解析】【分析】可解得点A、B坐标，由AFBF⊥，得0AFBF=，把22

2bac=−代入该式整理后两边同除以4a，得e的方程，解出即可，注意e的取值范围【详解】解：由222213xyabyx+==，消y可得得22222(3)abxab+=，解得223abxab=+，分别代入22

33abyab=+，22(3abAab+，223)3abab+，22(3abBab−+，223)3abab−+，22(3abAFcab=++，223)3abab+，22(3abBFcab=−+，223)3abab−+，AFBF⊥222222222

3033ababAFBFcabab=−−=++，2222243abcab=+，(*)把222bac=−代入(*)式并整理得22422244()accaac−=−，两边同除以4a并整理得42840ee−+=，解得2423e=−31e=−，故选：D．【点睛】本题考查椭圆的简单性质、直

线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题．10.已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A.-1B.0C.1D.2【答案】A【解析】本题考查函数的极值、等比数列相关知识．对已知函数求导，，令，注意到，解得，故，，从而11.体积

为3的三棱锥PABC−的顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，2PA=，120ABC=，则球O的体积的最小值为（）A.773B.2873C.19193D.76193【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理计

算b的最小值，从而得出外接圆半径的最小值，进而求得外接球半径的最小值，最后得出结论．【详解】设,,ABcBCaACb===1=33PABCABCVSPA−=，2PA=331sin12022ABCSac==6ac=，由余弦定理可得：222222cos1202

318bacacacacacacac=+−=+++==，当且仅当ac=时，等号成立，此时min32b=，设ABC外接圆的半径为r，则=2sin120br，min3263r==，如图，设1O为AB

C外接圆的圆心，D为PA的中点，R为球的半径，连接11,,,,OAOOOAODPO，易知112PAOO==，2222117RrOOr=+=+，球的体积3428733OVR=.故选：B.【点睛】本题考查了棱锥与球的位置关系，正余弦定

理解三角形，球的体积，考查了空间想象能力和计算能力．12.若函数()()()()()1cossincossin3sincos412fxxxxxaxxax=−++−+−在,02−上单调递增，

则实数a的取值范围为（）A.1,17B.11,7−C.)1,1,7−−+D.)1,+【答案】D【解析】【分析】化简函数的解析式，求出函数的导数，通过函数的单调性，转化为不等式恒成立，构造函数列出不等式

组求解即可．【详解】解：函数1()(cossin)(cossin)3(sincos)(41)2fxxxxxaxxax=−++−+−1cos23(sincos)(41)2xaxxax=+−+−2()sin23(cossin)41(cossin)3(cossin)40fxxaxxax

xaxxa=−+++−=−++++…，对[,0]2x−恒成立．cossin2sin()4xxx+=+，当[,0]2x−时，1cossin1x−+剟．令2()34(11)gttatat=−++−

剟，欲使()0gt…恒成立，只需(1)0(1)0gg−……，即2(1)3(1)4011340aaaaa−−+−+−++………．故选：D．【点睛】本题考查函数的导数判断函数的单调性的应用，函数恒成立条件

的应用，考查转化思想以及计算能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在6(1)xx+的展开式中，含3x项的系数是________.【答案】15【解析】【分析】求出6(1)x+的2x项的系数即可.【详解】6(1)xx+的展开式中，含3x项的系数即为6(1)x+的2x项的

系数，也即2615C=.故答案为15.【点睛】本题主要考查利用二项展开式的通项公式求指定项的系数，属基础题.14.已知两个单位向量1e、2e的夹角为60，向量1232mee=−，则|m=_____．【答案】7【解

析】【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算出2m的值，进而可求得mur的值.【详解】根据题意，两个单位向量1e、2e的夹角为60，则121211cos601122eeee===，1232mee=−，则()222221211221329124131

272mmeeeeee==−=−+=−=，因此，7m=.故答案为：7.【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．15.已知:p函数()4xya=−在R上单调递减，:12qmam+，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为__________．【答

案】(),1−【解析】【详解】当p为真时，4a5.记集合A|4a5a=，B|12amam=+.若p是q的必要不充分条件，则BA?①当12mm+，即1m时，BA=；②当1m时，BA?等价于11425mmm+

，解得m.综上所述，实数m的取值范围为(),1−故答案为(),1−16.已知函数()lnxaxfxx−=，若有且仅有一个整数k，使()()20fkfk−，则实数a的取值范围是__________

．【答案】11ln21ln3123a−−【解析】因ln()xfxax=−，故由题设问题转化为“有且仅有一个整数k使得()1fk或()0fk”．因为21ln()xfxx−=，所以当0xe时，()0fx，函数ln()xfxax=−单调递

增；当xe时，()0fx，函数ln()xfxax=−单调递减，即函数ln()xfxax=−在xe=处取最大值，由于23e，因此由题设可知(2)1(3)1ff，解之得11ln21ln3123a−

−，应填答案11ln21ln3123a−−．点睛：解答本题的关键是准确理解题设中条件“有且仅有一个整数k，使()()20fkfk−”．求解时先将问题进行等价转化为“有且仅有一个整数k使得(

)1fk或()0fk”．进而将问题转化为断定函数图像的形状问题，然后先对函数进行求导，依据导数与函数的单调性之间的关系推断出该函数在在xe=处取最大值，从而借助题设条件得到不等式组(2)1(3)1ff，通过解不等式组使得问题获解．三、解答题：共70

分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.已知()350,0,cos,cos22513=+=．（1）求sin的值；（2）求2sin2coscos2+的值．【答案】（1）1665（2）12【解析】【详解】试

题分析：(1)利用题意可知()=+−，结合两角和差正余弦公式可得16sin65=．(2)利用二倍角公式结合题意整理计算可得三角函数式的值为12.试题解析：（1）由()350,0,cos,cos22513=+=所以()412sin,sin513

=+=．()()()sinsinsincoscossin=+−=+−+则1235416sin13513565=−=（2）因为35=cos，4sin5=．所以22222432sin22sincos5512coscos22co

ssin34255===+−−．18.某中学举行“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、二等奖、三等奖的代表队人数情况如表，其中一等奖代表队比三等奖代表队多10人．该校政教处为使颁奖仪式有序进行，

气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动．并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐，其中二等奖代表队有5人（同队内男女生仍采用分层抽样）名次性别一等奖代表队二等奖代表队三等奖代表队男生？30◎女生302030（1）从前排就坐的一等奖代表队中随机抽取3人上台

领奖，用X表示女生上台领奖的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．（2）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生[﹣2，2]内的两个均匀随机数x，y，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序．若电脑显示“中奖”，则代表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，

则不中奖．求代表队队员获得奖品的概率．【答案】（1）分布列详见解析，数学期望E（X）32=；（2）1932．【解析】【分析】（1）设代表队共有n人，则55016n=，所以n＝160，再设一等奖代表队男生人数为x，可根据表格中的数据列出关于x的方程，解之可得x＝30，

因此三个代表队中前排就坐的比例是按照一等奖：二等奖：三等奖＝6：5：5，故前排就坐的16人中一等奖代表队共6人，有3男3女，所以X的可能取值为0，1，2，3，然后根据超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X的取值所对

应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（2）试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x，y）|﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2}，事件A表示代表队队员获得奖品，所构成的区域为()2222{|}12xyAxyxyxy−−=++−，，然后依次

求出两个区域的面积，根据几何概型即可得解．【详解】（1）设代表队共有n人，则55016n=，所以n＝160，设一等奖代表队男生人数为x，则x+30+20+30+（x﹣10）+30＝160，解得x＝30

，所以一等奖代表队的男生人数为30，所以三个代表队中前排就坐的比例是按照一等奖：二等奖：三等奖＝60：50：50＝6：5：5，故前排就坐的16人中一等奖代表队有3男3女，共6人．于是X的可能取值为0，1，2，3．则P（X＝0）033336120CCC==，P（X＝1）12333692

0CCC==，P（X＝2）213336920CCC==，P（X＝3）303336120CCC==，所以X的分布列为X0123P120920920120∴数学期望E（X）1991301232020202

02=+++=．（2）试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x，y）|﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2}，面积为SΩ＝4×4＝16，事件A表示代表队队员获得奖品，所构成的区域为()2222|12xyAxyxyxy−−=++−，，如图，阴影部

分的面积为1119442233222AS=−−=，这是一个几何概型，所以191921632ASPAS===（），即代表队队员获得奖品的概率为1932．【点睛】本题考查分层抽样的特点、几何概型、离散型随机变量的分布列和数学期望，考

查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．19.如图，在长方体ABCDHKLE−中，底面ABCD是边长为3的正方形，对角线AC与BD相交于点O，点F在线段AH上，且20AFHF+=，BE与底面ABCD所成角为3.（1）求证：ACBE⊥；（2）求

二面角FBED−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1313【解析】【分析】（1）推导出AC⊥平面BDE，进而可得出ACBE⊥；（2）根据直线BE与底面ABCD所成的角为DBE可计算出DE，然后以点D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立空间

直角坐标系Dxyz−，利用空间向量法能计算出二面角FBED−−的余弦值.【详解】（1）因为在长方体ABCDHKLE−中，有DE⊥平面ABCD，AC平面ABCD，DEAC⊥，因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD⊥，又BDDED=，从

而AC⊥平面BDE.而BE平面BDE，所以ACBE⊥；（2）因为在长方体ABCDHKLE−中，有DA、DC、DE两两垂直，以点D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Dxyz−，由（1）知DBE为直线

BE与平面ABCD所成的角，又因为BE与平面ABCD所成角为3，所以3DBE=，所以tan33EDDB==.由3AD=，得32BD=，可知36DE=，所以36AH=，又20AFHF+=，即13AFA

H=，故6AF=，则()3,0,0A，()3,0,6F，()0,0,36E，()3,3,0B，()0,3,0C，所以()0,3,6BF=−，()3,0,26EF=−，设平面BEF的法向量为(),,nxyz=，则00nBFnEF==，即3603260yzxz−+=−=

，令6z=，可得()4,2,6n=，因为AC⊥平面BDE，所以CA为平面BDE的法向量，即()3,3,0CA=−uuur，所以613cos,132632nCAnCAnCA===.由图形可知，二面角FBED−−为锐角，所以二面

角FBED−−的余弦值为1313.【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查了线面角的定义，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线24yx=

相交于不同的AB、两点．（1）如果直线l过抛物线的焦点，求·OAOB的值；（2）如果·4OAOB=−，证明直线l必过一定点，并求出该定点．【答案】（Ⅰ）-3（Ⅱ）过定点()2,0，证明过程详见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方

程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积．(Ⅱ)设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于4−，做出数量积表示式中的b的

值，即得到定点的坐标．【详解】(Ⅰ)由题意：抛物线焦点为()1,0设l：xty1=+代入抛物线2y4x=消去x得，2y4ty40−−=，设()11Ax,y，()22Bx,y则12yy4t+=，12yy4=−()()12121212OAOBxx

yyty1ty1yy=+=+++()2121212tyytyy1yy=++++224t4t143=−++−=−．(Ⅱ)设l：xtyb=+代入抛物线2y4x=，消去x得2y4ty4b0−−=设()11Ax,y，()22Bx,y则12yy4t+=，12yy4b=−()()12121212OAO

Bxxyytybtybyy=+=+++()22121212tyybtyybyy=++++22224bt4btb4bb4b=−++−=−令2b4b4−=−，2b4b40b2−+==．直线l过定点()2,0．【点睛】从最

近几年命题来看，向量为每年必考考点，都是以选择题呈现，从2006到现在几乎各省都对向量的运算进行了考查，主要考查向量的数量积的运算，结合最近几年的高考题，向量同解析几何，三角函数，立体几何结合起来考的比较多．21.设函数()ln1xfxx+=，（1）求曲线()yfx=在点()()

,efe处的切线方程；（2）当1x时，不等式()()211axfxxx−−恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）230xeye+−=（2）(,0]−【解析】【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导数几何意义得切线斜率为()'fe，最后根据点斜式求

切线方程（2）构造函数()()2ln1gxxax=−−，利用导数并按0a，10<2a，12a进行分类讨论，通过函数的单调性以及最值进行与0比较，可得结果.试题解析：（1）根据题意可得，()2fee=，()2ln'xfxx−=，所以()2

2ln1'efeee−==−，即21ke=−，所以在点()(),efe处的切线方程为()221yxeee−=−−，即230xeye+−=．（2）根据题意可得，()()()221ln110axxaxfxxxx−−−−−=在1x恒成立，令()()2ln

1gxxax=−−，()1x，所以()12gxaxx−=，当0a时，()0gx，所以函数()ygx=在)1,+上是单调递增，所以()()10gxg=，所以不等式()()21axfxx−成立，即0a

符合题意；当0a时，令120axx−=，解得12xa=，令112a=，解得12a=，当10<2a时，112a，所以()gx在11,2a上()0gx，在1,+2a上()0gx，所以函数()

ygx=在11,2a上单调递增，在1,+2a上单调递减，21111ln1lngaaaaaaa=−−=−−+，令()1lnhaaaa=−−+，()222111'10aahaaaa−+=−++=恒成立

，则()ha在10,2单调递增所以()1111ln2ln2202222hah=−−+=+−，所以存在10ga，所以102a不符合题意；②当12a时，112a()0gx在)1,+上恒成立，所以函数()ygx=在)1,+上是单调递

减，所以()()10gxg=显然12a不符合题意；综上所述，a的取值范围为|0aa22.某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀.统计成绩后，

得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311.优秀非优秀合计甲班10乙班30合计110（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，

能否认为“成绩与班级有关系”；参考公式与临界值表：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++.()2PKk0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.02

46.63510.828【答案】（1）填表见解析；（2）不能【解析】【分析】（1）由题意求出甲、乙两班优秀的人数，从而可完善列联表.（2）根据列联表求出观测值，根据观测值即可判断.【详解】解：（1）设甲、乙两班优秀的人数为n，则311011n=，解得30

n=，列联表如下：优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110（2）根据列联表中的数据，得到()2110103020507.48710.82860503080K−=.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班

级有关系”.【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想，考查了考生的数据处理能力，属于基础题.