【文档说明】重庆市璧山来凤中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.597 MB，由小赞的店铺上传

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来凤中学高2024届高二（下）数学学科期中考试数学试卷难度系数：0.38区分度：0.30一､单选题（每个小题5分，共40分）1.曲线e2xyx=+在0x=处切线方程为（）A.20xy++=B.220xy++=C.20y−=D.20

xy−+=【答案】D【解析】【分析】先求导，则切线斜率01xky===，又02xy==，即得解【详解】因为2xyxe=+，所以(1)xyxe=+，所以01xy==．又02xy==，所以曲线2xyxe=+在0x=处的切线方程为2

0xy−+=．故答案为：D2.数列na中的前n项和22nnS=+，数列2logna的前n项和为nT，则100T=（）A.5050B.5052C.4950D.4952【答案】D【解析】【分析】由11,1,2

nnnanaSSn−==−求出na的通项，进而可得2logna的通项，再求和即可.【详解】当1n=时，111224aS==+=，当2n时，()11112222222nnnnnnnnaSS−−−−

=−=+−+=−=，经检验14a=不满足上式，所以14,12,2nnnan−==，设2lognnba=，则2,11,2nnbnn==−，所以1001234100Tbbbbb=+++++212399=++++()99199249522+=+=，的故选：D.3.

甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.8，在目标被击中的条件下，甲、乙同时击中目标的概率为（）A.2144B.1223C.1225D.2111【答案】B【解析】【分析】根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,由相互独立事件的

概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案.【详解】根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,则()()()()()1110.610.80.92PCPAPB=−=−−−=

；则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为0.60.80.921223P==.故选：B.【点睛】本题考查条件概率的计算,是基础题,注意认清事件之间的关系,结合条件概率的计算公式正确计算即可.属于基础题.4.数学上的“四色问题”，是指“任何一张地图只用四种

颜色就能使具有公共边界的国家着上不同的颜色”，现有五种颜色供选择，涂色我国西部五省，要求每省涂一色，相邻各省不同色，有（）涂色方法.A.120种B.180种C.380种D.420种【答案】D【解析】【分析】根据题意，分4步依次分析5个省的涂色方法的数目，进而结合分步计数原理，

计算可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析5个省的涂色方法的数目：对于新疆有5种涂色的方法，对于青海有4种涂色方法，对于西藏有3种涂色方法，对于四川与甘肃：若西藏与甘肃颜色相同，则有3种涂色方法，若西藏与甘肃颜色不相同，则甘肃有2种涂色方

法，四川有2种涂色方法，则西藏与甘肃的涂色方法有3+2×2=7种，则共有5×4×3×7=420种涂色方法；故选：D．5.有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各

不相同”.那么他们7人不同的可能位次共有（）A.120种B.480种C.504种D.624种【答案】C【解析】【分析】甲的位置固定，问题转化为排头排尾有限制的排列问题，利用间接法求解.【详解】因为甲的成绩是中间一名，所以

只需安排其余6人位次，其中乙排第一名的排法有55A，丙排最后一名的排法有55A，乙排第一名且丙排最后一名的排法有44A，所以由间接法可得满足条件的排法有654654A2AA720212024504−+=−+=,故选：C6.已知定义在R上的可导函数()fx的导

函数为()fx，满足()()fxfx且(3)fx+为偶函数，(6)1f=，则不等式()xfxe的解集为（）A.(3,)−+B.(1,)+C.(0,)+D.(6,)+【答案】C【解析】【分析】构造函数()()xfxgxe=，求导()()()0xfxfxgxe−=，

从而得()gx在定义R上单调递减；又()xfxe0()(0)xfxfee，从而有()(0)gxg，利用()gx的单调性即可求解．【详解】令()()xfxgxe=，()()fxfx，()()()0xfx

fxgxe−=，()gx在定义R上单调递减；①又(3)fx+为偶函数，(3)(3)fxfx+=−，()(0)6ff=1=，0(0)(0)1fge==，则不等式()xfxe0()(0)xfxfee，即

()(0)gxg，由①得0x，故选：C．7.已知点P为双曲线2222=1(0,0)xyabab−的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若()()220OPOFOPOF+−=（为坐标原点），且12

3PFPF=，则双曲线的离心率为（）A.21+B.31+C.61+D.312+【答案】B【解析】【分析】利用向量运算可得220OAFP=，即2OAFP⊥，由OA为12PFF的中位线，得到12PFPF⊥，所以()222122PFPFc+=，再根据双曲线定义即可求得离心率.【

详解】取2PF的中点A，则由()()220OPOFOPOF+−=，得220OAFP=，即2OAFP⊥；在12PFF中，OA为12PFF的中位线，所以12PFPF⊥，所以()222122PFPFc+=；由双曲线定

义知122PFPFa−=，且123PFPF=，故21,3PFcPFc==，所以()312ca−=，解得：31e=+，故选：B.【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.8.函数()fx满足()()0fxfx+−=，()fx在R上存在导函数()fx，且在()0,+上()2fx

x，若()()()331113fmfmmm−−−−，则实数m的取值范围为（）A.11,22−B.11,,22−−+C.1,2−−D.1,2+【答案】D【解析】【分析】由题可知函数为奇函数，

构造函数31()()3gxfxx=−，再根据函数的奇偶性以及单调性解不等式即可.【详解】由函数()fx满足()()0fxfx+−=，可知函数为奇函数，331(1)()(1)3fmfmmm−−−−，即3311(1)(1)()33fmmfmm−−−−，构造函数31()()3gxf

xx=−，由题意知：在(0,)+上，2()()0gxfxx=−，故()gx在(0,)+上单调递减，()fx为奇函数，()()()3311()33gxfxxfxxgx−=−+=−+=−，即()gx为奇函数，故()gx在R上单调递减，因此原不等式可化为：()()1gmgm

−，即1mm−，解得12m.故选：D．二､多选题（每个小题全对5分，部分选对2分，共20分）9.关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（）A.若数列na的前n项和122nnS+=−，则数列na为等比数列B.若数列na的前n

项和2nSanbnc=++（,,abc为常数）则数列na为等差数列C.数列na是等比数列，nS为前n项和，则232,,,nnnnnSSSSS−−仍为等比数列.D.数列na是等差数列，nS为前n项和，则232,,,nnnnnSSSS

S−−仍为等差数列【答案】BC【解析】【分析】根据na与nS的关系求出通项，再由等比数列的定义即可判断A；当0c时，求出前三项验证可判断B；取特例可判断C；根据等差数列片段和性质可判断D.【详解】A中：若数列na前n项和122nnS+=−，由1n=可得112

aS==，当2n时1122(22)2nnnnnnaSS+−=−=−−−=，所以11222nnnnaa−−==，所以数列na是以2为首项和公比的等比数列，A正确；B中：若数列na的前n项和2nSanbnc=++，可得11aSabc==++，2214

2()3aSSabcabcab=−=++−++=+，33293(42)5aSSabcabcab=−=++−++=+当0c时，显然13262622aaabcaba+=+++=所以数列na不是等差数列，所以B错误；C中：数列na是等

比数列，nS为前n项和，当1q=−时，若n为偶数时，232,,,nnnnnSSSSS−−均为0，不是等比数列，故C错误；D中：数列na是等差数列，nS为前n项和，则232,,,nnnnnSSSSS−−即为1212221223,,,nnnnnnnaaaaaa

aaa+++++++++++++，的可得22322nnnnnnSSSSSSnd−−=−−==（常数），仍为等差数列，所以D正确；故选：BC10.以下关于圆锥曲线的说法，不正确的是（）A.设,AB为两个定点，k为非零常数

，PAPBk−=，则动点P的轨迹为双曲线B.过点()0,1作直线，使它与抛物线24yx=有且仅有一个公共点，这样的直线有3条C.若曲线22:141+=−−xyCkk为双曲线，则1k或4kD.过定圆O上一定点A作圆的动弦,ABO为坐标原点，若()12O

POAOB=+，则动点P的轨迹为椭圆【答案】AD【解析】【分析】根据双曲线的定义可判断A；结合图象可判断B；根据双曲线的标准方程的结构特征列不等式求解可判断C；利用相关点法求点P的轨迹，可判断D.【详解】由双曲线定义可知，只有当0kAB时，动点P的轨迹

为双曲线，A错误；由图可知，直线0,1xy==与抛物线都只有一个交点，设过点()0,1的直线方程为1ykx=+，代入24yx=得22(24)10kxkx+−+=由22(24)40kk−−=解得1k=，故1y

x=+与抛物线相切，只有一个交点，所以，B正确；若曲线22:141+=−−xyCkk双曲线，则(4)(1)0kk−−，解得1k或4k，C正确；设圆O的方程为222xyr+=，点11(,),(,),(,)AmnBxyPxy，为因为()12OPOAOB=+，所以1122xmxy

ny+=+=，变形得1122xxmyyn=−=−，代入222xyr+=得：222(2)(2)xmynr−+−=，即222()()224mnrxy−+−=，所以点P的轨迹为圆，D错误.故选：AD11

.已知()()()()()()8239012392321111xxaaxaxaxax−−=+−+−+−++−，则下列结论正确的是（）A1291aaa+++=B.584a=C.129291222aaa+++=D.129290aa

a+++=【答案】ACD【解析】【分析】利用赋值法可判断AC选项的正误，利用二项展开式的通项可判断B选项的正误，求导后再利用赋值法可判断D选项的正误.【详解】令()()()()()()()8239012392

321111fxxxaaxaxaxax=−−=+−+−+−++−.对于A选项，()011af==−，()012920aaaaf++++==，所以1291aaa+++=，故A正确；对于B选项，令1tx=−，可得1xt=+，则有()()8239012

39211ttaatatatat−−=+++++，()()()()888211211ttttt−−=−−−，()81t−的展开式通项为()8181rrrrACt−+=−，所以，()()8211tt−−的展开式通项为(

)()()()88981,18888211211rkrkrrkkrrkkrkTtCtCtCtCt−−−−++=−−−=−−−，由9585rk−=−=，解得43rk==，所以，

()()434358821114056196aCC=−−−=+=，故B错误；.对于C选项，912029302222aaafa=++++=，因此，129291222aaa+++=，故C正确；对于D选项，()()()()()()()8281239722122823139

1aaxaxfxxaxxx+=+=−−+−++−−−，因此，()1292920aaaf+++==，故D正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：一般地，若()2012nnfxaaxaxax=++++L.（1）()00af=；（2）展开式各项系数和为()0121nfaaaa

=++++；（3）奇数项系数之和为()()024112ffaaa+−+++=L；（4）偶数项系数之和为()()135112ffaaa−−+++=L.12.已知函数()fx对于任意xR，均满足()()2fxfx=−.当1x时()ln,01,0xxxfxex

=，若函数()()2gxmxfx=−−，下列结论正确的为（）A.若0m，则()gx恰有两个零点B.若32me，则()gx有三个零点C.若302m，则()gx恰有四个零点D.不存在m使得()gx恰有四个零点【答案】ABC

【解析】【分析】设()2hxmx=−，作出函数()gx的图象，求出直线2ymx=−与曲线()ln01yxx=相切以及直线2ymx=−过点()2,1A时对应的实数m的值，数形结合可判断各选项的正误.【详解】由()(

)2fxfx=−可知函数()fx的图象关于直线1x=对称.令()0gx=，即()2mxfx−=，作出函数()fx的图象如下图所示：令()2hxmx=−，则函数()gx的零点个数为函数()fx、()hx的图象的交点个数，()hx的定义域为R，且()()22hxmxmxhx−

=−−=−=，则函数()hx为偶函数，且函数()hx的图象恒过定点()0,2−，当函数()hx的图象过点()2,1A时，有()2221hm=−=，解得32m=.过点()0,2−作函数()ln01yxx=的图象的切线，设切点为()00,lnxx，对函

数lnyx=求导得1yx=，所以，函数lnyx=的图象在点()00,lnxx处的切线方程为()0001lnyxxxx−=−，切线过点()0,2−，所以，02ln1x−−=−，解得01xe=，则切线斜率为e，

即当me=时，函数()yhx=的图象与函数()ln01yxx=的图象相切.若函数()gx恰有两个零点，由图可得0m或me=，A选项正确；若函数()gx恰有三个零点，由图可得32me，B选项正确；

若函数()gx恰有四个零点，由图可得302m，C选项正确，D选项错误.故选：ABC.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将

问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0fx=分离变量得出()agx=，将问题等价转化为直线

ya=与函数()ygx=的图象的交点问题.三､填空题（每个小题5分，共20分）13.二项式1021xx−展开式中含10x项的系数是__________．【答案】210【解析】【分析】首先写出展开式的通项，再令510102r−=，求出r，再代入计算即可得解.【详解】二项式1021x

x−展开式的通项公式为()5102110C1rrrrTx−+=−，令510102r−=，解得6r=，所以展开式中含10x项的系数()6610C1210−=.故答案为：210．14.在棱长为2的正方体ABCD-A1B

1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=(0<<2)，则点G到平面D1EF的距离为____.【答案】255【解析】【分析】先证明A1B1∥平面D1EF，进而将问题转化为求

点A1到平面D1EF的距离，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算求得答案.【详解】由题意得A1B1∥EF，A1B1⊄平面D1EF，EF⊂平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，则点G到平面D1

EF的距离等于点A1到平面D1EF的距离.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，A1(2，0，2)，所以()12,0,1DE→=−，()12,2,1DF→=−，(

)10,0,1AE→=−.设平面D1EF的法向量为(),,nxyz→=，则110202200nDExzxyznDF=−=+−==，令x=1，则y=0，z=2，所以平面D1EF的一个法向量()1,0,2n→=

.点A1到平面D1EF的距离1||AEndn→→→==125−=255，即点G到平面D1EF的距离为255.故答案为：255.15.已知函数()2,1ln,1xxxxfxxaex+=，若存在实数1x，2x，3x

且1230xxx，满足()()()123fxfxfx==，则实数a的取值范围是______.【答案】()4,e+【解析】【分析】利用导数研究当1x时，()2lnxfxxx=+的单调性和极值，作出其草图；分

析当0a时，最多存在两个点，使得()()23fxfx=，不合题意，应舍去.当0a时，作出()fx的图像，根据题意，建立不等式，求出实数a的取值范围.【详解】当1x时，()2lnxfxxx=+，所以()()()()222ln1ln1ln12

1lnlnxxxfxxxx−+−=+=.因为1x，所以ln0x.令()0fx=，解得：12xe=.令()0fx¢>，解得：12xe，所以()2lnxfxxx=+在12,e+上单增；令()0fx，解得：121xe，所以()

2lnxfxxx=+在121,e上单减；所以()1111222212240lnefxfeeee==+=极小值①当0a时，0xae.而当1x时，()20lnxfxxx=+，所以最多存在两个点，使得()()23fxfx=.不合题意，应舍去.②当0a

时，作出()fx的图像，要使存在实数1x，2x，3x且1230xxx，满足()()()123fxfxfx==，只需()04fae=.所以实数a的取值范围是()4,e+故答案为：()4,e+【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常

用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的

图象，利用数形结合的方法求解．16.已知aR，bR，则()()221babae−+−−的最小值为______．【答案】2【解析】【分析】利用算术根的几何意义，把所求转化为两个图形上点的距离最小值即可作答.【详解】()()221babae−

+−−可看成点(),1aa−到点(),bbe的距离，而点(),1aa−的轨迹是直线1yx=−，点(),bbe的轨迹是曲线()xfxe=，则所求最小值可转化为曲线()xfxe=上的点到直线1yx=−距离的最小值，而曲

线()xfxe=在直线1yx=−上方，平移直线1yx=−使其与曲线()xfxe=相切，则切点到直线1yx=−距离即为所求，设切点00(,)xxe，()xfxe=，由()001xfxe==得00x=，切点为(0,1)则(0,1)到直线1

yx=−距离22|011|21(1)d−−==+−.故答案为：2【点睛】关键点睛：涉及多变量的算术根问题，利用算术根的几何意义转化为两个动点的距离是解题的关键.四､解答题（写出必要的解题过程､文字说明，

共70分）17.设函数3()65fxxx=−+，xR.(1)求函数()fx的单调区间和极值；(2)若函数()yfx=的图象与函数ya=的图象恰有三个不同的交点，求实数a的取值范围．【答案】（1）见解析(2)(542,542)−+.【解析】【分

析】(1)对函数求导，然后求'()0fx和'()0fx的解，即可求出()fx的单调区间和极值；(2)根据(1)中结论即可求解.【详解】(1)由题意可得，'2()36fxx=−，当'()0fx时，2x或2x−；当'()0fx时，22x−

；所以f(x)的单调递增区间为(,2)−−和(2,)+；单调递减区间为(2,2)−，()fx在2x=−处取得极大值，()fx的极大值为(2)542f−=+；()fx在2x=处取得极小值，()fx的极小值为

(2)542f=−.(2)若函数()yfx=的图象与函数ya=的图象恰有三个不同的交点，结合(1)中()fx的单调性以及极值点可知，542542a−+，故实数a的取值范围(542,542)−+.18.已知n

S是数列na的前n项和，11321nnnaaa+−−+=，11a=，24a=．（1）证明：数列11nnaa+−+是等比数列；（2）求nS．【答案】（1）证明见解析；（2）225242nnnnS++=−−．【解析】【分析】（1）由11321nnnaaa+−−+

=可得()1121nnnnaaaa+−−=−+，等式两边同时加1，即可证明结论；（2）由（1）利用等比数列的通项公式可得1112nnnaa++−+=，即1112nnnaa++−=−，再利用累加法求出na，然后利用分组求法求出nS【详解】（1）证明：因为11321nnnaa

a+−−+=，所以()1121nnnnaaaa+−−=−+，即11121nnnnaaaa+−−+=−+．因为11a=，24a=，所以2114aa−+=，故数列11nnaa+−+是首项为4，公比为2的等比数列．（2）解：由（1）知1112nnnaa++−+=．因为()()112nnnnna

aaaa−−−=−+−()211aaa++−+()23222(1)1nn=+++−−+，所以122nnan+=−−．所以()231222(12)2nnSnn+=+++−+++−()412(1)2122nnnn−+=−−−，故225242nnnnS++=−−．【点睛】关键点点

睛：此题考查了数列递推关系，等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查计算能力，第（2）问解题的关键是由（1）得1112nnnaa++−+=，再利用累加法求出通项公式，然后利用等比数列和等差数列的求和公式可求出nS，属于中档题19.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥

平面ABC，PAC△中，2PAPCAC===，4BC=，E，F分别是PC，PB的中点.（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成

的角的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）0,6.【解析】【分析】（1）由已知得BCAC⊥，利用面面垂直的性质定理即可证得；（2）由已知结合线面平行的判定定理知//BC平面AEF，

结合线面平行的性质定理知//BCl，以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设(2,,0)Qy，求出平面AEF的一个法向量，利用空间向量求线面角

即可得解.【详解】（1）证明：因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，BCAC⊥，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC平面ABCAC=，BC平面ABC，BC⊥平面PAC.（2）由E，F分别是PC，PB的中点，//BCEF，又EF平面AEF，BC平面AEF，//BC平

面AEF，又BC平面ABC，平面EFA平面=ABCl，//BCl.以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC直线为z轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A，(0,4,0)

B，(1,0,3)P，13,0,22E，13,2,22F，33,0,22AE=−，(0,2,0)EF=，//BCl，∴可设(2,,0)Qy，平面AEF的一个法向量为(,,)mxyz=，则3302220xzAEmEFmy=−+=

==，取3z=，得(1,0,3)=m，又(1,,3)=−PQy，则211cos,0,24PQmPQmyPQm==+uuururuuururuuurur.∴直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为0,6.【点睛】方法点睛：本题考查线面垂直，及线面角的

求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则①两直线,lm所成的角为(02),cosabab=rrrr；②直线l与平面所成的角为(02),sinauau=rrr

r；③二面角l−−的大小为(0),cos.uvuv=rrrr20.已知函数2()xfxeax=−.（1）讨论()fx的单调性；（2）当0x时，2()1fxax+，求a的取值范围.

的【答案】（1）答案见解析；（2）(,2]−.【解析】【分析】（1）求出函数()yfx=的导数，分0a和0a两种情况讨论，分析导数()fx的符号变化，即可求出函数()yfx=的单调区间；（2）问题变形为2210xeaxax−−−，令22()

1xgxeaxax=−−−，由题意得出()(0)0gxg=，根据函数()ygx=的单调性确定a的范围即可．【详解】（1）2()xfxeax=−，定义域为R且2()2xfxea=−.①当0a时，则()0fx，则函数()yfx=在R上单调递增；②当0a时，

由()0fx=，得22xea=，得1ln22ax=.当1ln22ax时，()0fx，函数()yfx=单调递减；当1ln22ax时，()0fx，函数()yfx=单调递增.此时，函数()yfx=的单调减区间为1,ln22a−，单调

增区间为1ln,22a+.综上所述，当0a时，函数()yfx=的单调递增区间为(,)−+；当0a时，函数()yfx=的单调减区间为1,ln22a−，单调增区间为1ln,22a+；（2）2()1fxax+变形为2210xeax

ax−−−，令22()1xgxeaxax=−−−，定义域为(0,)+，且(0)0g=，2()222()xgxeaxafxa=−−=−.①当0a时，对任意的0x，()0gx，函数()ygx=在区间(0,)+上为增函数，此时，()(0)0gxg=，

合乎题意；②当0a时，则函数()ygx=在R上的单调减区间为1,ln22a−，单调增区间为1ln,22a+.（i）当1ln022a时，即当02a时，则函数()ygx=在区间(0,)+上为增函数，此时()(0

)20gxga=−，则函数()ygx=在区间(0,)+上为增函数.此时，()(0)0gxg=，合乎题意；（ii）当1ln022a时，即当2a时，则函数()ygx=在区间10,ln22a

上单调递减，在区间1ln,22a+上单调递增，所以，min1()lnln0222aagxga==−，又(0)20ga=−，所以，函数()ygx=在区间10,ln22a上单调递减，当10,ln22ax

时，()(0)0gxg=，不合乎题意.综上所述，实数a的取值范围是(,2]−.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21.发展“会员”、提供优惠，成为不少实体店

在网购冲击下吸引客流的重要方式．某连锁店为了吸引会员，在2019年春节期间推出一系列优惠促销活动．抽奖返现便是针对“白金卡会员”、“金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”不同级别的会员享受不同的优惠的一项活动：“白金卡会员”、“金卡会员”、“银卡会员”

、“基本会员”分别有4次、3次、2次、1次抽奖机会．抽奖机如图：抽奖者第一次按下抽奖键，在正四面体的顶点O出现一个小球，再次按下抽奖键，小球以相等的可能移向邻近的顶点之一，再次按下抽奖键，小球又以相等的可能移向邻近的顶点之一……每一个顶点上均有一个发光器，小球在某点

时，该点等可能发红光或蓝光，若出现红光则获得2个单位现金，若出现蓝光则获得3个单位现金．（1）求“银卡会员”获得奖金的分布列；（2）()1,2,3,4,iPi=L表示第i次按下抽奖键，小球出现在O点处的概率．①求1P，2P，3P，4P的值；②写出1nP

+与nP关系式，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）①11P=，20P=，313P=，429P=；②11133nnPP+=−，理由详见解析.【解析】【分析】（1）设“银卡会员”获得奖金为个单位现金，得出的取值以及相应的概率，最后列出分布列；（2）①第一次按下抽奖键小球一

定出现在正四面体的顶点O，得出11P=，第二次按下时，小球移向其它相邻点，则20P=，第三次按下时，由于小球不在点O，则313P=，第四次按下时，可分两种情况进行讨论，得出429P=；②分两种情况进行讨论，第一种：第n次按下抽奖键小球出现在O点处，第二种：第n按下抽奖键小球不在O点处

，根据独立事件的性质，即可得出1nP+与nP关系式.【详解】（1）设“银卡会员”获得奖金为个单位现金，则可取4，5，6()1114224P===；()11152222P===；()1116224P===

的分布列:456P141214（2）①第一次按下抽奖键小球一定出现在正四面体的顶点O，得出11P=第二次按下时，小球移向其它相邻点，则20P=第三次按下时，由于小球不在点O，则313P=第四次按下抽奖键时若第三次结束小球在点O，则第四次按下抽奖键时小球出现在点O的概率为0若第三次结束小球不在点

O，则第四次按下抽奖键时小球出现在点O的概率为1121339−=422099P=+=．②由题意知：若第n次按下抽奖键小球出现在O点处，则第1n+次小球出现在O点处的概率为0；若第n按下抽奖键小球不在O点处，则第1n+次小球

出现在O点处的概率为13．∴()111101333nnnnPPPP+=+−=−．【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的分布列以及独立事件的实际应用，属于中档题.22.已知函数()()111lnxfxx++=+（1）求函数()yfx=的最大值；（2）令()()()

()212gxxfxaxx=+−−+，若()gx既有极大值，又有极小值，求实数a的范围；（3）求证:当*nN时，()11111111223lnlnlnlnnn++++++++.【答案】（1）1；（2）(22,)a+；（3）证明见解析

.【解析】【分析】（1）利用导数求出函数的单调性，求出函数的最值得解；（2）等价于()22430xaxa+−+−=在区间(1,)−+上有两个不相等的实数根，解不等式组()()()224304144830aaaxaa+−+−−=−

=−−−即得解；（3）由题可得()*111lnnNnn+，再利用放缩法证明不等式.【详解】证明:()()()()2111lnxfxx−+=+，在()1,0-上，()0fx¢>，函数()fx单调递增，在()0,+?上，()0fx¢<，函数()fx单调递减，当0x=时

，()()01maxfxf==.()()()()()()()22212112gxxfxaxxlnxaxx=+−−+=++−−+()()()224312211xaxagxaxxx+−+−=−−+=++()gx既有极大值，又有极小值，等价于()22430xaxa

+−+−=在区间(1,)−+上有两个不相等的实数根.即()()()224304144830aaaxaa+−+−−=−=−−−解得22a，所以实数a的范围(22,)a+.()3由()1得，当()0,1xfx，即()1l

nxx+，可得()*111lnnNnn+，于是11111,11122lnln++，L，111lnnn+于是()1111111123lnlnlnlnn++

++++++111123n++++=222212223232n++++++222112231nn++++−()()()1221321nn+−+−++−−1212nn=+−.【点睛】方法点睛：证明不等式常用的方

法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法.本题不等式的证明用到了综合法和放缩法.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com