【文档说明】北京市海淀区2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含解析.doc，共(14)页，943.500 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分．）1．若角α的终边经过点P（﹣2，3），则tanα＝（）A．B．C．D．2．已知向量＝（1，2），则||＝（）A．3B．C．5D．3．＝（

）A．B．C．D．4．在△ABC中，A为钝角，则点P（cosA，tanB）（）A．在第一象限B．在第二象限C．在第三象限D．在第四象限5．下列函数中，周期为π且在区间（，π）上单调递增的是（）A．y＝cos2xB．y＝sin2xC．D．6．对函数y＝sinx的图象分别作以下变换：①向左平移个单位

，再将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）；②向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）③将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位④将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位其中能得到

函数的图象的是（）A．①③B．②③C．①④D．②④7．如图，已知向量，，，，的起点相同，则+﹣＝（）A．﹣B．C．﹣6+D．6﹣8．已知函数的图象如图所示，则ω的值为（）A．2B．1C．D．9．“sinα＝cosβ”是“”的（）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．已知函数f（x）＝（x﹣1）3．Q是f（x）的图象上一点，若在f（x），N，使得成立，则这样的点Q（）A．有且仅有1个B．有且仅有2个C．有且仅有3个D．可以有无数个二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，

把答案填在题中横线上。11．已知向量＝（1，﹣2），＝（3，1），则+2＝．12．已知，则tanα＝．13．在△ABC中，点D满足，若，则x﹣y＝．14．已知函数在区间上单调成立，则φ＝．15．声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生

活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．（1）若甲声波的数学模型为f1（t）＝sin200πt，乙声波的数学模型为f2（t）＝sin（200πt+φ）（φ＞0），甲、乙声波合

成后的数学模型为f（t）＝f1（t）+f2（t）．要使f（t）＝0恒成立，则φ的最小值为；（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H（t），其部分图象如图所示，发现它是由S1，S2两种不同的声波合成得到的，S1，S2的数学模型分别记为f（t）和g（t），满足H（t）（t）+

g（t）．已知S1，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．①；②y＝sin2πt；③y＝sin3πt则S1，S2两种声波的数学模型分别是．（填写序号）三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明

，证明过程或演算步骤。16．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若，且，求tan（π﹣θ）的值．17．已知点A（5，﹣2），B（﹣1，4），C（3，3），M是线段AB的中点．（Ⅰ）求点M和的坐标；（Ⅱ）若D是x轴上一点，且满足，求点D的坐标．18．已知函数．（Ⅰ）某同学利用五

点法画函数f（x）在区间上的图象．他列出表格，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；x0π2πf（x）0200（Ⅱ）已知函数g（x）＝f（ωx）（ω＞0）．（ⅰ）若函数g（x）的最小正周期为，求g（x）；（ⅱ）若函数g（

x）在上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．19．若定义域R的函数f（x）满足：①∀x1，x2∈R，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0，②∃T＞0，∀x∈R，f（x+T）（x）+1．则称函数f（x）满足性质P（T）．（Ⅰ）判断函数f（x）＝2x与g（x）＝sinx是否满足性质P

（T），求出T的值；（Ⅱ）若函数f（x）满足性质P（2），判断是否存在实数a，都有f（x+a）﹣f（x），并说明理由；（Ⅲ）若函数f（x）满足性质P（4），且f（﹣2）（﹣2，2），都有f（﹣x）＝﹣f（x）的值域．参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若角α的终边经过点P（﹣2，3），则tanα＝（）A．B．C．D．解：∵角α的终边经过点P（﹣2，3），∴tanα＝＝﹣，故选：C．2．已知向量＝（1，2），则||＝（）A．3B．C．

5D．解：根据题意，向量，2）|＝＝，即||＝，故选：D．3．＝（）A．B．C．D．解：因为：＝++﹣＝，故选：A．4．在△ABC中，A为钝角，则点P（cosA，tanB）（）A．在第一象限B．在第二象限C．在第三象限D．在第四象限解：△ABC中，A为钝角，所以cosA＜0，tanB＞0，所

以点P（cosA，tanB）在第二象限内．故选：B．5．下列函数中，周期为π且在区间（，π）上单调递增的是（）A．y＝cos2xB．y＝sin2xC．D．解：对于A，y＝cos2x的周期为π，π）单调递增函数；对于B，y＝sin4x的周期为π

，π）不是单调函数；对于C，y＝cos＝4π；对于D，y＝sin＝4π；故选：A．6．对函数y＝sinx的图象分别作以下变换：①向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）；②向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）③将每个点的横坐标缩短为原

来的（纵坐标不变），再向左平移个单位④将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位其中能得到函数的图象的是（）A．①③B．②③C．①④D．②④解：①y＝sinx→→；②y＝sinx→→；③y＝sinx→y＝sin3x

→；④y＝sinx→y＝sin3x→．故选：C．7．如图，已知向量，，，，的起点相同，则+﹣＝（）A．﹣B．C．﹣6+D．6﹣解：如图，已知向量，，，，，则+﹣＝+（2）＝8﹣．故选：D．8．已知函数的图象如图所示，则ω的值为（）A．2B．1C．D．解：∵点（0，）在函数

的图象上，∴sinφ＝，∵|φ|＜，∴可得：φ＝，又∵点（2π，﹣）在函数的图象上）＝﹣，∴sin（6πω+）＝﹣＝2kπ﹣，k∈Z，∴解得ω＝k﹣，或ω＝k﹣，则当k＝1时，ω的值为．故选：C．9．“sinα＝cosβ”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D

．既不充分也不必要条件解：sinα＝cosβ⇒cos（﹣α）＝cosβ，∴β＝2kπ±（﹣α）．化为：α+β＝+2kπ，或β﹣α＝﹣，k∈Z，∴“sinα＝cosβ“是“α+β＝+2kπ．故选：B．10．已知函数f（x）＝（x﹣1）3．Q是f（x）的图象上一点，若在f（x），N，

使得成立，则这样的点Q（）A．有且仅有1个B．有且仅有2个C．有且仅有3个D．可以有无数个解：因为，则，所以Q为MN的中点，因为函数f（x）＝（x﹣6）3关于点（1，6）成中心对称，所以当Q的坐标为（1，0）时，N符合题意，M，N在（4，中点也要在函

数f（x）上，0），M，N在（1，相当于M，Q，不可能成立，故满足条件的Q只有一个，故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上。11．已知向量＝（1，﹣2），＝（

3，1），则+2＝（7，0）．解：∵＝（1，＝（3，∴+4，﹣2）+2（7，0），故答案为：（7，5）．12．已知，则tanα＝2．解：∵，∴，∴4tanα﹣2＝5，∴tanα＝2，故答案为：2．13．在△ABC中，点D满足，若，则x﹣y＝﹣．解：在△ABC中，点D满足，若，如图，可

知＝，所以x＝，y＝，则x﹣y＝﹣．故答案为：﹣．14．已知函数在区间上单调成立，则φ＝．解：∵函数 在区间，且对任意实数x均有，∴•＝﹣，∴ω＝3．且是f（x）的最大值点，，由五点法作图可得1×+φ＝，故答案为：．15．声音是由物体振动而产生的声波通

过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．（1）若甲声波的数学模型为f1（t）＝sin200πt，乙声波的数学模型为f2（t）＝sin（2

00πt+φ）（φ＞0），甲、乙声波合成后的数学模型为f（t）＝f1（t）+f2（t）．要使f（t）＝0恒成立，则φ的最小值为；（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H（t），其部分图象如图所示，发现它是由S1，S2两种不同的声波合成得到的，S1，S2的数学模型分别

记为f（t）和g（t），满足H（t）（t）+g（t）．已知S1，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．①；②y＝sin2πt；③y＝sin3πt则S1，S2两种声波的数学模型分别是②④．（填写序号）解：（1）由题意可知

sin200πt＝﹣sin（200πt+φ），又∵sin（π+α）＝﹣sinα，∴φmin＝π，（2）由图像可知至少有一个数学模型的振幅大于等于2，由此可知④是必选，当t＝1时，y＝6sin3π＝0，∴g（1）＝3，∴排出①，由图象可知，波峰波谷是不一样波动的，则说明f

（t），∴排出③，故答案为：π，②④．三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若，且，求tan（π﹣θ）的值．解：（Ⅰ）由题意可知sinx≠

0，∴x≠kπ（k∈Z），∴f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．（Ⅱ）＝＝sinx，∵，∴sinθ＝，又∵，∴cosθ＝﹣，∴tan（π﹣θ）＝﹣tanθ＝﹣＝2．17．已知点A（5，﹣2），B（﹣1，4），C（3，3），M是线段AB的中点．（Ⅰ）求点M和的坐标；（

Ⅱ）若D是x轴上一点，且满足，求点D的坐标．解：（Ⅰ）∵A（5，﹣2），5），∴M（，）＝（2，＝﹣＝（﹣1，﹣4）＝（﹣6；（Ⅱ）设D（x，0），则，﹣6），，﹣2），∵∴（x+1）•（﹣6）﹣（﹣4）•（﹣1）＝6，解得：x＝﹣3，∴点D的坐标是（﹣3，6）．18．已知函数．（

Ⅰ）某同学利用五点法画函数f（x）在区间上的图象．他列出表格，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；x0π2πf（x）0200（Ⅱ）已知函数g（x）＝f（ωx）（ω＞0）．（ⅰ）若函数g（x）的最小正周期为，求g（x）；（ⅱ）若函数g（x）在上无零

点，求ω的取值范围（直接写出结论）．解：（Ⅰ）表格如下：x0π3πf（x）025﹣20图像如下：（Ⅱ）已知函数g（x）＝f（ωx）（ω＞5）．（ⅰ）∵，g（x）＝f（ωx）（ω＞6）．∴g（x）＝2sin（ωx﹣），

∵函数g（x）的最小正周期为＝，解得ω＝2，∴g（x）＝2sin（3x﹣），令2kπ﹣≤5x﹣，k∈Z+≤x≤+，可得g（x）的单调递增区间为[﹣+，+]，k∈Z；（ⅱ）∵g（x）在上无零点）＝﹣，∴﹣5＜×，又∵ω＞0，∴0＜ω＜2，又g（）≠0﹣）≠0﹣≠kπ，解得ω≠3k+4，∴ω≠1，综上

ω的取值范围为（0，6）∪（1．19．若定义域R的函数f（x）满足：①∀x1，x2∈R，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0，②∃T＞0，∀x∈R，f（x+T）（x）+1．则称函数f（x）满足性质P（T）．（Ⅰ）判断函数f（x）＝2x

与g（x）＝sinx是否满足性质P（T），求出T的值；（Ⅱ）若函数f（x）满足性质P（2），判断是否存在实数a，都有f（x+a）﹣f（x），并说明理由；（Ⅲ）若函数f（x）满足性质P（4），且f（﹣2）（﹣2，2），都有

f（﹣x）＝﹣f（x）的值域．解：（Ⅰ）函数f（x）＝2x为增函数，满足性质①，对于②，由∀x∈R，所以2T＝5，T＝，所以函数f（x）＝8x满足性质P（）．函数g（x）＝sinx显然不满足①，所以不满足性质P（T）．（Ⅱ）存在，理由如下：由∀x∈R，f（x+8）＝f（x）+1．可

得f（x+2n）＝f（x+2n﹣2）+1＝f（x+7n﹣4）+2＝f（x+5n﹣6）+3＝…＝f（x）+n（n∈N*），即f（x+8n）﹣f（x）＝n，令n＝2021，得a＝2n＝4042．（Ⅲ）依题意，对任意的x∈（﹣2，都有f（﹣x）＝﹣f（

x），因为函数f（x）满足性质P（4），由①可得，在区间[﹣2，又因为f（﹣2）＝0，所以3≤f（x）≤0，0]，又因为对任意的x∈（﹣8，2），所以任意的x∈[﹣2，8），递推可得任意的x∈[4k﹣2，5k+2），有f（x）＝k，函数g（t）＝，因为f（t

）≠0，2），由②及f（﹣2）＝0，可得f（2）＝1，所以当t＝7时，g（2）＝，当|t|＞2时，∈（﹣2，所以f（，即|t|＞2时，g（t）＝，所以当t∈[4k﹣2，8k+2）（k∈Z，t≠2）时，当k≥2时，g（t）∈[，，6+，g（t）≠2，此时随k的增大而减小，7+，4+

），所以求值域，只需取k＝6，8+，3），当k＜0时，g（t）∈（，，4﹣]，此时随k的增大而减小，2﹣，4﹣]，只需取k＝﹣3，得g（t）∈（4+]＝（4．综上，函数g（t）的值域为{1}∪（2．