【文档说明】河南省沈丘县第一高级中学2020-2021学年高二上学期调研考试数学（理）试卷 含答案.doc，共(16)页，1.570 MB，由管理员店铺上传

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12020—2021学年度上期高中调研考试高二年级理数试题时间：120分钟分值：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要1.设命题p:0x,ln1xx−,则p为()A.0x,ln1xx−B.0x,ln

1xx−C.00x,00ln1xx−D.00x,00ln1xx−2．若,,abcR且ab，则下列不等式成立的是()A．22abB．11abC．acbcD．2211abcc++3．《九章算术》“竹

九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共6升，下面3节的容积共12升，则第5节的容积为（）升。A．2B．3C．4D．54.设na是公比为的等比数列，则“”是“na为递增数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不

充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5．曲线方程2222+4)+4)10xyxy++−=（（的化简结果为（）A．2212516xy+=B．2212516yx+=C．221259xy+=D．221259yx+=6.在长方体1111ABCDABCD−中，1A

BBC==，12AA=，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为A.15B.56C.55D.30107.若双曲线的左、右焦点分别为12,FF，点P在双曲线E上，且17PF=，则2PF等于（）2A.1或13B.1C.13D.1或128.

给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则pq、均为假命题；②命题“若1a=−，则函数()221fxaxx=+−只有一个零点”的逆命题为真命题；③若p是q的必要条件，则p是q的充分条件；④在ABC中，“AB”是“sinsinAB”的充要条件.其中正确的

命题的个数是（）A.1B.2C.3D.49.圆A的半径为6，圆心为1,0,()(,0)1AB−是圆A内一个定点，P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线与半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为（）A.22134xy+=B.22198xy+=C.22

143xy+=D.22189xy+=10.已知(1)2f=，0(13)(1)limxfxfx→+−等于（）A.1B.-1C.3D.611.如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD为正方形，且=SASBSCSD==,其中E，M，N分

别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②//EPBD；③EP⊥面SAC；④//EP面SBD；其中恒成立的为（）A.①③B.③④C.①④D.②③12.已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲

线有公共焦点,左､右焦点分别为1F,2F,且两条曲线在第一象限的交点为P,12PFF是以1PF为底边的等腰三角形,若112PF=,椭圆与双曲线的离心率分别为1e,2e,则12ee的取值范围是()3A.1,9+B.1,4+C.1,3+D.5,3+

二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.抛物线214yx=−的准线方程是________14.过点(2,1)M作斜率为12−的直线与椭圆C：22221(0)xyabab+=相交于,AB，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为．15

．设31:12xpx−−，2:(21)(1)0qxaxaa−+++，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围________16.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪。在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为邪田，两畔CDAB，分别

为1，3，正广AD为23，PD⊥平面ABCD，邪所在直线与平面PAD所成角的大小为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.(本小题满分10分)已知命题p：直线y＝x＋m与焦点在x轴上的椭圆22112xym+=无公共点，

命题q：方程2212xymtmt−=−−−表示双曲线。(1)若命题p是真命题，求实数m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围。18.(本小题满分12分)求满足下列各条件的椭圆的标准方程。(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)

；(2)过点(3，-5)，且与椭圆221259yx+=有相同焦点。419.（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD−中，侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，12ABBCAD==，090BADA

BC==,E是PD的中点．(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)求二面角BPCD−−的余弦值．20(本小题满分12分)新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为300万元，每生产x万箱，需另投入成本()px万元，当产量不足90万箱时，21

()602pxxx=+；当产量不小于90万箱时，10(0)010212250pxxx=+−，若每箱口罩售价120元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）当产量为

多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？21(本小题满分12分)如图，三棱柱111ABCABC−中，AB⊥侧面11BBCC，已知13BCC=，1BC=，12ABCC==，点E是棱1CC的中点.（1）求证：1CB⊥平面ABC；EADCBP5（2）在棱CA上是否存在一点M，使得E

M与平面11ABE所成角的正弦值为3714，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由．22.(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线C于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2。(1)求抛物线C的方程；

(2)若点P(－4，0)，问x轴上是否存在点T，使得过点T的任一条直线与抛物线C交于点M，N两点，且点T到直线MP，NP的距离相等？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由。62020—2021学年度上期高中调研考试二年级

理数答案一．选择题：1【答案】D【详解】因为命题p:0x，ln1xx−，所以p为00x，00ln1xx−，故选：D【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.2．【答案】D【详解】选项A:0,1ab==−，符合ab，但不等式22a

b不成立，故本选项是错误的；选项B:当0,1ab==−符合已知条件，但零没有倒数，故11ab不成立，故本选项是错误的；选项C:当0c=时，acbc不成立，故本选项是错误的；选项D:因为210c+，所以根据不等式的性质

，由ab能推出2211abcc++，故本选项是正确的，因此本题选D.3．【答案】B【详解】设此等差数列为{}na，公差0d，由题意可得：1236aaa++=，78912aaa++=22a=84a=53a=

4【答案】D【解析】当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.考点：等比数列5．【答案】D【详解】由椭圆定义得2a=10，a=5，又c=4，方程为221259yx+=76【答案】D【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则11

(0,0,0),(1,0,0),(1,1,2),(0,0,2)DABD,所以11(1,0,2),(1,1,2)ADDB=−=,因为111111c3010os,ADDBADDBADDB==，所以异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为3010，选D.点睛：利用法向量

求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.7【答案】C【解析】由双曲线定义得1226PFPFa−==，由双曲线性质知，,

故选选C考点：双曲线的标准方程和定义．故选C8【答案】B【解析】①：若“p且q”为假命题，则pq、中至少有一个假命题，故①错误；②：若()221fxaxx=+−只有一个零点,则当0a=时,只有一个零点,或当0a时22+40a==即1a=−,故()221fxaxx=+−只有一个零点,有

0a=或1a=−,故②不正确;③若p是q的必要条件，则q是p的充分条件，因为若qppq则的逆否命题为若则,所以若p是q的必要条件，则p是q的充分条件；故③正确；④：充分性：在ABC中，若AB，则a>b，根据正弦定理sinsinabAB=，可得到sinsinAB，反之也成立，故④

项正确.故选B.9【答案】B数形结合利用垂直平分线的定义得到动点Q到定点A、B的距离之和为定值4（大于两定2113PF=或22PF8点间的距离2)AB=，符合椭圆定义，从而得到椭圆方程．【详解】解：如图，直线l为线段BP的垂直平分线，连接

BQ，由线段垂直平分线的性质得：BQPQ=，而半径APAQPQ=+，且A、B两点为定点，62AQBQAB+==，由椭圆定义得：Q点轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆，且26a=，22c=，3a=，1c=，22b=，椭圆方程

为：22198xy+=，故选：B【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆方程的求法，考查了直线的垂直平分线的性质，是中档题，也是轨迹方程的常见题型．10【答案】D【详解】因为(1)2f=，所以00(13)(1)(13)(1)

lim3lim3(1)63xxfxffxffxx→→+−+−===.故选D【点睛】本题主要考查导数的概念，熟记导数的概念即可，属于常考题型.11【答案】C【解析】分析：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．9详解

：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．对于（1），由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，C

D，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；对于（3），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥E

M，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．对于（4），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．故选：C．点睛：本题考查了空间线面、面面的位置关系判定，属于中档题．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，

判断.还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.12【答案】C【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c，1PFm=，2PFn=，()mn，12PFF是以1PF为底边的等腰三角形，若112PF=

，则12m=，2nc=，由椭圆的定义可得12mna+=，由双曲线的定义可得22mna−=，即有16ac=+，26ac=−，根据三角形三边关系可得22412ccc+=，即3c，所以36c，根据离心率公式可10得212122122136361ccceeaacc===−−，因为36

c，所以23614c，则有2111631c−，所以12ee的取值范围为1,3+.故选：C【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，考查离心率的求法，三角形的三边关系二．填空题13【答案】1y=【详解】抛物线方程可化为：24xy=−抛物线准线方程为：1

y=故答案为1y=14【答案】32【解析】设A()11,xy，B()22,xy，则2211221xyab+=①，2222221xyab+=②，∵M是线段AB的中点，∴12121,122xxyy++==，①②两式相减可得222212122

20xxyyab−−+=，即22120224abab+−==32cea==．考点：椭圆的简单性质15【答案】1,12−【详解】由3112xx−−得31211022xxxx−+−=

−−，解得122x−，设11|2,222Axx=−=−．由()()22110xaxaa−+++得()()10xaxa−−+，解得1axa+，设()|1,1Bxaxaaa=+=+．∵

q是p的必要不充分条件，∴p是q的必要不充分条件，∴BA，即(),1aa+1,22−，∴1212aa−+，解得112a−.∴实数a的取值范围为1,12−．1116【答案】6【详解】过点C作CEAB⊥，垂足为E

，延长ADBC，，使得ADBCF=（如图）.由题意可得23,2CEBE==，则1244BC=+=由题意知,//ABADCDAB⊥，所以13DFCDAFAB==，所以3DF=.因为PD⊥平面ABCD，所以PDA

B⊥，又ABAD⊥，所以AB⊥平面PAD，则AFB是直线BC与平面PAD所成角的平面角，33tan333ABAFBAF===，所以6AFB=故答案为：6【点睛】本题以数学文化为载体，考查了线面角及线面垂直的证

明，考查了转化与化归思想及推理论证能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【解析】（1）∵椭圆22121xym+=的焦点在x轴上，∴012m，……2分又∵直线yxm=+与椭圆无公共点，由22112xymyxm+==+得(

)22122412120mxmxmm+++−=，由0，得4m或3−m，结合012m，可得412m，即命题p是真命题，实数m的取值范围为412m……5分12（2）:q方程2212xymtmt−=−−−表示双曲线，∴()()20mtmt−−−，解得tm或2+tm，……

8分又∵p是q的充分不必要条件，124|mm是2|+tmtmm或的真子集，即12t或24t+，解得12t或2t，所以实数t的取值范围2t或12t.……10分18【解析】(1)若椭圆焦点在x轴上，设所求椭圆的标准方程为22

221xyab+=(a>b>0)∵长轴是短轴的3倍∴a=3b又∵椭圆经过点A(3，0)∴2222301ab+=，得到a=3∴b=1，所以2219xy+=……2分若椭圆焦点在y轴上，设所求椭圆的标准方程为22221yxab+=(a>b>0)∵长轴是短轴的3倍，∴a=3b又∵椭圆经过点A(3，0

)∴2222031ab+=，得到b=3，∴a=9∴221819yx+=……5分所以椭圆的标准方程为。2219xy+=或221819yx+=.……6分(2）椭圆221259yx+=的焦点为(0，4)设该椭圆方程为22221yxab+=(a>b

>0)，因此2216ab−=①……8分13∵椭圆过(3，-5)，22531ab+=(a>b>0)②……10分联立①②式，解得a2=20，b2=4.因此该椭圆方程为221204yx+=.12分19.解：(1)取PA的中点F，连FEFB、，E是PD的中点,FE//=

12AD，………………………………2分又BC//=12ADFE//=BC四边形EFBC是平行四边形…………………………4分CE∥BF又CE平面PAB，BF平面PAB………………5分CE∥平面PAB……

…………………6分(2)在平面PAB内作POAB⊥于O，不妨令122ABBCAD===，则4AD=由PAB是等边三角形，则2PAPB==，O为AB的中点，3PO=分别以AB、PO所在的直线为x轴和z

轴，以底面内AB的中垂线为y轴建立空间直角坐标系，………………………………7分则(0,0,3)P，(1,0,0)B，(1,2,0)C，(1,4,0)D−(1,2,3)PC=−，(0,2,0)BC=，(2,2,0)C

D=−………8分设平面PBC的法向量为111(,,1)nxy=，平面PDC的法向量为222(1,,)nyz=−，则1111111230300200nPCxyxynBCy=+−====++=

则1(3,0,1)n=……9分22222221123032200ynPCyzznCDy=−=−+−==−=++=则2(1,1,3)n=−−−…………10分121212(3,0,1)(1,1,

3)2315cos,5||||2525nnnnnn−−−−====−…………11分MFPBCDAEOyxzEADCBP14经检验，二面角BPCD−−的余弦值的大小为155−.………………………………12分20

【解析】（1）当090x时，2211120603006030022yxxxxx=−+−=−+−；……2分当90x时，100010000120121225030010950yxxxxx=−+−−=−+，……4分∴

2160300,0902100001950,90xxxyxxx−+−=−+，……6分（2）当090x时，221160300(60)150022yxxx=−+−=−−+，∴当60x=时，y取最大值，最大值为1500万元；……18分当90x时

，10000100001950195021750yxxxx=−+−=，当且仅当10000xx=，即100x=时，y取得最大值，最大值为1750万元．……11分综上，当产量为100万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1750万元．……12

分21.（1）由题意，因为1BC=，12CC=，13BCC=，∴13BC=，又∴22211BCBCCC+=，∴1BCBC⊥，∵AB⊥侧面11BBCC，∴1ABBC⊥.又∵ABBCB=，AB，BC平

面ABC∴直线1CB⊥平面ABC.……5分15（2）以B为原点，分别以BC，1BC和BA的方向为x，y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,0,2A，()11,3,0B−，13,,022E，()11,3,2A−，……6分设平面11ABE的一个法向量为()

,,mxyz=，()110,0,2AB=−，133,,222AE=−−，∵11100mABmAE==，∴20332022zxyz−=−−=，令3y=，则1x=，∴()1,3,0m=…8分假设存在点M，设(),,Mxyz，∵CM

CA=，0,1，∴()()1,,1,0,2xyz−=−，∴()1,0,2M−∴13,,222EM=−−设平面11ABE的一个法向量为()1,3,0m=，……10分∴2213322141327424−−=−++

，得2382320−+=.即()()211920−−=，∴12=或219=，∴12CMCA=或219CMCA=.……12分22、【解析】（1）设),(11yxA，),(22yxB,则1212pxy=,2222pxy=，因为线段AB的中点的纵坐标为2，则4

21=+yy，两式相减得24221212121ppyypxxyykAB==+=−−==，16所以2=p，即抛物线C的方程为xy42=……4分（2）假设存在这样的点T满足条件，设为)0,(tT，因为点T到直线MP、NP的距离

相等，所以TP为MPN的角平分线，则NPTMPT=，可得0=+NPMPkk，……5分显然直线MN的斜率不能为零，故设直线MN的方程为tmyx+=，设),(33yxM，),(44yxN,由=+=xytmyx42联立

得0442=−−tmyy，则有−==++=tyymyytm440161643432，…7分得0)4)(4()4()4(444334434433=+++++=+++=+xxxyxyxyxykkNPMP，即0)4()4(3443=+

++++tmyytmyy，化简整理得0))(4(24343=+++yytymy，……10分即0)4)(4()4(2=++−mttm，得0164=+−mmt，即0)4(4=−−tm对于任意的Rm恒成立，所以4=t，且此时满足0，所以在

x轴上存在)0,4(T使得点T到直线MP、NP的距离相等.……12分