【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题4.8 对数函数-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(14)页，116.856 KB，由小赞的店铺上传

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专题4.8对数函数-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（）A．𝑦=log𝑎(2𝑥)B．𝑦=lg10𝑥C．𝑦=log𝑎(𝑥2+𝑥)

D．𝑦=ln𝑥【解题思路】根据对数函数的概念即得.【解答过程】因为函数𝑦=log𝑎𝑥(𝑎>0且𝑎≠1)为对数函数，所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D.2．（3分）（2022·北京

东城·高二期末）若函数𝑓(𝑥)=log2(𝑥+𝑎)的图象过点(−2,0)，则𝑎=（）A．3B．1C．-1D．-3【解题思路】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解.【解答过程】解：由已知得𝑓(−2)=log2(−2+𝑎)=

0，所以−2+𝑎=1，解得：𝑎=3，故选：A．3．（3分）（2022·广东·高一期中）函数𝑓(𝑥)=√2𝑥−1+lg(𝑥−2)定义域为（）A．[0，2)B．(2，+∞)C．[12，2)D．[12，+∞)【

解题思路】利用根号下的数大于等于0，对数真数大于0，解得函数的定义域.【解答过程】由题意可得：{2𝑥−1≥0𝑥−2>0，解得𝑥>2，故选：B.4．（3分）（2022·河南·高三阶段练习（文））设𝑎=1.25，𝑏=log34，𝑐=log45，则𝑎,𝑏,𝑐的

大小关系是（）A．𝑎>𝑏>𝑐B．𝑏>𝑐>𝑎C．𝑏>𝑎>𝑐D．𝑐>𝑏>𝑎【解题思路】根据对数运算可将𝑎化为log4√10244和log3√2434，由𝑏=log3√2564、𝑐=log4√6254可比较出大小关系.【解答过程】∵𝑎=1.25=54=l

og4√454=log4√10244，𝑐=log45=log4√544=log4√6254，∴𝑎>𝑐；∵𝑎=1.25=log3√354=log3√2434，𝑏=log34=log3√444=log3√2564，∴𝑏>𝑎；∴𝑏>𝑎>𝑐.故选：C.5．（3分）（2023·全

国·高三专题练习）已知log2𝑎+log2𝑏=0（𝑎>0且𝑎≠1，𝑏>0且𝑏≠1），则函数𝑓(𝑥)=(1𝑎)𝑥与𝑔(𝑥)=log𝑏𝑥的图像可能是（）A．B．C．D．【解题思路

】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．【解答过程】log2𝑎+log2𝑏=0，即为log2𝑎𝑏=0，即有ab＝1.当a＞1时，0＜b＜1，函数𝑓(𝑥)=(1𝑎)𝑥与𝑔(𝑥)=log𝑏𝑥均为减函数，四个图

像均不满足当0＜a＜1时，b＞1，函数数𝑓(𝑥)=(1𝑎)𝑥与𝑔(𝑥)=log𝑏𝑥均为增函数，排除ACD在同一坐标系中的图像可能是B，故选：B．6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知函数𝑓(𝑥)=

lg(𝑥2+𝑎𝑥−𝑎−1)，给出下述论述，其中正确的是（）A．当𝑎=0时，𝑓(𝑥)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)B．𝑓(𝑥)一定有最小值C．当𝑎=0时，𝑓(𝑥)的定义域为𝑅D．若𝑓(𝑥)在区间[2,+∞)上单调递增

，则实数𝑎的取值范围是{𝑎|𝑎≥−4}【解题思路】对于AC:直接求出定义域，即可判断；对于B:取特殊情况，a=0时，值域为R，否定结论；对于D:取特殊情况，a=-4时否定结论.【解答过程】对A，当𝑎=0时，解𝑥2−1>0有𝑥∈(−∞,

−1)∪(1,+∞)，故A正确；对B，当𝑎=0时，𝑓(𝑥)=lg(𝑥2−1)，此时𝑥∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，𝑥2−1∈(0,+∞)，此时𝑓(𝑥)=lg(𝑥2−1)值域为𝑅，故B错误；对C，由A，𝑓(𝑥)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)

，故C错误；对D，若𝑓(𝑥)在区间[2,+∞)上单调递增，此时𝑦=𝑥2+𝑎𝑥−𝑎−1在[2,+∞)上单调递增，所以对称轴𝑥=−𝑎2≤2，解得𝑎≥−4，但当𝑎=−4时，𝑓(𝑥)=lg(𝑥2−4𝑥+3)在𝑥=2处无定义，故D错误

.故选：A.7．（3分）（2022·广东·高三阶段练习）已知奇函数𝑓(𝑥)在𝐑上单调递增，且𝑓(1)=1，则关于𝑥的不等式𝑓(ln𝑥)<𝑓(−ln𝑥)+2的解集为（）A．(0,1)B．(1,+∞)C．(0,e)D．(e,+∞)【解题思

路】利用奇偶性改变自变量的符号，利用单调性脱掉函数记号，即可求解【解答过程】因为𝑓(𝑥)为奇函数，所以𝑓(−ln𝑥)=−𝑓(ln𝑥)，所以原不等式可化为2𝑓(ln𝑥)<2，即𝑓(ln𝑥)<1，因为𝑓(𝑥)单调递增，且𝑓(1)=1，所以ln𝑥<1，解得𝑥∈(

0,e).故选：C.8．（3分）（2022·浙江高一期中）声强级Li（单位：dB）为声强I（单位：ωm2⁄）之间的关系是：𝐿𝑖=10lg𝐼𝐼0，其中𝐼0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1ω/m2，对应的声强级为120dB

，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中错误的是（）A．闻阈的声强级为0dBB．此歌唱家唱歌时的声强范围[10−5,10−4]（单位：ω/m2）C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D．声强级增加10dB，则声强变

为原来的10倍【解题思路】根据题设可得𝐿𝑖=10lg(1012𝐼)=120+10lg𝐼，令𝐼=10−12ωm2⁄求声强级判断A；将𝐿𝑖=70、𝐿𝑖=80代入求声强范围判断B；对𝐼1,2𝐼1对应声强级作商、𝐿𝑖,𝐿𝑖+10对应声强作商

判断C、D.【解答过程】由题意10lg1𝐼0=120，则𝐼0=10−12ωm2⁄，故𝐿𝑖=10lg(1012𝐼)=120+10lg𝐼，当𝐼=10−12ωm2⁄时，𝐿𝑖=0dB，A正确；若𝐿𝑖=70dB，即10lg𝐼=−50，则𝐼=10−5ωm2⁄；若𝐿

𝑖=80dB，即10lg𝐼=−40，则𝐼=10−4ωm2⁄，故歌唱家唱歌时的声强范围[10−5,10−4]（单位：ω/m2），B正确；将𝐼1,2𝐼1对应的声强级作商为10lg(2×1012𝐼1)1

0lg(1012𝐼1)≠2，C错误；将𝐿𝑖,𝐿𝑖+10对应声强作商为10𝐿𝑖+10−1201010𝐿𝑖−12010=10，D正确.故选：C.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·浙江省高一期末）

已知𝑎=log23,𝑏=ln2,𝑐=log2𝜋，则𝑎,𝑏,𝑐的大小关系为（）A．𝑏>𝑎B．𝑎>𝑏C．𝑐>𝑎D．𝑎>𝑐【解题思路】利用对数函数单调性比较大小即可.【解答过程】因为𝑓(𝑥)=log2𝑥为单调递增函数，所以log2𝜋>log23>1，又因为ln2<1

，所以𝑐>𝑎>𝑏故选：BC.10．（4分）（2022·河南·高二阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=lg(𝑥2+𝑎𝑥−𝑎)，下列说法中正确的是（）A．若𝑓(𝑥)的定义域为R，则−4≤𝑎≤0B．若𝑓(𝑥)的值域为R，则𝑎≤

−4或𝑎≥0C．若𝑎=2，则𝑓(𝑥)的单调减区间为(−∞，−1)D．若𝑓(𝑥)在(−2，−1)上单调递减，则𝑎≤12【解题思路】根据函数的知识对选项逐一判断【解答过程】对于A，若𝑓(𝑥)的定义域为R，则𝑥2+𝑎𝑥−𝑎>0在R上

恒成立，所以𝑎2+4𝑎<0，所以−4<𝑎<0，所以A错误；对于B，若𝑓(𝑥)的值域为R，则𝑎2+4𝑎≥0，所以𝑎≥0或𝑎≤−4，所以B正确：对于C，若𝑎=2，则𝑓(𝑥)=lg(𝑥2

+2𝑥−2)，函数的定义域为(−∞,−1−√3)∪(−1+√3,+∞)，设𝑢=𝑥2+2𝑥−2,𝑣=lg𝑢，即求函数𝑢=𝑥2+2𝑥−2的减区间，由复合函数的单调性原理得函数的单减区间为(−∞,−1−√3)，所以C错误；对于D，若𝑓(𝑥)在(−2,−1)上单调递减，则(

−1)2+𝑎(−1)−𝑎≥0且−𝑎2≥−1，所以𝑎≤12，所以D正确．故选：BD.11．（4分）（2022·河北高一期末）已知函数𝑓(𝑥)=log𝑎𝑥+𝑏(𝑎>0，且𝑎≠1,𝑏∈R)的图象过𝐴(1,2),𝐵(12,1)两点，则下列函数图象（部分）正确的是（）A

．B．C．D．【解题思路】根据给定条件，求出常数a，b的值，再逐项分析即可判断作答.【解答过程】由函数𝑓(𝑥)的图象过𝐴,𝐵两点，则有{𝑓(1)=𝑏=2𝑓(12)=−log𝑎2+𝑏=1，解得𝑎=2,𝑏=2，对于A，

函数𝑦=−log2𝑥+2的图象过点(1,2)，点(4,0)，A正确；对于B，函数𝑦=log2(𝑥+2)的图象过点(0,1)，点(2,2)，B正确；对于C，函数𝑦=2𝑥+2的图象不过点(2,2)，

C不正确；对于D，函数𝑦=2−𝑥−2的图象过点(−1,0)，点(0,−1)，D正确.故选：ABD.12．（4分）（2022·全国·高一单元测试）已知函数𝑓(𝑥)=log2(𝑚𝑥2+2𝑥+𝑚−1)，𝑚∈

R，则下列说法正确的是（）A．若函数𝑓(𝑥)的定义域为R，则实数𝑚的取值范围是(1+√52,+∞)B．若函数𝑓(𝑥)的值域为[−1,+∞)，则实数𝑚=12C．若函数𝑓(𝑥)在区间[2,+∞)上为增函数，则实数𝑚的取值范围是[0,+

∞)D．若𝑚=0，则不等式𝑓(𝑥)<1的解集为{𝑥|𝑥<32}【解题思路】函数𝑓(𝑥)的定义域为R等价于𝑚𝑥2+2𝑥+𝑚−1>0恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数𝑚的取值范围；若函数𝑓(𝑥)的值域为[−1,+∞)等价于𝑦=𝑚𝑥2+2

𝑥+𝑚−1的最小值为12，由此可列出方程，即可求出实数𝑚的值；若函数𝑓(𝑥)在区间[2,+∞)上为增函数等价于函数𝑦=𝑚𝑥2+2𝑥+𝑚−1在区间[2,+∞)上为增函数且𝑚𝑥2+2�

�+𝑚−1>0恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数𝑚的取值范围；若𝑚=0，𝑓(𝑥)=log2(2𝑥−1)，即可解出不等式𝑓(𝑥)<1；即可选出答案.【解答过程】对于A，因为𝑓(𝑥)的定义域为R，所以𝑚𝑥2+2𝑥+𝑚−1>0恒成立，则{𝑚>0Δ=4−4𝑚

(𝑚−1)<0，解得𝑚>1+√52，故A正确；对于B，因为𝑓(𝑥)的值域为[−1,+∞)，所以𝑦=𝑚𝑥2+2𝑥+𝑚−1的最小值为12，所以{𝑚>0𝑚(−1𝑚)2+2(−1𝑚)+𝑚−1=

12，解得𝑚=2，故B错误；对于C，因为函数𝑓(𝑥)在区间[2,+∞)上为增函数，所以当m=0时，𝑓(𝑥)=log2(2𝑥−1)，符合题意；当𝑚≠0时，{𝑚>0−1𝑚≤24𝑚+4+𝑚−1>0，解得𝑚>0；所以𝑚≥0，故C正确；对于

D，当m=0时，𝑓(𝑥)=log2(2𝑥−1)，由𝑓(𝑥)<1，可得0<2𝑥−1<2，解得12<𝑥<32，故D错误.故选：AC.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·四川省模拟预测（文））设𝑎=2log32，

𝑏=log915，𝑐=3−1，则a，b，c大小关系为𝑎>𝑏>𝑐.【解题思路】根据对数的运算及对数函数的单调性，结合指数的运算即可求解.【解答过程】由题意可知，𝑎=2log32=log34=log3√16，𝑏=log915=log3215=12log315=log3√15，当�

�>1时，𝑦=log𝑎𝑥在(0,+∞)上单调递增，因为∵√16>√15,∴log3√16>log3√15>log33=1，即𝑎>𝑏>1.𝑐=3−1=13<1，所以𝑎>𝑏>𝑐.故答案为：𝑎>𝑏

>𝑐.14．（4分）（2022·全国·高一专题练习）不等式log12(−𝑥2−𝑥+7)>0的解集为(−1−√292,−3)∪(2,−1+√292).【解题思路】运用对数函数的单调性，及二次不等式的解法，即得.【解答过程】由log12(−𝑥2−𝑥+7)>0，可

得log12(−𝑥2−𝑥+7)>log121，所以{−𝑥2−𝑥+7<1−𝑥2−𝑥+7>0，解得：−1−√292<𝑥<−3或2<𝑥<−1+√292，∴不等式log12(−𝑥2−𝑥+7)>0的解集为(−1−√292,−3)∪(2,−1+√292).故答案为：(−1−√292,−

3)∪(2,−1+√292).15．（4分）（2022·全国·高一课时练习）2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式𝐶=𝑊log

2(1+𝑆𝑁)是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中𝑆𝑁叫作信噪比．若不改变信道带宽W，而将信噪比

𝑆𝑁从11提升至499，则最大信息传递速率C大约会提升到原来的2.5倍（结果保留1位小数）．（参考数据：log23≈1.58，log25≈2.32）【解题思路】设提升前最大信息传递速率为𝐶1，提升后最大信息传递速率为𝐶2，根据题意求出𝐶2𝐶1，再利用

指数、对数的运算性质化简计算即可【解答过程】设提升前最大信息传递速率为𝐶1，提升后最大信息传递速率为𝐶2，则由题意可知，𝐶1=𝑊log2(1+11)=𝑊log212，𝐶2=𝑊log2(1+499)=𝑊log2500，所以𝐶2𝐶1=𝑊l

og2500𝑊log212=log2(22×53)log2(22×3)=log222+log253log222+log23=2+3log252+log23≈2+3×2.322+1.58=8.963.58≈2.5，所以最大信息传递速率C会提升到原来的2.5倍．故答案为：2.5.16．

（4分）（2022·全国·高一专题练习）关于函数𝑦=log2（𝑥2－2𝑥+3）有以下4个结论：①该函数是偶函数；②定义域为（−∞，−3]∪（1，+∞）；③递增区间为[1，+∞）；④最小值为1；其中正确结论的序号是③④．【解题思路】利用函数有意

义求得定义域，得②错误；利用偶函数定义得①错误，然后利用复合函数的单调性得③正确，当𝑥=1时函数取最小值为1，故④正确.【解答过程】函数𝑦=𝑓(𝑥)=log2（𝑥2−2𝑥+3）的定义域为𝑅，故②错

误；𝑓（−𝑥）=log2（𝑥2+2𝑥+3）≠𝑓（𝑥），故𝑓（𝑥）不是偶函数，故①错误；令𝑡=𝑥2−2𝑥+3，则𝑦=log2𝑡，由𝑡=𝑥2−2𝑥+3的单调递增区间为[1，+∞）；𝑦=log2𝑡为增函数，故函数𝑦=log2（�

�2−2𝑥+3）的递增区间为[1，+∞），故③正确；当𝑥=1时函数取最小值为1，故④正确；故正确结论的序号是：③④．故答案为：③④.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高一课时练习）解关于𝑥的不等式

：log𝑎(𝑥+1)>log𝑎(3−𝑥2)（𝑎>0，且𝑎≠1）．【解题思路】分成𝑎>1，0<𝑎<1进行讨论，结合对数函数的单调性及定义域即可列出关于𝑥的不等式，进而即得.【解答过程】当𝑎>1时，原不等式等价于{3−𝑥2>0�

�+1>3−𝑥2，即{−√3<𝑥<√3𝑥>1或𝑥<−2，解得1<𝑥<√3，所以当𝑎>1时，原不等式的解集为{𝑥|1<𝑥<√3}；当0<𝑎<1时，原不等式等价于{𝑥+1>0𝑥+1<

3−𝑥2，即{𝑥>−1−2<𝑥<1，解得−1<𝑥<1，所以当0<𝑎<1时，原不等式的解集为{𝑥|−1<𝑥<1}；综上，当𝑎>1时，原不等式的解集为{𝑥|1<𝑥<√3}；当0<𝑎<1时，原不等式的解集为{𝑥|−1<𝑥<1}．

18．（6分）（2022·全国·高一专题练习）比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；【解题思路】利用对数函数的单调性比较大小即可.【解答过程】(1)解：由于对数函数𝑦=log3𝑥

在(0,+∞)上单调递增，得：log31.9<log32.(2)解：由对数函数𝑦=log2𝑥在(0,+∞)上单调递增，𝑦=log0.3𝑥在(0,+∞)上单调递减，得log23>log22=1，log

0.32<log0.31=0即：log23>log0.32.19．（8分）（2022·湖南·高一课时练习）对于函数𝑦=log𝑚𝑥与𝑦=log𝑛𝑥．(1)若0<𝑚<𝑛<1，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？(2)若1<𝑚<𝑛，你能在直角

坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？【解题思路】（1）根据对数函数的性质作答；（2）根据对数函数的性质作答．【解答过程】(1)图象如图：图象都过(1,0)点，函数都是单调递减，在直线𝑥=1右侧，底数越小，越靠近𝑥轴；(2)图象都

过(1,0)点，函数都是单调递增，在直线𝑥=1右侧，底数越大，越靠近𝑥轴．20．（8分）（2022·全国·高一单元测试）已知函数𝑓(𝑥)=log12(4−𝑥)−log12(4+𝑥)(1)求函数𝑓(𝑥)的定义域；(2)判断并证明函数𝑓(𝑥)的

奇偶性；(3)求不等式𝑓(𝑥)<0的解集.【解题思路】（1）由对数的真数大于零，解不等式组可求得答案，（2）利用奇偶性的定义判断，（3）利用对数函数的性质直接解不等式即可.【解答过程】（1）由{4−𝑥>04+�

�>0，得−4<𝑥<4，所以函数的定义域为(−4,4)，（2）函数为奇函数，证明如下：因为函数的定义域为(−4,4)，所以定义域关于原点对称，因为𝑓(−𝑥)=log12(4+𝑥)−log12(4−𝑥)=−[log12(4−𝑥)−log12(4+𝑥)]=−𝑓

(𝑥)，所以𝑓(𝑥)为奇函数，（3）由𝑓(𝑥)<0，得log12(4−𝑥)−log12(4+𝑥)<0，所以log12(4−𝑥)<log12(4+𝑥)，因为𝑦=log12𝑥在定义域内为减函数，所

以{4−𝑥>04+𝑥>04−𝑥>4+𝑥，解得−4<𝑥<0，所以不等式𝑓(𝑥)<0的解集为(−4,0).21．（8分）（2022·河南·高一期末）有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表

示为函数𝑣=12log3𝑥100−lg𝑥0，单位是𝑘𝑚/min，其中𝑥表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，𝑥0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg2=0.30，31.2=3.74，31.4=4.66,31.56=5.55）(1)若�

�0=3，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少𝑘𝑚/min？(2)若𝑥0=6，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？(3)若雄鸟的飞行速度为2.5𝑘𝑚/min，雌鸟的飞行速度为1.5𝑘𝑚/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量

是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【解题思路】（1）直接代入求值即可，其中要注意对数的运算；（2）还是代入求值即可；（3）代入后得两个方程，此时我们不需要解出𝑥1、𝑥2，只要求出它们的比值即可，所以由对数的运算性质，让两式相减，就可求得𝑥1𝑥2=9．【解答过程】(1)解：因为候鸟的飞行速度

可以表示为函数𝑣=12log3𝑥100−lg𝑥0，所以将𝑥0=3，𝑥=8100代入函数式可得：𝑣=12log381−lg3=2−0.48=1.52故此时候鸟飞行速度为1.52𝑘𝑚/min.(2)解：因为候鸟的飞行速度可以表示为函数𝑣=12log3𝑥100−lg�

�0，将𝑥0=6，𝑣=0代入函数式可得：0=12log3𝑥100−lg6即log3𝑥100=2lg6=2(lg2+lg3)=1.56所以𝑥100=31.56=5.55于是𝑥=555．故候鸟停下休息时

，它每分钟的耗氧量为555个单位．(3)解：设雄鸟每分钟的耗氧量为𝑥1，雌鸟每分钟的耗氧量为𝑥2，依题意可得：{2.5=12log3𝑥1100−lg𝑥01.5=12log3𝑥2100−lg𝑥0，两式相减

可得：1=12log3𝑥1𝑥2，于是𝑥1𝑥2=9．故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．22．（8分）（2022·山东·高一阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥−𝑎2)+log𝑎(𝑥−𝑎)（𝑎

>0且𝑎≠1）．(1)当𝑎=2时，解不等式𝑓(𝑥)>log26；(2)∀𝑥∈[2𝑎,4𝑎]，𝑓(𝑥)≤1，求实数𝑎的取值范围；(3)在（2）的条件下，是否存在𝛼，𝛽∈(𝑎，+∞)，使𝑓(𝑥)在区间[𝛼，𝛽]上的值域是[lo

g𝑎𝛽，log𝑎𝛼]？若存在，求实数𝑎的取值范围；若不存在，试说明理由．【解题思路】（1）先求定义域，然后根据单调性解不等式可得；（2）将问题转化为最值问题，然后分0<𝑎<1和𝑎>1，利用单调性求解即可；（3）利用单调性得到𝛼和𝛽满足的方程，然后构

造函数，由判别式列式求解可得.【解答过程】（1）𝑎=2时，𝑓(𝑥)=log2(𝑥−1)+log2(𝑥−2)=log2(𝑥2−3𝑥+2)，由{𝑥−1>0𝑥−2>0，解得𝑥>2，即函数定义域

为(2，+∞)，因为𝑓(𝑥)>log26，即log2(𝑥2−3𝑥+2)>log26，所以𝑥2−3𝑥+2>6，即𝑥2−3𝑥－4>0，解得𝑥<−1或𝑥>4，又𝑥∈(2，+∞)，所以不等式𝑓(𝑥)>log26的解集为

(4，+∞)．（2）∀𝑥∈[2𝑎，4𝑎]，𝑓(𝑥)≤1，即𝑓(𝑥)max≤1成立，又𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥2−32𝑎𝑥+𝑎22)=log𝑎[(𝑥−3𝑎4)2−𝑎216]函数𝑡=(𝑥−34𝑎)2−�

�216在[2𝑎，4𝑎]上为增函数，①若0<𝑎<1，则𝑓(2𝑎)≤1，所以log𝑎[(2𝑎−3𝑎4)2−𝑎216]≤1，即(2𝑎−3𝑎4)2−𝑎216≥𝑎，则𝑎(32𝑎−1)≥0，解得𝑎≥23或𝑎≤0．又0<𝑎<1，所以23≤

𝑎<1．②若𝑎>1，则𝑓(4𝑎)≤1，所以log𝑎[(4𝑎−3𝑎4)2−𝑎216]≤1，即(4𝑎−3𝑎4)2−𝑎216≤𝑎，则(212𝑎−1)𝑎≤0，解得0≤𝑎≤221，又𝑎>1，所以𝑎∈∅．

综上𝑎的取值范围为[23，1)（3）假设存在𝛼，𝛽满足题意，由（2）知23≤𝑎<1，所以𝑓(𝑥)在(𝑎，+∞)上是减函数，则{𝑓(𝛼)=log𝑎𝛼𝑓(𝛽)=log𝑎𝛽，所以{𝛼2

−32𝑎𝛼+𝑎22=𝛼𝛽2−32𝑎𝛽+𝑎22=𝛽，即𝛼，𝛽是方程𝑥2−32𝑎𝑥+𝑎22=𝑥的大于𝑎的两个不等实根，设ℎ(𝑥)=𝑥2−(32𝑎+1)𝑥+𝑎22，其对称轴为𝑥=34𝑎+12，由题意得{34𝑎+12>�

�Δ=(32𝑎+1)2−4×𝑎22>0ℎ(𝑎)>0，解得𝑎<−6−4√2或4√2−6<𝑎<0又23≤𝑎<1，所以𝑎∈∅．综上，不存在满足题意的实数𝛼，𝛽．