【文档说明】【精准解析】湖南省长沙市明德中学2020届高三下学期3月月考数学（理）试题.doc，共(26)页，2.451 MB，由小赞的店铺上传

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2020届高三月考试卷数学（理科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本

试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个是正确的.1.设集合|1Ayyx==−

，|(1)(2)0Bxxx=+−，则AB=（）A.)1,2B.(1,1−C.)0,2D.()1,2−【答案】C【解析】【分析】分别求出集合A、B，再利用交集定义计算即可.【详解】由题意{|0}Ayy=

，{|12}Bxx=−，[0,2)AB=.故选：C.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.2.已知复数z满足0zz−=，且4zz=，则z=（）A.2B.2iC.2D.2i【答案】C【解析】【分析】根据共轭复数概念以及复数乘法列方程，解得结果.

【详解】设(,)zxyixyR=+,则zxyi=−，0zz−=，且4zz=，200yiy==，且22422xyxz+===.故选：C【点睛】本题考查共轭复数概念以及复数乘法，考查基本分析求解能力，属基础题.3.下列说法正确的是（）A.“若6=，则1sin2=”的否命题是“若

6=，则1sin2”B.若命题pq，均为真命题，则命题pq为真命题C.命题:p“0Rx，20050xx−−”的否定为:p“xR，250xx−−”D.在ABC中“2C=”是“sincosAB=”的充要条件【答案】C【解析】【分析

】依次对所给选项进行判断即可.【详解】“若6=，则1sin2=”的否命题是“若6，则1sin2”，所以A不正确；若命题p，q均为真命题，则q是假命题，所以命题pq为假命题，所以B不正确；命题p：“2000,50xxx−−R”的否定为p：“xR，

250xx−−”，所以C正确；在ABC中，“2C=”“2AB+=”“2AB=−”sincosAB=，反之sincosAB=，2AB+=，或2AB=+，“2C=”不一定成立，2C=是sincosA

B=成立的充分不必要条件，所以D不正确.故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到否命题，充分条件，必要条件，复合命题的真假判断，特称命题的否定等知识，是一道容易题.4.已知向量a、b满足||1a=，||2b=，|2|3|2|abab+=−，则a与b

夹角为（）A.30B.45C.60D.120【答案】C【解析】【分析】将|2|3|2|abab+=−两端平方即可得到1ab=，再利用数量积的定义计算即可得到答案.【详解】由已知，22(2)3(2)abab+=

−，即()222244344aabbaabb++=−+.因为||1a=，||2b=，则21a=，24b=r，所以843(84)abab+=−，即1ab=.设向量a与b的夹角为，则cos1ab

=，即1cos2=，又[0,]，所以60=.故选：C【点睛】本题考查向量的夹角的计算，涉及到向量数量积的运算性质，数量积的定义等知识，是一道容易题.5.已知3cos()63+=，则sin(2)6−的值为（）A.223B.

13C.13−D.223−【答案】B【解析】∵3cos63+=，则5sin2sin2sin26662−=−+=−++221cos2[2

cos11]6633=−+=−+−=−−=，故选B.6.已知函数1()ln1fxxx=−−，则=()yfx的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项.【详解

】由于12201112ln1ln2222f==−−−，排除B选项.由于()()2222,23fefeee==−−，()()2fefe，函数单调递减，排除C选项.由于()10010020101fe

e=−，排除D选项.故选A.【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.7.如果将函数5sin5cosyxx=+的图象向右平移02个单位得到函数3sincos(0)yxaxa=+的图象，则tan的值为（）A.2B.12C.13D.3【答案】

A【解析】【分析】先根据左右平移不改变最值求得a，再根据平移规律列等量关系，最后根据两角差正切公式解得结果.【详解】因为左右平移不改变最值，所以22559101aaaa+=+==−因为5sin5cos10sin

()4yxxx=+=+，向右平移个单位得到10sin()10cos()sin10sin()cos444yxxx=−+=−+−，而3sincos3sincosyxaxxx=+=−，所以10cos()3,10sin()144−=−=−

，即1tan()43−=−从而11()3)]tanta211()3n[(44−−+−==−=−故选：A【点睛】本题考查三角函数图象变换以及两角差正切公式，考查综合分析求解能力，属中档题.8.现有10名学生

排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（）种．A.2267AAB.3247AAC.322367AAAD.362467AAA【答案】D【解析】【分析】采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是34A

种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可.【详解】采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是34A种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数

是66A种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是27A种．综上所述，不同的排法共有362467AAA种.故选D.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排

列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．9.已

知ABC外接圆的半径2R=，且223cossin2AA=.则ABC周长的取值范围为（）A.(23,4]B.(4,43]C.(43,423]+D.(423,63]+【答案】C【解析】【分析】由223cossin2AA=及倍角公式可得23A=，2si

n23aRA==，再由余弦定理可得2212bcbc=++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出bc+的取值范围即可得到答案.【详解】由题意，232cos1sin123AA−=−，即3cossin13AA−=−，可化为23si

n33A−=，即3sin32A−=，因为0A，所以33A−=，即23A=，2sin23aRA==，设ABC的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，由余弦定理得，2212bcbc=++，因为222bcbc+（当且仅当bc=时取“=”），所

以22123bcbcbc=++，即4bc，又因为22212()bcbcbcbc=++=+−，所以2()124bcbc=+−，故4bc+，则423abc+++，又因为bca+，所以243abca++=，即43423abc+++≤.故

ABC周长的取值范围为(43,423]+.故选：C【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.10.已知双曲线2222:1(

0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为12,FF，过原点的直线与双曲线C交于AB，两点，若260AFB=，2ABF的面积为23a，则双曲线的离心率为（）A.52B.233C.2D.5【答案】C【解析

】【分析】连接1AF，1BF得四边形21AFBF为平行四边形设2AFx=，由2ABF的面积为23a可得1(51)BFa=−，2(51)BFa=+，在12BFF△中，利用余弦定理即可建立,,abc的关系，从而使问题得到解决.

【详解】根据题意，连接1AF，1BF得四边形21AFBF为平行四边形，几何关系如图所示，设2AFx=，则1BFx=，22BFxa=+，2ABF的面积为23a，260AFB=，则由三角形面积公式可得2133(2)

22axxa=+，化简得22240xaxa+−=，解得1(51)xa=−，2(51)xa=−−（舍），所以1(51)BFa=−，2(51)BFa=+，在12BFF△中，122FFc=，由余弦定理可得2221212FFBFBF=+122c

os120BFBF−，即22222(2)(51)(51)2(51)(51)cos120caaaa=−++−−+，化简可得224ca=，则双曲线的离心率为2.故选：C.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，解此类问题关键是找到,,abc的

方程或不等式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.11.已知()'fx是函数()fx的导函数且对任意的实数x都有'()(21)()xfxexfx=++，(0)2f=−则不等式()4xfxe的解集为（）A.()2,3−B.()3,2−C.(,3)(2,)−−+D.(,

2)(3,)−−+【答案】B【解析】【分析】令()()exfxGx=，由已知可得()21Gxx=+，故可设2()Gxxxc=++，利用(0)(0)2Gf==−可得2c=−，()4xfxe2()24Gxxx=+−，解不等式即可.【详解】令()()ex

fxGx=，则()()()21exfxfxGxx−==+，可设2()Gxxxc=++，(0)(0)2Gf==−，2c=−，所以2()()2exfxGxxx==+−，解不等式()4xfxe，即()4exfx，所以224xx+−

，解得32x−，所以不等式的解集为(3,2)−.故选：B【点睛】本题主要考查构造法解不等式，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力，是一道中档题.12.在三棱锥SABC−中，ABBC⊥，2ABBC==，22SASC==，二面角SACB−−的余弦值是33−，若SABC，，，都在同

一球面上，则该球的表面积是（）A.6B.8C.12D.18【答案】C【解析】【分析】取AC的中点D，连接SDBD，，易得3cos3SDB=−，利用余弦定理、勾股定理算得,,SDBDSB，可知222SCCBS

B+=，所以SCB为直角三角形，同理可得SAB为直角三角形，取SB中点E，可知E为外接球球心，计算EA的长度即可.【详解】取AC的中点D，连接SDBD，.因为SASCABBC==，，所以SDACBDAC

⊥⊥，，可得SDB即为二面角SACB−-的平面角，故3cos3SDB=−.在直角SDC△中，226SDSCCD=−=，同理可得2BD=，由余弦定理得，22232cos26226()3SBBDSDBDSDBDS=+−=+−

−解得1223SB==.在SCB中，222284(12)SCCBSB+=+==，所以SCB为直角三角形，同理可得SAB为直角三角形，取SB中点E，则3SEEB==，在RtSCB△与RtSAB中，32SB

EA==，32ECSB==，所以点E为该球的球心，半径为3，所以球的表面积为24(3)12S==.故选：C【点睛】本题主要考查三棱锥外接球的体积的计算，考查学生空间想象能力与数学运算能力，是一道中档题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设随机变量()2~3,N，若(7)0.16P=，则(17)P−=____________.【答案】0.

68【解析】【分析】(17)1P−=−(1)(7)PP−−，(1)(7)0.16PP−==代入计算即可.【详解】由正态分布的性质可知(1)(7)0.16PP−==，所以(17)1P−=−(1)(7)0.68PP−−=.故答案为：0.68【点睛】本

题考查正态分布的性质，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.14.向曲线22||||xyxy+=+所围成的区域内任投一点，这点正好落在21yx=−与两坐标轴非负半轴所围成区域内的概率为____________.【答案】263+【解析】【分析】作出22||||xyxy+=+所表示的区域，即四个圆

弧围成的图形，算出四个圆弧围成的图形的面积，再算出阴影部分的面积，再利用几何概型的概率计算公式计算即可.【详解】22||||xyxy+=+所围成的区域如下图所示的四个圆弧围成的图形，其面积2222222S=+=+，21yx=−与两坐标轴非负半轴所围

成区域的面积102311012(1)33Sxdxxx=−=−=，所以概率1223263SPS===++.故答案为：263+【点睛】本题考查几何概型的概率计算问题，涉及到定积分的计算，考查学生的计算能力，是一道中档题.15.过直线

:3lxy+=上任一点P向圆22:1Cxy+=作两条切线切点分别为,AB线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的取值范围为____________.【答案】7232,62【解析】【分析】设点()00,3Pxx−，则直线AB的方程为()0031xxxy+−

=，易得直线AB恒过11,33N，0OQQN=，可得点Q的轨迹是以ON为直径的圆（除去原点），其中该圆的圆心C坐标是11,66，将原问题转化为圆心C到直线l的距离加减半径即可.【详解】设点()0

0,3Pxx−，则直线AB的方程为()0031xxxy+−=（注：由圆222xyr+=外一点()00,Exy向该圆引两条切线，切点分别为FG，，则直线FG的方程是200xxyyr+=），注意到直线()00:31ABxxxy+−=，即0()(31)0xxyy−+−=,直线0xy−=

与310y−=的交点为11,33N.又0OQQN=，因此点Q的轨迹是以ON为直径的圆（除去原点），其中该圆的圆心C坐标是11,66，半径是12||26ON=.又线段ON的中点11,66C到直线30xy+−=的距离等于113426632+−=，因此点Q

到直线l的距离的取值范围是4224227232,,363662−+=.故答案为：7232,62【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及到圆的切线、点到直线的距离公式等知识，考查学生的计算能力，数形结合的能力

，是一道有难度的题.16.定义在实数集R上的偶函数()fx满足2(2)24()()fxfxfx+=+−，则(2021)f=____________.【答案】22+【解析】【分析】2(2)24()()fx

fxfx+=+−22(2)4(2)()4()4fxfxfxfx+−+=−−−，令2()()4()gxfxfx=−，则(2)()4gxgx+=−−，进一步可得函数()gx的周期为4，(2021)(45051)(1)2ggg=+==−2(2021)4(2021)2ff−=−，解

方程即可.【详解】因为2(2)24()()fxfxfx+=+−，所以2(2)24()()fxfxfx+−=−，即22((2)2)4()()fxfxfx+−=−，即22(2)4(2)()4()4fxfxfxfx+−+=−−−，令2()()4(

)gxfxfx=−，则(2)()4gxgx+=−−，所以(4)(2)4()gxgxgx+=−+−=故函数()gx的周期为4，所以(2021)(45051)(1)ggg=+=，又因为()fx是偶函数，则2()()4()gx

fxfx=−为偶函数，又因为(1)(1)4gg=−−−，所以(1)2g=−，即2(2021)4(2021)2ff−=−，解得(2021)22f=，又2(2)24()()2fxfxfx+=+−，即(2021)2f，即(2021)22f=+.故答案为：22+【点睛】本题主

要考查抽象函数周期性，涉及到函数的奇偶性等知识，考查学生逻辑推理能力与数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设等差数列na的前n

项和为nS，首项11a=，且20202017320202017SS−=.数列nb的前n项和为nT，且满足()*2nnTbnN=−.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）求数列2nnab的前n项和'nS.【答案】（1）21nan=−；112nnb−

=（2）'2332nnnS+=−【解析】【分析】（1）11(1)2(1)2nnnnadSdannn−+==+−，2020201733202020172SSd−==2d=，结合11a=，可得2nSn=，所以有21nan=−，当2n

时，()()11122nnnnnnnbTTbbbb−−−=−=−−−=−11(2)2nnbbn−=可得nb是以首项11b=，公比12q=的等比数列；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）设数列na的公差为d，因为

11(1)2(1)2nnnnadSdannn−+==+−，所以nSn为一个等差数列，所2020201733202020172SSd−==，所以2d=，故nSnn=，所以2nSn=.2n时，121nnnaSSn−=−=−，1n=时也满足，故21nan=−.数列nb对任意正整数n

满足2nnTb−=.当1n=时，1112bTb==−，解得11b=；当2n时，()()11122nnnnnnnbTTbbbb−−−=−=−−−=−，所以11(2)2nnbbn−=.所以nb是以首项11b=，公比12q=的等比数列，故数列n

b的通项公式为112nnb−=.（2）由（1）知2122nnnabn−=，所以231'135232122222nnnnnS−−−=+++++，①所以'231113232122222nnnnnS+−−=++++，②①—②，得'231211112222111112122

222222222nnnnnnnS+−+−−=++++−=++++−1111111221211121112222212nnnnnn−−++−−−=+−=+−

−−，所以'2332nnnS+=−.【点睛】本题主要考查等差等比的通项公式以及错位相减法求数列的前n项和，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18.如图，三棱锥PABC−中，平面PAB⊥平面ABC，PAPB=，90

APBACB==，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是BCE的重心.（1）证明：GF平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60，求二面角BAPC−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）155【解析】【分析】（1）根据三角形重心性质可得DEAC，根据三角形中位线性质得EF

AP，再根据线面平行判定定理得DE平面PAC，EF平面PAC，最后根据面面平行判定定理以及性质得结果；（2）先根据面面垂直性质定理得PE⊥平面ABC，确定GF与平面ABC所成的角，再根据条件建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用向量数量积得各面法向量，最后

根据向量夹角公式得法向量夹角，即得二面角所成角.【详解】（1）连接EF，连接EG并延长交BC于点D，则点D为BC的中点，从而点D，E，F分别是棱CB，AB，PB的中点，∴DEAC，EFAP.又DE，EF平面PAC，AC，AP平面PAC，∴DE平面PAC，EF平面PAC.又DE，EF平面PA

C，DEEFE=，∴平面EFG∥平面PAC，又GF平面PAC，∴GF平面PAC.（2）连接PE，∵PAPB=，E是AB的中点，∴PEAB⊥，∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB平面ABCAB=，PE平面PAB，PE⊥平面ABC.连接CG并延长交BE

于点O，则O为BE的中点，连接OF，则OPPE，∴OF⊥平面ABC.∴FGO为GF与平面ABC所成的角，即60FGO=.在RtFGO中，设2GF=，则1OG=，3OF=，∴3OC=，23PE=.∴43AB=，23CE=，3OE=，∴222

OEOCCE+=，即OCAB⊥，如图建立空间直角坐标系Oxyz−，则()0,33,0A−，()3,0,0C，()0,3,23P−.∴()3,33,0AC=，()0,23,23AP=，设平面PAC的一个法向量为()1,,

nxyz=，则11333023230nAPxynACyz=+==+=，可取()13,1,1n=−，又平面PAB的一个法向量为()21,0,0n=uur，则121212315cos,55n

nnnnn===，所以二面角BAPC−−的余弦值为155.【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面平行判定定理、面面垂直性质定理、线面角以及二面角，考查综合分析求证与求解能力，属中档题.19.在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了做到精准

帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x.将指标x按照)0,0.2，)0.2,0.4，)0.4,0.6，)0.6,0.8，0.8,1.0分成五组，

得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当00.2x时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”

两种.（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：受教育水平良好受教育水平不好总计绝对贫困户2相对贫困户52总计100（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于)00.4,的贫困户中，随机选取两户，

用X表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X的分布列和数学期望EX.附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKk0.150.100.05

0.0250k2.0722.7063.8415.024【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，23.【解析】【分析】（1）根据题意填写列联表，计算2K，对照临界值得出结论；（2）根据题意可得贫困指标在)00.4,的贫困户共有15

（户），“亟待帮助户”共有5（户），则X的可能值为0，1，2，列出分布列，计算期望值即可.【详解】（1）由题意可知，绝对贫困户有()0.250.500.75++0.210030=（户），可得出如列联表：受教育水平良好受教育水平不好总计绝对贫困户

22830相对贫困户185270总计2080100()22100182825230702080K−=4.7623.841．故有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关．（2）贫困指标在)00.4,的贫困户

共有()0.250.50.210015+=（户），“亟待帮助户”共有0.250.21005=（户），依题意X的可能值为0，1，2，()210215307CPXC===，()1110521510121CCPXC===，()252152221CPXC===，则X的分布列为X012P37102

1221故31022012721213EX=++=．【点睛】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为32，点(0,2)M在椭圆C上，焦点为12,FF，圆O的

直径为12FF．（1）求椭圆C及圆O的标准方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P，且直线l与椭圆C交于,AB两点．记OAB的面积为S，证明：3S．【答案】（1）22182xy+=，226xy+=；（2）见解析【解析】【

分析】(1)利用椭圆的性质列出方程组，即可得到椭圆C及圆O的标准方程；(2)利用斜截式设出直线l的方程，根据点到直线的距离公式得到点O到直线l的距离，将直线l的方程代入椭圆，结合韦达定理，得出AB的长度，利用三角形面积公式以及二次函数的性质即可证明3S.【详解】（1）由题意

，椭圆C的方程为22221(0)xyabab+=.可得2223,22,cababc===+，解得2228,2,6.abc===所以椭圆C的方程为22182xy+=．因为焦点在x轴上，所以椭圆C的焦点为12(6,0),(6,0)

FF−．所以直径为12FF的圆O的方程为226xy+=．（2）由题意知，直线l与圆O相切于第一象限内的点P，设直线l的斜截式方程为(0,0)ykxmkm=+.因为直线l与圆O相切，所以点O到直线l的距离为261mdk==+.即2266mk=+.因为直线l与椭圆C相交于,AB两点，由22,4

8ykxmxy=++=，整理得222()148480kxkmxm+++−=，设1122(,),(,)AxyBxy，则12221228,1448,140kmxxkmxxk+=−+−=+.因为222(8)4(14)(48)kmkm=−

+−2216(82)km=−+．又2266mk=+，所以232(2)0k=−.所以22k.又因为k0，所以2k−．因为2221222142114kABkxxkk−=+−=++，所以222112||42162214OABkSABdkk−

==++2222(1)(2)43(14)kkk+−=+．设214kt+=，则9t，则22(9)(3)276433116OABttSttt−+==−−+.令11,09uut=.则232761OABSuu=−−+.设2214()27612

7().93huuuu=−−+=−++因为()hu在1(0,)9上单调递减，所以()1hu.所以3OABS.【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程以及椭圆中的三角形面积问题，属于中档题.21.已知函数()12sinfxxx=+−，0x.（1）求()

fx的最小值；（2）证明：()2exfx−.【答案】（1）133+−；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导数，确定导函数零点，根据导函数符号确定函数单调性，进而确定函数最值；（2）先构造函数()()212

sinxgxxxe=+−，再求导数，转化研究()sinhxxx=−，利用导数可得sinxx，最后利用放缩得()gx单调递增，根据单调性证得结果.【详解】（1）()12cosfxx=−，令()0fx=，得1c

os2x=，故在区间0,上，()fx的唯一零点是3x=，当0,3x时，()0fx，()fx单调递减，当,3x时，()0fx，()fx单调递增，故在区间0,上，()fx的极小值为1333f=

+−，当x时，()1213fxf+−=−，所以，()fx的最小值为1333f=+−.（2）要证：0x时，()2xfxe−，即证0x时，()()212sin1xgxxxe=+−.()

()()22212sin12cosxxgxxxexe=+−+−()2324sin2cosxxxxe=+−−，令()sinhxxx=−，则()1cos0hxx=−…，即()hx是()0,+上的增函数，∴()()00hxh

=，即sinxx，∴324sin2cos32sin4sin2cosxxxxxx+−−+−−()32sincos322sin04xxx=−+=−+，∴()()2324sin2cos0xgxxxxe=+−−.即()gx是

()0,+上的增函数，()()01gxg=，故当0x时，()2xfxe−.【点睛】本题考查利用导数求函数最值以及利用导数证明不等式，考查综合分析求证与求解能力，属较难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做

的第一个题目计分.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为6sin6cosxy==（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()23+=.（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）直线

l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于,AB两点，若||||43PAPB+=，求直线m的倾斜角.【答案】(1)226xy+=，340xy−−=(2)6或56.【解析】【分析】（1）利用22sincos1+=消去

参数化曲线C为普通方程，运用cos,sinxy==，即可化直线l极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线方程化为具有几何意义的参数方程，代入曲线C方程，利用根与系数关系结合直线参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）曲线C的普通方程为226xy+=，因为cos()23

+=，所以cos3sin40−−=，直线l的直角坐标方程为340xy−−=.（2）点P的坐标为(4,0)，设直线m的参数方程为4cossinxtyt=+=（t为参数，为倾斜角），联立直线m与曲线C的方程得28cos100tt++=.设,AB对应的参数分别为12,t

t，则121228cos1064cos400tttt+=−==−，所以1212||||||||||8|cos|43PAPBtttt+=+=+==，得3cos2=，且满足，故直线m的倾斜角为6或56

.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程和直角坐标方程互化，考查直线参数方程参数灵活应用，属于中档题.23.已知函数()()211fxxxmm=++−−.（Ⅰ）若3m=，求不等式()7fx的解集；（Ⅱ）若0xR，

使得()02fx成立，求实数m的取值范围.【答案】（Ⅰ）()(),22,−−+；（Ⅱ）()1,1−【解析】【分析】（Ⅰ）分段去掉绝对值，求得不等式f（x）>7的解集．（2）由题意可得()fx的最小值为()1f−，只要()12f−，求得m的范围．【详解】（

Ⅰ）依题意，2137xx++−；当1x−时，原式化为2237xx−−+−，解得2x−，故2x−；当13x−时，原式化为2237xx++−，解得2x，故23x，当3x时，原式化为2237xx++−

，解得83x，故3x，综上所述，不等式()7fx的解集为()(),22,−−+.（Ⅱ）依题意，()32,2,132,1xmxmfxxmxmxmx+−=++−−−+−，∴()fx在1,m−和(),m+上是增函数，在(,1−−上

是减函数，∴()fx的最小值是()11fm−=+，要0xR，使得()02fx能成立，只要()112fm−=+，得1m，综上所述，实数m的取值范围是()1,1−.【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，属

于中档题．