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2024-2025学年度第一学期高二期中测试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答

题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置

上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5

分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足234iz=−+，则zz=（）A.34i55+B.34i55−−C.34i55−D.34i55−+2.已知平面上的两个非零向量a，b满足()()22abababb−+==

，则,ab=（）Aπ6B.π4C.π3D.π23.函数()()231fxaxax=+−+在区间)1,−+单调递减，则实数a取值范围是（）A.)3,0−B.(,3−−C.(3,0−D.3,0−4.sin60cos30cos120sin30−=（）A.314−B

.12C.314+D.15.已知四棱锥的底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，高为63.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，且该圆柱的体积为83π，则四棱锥.的底面的边长为（）A.833B.6C.83π3D.96.已知向量(,2,0)a

x=，(0,1,2)b=，且||3ab−=，则||a=（）A.22B.4C.42D.87.已知222211228xyxy+=+=，且12120xxyy+=，则()()2212122xxyy+−++的最大值为（）A.9B.12C.36D.488.已知圆D：

()()2220xayrr−+=与x轴相交于A、B两点，且圆C：()2259xy+−=，点()0,3M．若圆C与圆D相外切，则tanAMB最大值为（）A.65B.125C.89D.169二、选择题：本题共3小题，每小题6

分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在正方体1111ABCDABCD−中，2,ABE=为11AD中点，F是正方形11BBCC内部及边界上一点，则下列说法正确的是（）A.平面1FBD⊥平面11ACDB.当22EF=时，点F

的轨迹长度为2π3C.平面11BBCC内存在一条直线与直线EF成30角D.将11AAD以边1AD所在的直线为轴旋转一周，则在旋转过程中，1A到平面1ABC的距离的取值范围是236236,3333−+10.如图

，四边形ABCD为正方形，平面PCD⊥平面ABCD，且PCD△为正三角形，2,CDM=为BC的中点，则下列命题中正确的是（）的的A.//AM平面PCDB.BCPD⊥C.直线AM与PC所成角余弦值为255D.点

A到平面PDM的距离为311.点A，B为圆()22:11Mxy−+=上的两点，点()2,Pt−为直线:2lx=−上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.当0t=，且AB为圆的直径时，PAB面积的最大值为3B.从点P向

圆M引两条切线，切点分别为A，B，AB的最小值为423C.A，B为圆M上的任意两点，在直线l上存在一点P，使得π3APB=D.当()2,2,3PAB−=时，PAPB+的最大值为2131+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在ABCV中，角A，B，C

所对边分别为a，b，c，满足sinsinsinsinacABbAC+−=−，则角C=_____.13.已知正四面体ABCD−的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足AECF=，则线段EF长度的最小值为__

________.14.已知曲线214yx=+-与直线(2)4ykx=−+有且仅有一个公共点，那么实数k的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sincossinsi

ncABaBC=．（1）求角B；（2）若3a=，ABCV的面积为92，求b．16.如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PDDC=，E是PC的的的中点.（1）证明：//PA平面BDE；（2）求二面角BDEC−−的平面角的余弦值.17.文明城市是反映城

市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整

数）分成六段：[40,50)，)50,60,,90,100，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，PCD△是边长为2的正三角形，60BCD=，平面PCD⊥平面AB

CD.（1）求证：PBCD⊥；（2）求直线PB与平面APD所成角的正弦值.19.已知直线l的方程为：()()11230mxmy++−−=.（1）求证：不论m为何值，直线l必过定点M；（2）过（1）中的点M引直线1l交坐标轴正半轴于A，B两点，求AOBV面积的最小值.