【文档说明】安徽省部分学校2023-2024学年高三下学期春季阶段性检测数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.731 MB，由管理员店铺上传

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安徽省普通高中高三春季阶段性检测数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题

目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合240Mxx=−和31Nxx=−，则()RMN=ð（）A.(3,2)−−B.(2,1)−C.[2,1)−D.(,1)(2,)−+【答案】C【解析】

【分析】求出集合M，根据集合的交补运算求解.【详解】240(,2)(2,)Mxx=−=−−+，所以R2,2M=−ð，所以())R2,1MN=−ð.故选：C2.复数5i12iz=−在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B

【解析】【分析】根据复数的除法运算求得z得答案.【详解】()()()()5i12i52i5i2i12i12i12i5z+−+====−+−−+，所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B3.已知非零向量a，b满足ab⊥，设甲：ab=，乙：

22abba−=+，则（）A.甲是乙的充要条件B.甲是乙的充分条件但不是必要条件C.甲是乙的必要条件但不是充分条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A【解析】【分析】将22abba−=+平方转化为数量

积，根据ab⊥可得乙等价于||||ab=，即甲、乙互为充要条件.【详解】乙:22abba−=+等价于22(2)(2)abba−=+，即22224444aabbbaba−+=++，因为ab⊥，所以0ab=，所以乙等价于22ab=，即||||ab=，所以甲、乙互为充要条件.

故选：A4.某研究机构通过统计分析发现，教师的工作效率E与工作年数()0rr、劳累程度(01)TT有关，并建立了数学模型0.1410102rET−=−，已知李老师工作了20年，根据上述公式，与工作10年时相比，如果他的工作效率不变，则他现在的劳累程度

是工作10年时劳累程度的（）A.2.82−倍B.1.42倍C.2.82倍D.5.62倍【答案】B【解析】【分析】设现在的劳累程度是1T，工作10年时的劳累程度是2T，根据给定信息列出等式计算即得.【详解】设李老师现在的劳累程度是1T，工作10年时

的劳累程度是2T，依题意，0.14200.1410121010210102TT−−=−−，所以1.4122TT=.故选：B5.已知数列na中，11a=，153a=，且当2n时，12nnnaaa−−=−，则2a=（）A.4−B.3−C.3D.4【

答案】D【解析】【分析】利用12nnnaaa−−=−，得出数列na为周期数列，且周期为6，从而得到33a=，即可求出结果.【详解】因为12nnnaaa−−=−①，所以11nnnaaa+−=−②，①+②得12(2)nnana+−=−，即有3(N)nnana+=−，

所以63(N)nnnanaa++=−=，即数列na为周期数列，且周期为6，又1533aa==，11a=，所以321aaa=−，得到24a=，故选：D.6.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知13bc=，D为边BC上一点，22CDBD==，3AD=，则ABC

的面积为（）A.34B.34C.334D.332【答案】C【解析】【分析】设ADB=，在ACD与ABD△中，由余弦定理求出22,bc，根据13bc=求出1sin2=，进而求得ABC的面积.【详解】设ADB=，在ACD中，()243223cosπ743cosb=+−−=+，在A

BD△中，21323cos423cosc=+−=−，所以22743cos13423cosbc+==−，解得3cos2=，因为()0,π，所以1sin2=，所以ABC的面积为()11133sin332224BDDCAD+=＝.故选：C7.已知抛物线2:

2(0)Cypxp=，过C的焦点F且倾斜角为π3的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，4||3FW=，则p=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】设()()()001122,,,,,

WxyAxyBxy，代入抛物线方程两式相减可得()122ABkyyp+=，进而求得53,63ppW，由4||3FW=求得p值.【详解】设()()()001122,,,,,WxyAxyBxy，则2112222,2,ypxypx==两式相减，可得()()()12

12122yyyypxx+−=−，所以()1212122yyyypxx−+=−，即()122ABkyyp+=，所以0232yp=，所以033py=，代入直线:32pAByx=−，得056px=，所以53,63ppW，所以22524||62333ppppFW=−

+==，解得2p=.故选：B8.设ln1.01a=，1101b=，tan0.01c=，则（）A.abcB.acbC.b<c<aD.bac【答案】D【解析】【分析】通过构造函数π()tan(0)2fxx

xx=−，()ln(1)(0)gxxxx=−+，1()ln1(1)hxxxx=+−，利用导数与函数的单调性间的关系，分别求出函数的单调区间，利用单调性即可比较出函数值的大小，从而求出结果.【详解】令π()tan(0)2fxxxx=−，则222211cos()1t

an0coscosxfxxxx−=−==在区间π0,2上恒成立，即()tanfxxx=−在区间π0,2上单调递增，所以()(0)0fxf=，即tanxx，所以11tan0.010.01100101cb===，令

()ln(1)(0)gxxxx=−+，则1()1011xgxxx=−=++在区间()0,+上恒成立，即()ln(1)gxxx=−+在区间()0,+上单调递增，所以()(0)0gxg=，即ln(1)(0)xxx+，所以0.01ln(0.011)ln1.01a+=

=，所以ca，令1()ln1(1)hxxxx=+−，则22111()0xhxxxx−==−在区间()1,+上恒成立，即1()ln1hxxx=+−在在区间()1,+上单调递增，所以()(1)0hxh=，即1ln1xx−，所以11ln1

.0111.01101ab=−==，综上，cab，故选：D.【点睛】关键点点晴：通过构造函数π()tan(0)2fxxxx=−，()ln(1)(0)gxxxx=−+，1()ln1(1)hxxxx=+−，将比较大小转化成函数值的大小，再对函数进行求导，利用导数与函数单调性

间的关系，求出函数的单调区间，利用单调性即可解决问题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分

.9.某专业饲料市场研究机构统计得到2023年1-9月和2022年同期的豆粕价格走势图如图所示，则（）A.2023年1-9月的豆粕价格仅有4个月低于2022年同期B.从极差来看，2022年1-9月的豆粕价格比2023年同期波

动范围更大C.2023年1-9月的豆粕价格的中位数为2.30D.2022年1-9月的豆粕价格的平均数低于2.30【答案】BD【解析】【分析】根据给定的折线图，结合极差、中位数、平均数的意义逐项判断即得.【详解】对于A，20

23年3月、4月、5月、6月、7月的豆粕价格低于2022年同期，A错误；对于B，2022年的极差约为0.6，2023年的极差约为0.4，B正确；对于C，2023年1-9月的豆粕价格的中位数是3月的数据，小于2.30，C错误；对于D，2022年3月、4月、9月

的豆粕价格均高于2.30，且与2.30的差不大于0.2，而其余月份豆粕价格均低于2.30，且1月、2月的豆粕价格与2.30的差分别大于0.4，0.2，因此2022年1-9月的豆粕价格的平均数低于2.30，D正确.故选：BD10.如

图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，底面ABCD为正方形，平面ABCD⊥平面11ABBA，1AAB△是边长为2的等边三角形，,MN分别是线段1AB，1DB的中点，则（）A.11ABBD⊥B.//MN平面A

BCDC.1BC与1AB所成角的余弦值为64D.1BD与平面ABCD所成角的正弦值为34【答案】ABD【解析】【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，利用向量法对选项A、C和D逐一分析判断即可得出结果，对于选项B，通过

条件得到//MNAD，再利用线面平行的判定定理即可得出结果.【详解】如图，取AB中点O，CD中点H，连接1,OAOH，因为1AAB△是边长为2的等边三角形，所以1AOAB⊥，又平面ABCD⊥平面11ABBA，平面ABCD平面11ABBAAB=，1AO平面11ABBA，所以1AO⊥

平面ABCD，易知OHAB⊥，故可建立如图所示的空间直角坐系，又棱长均为2，13AO=，则1(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,0,3),(1,2,0)ABDAC−−，所以1(1,0,3)AA=−，又11BBAA

=，所以1(2,0,3)B−，对于选项A，因为11(1,0,3),(3,2,3)ABBD=−−=−，得11330ABBD=−+=，所以1AB⊥1BD，即有11ABBD⊥，故选项A正确，对于选项B，因为N是线段1DB的中点

，又M是1AB与1AB的交点，则M为1AB的中点，所以//MNAD，又AD面ABCD，MN面ABCD，所以//MN平面ABCD，故选项B正确，对于选项C，因为1(1,2,3)BC=−，1(1,0,3)AB=−−，设1BC

与1AB所成的角为，则11111122coscos,4222BCABBCABBCAB====，故选项C错误，对于选项D，易知平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)n=，又1(3,2,3)BD=−，设1BD与平面ABCD所成的角为，则111

3sincos,4nBDnBDnBD===，故选项D正确，故选：ABD.11.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，P是E上异于A，B的一个动点，若11743AFBF=−，则（）A.E的离心率为32B.直线PA与PB

的斜率之积为12−C.满足120PFPF=的点P有4个D.||22PDb【答案】ACD【解析】【分析】根据11743AFBF=−求得离心率，根据,ab关系求得PAPBkk判断B，根据,bc关系判断C，设(2cos,sin)([0,2)),(0,)PbbDb，

计算||PD的范围判断D.【详解】对于A，设椭圆E的半焦距为(0)cc，离心率为e，因为11743AFBF=−，所以743acac−=−+，左边分子分母同时除以a，得17431ee−=−+，解得32e=，故A正确;对于B，设()()000,,(,0),(,0)PxyxaAaBa−，因为22

232abea−==，所以2,3abcb==，则2202220002220000114PAPBxbayyybkkxaxaxaxaa−====−=−+−−−，故B错误;对于C，因为bc，所以E的上、下顶点在以1

2FF为直径的圆内，故该圆与E有4个交点，因此满足120PFPF=的点P有4个，故C正确;对于D,E的方程可写为2224xyb+=，设(2cos,sin)([0,2)),(0,)PbbDb

，则222||(2cos)(sin)3sin2sin5PDbbbb=+−=−−+211643sin333bb=−++，当1sin3=−时取等号，则4223PDbb，故D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：椭圆222

2:1(0)xyEabab+=的左、右顶点分别为A，B，P是E上异于A，B的一个动点，则22PAPBbkka=−.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若3()(1)cossinfxxaxax=+−+为奇函数，则曲线()yfx=在点(0,(0))f处

的切线方程为__________.【答案】yx=【解析】【分析】根据条件得到1a=，从而有3()sinfxxx=+，再利用导数的几何意义，即可求出结果.【详解】因为3()(1)cossinfxxaxax=+−+为奇函数，且定

义域为R，所以(0)10fa=−=，得到1a=，当1a=时，3()sinfxxx=+，33()()sin()sin()fxxxxxfx−=−+−=−−=−，所以1a=满足意义，故3()sinfxxx=+，所以

2()3cosfxxx=+，故(0)cos01f==，又(0)0f=，所以曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程为yx=，故答案为：yx=.13.某商场搞抽奖活动，将30副甲品牌耳机和20副乙品牌耳机放入抽奖箱中，让顾客从中随机抽

1副，两个品牌的耳机外包装相同，耳机的颜色都只有黑色和白色，记事件A=“抽到白色耳机”，B=“抽到乙品牌耳机”，若3()4PAB=∣，3()7PBA=∣，则抽奖箱中甲品牌的黑色耳机有__________副.【答案】10【解析】【分

析】根据3()4PAB=∣求出乙品牌耳机中白色耳机的数目，通过设出甲品牌的黑色耳机x副，根据3()7PBA=∣表示出(45)x−副白色耳机中15副乙品牌耳机所占的比例，求解方程即得.【详解】设抽奖箱中甲品牌的黑色耳机有x副，则白色耳机有

(30)x−副.因3()4PAB=∣，而乙品牌耳机共有20副，故乙品牌耳机中白色耳机有320154=副，于是抽奖箱里共有白色耳机(30)+15(45)xx−=−副，又3()7PBA=∣，则153457x=−，解得：10x=.故答案为

：10.14.若正四面体ABCD的顶点都在一个表面积为6π的球面上，过点C且与BD平行的平面分别与棱,ABAD交于点,EF，则空间四边形BCFE的四条边长之和的最小值为__________.【答案】43+##34+【解析】【分析】根据条件求出正四面体ABCD的棱长为2，设(01)AFAD=

，利用几何关系得到空间四边形BCFE的四条边长之和21342()24L=+−+，即可求出结果.【详解】如图，将正四面体放置到正方体中，易知正四面体外接球即正方体的外接球，设正四面体ABCD的棱长为2a，所以正

方体的边长为a，易知正方体的外接球直径为体对角线DH的长，又3DHa=，所以正四面体的半径322DHaR==，依题有224π3π6πRa==，得到2a=，即正四面体ABCD的棱长为2，因为//BD面CEF，面ABD面CEFEF=，BD面ABD

，所以//EFBD，设(01)AFAD=因为2ABADBD===，则2AFAE==，22BEDF==−，在EAF△中，因为π3EAF=，所以2EF=，在FDC△中，π3FDC=，2DC=，则22π(22)42(22)2cos213FC=−+−−

=−+，所以空间四边形BCFE的四条边长之和2221322222142142()24L=+−++−+=+−+=+−+，又01，当12=时，min43L=+，故答案为：43+.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设出(01)AFAD=后，利用几何

关系得出221FC=−+，2EF=，22BE=−，从而得出空间四边形BCFE的四条边长之和21342()24L=+−+，转化成求L的最小值来解决问题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.15.某大棚种植户通过长期观察统计，发现去年本地市场中黄瓜每天的收购价格X（元/kg）服从正态分布(4,1)N，规定收购价格在(3,6)内的为“合理价格”.（1）从去年随机抽取10天，记这10天中黄瓜的收购价格是“合理价格”的

天数为Y，求()EY；（2）该大棚种植户为家乡的农产品做了5次直播带货，成交额y（万元）如下表所示：第x次直播带货12345成交额y（万元）912172127若用最小二乘法得到的y关于x的线性回归方程为ˆ3.7ybx=

+，预计该大棚种植户第7次直播带货的成交额为多少万元.附：若()2~,XN，则()0.6827PX−+=，(22)0.9545PX−+=.【答案】（1）8.186；（2）35.2万元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正态分布

求出收购价格是“合理价格”概率，再利用二项分布的期望公式计算即得.（2）根据给定的数表，求出样本点中心，求出回归直线方程，再进行数据估计即可.【小问1详解】由2~(4,1)XN，得4,1==，则收购价格是“合理价格”的概率(36)(34)(46)PXPXPX=+

11()(2)0.68270.95450.818622PXPX=−++=+=，依题意，~(10,0.8186)YB，所以()100.81868.186EY==.【小问2详解】的依题意，123459121721273,17.255xy++++++++==

==，于是ˆ17.233.7b=+，解得ˆ4.5b=，则线性回归方程为ˆ4.53.7yx=+，当7x=时，ˆ4.573.735.2y=+=，所以预计该大棚种植户第7次直播带货的成交额为35.2万元.16.如图，等

边三角形ABC与正方形11BCCB所在平面垂直，且2AB=，1//AGBB，1CB与1BC的交点为D，//AD平面11GBC.（1）求线段AG的长度；（2）求平面1BCG与平面11GBC夹角的余弦值.【答案】（1）

1AG=（2）64【解析】【分析】（1）取线段11BC的中点H，连接,DHGH，由线面平行性质得//ADGH，求得AG的长度；（2）建立空间直角坐标系，求出平面1BCG与平面11GBC的法向量进而求得夹角的余弦值.【小问

1详解】取线段11BC的中点H，连接,DHGH，则1//DHBB，又1//AGBB，所以//AGDH.所以,,,AGDH四点共面.由平面ADHG平面11,//GBCGHAD=平面11GBC，AD平面ADGH，可得//ADGH，所以四边形ADHG为平行四

边形，故1112AGDHBB===.小问2详解】【取BC的中点O，连接AO，OH，在等边三角形ABC中AOBC⊥，因为平面ABC⊥平面11BCCB，平面ABC平面11BCCBBC=，AO平面ABC，所以AO⊥平面11BCCB，又,BCOH平面

11BCCB，所以AOBC⊥，AOOH⊥，以O为原点，以,,OBOHOA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则11(1,0,0),(1,2,0),(1,2,0),(0,1,3)

BBCG−，所以1111(1,1,3),(2,0,0),(1,1,3),(2,2,0)BGBCBGBC=−−=−=−=−，设平面11GBC的法向量为(,,)nxyz=，则11130,20,nBGxyznBCx=−−+==−=取

30,1,3n=.设平面1BCG的法向量为(,,)mabc=，则130,220,mBGabcmBCab=−++==−+=取(1,1,0)m=.设平面1BCG与平面11GBC的夹角为，所以||16cos|cos,|4||||1123n

mnmnm====+，平面1BCG与平面11GBC夹角的余弦值64.17.已知等差数列na的前n项和为nS，0na，12nnnaaS+=，nb是各项均为正数的等比数列，()78458bbbb+=+，且12b=.（1）求na和nb的通

项公式；（2）设21,,nnnnnnaacanb+=为奇数为偶数，数列nc的前n项和为nT，证明：22518nT.【答案】（1）nan=；2nnb=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据na与nS的关系求

na的通项公式；根据等比数列基本量计算求nb的通项公式；（2）用裂项求和法求奇数项和，用错位相减求和法求偶数项和，证得结论.【小问1详解】设na的公差为d.因为12nnnaaS+=，所以当2n时，112n

nnaaS−−=，两式相减，得()()11122nnnnnnaaaSSa+−−−=−=，因为0na，所以1122nnaad+−−==，所以1d=，又1212aaS=，得22a=，所以nan=.设nb的公比为

q，由条件知378458bbqbb+==+，得2q=，又12b=，所以2nnb=.【小问2详解】根据题意1,(2),2nnnnncnn+=为奇数为偶数，在前2n项中，奇数项之和1111335(21)(21)nAnn=+++−+

1111111111,233521212422nnn=−+−++−=−−++偶数项之和24622224622222222nnnnnB−−=+++++，4682221246222422222nnnnnB+−=+++++

，所以352122131111221222114222223443324nnnnnnnnnB−++=++++−=−−=−+，所以868189949nnnB+=−，故2nn182

52918nTAB=++=.18.已知双曲线2222:1xyCab−=（0a，0b）的左顶点为(2,0)A−，过点(4,0)H的动直线l交C于P，Q两点（均不与A重合），当l与x轴垂直时，||6PQ=.（1）求C的方程；（2）若直线A

P和AQ分别与直线4x=−交于点M和N，证明：MHNH为定值.【答案】（1）22:143xyC−=（2）MHNH为定值63，证明过程见解析【解析】【分析】（1）由题意得2a=，并代入4x=求出3yb=，根据||6PQ=求出3b=，得到

答案；（2）直线l的方程4xmy=+，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，得到直线()11:22yAPyxx=++，求出1124,2yMx−−+，同理得到2224,2yNx−−+，结合平面向量数量积公式，代入两根之和，两根之积得到

63MHNH=.【小问1详解】由题意得2a=，故222:14xyCb−=，令4x=得221614yb−=，解得3yb=，由于||6PQ=，故236b=，解得3b=，所以C方程为22:143xyC−=；【小问2详解】的直线l交C于P，Q两点（均不与A重合），

故直线l的斜率不为0，设直线l方程为4xmy=+，联立22:143xyC−=得()223424360mymy−++=，设()()1122,,,PxyQxy，则2340m−且()22Δ576144340mm=−−，解得233m，1212222436,3434myyyy

mm−+==−−，直线()11:22yAPyxx=++，令4x=−得1122Myyx−=+，同理可得2222Nyyx−=+，故1212224,,4,22yyMNxx−−−−++，则()()121212122248,8,6

42222yyyyMHNHxxxx==+++++()()()1212212121244646466366yyyymymymyymyy=+=++++++22221443464163243

6366334644mmmmmm=+−=−=−++−−.MHNH为定值.【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.19.已知函数()()exfxxaxa=++−.（1）若1a=，分析()

fx的单调性；（2）若2a−，证明：()fx在(,0)−，(0,)+内各恰有一个零点，并且这两个零点互为相反数.【答案】（1）()fx在R上单调递增（2）证明见解析【解析】【分析】（1）判断()fx的符号得()fx的单调性；（2）分析

()fx的单调性得()fx在(,0)−，(0,)+内各恰有一个零点，设0x为函数()fx在(0,)+内的零点，证明0x−也是()fx的零点即可.【小问1详解】若1a=，则()(1)e1,()e2e1xxxfxxxfxx=++−=++.设()e2e1xxg

xx=++，则()(3)exgxx=+，令()0gx=，得3x=−，当3x−时，()0gx，则()gx在(,3)−−上单调递减，当3x−时，()0gx，则()gx在(3,)−+上单

调递增，所以333()(3)3e2e1e10gxg−−−−=−++=−+，所以()0fx，所以()fx在R上单调递增.【小问2详解】()(1)e1xfxxa=+++.设()()xfx=，则()(2)exxxa=++，令(

)0x，解得2xa−−，令()0x，解得2xa−−，则()x在(,2)a−−−上单调递减，在(2,)a−−+上单调递增.若2a−，即20a−−，则2min()(2)e10axa

−−=−−=−+，又(0)20a=+，当x→−时，()1x→，当x→+时，()x→+，所以()x在(,0),(0,)−+内各恰有一个零点，设为()1212,02xxxax−−.当1xx或2xx时，()0,()xfx单调递增，当12xxx时，(

)0,()xfx单调递减.由于(0)0f=，所以()()12(0)0,(0)0fxffxf==，又当x→−时()fx→−，当x→+时()fx→+，()fx的大致图象如下:设0x为函数()fx在(0,)+内的零点，下面证明0x−也是()fx的零点，即()0

0fx−=.因为()()0000e0xfxxaxa=++−=，所以()()()()000000000000eee0eexxxxxxaxaxaxafxxaxa−−+−+++−−=−+−−==−=综上，()fx在(,0)−，(0,)+内各恰有一个零点，并且

这两个零点互为相反数.【点睛】利用导数研究方程根（函数零点）的技巧（1）研究方程根情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值

的位置．（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．.的