【文档说明】《2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019选择性必修第一》第五章 一元函数的导数及其应用 单元综合测试卷（解析版）.docx，共(16)页，1.484 MB，由envi的店铺上传

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第五章一元函数的导数及其应用单元综合测试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数()fx在1x=处的导数为2，则()()011lim2xfxfx→+−=()A．

2B．1C．12D．6【答案】B【解析】由函数()fx在1x=处的导数为2，得(1)2f=，所以()()()()00111111limlim(1)1222xxfxffxffxx→→+−+−===

，故选：B2．已知函数()()22cosfxtgxx==，，则（）A．()()0,2sinfxgxx==−B．()()2,2sinfxtgxx=−=C．()()02sinfxgxx==，D．()()2,2sinfxtgxx

==【答案】A【解析】由题意，()()0,2sinfxgxx==−，故选：A.3．2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一

次滑雪训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为()2322lttt=+，则当3st=时，该运动员的滑雪速度为（）A．7.5m/sB．13.5m/sC．16.5m/sD．22.5m/s【答案】B【解析】由题意，()342tlt=+，故当3st=时，该运动员的滑

雪速度为()334313.52l=+=.故选：B4．函数()fx的定义域为开区间(),ab，导函数()fx在(),ab内的图象如图所示，则函数()fx在开区间(),ab内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】由导函数()fx在区间(),ab内的图象可知，函

数()fx在(),ab内的图象与x轴有四个公共点，在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左

到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数()fx在开区间(),ab内的极小值点有1个.故选：A.5．函数()2=cos2ln++1yxxx的图像可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为(

)()2cos2ln++1yfxxxx==定义域为R，又()()()()()()2222cos2ln++1cos2ln++1cos2ln+10fxfxxxxxxxxxx+−=+−−=−=，所以()2=cos2ln++1yxxx为奇函数，函数图象关

于原点对称，故排除A、B，22222cos2cos2()(1)2ln(1)sin22ln(1)sin2111xxxfxxxxxxxxxxx=+−++=−++++++，于是得(0)1f=，即函数()fx图象在原点处切线斜率大于0，显然选项C不

满足，D满足，故选：D6．设定义在)0,+上的函数()0fx恒成立，其导函数为()fx，若()()()()1ln10fxxfxx−++，则（）A．()()2130ffB．()()2130ffC．()()2310ffD．()()2310f

f【答案】B【解析】由题意，在)0,+上的函数()0fx恒成立，构造函数ln(1)()()xgxfx+=，则()()2()ln(1)1()fxfxxxgxfx−++=，∵)0,+上()()()()()1ln()ln(1)0111fxxfxx

fxfxxxx−+−++=++，即()0gx，∴()gx在)0,+上单调递减，而(0)0g=，故0(1)(3)gg∴ln2ln42ln20(1)(3)(3)fff=，可得2(1)(3)0ff.故选：B7．给定函数()()1exfx

x=−，则下列结论不正确的是（）A．函数()fx有两个零点B．函数()fx在()1,+上单调递增C．函数()fx的最小值是1−D．当1a=−或0a时，方程()fxa=有1个解【答案】A【解析】因为()(

)1exfxx=−，所以()exfxx=，由()0fx¢>，得0x，所以()fx在(0,)+单调递增，由()0fx，得0x，所以()fx在(,0)−单调递减，又因为0x，()()1e0xfxx=−恒成立，(1)0f=，(0)1f=−，结合单调性可知，大致图像

如下：对于A选项，由图像知，函数只有一个零点，故A错误；对于B选项，函数的单调递增区间为(0,)+，而()1,(0,)++，所以函数()fx在()1,+上单调递增，故B正确；对于C选项，函数的最小值是(0)1f=−，故C正确；对于D选项，由图像可知

，当1a=−或0a时，方程()fxa=有1个解，故D正确.故选：A.8．若120xxa都有211212lnlnxxxxxx−−成立，则a的最大值为（）A．12B．1C．eD．2e【答案】B【解析】原不等式可转化为12121ln1lnxxxx++

，令()1lnxfxx+=，则()2lnxfxx−=，当()0,1x时，()0fx¢>，则()fx单调递增；当()1,x+时，()0fx，则()fx单调递减.由于120xxa都有()()12fxfx，所以函数()fx在(0,a上单调递增

，所以1a，所以a的最大值为1.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．游人游玩的湖边常设有如图所示的护栏柱与柱之

间是一条均匀悬链．数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数()ee2xxaaafx−=+，其中0a，则下列关于悬链线函数()fx的性质判断中，正确的有（）

.A．()fx为偶函数B．()fx为奇函数C．()fx的最小值为aD．()fx的单调递增区间为()0,+【答案】ACD【解析】函数()fx的定义域为R，且()()ee2xxaaafxfx−−=+=，()fx为偶函数，故A正确，B错误；∵e0xa

，e0xa−，∴()2ee2xxaaafxa−=，当且仅当eexxaa−=时取等号，即0x=时取等号，故C正确；()21111e1eeee222exxxxxaaaaaxaafxaa−−−=−=−=，当

0x时，∵0a，∴2e10xa−，∴()0fx¢>，∴()fx在()0,+上单调递增，由偶函数的性质可知，()fx在(),0−上单调递减，故D正确．故选：ACD．10．已知函数()yfx=的导函数()yfx=的图像如图

所示，则下列结论正确的是（）A．xc=时，()fx取得极大值B．xd=时，()fx取得最小值C．()()()fafbfcD．()()()fefdfc【答案】ACD【解析】结合导函数的图像可知，()fx在(),ac上单增，则()()()fafbfc

，C正确；在(),ce上单减，则()()()fefdfc，D正确；由于()()fefd，显然()fd不是最小值，B错误；又()fx在(),ac上单增，(),ce上单减，则xc=时，()fx取得极大值，A正确.故选：ACD.11．下列命题中是真命题有（）A．若()0'0fx=，则0

x是函数()fx的极值点B．函数()=yfx的切线与函数可以有两个公共点C．若函数()ln2fxxx=−−在区间()()1kkkN+，上有零点，则k的值为0或3D．若函数()fx的导数()'1fx，且()12

f=，则不等式()1fxx+的解集是()1−，【答案】BD【解析】A：例如()3fxx=在=0x处导数()00f=，但当0x时，函数()fx单调递增，当0x时，函数()fx也单调递增，故0不是函数()fx的极值点，故A选项错误；B：例如()

sinfxx=，0,3x，在点,12的切线=1y与()fx有两个交点，故正确；C：函数()ln2fxxx=−−在区间()()1kkkN+，上有零点，故()(1)0fkfk+，则(ln2)(1ln(1)2)0kkkk−−

+−+−，明显0k，代入=3k，得(1ln3)(2ln4)0−−，不符合零点存在定理，故C错误；D：令()()1gxfxx=−−，则有()()10gxfx=−，()()11110gf=−−=，故()0gx的解集是(),1−，故()1fxx+

的解集是()1−，，正确；故选：BD.12．已知函数()cossinfxxxxx=−−，则（）A．()fx在π,π−上单调递增B．()fx在π,π−上单调递减C．()fx在2π,2π−上有2个极值点D．()fx

在2π,2π−上有4个极值点【答案】BD【解析】()()2π2π,cossinxfxxxxxfx−−=−++=−，，所以()fx为奇函数，对于A，()cossin1cossin1=−−−=−−fxxxxx

xx，当0,πx时，sin0xx，所以()0fx，即()fx在0,π上单调递减，因为()fx为奇函数，所以()fx在π,0−上单调递减，故A错误，B正确；()sin1=−−fxxx，令()()sin2π,2π=−−gxxxx，()()sin−=−=

gxxxgx，所以()gx为偶函数，()()sincos=−+gxxxx，当π0,2x时，sin0,cos0xxx，所以()0gx，()gx单调递减，因为()gx为偶函数，所以当π,02−x时，()gx单调递增，当ππ,2−−

x时，sin0,cos0xxx，所以()0gx，()gx单调递减，因为()gx为偶函数，所以当π,π2x时，()gx单调递增，当3ππ,2x时，sin0,cos0xxx，所以()0gx，()gx单调递增，因为()gx为偶函数，所以当3π,π2

−−x时，()gx单调递减，当3π2π,2−−x时，sin0,cos0xxx，所以()0gx，()gx单调递增，因为()gx为偶函数，所以当3π,2π2x时，()gx单调递减，()2π2πsin2π0=−=g，3π3π3

π3πsin2222=−=g，()ππsinπ0=−=g，ππππsin2222=−=−g，()00sin00=−=g，()()2π2πsin2π0−=−−=g，3π3π3π3πsin2222−=−=g，()ππsinπ0−=−=g，ππππsin

2222−=−=−g，所以()gx的图象为()gx在3πππ3π,,0,,2222=−−x处有四个极值，()sin1=−−fxxx的图象是由()gx的图象向下平移1个单位得到的，如图图象与x轴有四个交点，从左往右依次设

为1234,,,xxxx，当()12π,−xx时()0fx，()fx单调递减，当()12,xxx时()0fx，()fx单调递增，当()23,xxx时()0fx，()fx单调递减，当()34,xxx时()0fx，()fx单调递增，当()4,2πxx时()

0fx，()fx单调递减，所以()fx在1234,,,xxxx处有四个极值，故D正确，C错误.故选：BD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知()()lnfxxxx=+，则()fx在x＝1处的切

线方程是______．【答案】32yx=−【解析】已知当1x=时()11f=，由()()1ln1fxxxxx=+++，得()13f=根据点斜式可得：()13132yxyx−=−=−故答案为:32yx=−14．已知函数()fx的

定义域为R，它的导函数()fx的图象如图所示，则函数()1yfx=+的极值点有________个.【答案】2【解析】由题意可知()1yfx=+，()yfx=由图象可知，当0x时，()0,0fxy，()1yfx=+递增；当02x

时，()0,0fxy，()1yfx=+递减，当2x时，()0,0fxy，()1yfx=+递增；故0,2xx==为函数的极值点，故答案为：215．若点P是曲线2ln1yxx=−−上任意一点，则点P到直线3yx=−的最小距离为________

___.【答案】2【解析】由已知，设点00(,)Qxy曲线2ln1yxx=−−上一点，则有0002ln1yxx=−−，因为2ln1yxx=−−，所以12yxx=−，所以00012|xxyxx=−=，所以曲线2ln1yxx=−−在0

0(,)Qxy处的切线斜率为0012kxx=−，则曲线2ln1yxx=−−在00(,)Qxy处的切线方程为020000(ln1)()()12yxxxxxx−−−=−−，即20000()12lnyxxxxx=−−−．要求得曲线2ln1yxx=−−上

任意一点，到直线3yx=−的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即00121kxx=−=，解得0=1x或012x=−（舍去），此时，以点(1,0)Q为切点，曲线的切线方程为：1yx=−，此时，切点(1,0)Q为曲线上距离直线3yx=

−最近的点，即点P与点Q重合，最小距离为直线3yx=−与直线1yx=−之间的距离，设最小距离为d，所以221(3)21(1)d−−−==+−.故答案为：2.16．已知函数1()cos1fxxx=−+，()fx为()fx的导函数，则下列结论正

确的个数是__________．①当(1,0)x−时，()0fx；②函数()fx在1,2−上只有一个零点；③函数()fx在1,2−上存在极小值点．【答案】2【解析】①当(1,0)x−时，cos1x，111x+，所以1()cos

01fxxx=−+，故①正确；②21()sin(1)fxxx=−++，令()21sin(1)pxxx=−++，则()32cos(1)pxxx=−−+，因为1,2x−，所以()0px，所

以()fx单调递减，因为(0)10f=，()2π4102π2f=−++，根据零点存在定理可得，00,2x，使得0()0fx=，所以函数()fx在1,2

−上只有一个零点，故②正确；③因为函数()fx在1,2−上单调递减，且只有一个零点00,2x，所以当0(1,)xx−时，()0fx，当0π,2xx时，()0fx，所以()fx在0(1,)x-上单

调递增，在0π,2x上单调递减，所以0x为()fx在1,2−上的唯一极大值点，故③错误，所以正确的个数为2．故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）已知函数()lnfxx=

，()tangxx=.(1)求曲线()ygx=在ππ,44g处切线的方程；(2)若直线l过坐标原点且与曲线()yfx=相切，求直线l的方程.【解析】（1）()sintancosxgxxx==，所以

()2222cossin1coscosxxgxxx+==，所以24g=，14g=，所以切线方程为：124yx−=−，整理得2102xyp-+-=.（2）()lnfxx=，所以()1fxx=，设切点坐标为()00

,lnxx，所以切线斜率为01kx=，则切线方程为：()0001lnyxxxx−=−，又因为切线过原点，所以将()0,0代入切线方程得()0001lnxxx−=−，解得0ex=，所以切线方程为：()11eeyx−=−，整理得e0xy−=.18．（12分）新冠肺炎疫情期间，某企业

生产的口罩能全部售出，每月生产x万件（每件5个口罩）的利润函数为()23145,07,3e12ln,7xxxpxxxx−+−=−−（单位：万元）．（注：每问结果精确到小数点后两位．参考数据2e7.39，3e20.09）(1)当每月生产5万件口罩时，利润

约为多少万元？(2)当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？【解析】(1)当5x=时,()2120554556.6733p=−+−=,故当每月生产5万件口罩时，利润约为6.67万元(2)因为利润函数为()23145,07,3e12ln,7xxxpxxxx−+−

=−−故当()221107,()456373xpxxxx=−+=−−+−,此时当max6,()7xpx==.当7x时,()3e12ln,pxxx=−−()3322ee,1xxxpxx−=−+=当37e,(

)0,xpx此时()px单调递增,当3e,()0,xpx此时()px单调递减，故当3e20.09x=时，33max3e()12lne12318epx=−−=−−=综上，当20.09x=时，所获月利润最大.19．（12分）已知

函数2()lnfxaxx=+.(1)当2a=−，求函数()fx的极值；(2)若函数2()()xgfxx=+在2,4上是单调增函数，求实数a的取值范围．【解析】（1）函数()fx的定义域为()0,+，当2a=−时，()()()21

122xxfxxxx−+=−=，当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下：x()0,11()1,+()fx−0+()fx单调递减极小值单调递增∴极小值是()11f=，无极大值（2）()22lngxx

axx=++，0x，()222agxxxx=+−，∵函数()gx在2,4上是单调增函数，∴()0gx在2,4上恒成立，即222axx−在2,4恒成立，令()222hxxx=−，()2240hxxx=−−在2,4上恒成立，∴()hx在2,4单

调递减，∴()()max27hxh==−，∴7a−所以，实数a的取值范围是)7,−+20．（12分）已知函数()()2e1xfxaxx=−+.(1)求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线的方程；(2)若函数()fx在0x=处取得极大值，求a的取值范围.【解析】（1）由()()2

e1xfxaxx=−+可得22e121)e2)()((xxaxxaxxaxxfxa=−++−=+−，所以(0)0kf==，(0)1f=，故曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线的方程1y=；（2）由（1）可得)()(e21xxfxxaa=+−当0a=时

，()exfxx=−，当0x时，()0fx，()fx单调递增；当0x时，()0fx，()fx单调递减；所以此时()fx在0x=处取得极大值，满足题意；当0a时，令(e21())0xxa

xfxa=+−=，解得12120,axxa−==下面对a进行分类讨论①当12a=时，201e2()xxxf=，()fx在R上单调递增，无极值点，舍去；②当12a时，当12axa−或0x时，()0fx，()fx单调递增；当120axa−时，()0

fx，()fx单调递减，此时()fx在0x=处取得极小值，故舍去；③当a<0时，当12axa−或0x时，()0fx，()fx单调递减；当120axa−时，()0fx，()fx单调递增，此时()fx在0x=处取得极大值，满足题意；④当102a时

，当0x或12axa−时，()0fx，()fx单调递增；当120axa−时，()0fx，()fx单调递减，此时()fx在0x=处取得极大值，满足题意；综上：a的取值范围为1(,)2−21．（12分）已知函数()324fxxax=−+−，其

中a为实常数．(1)当3a=时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；(2)讨论()fx的单调性；(3)若存在()00,x+，使得不等式()00fx成立，求实数a的取值范围．【解析】（1）()()32'234,36fxxxfxxx=−+−=−

+，所以()()'12,13ff=−=，所以切线方程为()()231,35yxyx−−=−=−.（2）()fx的定义域为R,()'223233fxxaxxxa=−+=−−，当a<0时，()fx在区间()()()'2,,0,,0,3afxfx−+

递减；在区间()()'2,0,0,3afxfx递增.当0a=时，()'0fx，()fx在R上递减.当0a时，()fx在区间()()()'2,0,,,0,3afxfx−+递减；在区间()()'20,,0,3a

fxfx递增.（3）由（2）知：当0a时，()fx在()0,+上递减，()()040fxf=−，不符合题意.当0a时，在区间()0,+上，()3max244327afxfa==−，依题意可知344027a−，解得3a.综上所

述，a的取值范围是()3,+.22．（12分）已知0a，当0x时()21logfxax=+．(1)若方程212log1fxx=−有解，求实数a的取值范围；(2)若对于任意实数1,13t

，函数()fx在区间,1tt+上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a的取值范围．【解析】（1）()21logfxax=+的定义域为()0,+，要使212log1fxx=−成立，则1

01x−，即1x，212log1fxx=−，222log11g1loxxa+=−，即()2212loglogaxx+=−，即()222og1lgloaxx+=−，则21xxa−+=，则当方程212log1fxx=−

有解，即210xxa−+−=在1x上有解，21xyxa−+=−的对称轴为12x=，使210xxa−+−=在1x上有解，则()()22Δ14101110aa=−−−−+−即可，解得：1a

，即实数a的取值范围为()1,+.（2）()2211loglogaxfxaxx+=+=，()()21ln2fxaxx=−+，当0x时，()0fx，则()fx在0x上单调递减，

1,13t()fx\在,1tt+上的最大值与最小值分别为()ft与()1ft+，函数()fx在区间,1tt+上的最大值与最小值的差不大于1，()()11ftft−+，则2211loglog

11atatatt+++−+，即211log11atttata++++，1121atttata++++，0a，0t，整理，得：21tatt−++，设()21tgttt−+=+，()()22221ttgttt−−=+，当

1,13t时，2210tt−−，即()0gt，则()gt在1,13t为单调递减函数，则()gt在1,13t上的最大值()max1332gtg==，32a，即实数

a的取值范围为3,2+.